一种快速实现傅里叶变换的方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及信号处理领域，发明了一种新颖的快速实现傅里叶变换的方法，可应 用于涉及傅里叶变换及其应用的信号处理领域。
【背景技术】
[0002] 傅里叶变换是一种重要的数学工具，在雷达、语音分析、图象处理、通信、遥感遥 测、航空航天等众多涉及到数字信号处理的领域都有着极其广泛的应用。
[0003] 对于一维N点长度的信号序列，直接进行傅里叶变换运算，需要做N2次复数乘法 和N(N-I)次复数加法运算，乘法和加法的次数与N 2成正比。当N比较大或者是对二维图 像做傅里叶变换时，运算量很大，在一定程度上会影响傅里叶变换的实际应用。
[0004] 1965年，Cooley J. W.和Tukey J. W.发表的快速傅里叶变换算法（FFT)，大大降低 了运算量，提高了傅里叶变换的计算速度，促进了傅里叶变换的广泛应用，其主要贡献是将 傅里叶变换的计算量从N 2量级降到了 N Iog2N量级（Cooley，J. W. and Tukey，J. W.，" An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series. " Math. Comp. 19,297-301,1965)〇
[0005] 以此算法为基础，又发展出了许多改进的算法，包括基2算法、基4算法、混合基算 法、分裂基算法（SRFFT)、素因子算法（PFA)、Winograd算法（WFTA)等（R.N. Bracewell，The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. , Boston, McGraw Hill, 2000)(程佩 青，数字信号处理教程，清华大学出版社，2001年），主要目的就是从不同的角度和应用方 面来进一步提高计算效率，以满足各种实际应用对减少计算量的需求。
[0006] 在上述算法中，都存在乘法运算量大、需要计算和保存参与傅里叶变换计算的复 指数系数（也称为旋转因子）等问题。因此，本领域存在进一步简化傅里叶变换计算方法 的需要。
【发明内容】
[0007] (一）要解决的技术问题
[0008] 有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种快速实现傅里叶变换的方法，以克服 传统傅里叶变换计算方法的不足，满足对降低计算复杂性、降低乘法运算量、适合FPGA芯 片及硬件电路实现等要求。
[0009] (二）技术方案
[0010] 为了解决现有技术的问题，本发明的目的是提供一种快速实现傅里叶变换的方 法。
[0011] 为达到上述目的，本发明的第一方面，提供一种快速实现傅里叶变换的方法，所述 快速实现傅里叶变换的步骤如下：
[0012] 步骤Sl :将时间有限、频带宽度有限的信号扩展成周期信号，将周期信号分成多 个段，构建移位累加信号模型；
[0013] 步骤S2 :利用移位累加信号模型，对周期信号移位累加，根据得到的累加信号在 不同时间的取值进行计算，获得傅里叶级数的系数。
[0014] 为达到上述目的，本发明的第二方面，提供一种使用所述快速实现傅里叶变换的 方法实现逆傅里叶变换的方法，所述时间、带宽有限信号是频域信号时，利用傅里叶变换的 对称性，将傅里叶级数的系数C m和c_M对换，实现逆傅里叶变换。
[0015] (三）有益效果
[0016] 从上述技术方法中可以看出，本发明具有以下有益效果：
[0017] (1)本发明乘法运算量少，对于需要计算的N点傅里叶变换而言，只有N个乘法运 算。乘法运算量的减少可以大大降低软件运算时间，并且在用硬件电路或FPGA芯片实现 时，可以降低电路的复杂性。
[0018] (2)本发明不需要计算传统FFT算法所需的复指数系数（也称为旋转因子）。对 于复指数系数的计算，为了保证计算精度，通常会采用浮点运算，会增加运算的复杂性。在 用电路或FPGA芯片实现时，需要实时计算或者事先计算并存储在硬件电路中，也会增加电 路的复杂性。不需要计算复指数系数则可以大大降低计算的复杂性、简化电路或FPGA芯片 实现的难度，同时有利于保证计算精度。
[0019] (3)本发明运算主要由加法运算构成。加法运算具有计算简单、可以用定点运算来 实现的优势。
[0020] 从上述特点中可以看出，本发明给出的快速傅里叶变换计算方法乘法运算量少、 计算简单、可以用定点运算来实现，具有计算复杂性小，即适合于计算机通过数值计算软件 来实现、也适合于用FPGA芯片及硬件电路来实现等优势。
【附图说明】
[0021] 图1是本发明快速傅里叶变换的流程图。
【具体实施方式】
[0022] 为使本发明的目的、方法和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附 图，对本发明进一步详细说明。
[0023] 图1是根据本发明的实施快速傅里叶变换计算的流程图。
[0024] 可采用用于数值计算的计算机程序、或者DSP器件、或者实现计算功能的硬件电 路芯片，对通常的信号进行傅里叶变换。
[0025] 本发明快速实现傅里叶变换的步骤如下：
[0026] 步骤Sl :将时间有限、频带宽度有限的信号扩展成周期为T的周期信号，将周期信 号分成M段，构建移位累加信号模型S (M，t)，t是周期信号的时间变量，M为周期信号分段 的个数；
[0027] 上面所述移位累加信号模型S (M，t)表示为：
【主权项】
1. 一种快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述快速实现傅里叶变换的步骤如 下： 步骤S1 :将时间有限、频带宽度有限的信号扩展成周期信号，将周期信号分成多个段， 构建移位累加信号模型； 步骤S2:利用移位累加信号模型，对周期信号移位累加，根据得到的累加信号在不同 时间的取值进行计算，获得傅里叶级数的系数。
2. 根据权利要求1所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述移位累加信号 模型S(M，t)表示为：
其中x(t)是将时间有限、频带宽度有限的信号扩展成的周期信号，t是周期信号的时 间变量，M是周期信号分段的个数，T/M表示将周期T分为M段，!11 = 0，1，2,3-^-1是移位 计数变量。
3. 根据权利要求1所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述周期信号是频 带宽度有限的周期信号，周期信号的傅里叶级数的系数(^为有限项，其中：傅里叶级数系数 的指数1=-L，_L+1，…，_1，0，1，…，L-1，L;L为周期信号的傅里叶级数的系数的最大项 数。
4. 根据权利要求3所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：在傅里叶级数系数 指数1 = 〇时，利用移位累加信号模型S(M，t)，将周期信号分成2L+1段进行累加并取t= 0时的移位累加信号数值，所述的傅里叶级数的系数C(l的值表示为C(l =S(M，t) =S(2L+1， 0)。
5. 根据权利要求3所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述获得傅里叶级 数在1尹0时的系数的步骤包括：将周期信号由大到小分成M=L，L-1，…，2,1段累加； 取t= 0时和t=T/4M时，得到并计算移位累加信号数值S(M，0)和S(M，T/4M)，获得傅里 叶级数在1 =M时的系数cM和c_M。
6. 根据权利要求5所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述傅里叶级数的 系数cM和c_M的计算式表示如下：
其中i为虚数单位，i=A，k是傅里叶级数系数指数的计数变量。
7. 根据权利要求1所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：所述时间有限、频带 宽度有限的信号是连续信号或是采样后的离散信号。
8. 根据权利要求7所述快速实现傅里叶变换的方法，其特征在于：当时间有限、频带宽 度有限的信号是离散信号时，采用减小采样间隔、或者采用插值方式来提高采样频率，用以 适应快速实现傅里叶变换的需要。
9. 一种使用权利要求1-8所述快速实现傅里叶变换的方法实现逆傅里叶变换的方法， 其特征在于：所述时间、带宽有限信号是频域信号时，利用傅里叶变换的对称性，将傅里叶 级数的系数CM和C-M对换，实现逆傅里叶变换。
【专利摘要】本发明是一种快速实现傅里叶变换的方法，所述实现傅里叶变换的步骤如下：步骤S1：将时间有限、频带宽度有限的信号扩展成周期信号，将周期信号分成多个段，构建移位累加信号模型；步骤S2：利用移位累加信号模型，对周期信号移位累加，根据得到的累加信号在不同时间的取值进行计算，获得傅里叶级数的系数。
【IPC分类】G06F17-14
【公开号】CN104699657
【申请号】CN201310655666
【发明人】王岩飞
【申请人】中国科学院电子学研究所
【公开日】2015年6月10日
【申请日】2013年12月6日