一种面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法及系统

本发明属于材料结构优化，尤其涉及一种面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法及系统。

背景技术：

1、近年来，拓扑优化被认为是工程结构设计的有力设计工具，能在多个约束条件下有效地寻求域中合理的材料布局，以获得预期的结构性能。而以往的研究大多集中在张量积样条(如b样条和nurbs)上，nurbs具有统一性、非负性和线性独立性等优异的数学和算法特性，使相关方法受益良多。但nurbs的张量积拓扑结构严重限制了它在复杂结构设计的应用，在nurbs框架中需要多片划分或者裁剪特征等难以理解应用的方法来表示复杂的工程模型。并且多片划分方案会导致间隙与缺口等问题，而修剪后的表面一般不具备独立的表示能力，无法用于数值分析。以上局限性导致了许多优异的优化方法只能处理简单规整设计域的中定义的优化问题。

2、为了克服nurbs的缺陷，提出了t样条、pht样条等表面描述方法，其中t样条作为nurbs的扩展样条，通过引入t节点和异常点使其具有灵活的拓扑结构。而t样条在表达形式和理论推导上都与nurbs相似，裁剪后的nurbs曲面可以转换为未裁剪的t样条曲面，多个nurbs片可以合并为单个无间隙的t样条片，由此根据优化构型可以重构结构模型进行优化后分析。同时，iga被引入为了克服经典有限元法的数值精度低和分析效率低等缺点。因此将t样条引入等几何拓扑优化是处理复杂设计域的优越的方法，但也会引入一些数值限制：1)在拓扑优化中定义t样条控制点上密度的离散分布，而不是连续的密度分布函数(ddf)来表示结构拓扑，这导致了优化拓扑中的"之"字形特征。但t样条曲线不具有nurbs的张量乘积特征，因此无法直接使用t样条曲线构造具有连续性和平滑性的ddf。2)t样条在结构几何模型中的数值实现以及基于t样条的iga在没有bézier提取的情况下比较复杂，无法直接扩展到其他或更复杂的设计实例中，即有效性较弱。3)拓扑优化的设计问题仅仅考虑了二维平面结构的经典顺应性最小化，而没有涉及三维复杂空间壳体结构。实际上，板壳结构的拓扑优化也是结构设计研究领域的一个难题，并不是平面结构的简单扩展。

3、通过上述分析，现有技术存在的问题及缺陷为：

4、(1)在拓扑优化中定义t样条控制点上密度的离散分布，而不是连续的密度分布函数(ddf)来表示结构拓扑，这导致了优化拓扑中的"之"字形特征。但t-样条曲线不具有nurbs的张量乘积特征，因此无法直接使用t-样条曲线构造具有连续性和平滑性的ddf。

5、(2)t样条在结构几何模型中的数值实现以及基于t样条的iga在没有bézier提取的情况下比较复杂，无法直接扩展到其他或更复杂的设计实例中，即有效性较弱。

6、(3)拓扑优化的设计问题仅仅考虑了二维平面结构的经典顺应性最小化，而没有涉及三维复杂空间壳体结构。

技术实现思路

1、针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法及系统，其目的在于消除nurbs张量积的限制以及t样条引入而产生的多个数值限制，并提高复杂设计域结构设计的数值精度和分析效率。

2、本发明是这样实现的，一种面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法，其特征在于，包括：

3、s1、基于t样条在cad软件(rhinoceros3d)中建模具有复杂设计域的几何模型并且划分网格，导出模型文件；

4、s2、读取模型文件并转换为适合分析的数据模型，基于bézier提取建立有限单元数据结构，并将其用于复杂几何的iga分析中；

5、s3、在每个bézier单元中构造对应的局部密度分布函数(ddf)，每个单元中bézier曲面的张量积特性保证了局部ddf的平滑性和连续性，并将所有局部ddf组装得到用于呈现具有连续性和平滑性的结构拓扑全局ddf；

6、s4、利用高斯积分法并基于复杂几何的iga分析和设计域内每点的弹性性能，求解所有等几何单元刚度矩阵并组装为全局刚度矩阵，求解设计域的位移场，并且以结构刚度最大化为目标，构建针对复杂设计域的刚度最大化拓扑优化数学模型；

7、s5、通过对目标函数和灵敏度进行计算，对拓扑优化模型中的设计变量进行迭代更新，得到优化后的拓扑优化构型。

8、进一步，步骤s1的实现方式包括：

9、s101、结合在rhinoceros3d和autodeskt-splines插件创建、编辑和转换基于t样条的曲面模型，可以实现几何建模步骤的可视过程，并且目前t样条几何模型的实现仅限于未修剪的双三次曲面。而本发明中构建具有复杂几何的曲面模型主要有两种方式：(1)绘制nurbs曲面后划分网格得到网格模型，通过t-splines插件将网格模型转换为t样条模型，然后根据模型的具体情况进行平滑等操作；(2)通过t-splines插件直接建模，但不同的建模方法可能会产生不同的bézier网格，因此在建模前需认真考虑几何模型的网格分布以获得合适的网格是建模的关键之一；并且结构拓扑发生变化时，bézier网格和配置点的位置会自动更新，例如对设计域中的特征进行局部细化；

10、s102、当t样条模型完成并确定了适当的选择集后，t样条模型可自动保存为包含单元和控制点信息的分析模型，而无需网格生成或几何清理步骤；分析模型可以导出为iga分析模型文件，该文件包含全局网格数据，包括以下字段：

11、(1)type-导出曲面的类型。板模型类型显示为平面，三维曲面模型显示为曲面；

12、(2)noden-t样条控制点的总数；

13、(3)elemn-定义t样条曲面的bézier单元的总数；

14、(4)控制点的数据：每个t样条控制点的指定格式为nodexyzw；

15、(5)bézier单元数据：bézier单元数据是包含bernstein多项式和单元提取算子的块数据；数据的第一行是单元的全局数据，包括基函数支持数和两个方向的阶数，用belemnpξpη表示；第二行中每个非零t样条基函数的全局索引为a1a2…an。在接下来的n行中，指定提取算子为：

16、

17、进一步，步骤s2的实现方式包括：

18、由于使用t样条的iga方法需要与rhino和分析程序相结合，因此在将iga文件导入分析程序后，需要读取导入的模型数据，并将其转换为适合结构分析的数据。基于bézier提取方法的t样条混合函数可表示为：

19、ne(ξ,η)＝ceb(ξ,η)；

20、式中，是包含支持单元e的t-样条混合函数的矢量，a表示控制点的相关局部索引，n是控制点的总数；是单元e的单元提取算子,假设每个方向上的多项式阶数相同，维数为n×(p+1)2。是定义了bernstein多项式的矢量。令是单元e的t样条混合函数的向量，而单元e的t样条混合函数可以表达为：

21、

22、与

23、

24、式中，和we是单元e对应的n个控制点权重两种表达形式。而t样条混合函数的一阶，二阶微分为：

25、

26、式中，并且基于bézier提取的t样条基函数形式会在iga分析求解设计域的未知场中进一步应用。

27、进一步，由s2可知，利用t样条控制点和相应的bézier控制点可以构造出相同的曲面，每个bézier单元都有相同的均分bézier控制点，两个bézier单元的相邻边界共享p+1个权重值相同的控制点；细化后的两个单元也与相邻单元共享p+1个控制点，其中细化后的两个单元在共享控制点中包含p-1个控制点，这就确保了两个相邻单元边界上的控制点坐标相同，从而用于构建ddf的控制点密度也相同，从而保证了局部ddf组合为全局ddf的连续性。因此基于bézier提取建立拓扑描述模型主要包括以下部分：

28、s301、使用对应的bernstein基函数在每个bézier单元构建局部ddf，主要步骤包括：

29、(1)定义bézier控制点的初始密度，即bézier控制密度φi{i＝1,...,(p+1)2}，其范围是[0,1]；

30、(2)基于shepard函数构建平滑机制，相应的数学公式为：

31、

32、式中，ψ(φi)是在控制点qi的shepard函数值,计算为：

33、

34、式中，是控制点qi的权函数,它由具有c4连续性的径向基函数(rbf)构建，n是影响当前控制密度的控制密度总数，表示平滑bézier控制密度；

35、(3)应用相应bézier单元中的所有bernstein多项式和平滑控制设计变量的线性组合来构建局部密度分布函数(ddf)，相应的公式如下：

36、

37、式中，φl是局部ddf，也可以看作是bézier单元的密度响应面，是平滑控制密度的矢量，是对应的bézier单元的bernstein多项式的矢量；

38、(4)构造结构边界的隐式描述机制，局部ddf的等值轮廓表示相应拓扑的结构边界，其值为：

39、

40、其中φiso表示局部ddf的等轮廓值，是相应bézier单元的结构拓扑；

41、s302、将所有局部ddf组合为用于表示结构拓扑的全局ddf，给定域中bézier单元的个数为nb，则相应的全局ddf可表示为：

42、

43、式中，表示第i个bézier单元的局部ddf,φg表示整个结构拓扑的全局ddf，相应的结构拓扑可表示为：

44、

45、式中，表示整个设计域的结构拓扑；相邻bézier单元之间完美自然的连接可以保持全局ddf的无间隙，从而全局ddf和全局结构拓扑都具有足够的平滑性和连续性；通过优化ddf来推导结构拓扑，直到达到预期的结构性能，并且优化后的拓扑结构沿等高线修剪为单个水密的t-样条曲面，可以作为新的分析输入曲面。

46、进一步，基于高斯正交法计算的等几何单元刚度矩阵ke的二维数字方程如下：

47、

48、式中，emin是实体材料刚度，e0是最小材料刚度，γ是惩罚系数，j是从母单元空间到物理空间的映射的雅可比矩阵，b为单元应变-位移矩阵，ng是高斯正交点的总数，ωg是对应的高斯点的权重；

49、步骤s4中，复杂设计域的刚度最大化拓扑优化模型表示为：

50、

51、式中，φi表示bézier控制点的初始密度,设计变量在优化过程中的变化范围是[φmin,1]。φmin是设计变量的最小值，通常等于1e-6为了避免优化过程中的奇异点。j表示目标函数，即用于描述负载能力的结构平均顺应性，u代表通过基于t样条的iga计算得到的设计域ω的位移场。v表示材料体积约束,其中υ0为实体体积分，v0为最大材料消耗量；a是双线性能量，δu是属于运动学可容许空间h1(ω)的虚拟位移场，g提供了dirichlet边界γd上的规定位移矢量，l是线性载荷函数，表示为：

52、

53、式中，fω是设计域的体力,fn是neumann边界γn施加的边界牵引力。

54、进一步，步骤s5包括：

55、s501、初始化设计变量；

56、s502、将设计变量代入基于t样条的等几何分析模型中，并由ku＝f计算位移场，从而对目标函数和灵敏度进行计算；

57、s503、采用oc方法更新控制密度φi即设计变量，重复执行，直至达到迭代终止条件，并根据最后一次迭代有s502计算的目标函数和灵敏度，得到优化后的结构拓扑优化构型；

58、灵敏度是通过目标函数和约束条件分别对设计变量的导数得到，其中，目标函数和约束条件分别对设计变量的偏导数表示为：

59、

60、式中，计算点(ξ,η)对应的是设计域中的高斯正交点，与控制点不同。

61、本发明的另一目的在于提供一种实现所述面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法的面向复杂设计域的等几何拓扑优化系统，包括：

62、几何模型建模及网格划分模块，用于基于t样条在cad软件(rhinoceros 3d)中建模具有复杂设计域的几何模型并且划分网格，导出模型文件；

63、有限单元数据结构建立模块，读取模型文件并转换为适合分析的数据模型，基于bézier提取建立有限单元数据结构，并将其用于复杂几何的iga分析中；

64、密度分布函数构造模块，用于在每个bézier单元中构造对应的局部密度分布函数(ddf)，每个单元中bézier曲面的张量积特性保证了局部ddf的平滑性和连续性，并将所有局部ddf组装得到用于呈现具有连续性和平滑性的结构拓扑全局ddf；先构造局部密度分布函数，再组装为全局密度分布函数；

65、刚度最大化拓扑优化数学模型构建模块，用于利用高斯积分法并基于复杂几何的iga分析和设计域内每点的弹性性能，求解所有等几何单元刚度矩阵并组装为全局刚度矩阵，求解设计域的位移场，并且以结构刚度最大化为目标，构建针对复杂设计域的刚度最大化拓扑优化数学模型；

66、设计变量迭代更新模块，通过对目标函数和灵敏度进行计算，对拓扑优化模型中的设计变量进行迭代更新，得到优化后的拓扑优化构型。

67、本发明的另一目的在于提供一种计算机设备，计算机设备包括存储器和处理器，存储器存储有计算机程序，计算机程序被处理器执行时，使得处理器执行所述的面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法的步骤。

68、本发明的另一目的在于提供一种计算机可读存储介质，存储有计算机程序，计算机程序被处理器执行时，使得处理器执行所述的面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法的步骤。

69、本发明的另一目的在于提供一种信息数据处理终端，信息数据处理终端用于实现所述的面向复杂设计域的等几何拓扑优化系统。

70、结合上述的技术方案和解决的技术问题，本发明所要保护的技术方案所具备的优点及积极效果为：

71、第一，本发明提供的面向复杂设计域的等几何拓扑优化方法，针对现有的基于nurbs的复杂结构域设计方法尚缺乏的问题，开发了一种基于t样条的等几何拓扑优化方法，求解复杂结构设计域的未知响应。具有局部细化特性的t样条能有效地描述复杂的几何形状，并消除了nurbs因张量积限制而产生的关键缺陷，实现了复杂几何的优化设计与分析。并且在分析中仍然使用bézier表达形式的t样条混合函数来构造解空间，解决以往经典方法在优化过程中造成的数值精度与分析效率低等情况，提高该方法的有效性和效率；

72、本发明提供的复杂设计域的等几何拓扑优化方法，通过构建基于t样条和bézier提取法的拓扑描述模型来呈现优化结构拓扑，其中在所有bézier单元中构建了大量局部ddf，每个单元中bézier曲面的张量乘积特征能有效保证每个局部ddf的平滑性和连续性。将所有局部ddf组合起来构建全局ddf，以呈现具有连续性和平滑性的结构拓扑，并且基函数的高度统一有效地保持清晰平滑地描述结构边界；

73、本发明提供的面向复杂结构设计域的等几何拓扑优化方法，具有较强的适用性，可应用于复杂板壳结构的优化设计与分析。在该方法基础之上可根据kirchhoff-love理论开发基于t-样条和bézier提取的等几何壳单元，并针对任意几何形状的板壳结构，建立了刚度最大化的基于t样条的等几何拓扑优化数学模型以提高负载能力，并采用同样的数值方案和优化算法来解决相关问题，以说明该方法具有较强的适用性和有效性。

74、第二，本发明的技术方案基于t样条建立，t样条克服了nurbs建模复杂结构的种种缺陷，由于t样条的局部细化性质保证了其可以建模具有任意形状的单一水密模型，而基于bézier提取的t样条为复杂模型中的任意控制点提供统一的表达形式，因此该发明可以优化具有任意设计域的复杂工程结构，并且由于t样条的特殊性质，该发明优化得到的优化结果可以被直接导出利用并进行后续的再分析等，增加优化的工程实用性与便利性。

75、本发明的技术方案基于等几何分析方法建立，利用cad中用于表示几何模型的基函数来求解结构响应，真正实现了工程设计与分析的统一性，并且消除了优化过程中繁琐的模型转换操作，极大地提高了拓扑优化过程的数值精度，同时等几何分析的高阶连续性确保了优化过程中寻找合适优化结果的可能性，提高了结构优化的数值分析效率，确保优化结果的准确性；

76、本发明的技术方案包括密度分布函数的建立，由于t样条的局部细化特性，无法利用张量积性质建立具有平滑机制的全局密度分布函数。基于bézier提取将t样条转化为一系列bézier单元，并基于bézier单元建立局部密度分布函数，并且在局部密度分布函数中施加平滑机制，并最终将所有局部分布函数组装为全局密度分布函数来表示结构拓扑。考虑平滑机制的局部密度分布函数确保了拓扑结果的平滑性和连续性，而相邻bézier单元的中控制点和基函数的一致性确保了局部密度分布函数的完美连接。基于bézier提取的t样条能够完美地符合拓扑描述模型的后期发展，既能有效避免直接使用t样条构建ddf的困难，又能确保直接平滑机制的顺利使用，确保了优化结果的边界光滑清晰；

77、第三，本发明的技术方案转化后的预期收益和商业价值为：

78、(1)满足高端装备需求：针对航空航天等领域高端装备结构件的复杂几何描述，等几何拓扑优化方法能够提供有效的解决方案，满足高端装备领域对高性能结构件的需求。

79、(2)整合设计与分析流程：本发明致力于将cad和cae纳入到统一的数学表达框架中，这有助于实现设计到分析的无缝对接，提高整个产品开发流程的效率。

80、(3)提高设计效率：本发明的技术方案提供了一种高效的拓扑优化方法来处理复杂的几何形状，这在传统的拓扑优化方法中是一个挑战，通过在cad软件中建模后进行优化，从而简化了复杂结构的设计过程；

81、(4)增强产品性能：等几何拓扑优化有助于实现更轻量化的结构设计，这对于航空航天领域来说尤为重要，结构设计直接影响到产品的性能和燃油效率；

82、(5)降低成本：本发明提高了优化效率，并且集成了能够可视化的初始模型建模以及优化结果过程，通过本发明的优化设计，可以减少材料的使用与迭代设计和测试的次数，进一步节约了生产和开发成本；

83、(6)提升产品可靠性：优化后的结构件在满足轻量化的同时，还能保持或提高其结构的强度和耐久性，从而提高产品的可靠性和使用寿命。

84、(7)跨行业应用潜力：虽然等几何拓扑优化方法在航空航天领域有着显著的应用前景，但其原理和技术也适用于其他多个行业，如汽车、船舶、建筑等，具有广泛的跨行业应用潜力。

85、综上所述，面向复杂结构设计域的等几何拓扑优化方法的转化，预期将为相关行业带来设计效率的提升、成本的降低、产品性能和可靠性的增强，同时也有助于推动技术创新和行业发展，具有显著的商业价值和广泛的应用前景。

86、第四，本发明的技术方案填补了复杂设计域的拓扑优化这一空白领域，目前国内外基于

87、(1)复杂结构的拓扑优化：该发明基于t样条的局部细化性质建模具有复杂几何的单一水密模型，而基于bézier提取为复杂模型中的任意控制点提供统一的表达形式，因此该发明填补了具有任意设计域的复杂工程结构的优化设计这一空白领域，并且由于t样条的特殊性质，该发明优化得到的优化结果可以被直接导出利用并进行后续的再分析等，增加优化的工程实用性与便利性。

88、(2)与cad建模系统的兼容性：等几何拓扑优化方法使用t样条来描述几何形状，这使得其能够与现有的cad建模系统兼容，为设计师提供了一个熟悉的工作环境，允许设计师在不改变现有设计工具的情况下，利用等几何拓扑优化的优势。

89、(3)计算效率的提升：等几何拓扑优化方法通过使用相同的数学描述来计算域、结构响应和目标函数，实现了几何模型、分析模型和优化模型的统一。这种方法提高了计算效率，尤其是在处理复杂设计域时，可以更快地得到优化结果。

90、(4)数值求解技术的改进：等几何拓扑优化方法的发展也推动了设计分析一体化高效数值求解技术的进步。这种技术的研究和应用，进一步提高了拓扑优化的精度和效率，对于复杂结构设计域的优化具有显著的意义。

91、综上所述，面向复杂结构设计域的等几何拓扑优化方法在兼容性、计算效率、复杂工程结构设计以及数值求解技术等方面取得了显著进展，这些进展不仅填补了技术空白，也为未来工程设计的创新和发展奠定了坚实的基础。

92、第五，等几何拓扑优化方法在处理复杂结构设计时，克服了一些传统方法的限制，实现了以下几个方面的技术突破：

93、(1)提高计算效率：通过使用与cad系统兼容的t样条数学描述，等几何拓扑优化方法提高了计算效率，尤其是在处理复杂设计域时，能够快速准确地得到优化结果。

94、(2)强化了面对复杂工程结构的优化方法：该发明在复杂结构设计方面取得了长足的进步，对于复杂工程结构尤其是板壳结构的优化设计尤为重要，有助于推动航空航天领域的轻量化发展。

95、(3)优化了数值求解技术：等几何拓扑优化方法的发展推动了设计分析一体化高效数值求解技术的进步，提高了拓扑优化的精度和效率。

96、(4)统一了设计与分析流程：结构等几何分析致力于将cad和cae纳入到统一的数学表达框架中，这有助于实现设计与分析的无缝对接，提高整个产品开发流程的效率。

97、这些技术突破不仅提升了工程设计的质量和效率，还为高端装备的创新发展提供了强有力的技术支持。通过这种优化方法，可以设计出更轻量化、性能更优的结构件，满足航空航天等领域对高性能结构件的需求。此外，这一方法的研究和应用也为相关领域带来了新的研究方向和商业化机会，具有重要的经济和社会价值。

98、第六，本发明的技术方案通过以下几个方面克服了传统拓扑优化的技术偏见和限制：

99、(1)复杂工程结构的应用：通过在规则嵌入域中实现不规则模型的等几何分析，这种方法突破了传统拓扑优化对于不规则几何形状的限制，满足具有任意形状的板壳结构的优化设计。

100、(2)统一的数学表达框架：结构等几何分析致力于将cad和cae纳入到统一的数学表达框架中，这种方法紧密联系几何信息，采用相同的数学表达将几何精确建模、结构分析和设计过程结合，为结构优化设计提供了新的可能性。

101、(3)数值计算稳定性的提升：该方法还关注于解决连续体结构拓扑优化数值方法中普遍存在的单元依赖性、奇异性和棋盘格等数值计算不稳定问题，从而提高了计算的稳定性。

102、综上所述，面向复杂结构设计域的等几何拓扑优化方法通过引入新的技术和策略，有效地克服了一些传统拓扑优化技术的限制和偏见，为结构设计领域带来了新的发展机会。