本发明属于分数延迟滤波器领域，特别是涉及一种基于泰勒级数展开的重复控制分数延迟滤波器设计方法。
背景技术：
实际中电网频率通常是在一定的范围内变化，在固定采样频率情况下重复控制的阶数n经常是分数。基于传统重复控制器的复合电流控制策略，对电网频率的变化很敏感，不能准确地补偿分数周期信号，这是因为实际中只有z-n拥有整数n才能实现，所以在电网频率变化的条件下，不能使并联型有源电力滤波器(sapf)抑制全部谐波，影响补偿效果。
为了避免由电网频率变化所引起的问题，现有采用的方法主要有两种：一种是采用可变采样频率的重复控制器，其采样频率根据参考信号频率而变化以保持整数比n；另一种是采用具有固定采样频率的频率自适应重复控制方案。然而，变采样频率方法将显著增加控制系统的实时运行的复杂性，如控制器的时变结构和稳定性问题，这涉及到控制器在线重构，因此很少使用。诸多研究表明具有固定采样频率的频率自适应重复控制方案更加实用有效，尤其是基于分数延迟滤波器的重复控制器研究。
目前已经开发了自适应重复控制方法以跟踪具有固定采样时间的可变周期信号。rashed等提出了一种用于三相电网逆变器的类似方法，其使用估计的电网频率来自适应地更新重复控制周期和谐振控制频率，而插值函数用于保持每个周期的非整数采样下的重复控制抑制能力。另一方面，可以使用基于分数延迟的重复控制方案，其中引入分数延迟低通滤波器以近似分数周期信号的内部模型。另外也有人提出了一个采样频率固定的频率自适应分数阶重复控制策略(简称forc)，具有分数延迟参数n的z-n项将由基于lagrange插值的整数阶有限脉冲响应(fir)滤波器近似，可以跟踪任何可变频率的周期信号，实现sapf的高效谐波补偿。为了保持重复控制开环增益不衰减需要更高阶滤波器逼近，然而增加分数延迟滤波器的阶数可能降低跟踪精度，使计算变得复杂而导致系统稳定性下降，进而影响系统的实时性和动态性能。
技术实现要素：
本发明针对电网频率波动对基于传统重复控制的sapf控制系统稳态精度影响的问题，提出了一种基于泰勒级数展开的重复控制分数延迟滤波器设计方法。泰勒级数展开将分数延迟滤波器设计问题转换为微分器子滤波器设计，这种结构提供了有效的在线调谐能力，即当延迟参数变化时，分数延迟滤波器可以容易地产生任何所需的分数延迟，而无需重新设计滤波器。通过改进分数延迟滤波器结构，实现在可变频率参考信号条件下的谐波补偿。与forc相比，基于泰勒级数展开的重复控制器只有一个延迟参数需要实时计算和更新，使控制系统更加稳定，结合最佳分数延迟滤波器的设计方法可以实现谐波频率自适应跟踪，达到理想的谐波补偿效果。
为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：基于泰勒级数展开的重复控制分数延迟滤波器设计方法，按照以下步骤实现：
1)计算n＝fs/f，其中n是整个重复控制器的阶数，其中，fs为重复控制器的采样频率，f为参考信号频率。重复控制中延迟因子z-n＝z-(ni+f)，其中ni＝int[n]是n的整数部分，f＝n-ni(0≤f<1)是小数部分。
2)选择分数延迟滤波器的阶数m；
3)计算分数延迟滤波器的子滤波器pk(z)，k＝0,1...m；
4)利用泰勒级数展开分数延迟z-f，
因此，分数延迟滤波器的传递函数gt(z)可表示为：
5)利用基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器将z-n改写为gt(z)×z-ni，将前馈重复控制器修改为内模包括基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器gt(z)的重复控制器，由此可得分数阶重复控制器的传递函数为：
其中，q(z)是低通滤波器，c(z)是补偿环节。
进一步地，步骤3)中分数延迟滤波器的子滤波器pk(z)的计算公式如下：
令d为整数，公式(1)仍然成立，
将上式写成矩阵的形式
基于拉格朗日插值的子滤波器系数可以计算如下：
本发明基于泰勒级数展开式设计分数延迟fir滤波器，可实现任何所需的分数延迟而不需重新设计分数延迟滤波器系数，使控制系统更加稳定，结合最佳分数延迟滤波器的设计方法可以实现谐波频率自适应跟踪，达到理想的谐波补偿效果。本发明的重复控制分数延迟滤波器不需要更新系数，适用于分数延迟f经常改变的应用场合。
附图说明
下面结合附图对本发明做进一步详细的说明。
图1为基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器结构。
图2为基于泰勒级数展开的重复控制器结构图。
图3为基于3阶泰勒级数展开的最佳分数延迟滤波器gt(z)及q(z)频率特性。
图4为传统重复控制的sapf系统f变化时动态响应波形。
图5为传统重复控制的sapf系统f变化前后的a相电流isa频谱。
图6为本发明分数阶重复控制的sapf系统f变化时动态响应波形。
图7为本发明分数阶重复控制的sapf系统f变化前后的a相电流isa频谱。
具体实施方式
为使本发明的目的、特征和优点能够更为明显易懂，下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。
基于泰勒级数展开的重复控制分数延迟滤波器设计方法，按照以下步骤实现：
1)计算n＝fs/f，其中n是整个重复控制器的阶数，其中，fs为重复控制器的采样频率，f为参考信号频率。重复控制中延迟因子z-n＝z-(ni+f)，其中ni＝int[n]是n的整数部分，f＝n-ni(0≤f<1)是小数部分。
2)选择分数延迟滤波器的阶数m；
3)计算分数延迟滤波器的子滤波器pk(z)，k＝0,1...m；
4)利用泰勒级数展开分数延迟z-f，
由上式可以看出由于f是小于1的小数，所以泰勒级数展开式的高阶部分很小，即当存在m很大时，fm+1项以及f的其它更高阶多项式接近于零。因此式(3-13)可以近似为：
因此，分数延迟滤波器的传递函数gt(z)可表示为：
5)利用基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器将z-n改写为gt(z)×z-ni，将前馈重复控制器修改为内模包括基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器gt(z)的重复控制器，由此可得分数阶重复控制器的传递函数为：
其中，q(z)是低通滤波器，c(z)是补偿环节。根据式(3)可知基于泰勒级数展开的重复控制器结构图如图2所示。
进一步地，步骤3)中分数延迟滤波器的子滤波器pk(z)的计算公式如下：
令d为整数，公式(1)仍然成立，
将上式写成矩阵的形式
基于拉格朗日插值的子滤波器系数可以计算如下：
下面对基于泰勒级数展开的重复控制器稳定性进行分析。
利用整数延迟z-ni和分数延迟滤波器gt(z)来实现完全延迟。由输入给定i*sh到输出并网电流ish的系统双闭环传递函数和由电压前馈到输出并网电流ish的传递函数可以分别表示为：
由式(8)和(9)可知，如果满足以下条件，则可以保证闭环系统的稳定性：
1)1+go(z)＝0的根在单位圆内。
2)
根据前述分析条件1满足，而且|1-c(z)gc(z)|接近于0，因此只要gt(z)的带宽大于低通滤波器q(z)的带宽，那么在q(z)的通带中，||gt(z)||＝1。而q(z)仍然选取0.25z-1+0.5+0.25z1，gt(z)采用基于3阶泰勒级数展开的最佳分数延迟滤波器，那么q(z)与gt(z)的频率响应如图3所示。
从图中可以看出基于3阶泰勒级数展开的最佳分数延迟滤波器频率特性与3阶fir滤波器的频率特性相同，虽然通过不同方法实现，但是带宽都达到65％的奈奎斯特频率，在宽频率范围内满足单位幅值和线性相位，实现了分数延迟估计。也即是说基于泰勒级数展开的分数延迟滤波器与基于拉格朗日插值的分数延迟滤波器实现的分数阶重复控制器，在相同阶数时稳态特性是相同的。q(z)的带宽明显小于分数延迟滤波器gt(z)的带宽，因此稳定性条件2)也满足，所设计的基于泰勒级数展开的重复控制闭环系统稳定。
为了验证本发明重复控制分数延迟滤波器的谐波补偿特性，基于具有lclcl输出滤波器的逆变器主电路，分别搭建了基于泰勒级数展开的3阶分数延迟重复控制sapf仿真和实验系统模型，模拟电网频率波动对分数阶延迟重复控制器的影响，并与现有基于整数延迟重复控制的sapf系统进行性能比较。为了得到更加明显的比较效果，假定电网频率波动较大，变化量为+1hz，通过比较50hz变化到51hz时的补偿特性，分析分数延迟重复控制策略的有效性。
图4给出了传统整数延迟重复控制的sapf系统，当电网频率f从初始频率50hz变化为51hz时的电网a相电流isa的动态响应波形。由图可见，在t＝0.496s将电网给定基频f变为51hz，电网电压usa周期变小，软件锁相环实现频率跟踪经过1个周期达到稳态，但是电网a相电流isa波形产生明显畸变，正弦度下降，其thd从2.49％增加到5.41％，如图5所示。由此可见传统整数延迟重复控制系统对频率变化敏感，这是由于本发明采用固定采样频率9khz，当频率波动时，重复控制的阶数n变为分数(n＝176.47)，整数延迟重复控制只能实现近似的整数延迟，造成重复累积误差位置的偏离，无法实现频率自适应谐波补偿，补偿稳态精度下降。
为了实现频率自适应谐波补偿，本发明采用基于泰勒级数展开的3阶分数延迟滤波器构建分数阶重复控制的sapf系统(n＝175，f＝1.47)，电网频率f变化时sapf系统的动态响应波形如图6所示。由图可知在t＝0.482s将电网给定基频f变为51hz，软件锁相环实现频率跟踪，在频率变化瞬间电网a相电流isa波形有微小波动，其thd从2.49％增加到2.89％，如图7所示；一个周期后系统稳定，thd减小，可见分数阶重复控制策略可以对分数延迟精确地逼近，保证误差信号在宽频率范围内具有全通行为，从而实现频率自适应谐波补偿，具有优良的稳态补偿精度和动态跟踪能力。
上面结合附图对本发明的实施例作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施例，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。