威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及工程技术领域，特别是涉及现场数据可靠性评估问题以及数值计算问 题，具体地说涉及一种新的威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法。
【背景技术】
[0002] 随着科学技术的发展，航空产品的可靠性水平越来越高，能否对新型航空产品的 可靠性指标做出全面系统的评价，是直接关系到航空产品长远建设的重大问题。
[0003] 可靠性数据分析是通过收集单元或系统装备在研制、试验、生产和使用中所产生 的各种可靠性数据，并且根据装备的功能或可靠性结构，利用概率论与数理统计的方法，定 量地给出系统各种可靠性指标的估计。目前，在工程应用中，基于现场数据的航空产品可靠 性评估工作面临着小子样与随机删失两大问题。
[0004] 期望极大值算法（Expectation Maximum, EM)是Dempster等人于1977年提出的 在不完全数据情况下计算极大似然估计的迭代算法，它可以很好地解决不完全数据情况下 的统计分析问题。近年来随着计算机技术的发展，EM算法越来越成为可靠性工程人员在评 估小子样随机删失现场数据时热衷使用的算法。
[0005] 该算法通常强调迭代的两个步骤，即为E步和M步，而且在E步和M步之间要求不 断迭代直到收敛为止。假设完全数据Y的概率密度函数为f(y| Θ)。记0(i)为第i+l次迭 代开始时参数Θ的估计值，则第i+Ι次迭代的两步分别为：
[0006] E步：在给定删失数据和上一次迭代所得到的参数估计结果的情况下，首先计算 完全数据关于对数似然函数的条件期望：
[0007]
【主权项】
1. 一种威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征在于：所述求 解方法步骤是： (1):推导威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组； 设概率密度函数f(t)，威布尔分布的密度函数为：
其中：λ为尺度参数，γ为形状参数，且λ > 〇, Y > 〇 ; 假设对真实数据Y= G1，…，yk，yk+1，…，yn)作观测，得到的只是Y 的函数Z = (Z1,…，zk, zk+1+，…，Zn+)，其中zk++1,--Z n+表示数据有删失； Y与Z有如下关系： Yj= Zj j = 1, *··, k (16) Yj^ Zj j = k+1, *··,η 记λ (i)，γ(i)为第i+1次迭代开始时分布参数的估计值，则第i+1 次迭代的两步如下： E步： Q = + + Ζ,Λ(/>,/η) - Zj^E(y/ j Ζ,λ(，),νυ>) ( 17) 7=1 J=I M步：
方程组（18)的解是第i+1次迭代得到的参数估计值； 由于：
将上面的式子代入（18)式，有
则（24)式可以化为
(2) :将非线性方程进行变形，形成F与f的函数关系式； 将式（25)变形为
形成F与户的函数关系式； (3) :通过现场数据的特征找出F随户的实际变化规律，确定;P的取值范围； 对于上述非线性方程组公式，可将其转化为
利用大量实际工程中真实的删失寿命数据，总结出F与;？的关系； (4):在:P的范围内定向改变形状参数，将其反向迭代入F函数。同时，通过不断提高精 度，迅速求出符合精度要求的形状参数值； 如果F大于0,则继续增大^ ;如果F小于0,需要增加;P每次递增的精度，直到找到满 足一定精度的零点。
2. 如权利要求1所述威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征 在于：F函数在f大于0时有如下规律： (1) 当;时，F>0 ; (2) 当户>〇时，随着幻的增大，F服从的是先增大后减小的趋势。
3. 如权利要求2所述威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征 在于：所述f从〇开始不断向正方向变化。
4. 如权利要求3所述威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征 在于：所述7值为〇~5。
5. 如权利要求1所述威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征 在于：在步骤3中，所述F函数的零点有两个，大于零的解是想要求解的f，小于零的解是要 避免的。
【专利摘要】本发明涉公开了一种威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其步骤为：(1)推导威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组；(2)将非线性方程进行变形，形成F与的函数关式；(3)通过现场数据的特征找出F随的实际变化规律，确定的取值范围；(4)在的范围内定向改变形状参数，将其反向迭代入F函数。同时，通过不断提高精度，迅速求出符合精度要求的形状参数值；如果F大于0，则继续增大如果F小于0，需要增加每次递增的精度，直到找到满足一定精度的零点。本发明的求解方法，能够快速准确求得EM算法中下参数估计的结果；相比传统的牛顿迭代法，计算机运行速度提高十倍左右。
【IPC分类】G06F17-11
【公开号】CN104636312
【申请号】CN201510064321
【发明人】郭基联, 沈安慰, 王卓健, 尚柏林, 周瑞祥, 钟季龙, 邵帅, 姜禹呈
【申请人】中国人民解放军空军工程大学
【公开日】2015年5月20日
【申请日】2015年2月6日