基于固定分辨率条件下的离散Radon投影和Mojette投影转换方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于图像处理领域里的计算机层析成像（ComputedTomography，CT)技术 领域，涉及在图像投影变换域的稀疏采样及高效复原问题。
【背景技术】
[0002] CT技术是一种基于计算机的三维重构技术，能够在不损坏物体表层和内部构造的 前提下，重现出物体不可见的内部切片结构。在CT成像算法上，按照成像原理的不同，分为 解析类和迭代类重建算法；按照重建精确性的不同，又分为近似重建和精确重建算法。在解 析算法中，奥地利数学学家Radon提出的变换模型利用低维的压缩投影数据来重构高维度 的物体结构，这一数学模型的提出对CT的图像重建技术起到了关键性的启蒙和指导作用。 在这一理论基础的指引下，滤波反投影等解析算法相继被提出，该算法在完备的投影角度 下，能精确的重建出图像断层，且能抑制在重建过程中产生的各种伪影，在CT成像领域具 有里程碑式的意义。
[0003] 但由于成像系统是数字离散系统，因而连续的投影模型无法适用于离散的图像， 故而离散Radon变换随机应运而生。离散Radon变换及其逆变换解决了从模拟域向数字域 转换的问题，但基于Radon逆变换的重建算法需要大量的采样样本和投影数量，才能重建 出较好的重建断层，这种重建需求必然会导致过高的辐射剂量和过长的重建时间，出于对 医学成像中病人身体健康和病灶动态变化会导致伪影的考虑，在短时间、低剂量和稀疏角 度下进行高质量成像就显得尤为重要，同时又充满挑战。
[0004] 在Radon变换的基础上，GuedonJP等提出了Mojette变换的概念，该变换是离 散Radon变换的一种特殊形式，Mojette变换通过改变不同投影矢量下的采样率，能够在最 大程度上避免像素点重复和冗余采样，以避免出现一部分像素点过采样，而另一部分像素 点欠采样而带来的重建效果上的不精确。并通过充分利用已重建出来的像素点的信息，从 而大大减小了重建断层所需的投影角度和投影射线条数。
[0005] 但由于Mojette投影系统要求探测器分辨率随着投影角度的变化而变化，且在投 影角度之间的步进角也不是一个固定的常值，这与现行的采样模式大相径庭，实际的投影 系统符合Radon变换的采样模式，探测器分辨率不随投影角度而变化，因此通过Radon变换 得到的投影值不可能直接参与到Mojette逆变换当中来，而是先要将Radon投影转换到相 关的Mojette投影上去，再利用Mojette逆变换来进行反重建。
[0006] 完成从Radon投影到Mojette投影的转换，其中需要解决几个实际的问题：1.投 影矢量和投影角度之间的匹配转换，由于Mojette投影系统中采用一对互质的整数来表达 投影方向，称之为投影矢量，而Radon投影系统中采用的是极坐标中的旋转角度，故而需要 通过简单的换算将Mojette投影矢量表达的方向转换成Radon投影中的旋转角；2.Mojette 变换中可变分辨率与Radon变换中固定分辨率之间的矛盾，由于Mojette变换中的探测器 分辨率或者说是投影射线条数为随着投影矢量而变化的函数，而Radon投影的探测器分辨 率是不随着投影角度而变化的，这就使得采样系统中得到的Radon投影需要通过本发明中 提出的算法进行转换，才能得到可以高效重建图像的Mojette投影。
【发明内容】
[0007] 本发明的目的是提供了一种基于固定分辨率采集的Radon投影转化为Mojette 投影的算法，该方法在详细分析了Mojette投影和Radon投影的关系之后，解决了固定分辨 率条件下的两投影之间的转化难题，给出了Radon投影转化为对应投影矢量下的Mojette 投影的充要条件，并基于此给出了具体的转化算法，使得实际成像条件下采集的Radon投 影能够转化为Mojette域的投影。
[0008] 本发明的技术方案的原理及步骤如下：
[0009] -、技术方案的原理是：
[0010] 1.建立投影空间坐标系：设投影空间坐标系用x-o-y表示，如图1所示，坐标原 点〇为待重建物体的几何中心，X轴正向与探测器像元索引号增加方向一致，y轴正向与 射线传播方向一致，x-o-y平面内的一点的空间坐标为（x，y)。光源与探测器在x-o-y平 面内逆时针旋转，旋转角度为0，设旋转后的空间坐标系用\-o_h表示，像素点的旋转坐 标为在连续域的二维图像空间内，将物体所在区域离散化为MXN的离散小块， 设ObjSize为待重建矩形区域的行方向上的边长，则每一个重建像素的物理尺寸大小为 ObjPixel=ObjSiZe/M，如图2所示。其中，（i，j)为标记离散小块行列位置的索引坐标， 即若利用二维矩阵存储该离散图像，则i代表在矩阵中的行数，j代表在矩阵中的列数，通 常将图像左上角第一个小块的位置记为索引坐标起始位置（1，1)。
[0011] 明确重建断层像素在x-〇-y平面内的空间坐标（X，y)和在旋转坐标系Xj-o-yj?平 面内旋转坐标0^，^)之间的关系，如式（1)所示。
[0013] 明确重建断层像素在x-0-y平面内的空间坐标（x，y)和离散域索引坐标（i，j)之 间的关系，通常，以待重建断层的左上角像素为起点，记该像素的索引坐标为（1，1)，索引坐 标为（1，1)的像素中心点的空间坐标（x，y)为：
[0014] ((l-(M+l)/2) ?ObjPixel，（l-(N+l)/2) ?ObjPixel)
[0015] 索引坐标为（i，j)的像素中心点的空间坐标（x，y)为：
[0016] ((i-(M+l)/2) ?ObjPixel, (j-(N+l)/2) ?ObjPixel)
[0017] 基于以上两种坐标的对应，则得到索引坐标为（i，j)的像素中心点在旋转坐标系 中的旋转坐标为：
[0018] xr= [(j-(N+l)/2) ?ObjPixel?sin( 0 ) + (i-(M+l)/2) ?ObjPixel?cos( 0 )]
[0019] yr= [-(i-(M+l)/2) ?ObjPixel?sin( 0 ) + (j-(N+l)/2) ?ObjPixel?cos( 0 )]
[0020] 2.离散Radon变换：对分辨率大小为MXN的离散图像f进行离散Radon变换，其 过程用式（2)来表述：
[0022] 其中，1^1\表示在投影角度0下的Radon投影，RFT0 〇〇表示在投影角度0下 打在探测器x,位置处的Radon投影值。f(i，j)代表待重建的图像切片上索引坐标为（i，j) 的一点的灰度值。若以（0，\)标记投影角度0下打在探测器上的物理偏移量为&的一 条投影射线，％，从^表示在投影射线（0，\)和象素点（i，j)之间的权重核函数，通常为 S函数或0次样条函数（即将投影贡献权值等比例的视为穿过该象素点的线段长值）。
[0023] 设在所有投影角度0下穿过像素中心点的射线的线段权值为1，而对穿过该像素 其它位置的的射线，则需要根据这些射线与中心射线之间的垂直距离IAX」，计算出其线 段权重值％，从，&，其具体的计算公式如式（3)所示。
[0025] 其中，ObjPixel代表每一个重建像素的物理尺寸。
[0026] 3.Mojette变换：Mojette变换中用一对互质的整数（p,q)来表达投影方向，一般 有pGZ，qeZ+，p代表了图像列方向上的整数位移，q代表了图像行方向上的整数位移， 投影矢量（P，q)表达的投影角度0 =tarTHq/p)，对分辨率大小为MXN的离散图像f进 行Mojette变换，其过程用式（4)来表述：
[0028] 其中，1\1〇几(1表示在投影矢量（p,q)下的Mojette投影，Moj^(bin)表示在投影矢 量（P，q)下打在探测器bin上Mojette投影值。f(i，j)代表待重建的图像切片上索引坐标 为（i，j)的一点的灰度值，P〇为一个探测器像元位置矫正量，当投影矢量P>〇时，P〇=〇; 当投影矢量P〈〇时，P〇= (N-1) ?p。
[0029] Mojette变换与Radon变换相比最大的不同在于，Radon变换中探测器分辨率为 固定的常值，穿过物体切片的Radon投影射线之间距离是固定的，因而不能保证每条Radon 投影射线都能穿过像素的中心点，穿过像素中心点的线段权值记为1，而不穿过像素中心点 的线段权值要根据具体线段长度而定，计算方法如式（3)所示；而Mojette变换中每条投影 射线都只穿过像素的中心点，因此不同投影矢量（P，q)下探测器分辨率B(M，N，p，q)不同， 探测器分辨率的值是由图像重建分辨率MXN和投影矢量（p，q)共同决定的，即投影矢量 (p,q)下的Mojette探测器分辨率为B(P,Q,p,q) = (Q-1) |p| + (P-1) |q|+1。这意味着在覆 盖相同直径范围内的切片时，不同投影角度下的Mojette投影射线之间的间距hi不同：
[0031] 此外，Radon变换在模拟域重建是精确的，在离散域重建是近似的。而Mojette变 换在离散域的重建是精确的。
[0032] 4.Mojette投影矩阵的构造方法：
[0033] 基于Mojette正变换原理，下面阐述一下Mojette投影矩阵的构造方法。
[0034] 1)初始化参数，设重建断层分辨率为MXN，投影矢量为（p，q)，投影矩阵为
'，其中，B= (N-l)|Pi| + (M-l)|qi|+l，V=M.N。待重建图像列矢 量化后的一维向量为X，投影矢量（p,q)下的Mojette投影为Mojj^，则有Systen^Mojp^*x=M〇jp；q；
[0035] 2)在每个投影矢量（p，q)下，遍历每一个像素点（i，j)，计算其打在探测器上的位 置bin:
[0037] bin=p? (i_l)+q? (j_l)-po+1
[0038] 3)将通过投影矢量（Pi，qi)建立起来的断层上的一点（i，j)与探测器像元bin之 间的投影映射关系，存储到线性投影矩阵SyStem_M〇jp，q中，即：
[0039] System_Mojp；q(bin, (i~l) ?N+j) = 1 ；
[0040] 4)当遍历完所有像素点后，投影矩阵System_Mojp;(1构造完成。
[0041] 投影矩阵Systen^Moj^if每一行代表着一条Mojette投影射线，每一列 代表着穿过一个像素点的所有投影射线的线段权值。投影方程中的一