基于状态空间平均法的分数阶Buck变换器建模及控制方法

本发明涉及buck变换器建模，具体涉及一种基于状态空间平均法的分数阶buck变换器建模及控制方法。

背景技术：

1、buck变换器是常用的非隔离dc-dc变换器中的一种，具有电压电流容量大、易驱动等优点，被广泛用于电力电子领域中。参考文献[1]:“b.babes,s.mekhilef,a.boutaghaneand l.rahmani.“fuzzy approximation-based fractional-order nonsingularterminal sliding mode controller for dc-dc buck converters.”ieee transactionson power electronics,(37)3:2749-2760,2022.”中的记载。由于buck开关变换器是时变的、非线性的，容易发生各种非线性现象，对buck变换器的可靠性和稳定性产生影响。参考文献[2]:“k.yao,w.tang,w.hu and j.lyu.“a current-sensorless online esr and cidentification method for output capacitor of buck converter.”ieeetransactions on power electronics,(30)12:6993-7005,2015.”中的记载。因此对其进行精确的建模分析是必要的。

2、现有文献在对buck变换器进行建模时往往只考虑了输出滤波电容的等效串联电阻，参考文献[3]:“cengelci e,garip m,elwakil as.“fractional-order controllersfor switching dc/dc converters using the k-factor method:analysis and circuitrealization.”international journal of circuit theory and applications,50(2):588-613,2022.”中的记载。或者只考虑了输出滤波电容的分数阶阶次，参考文献[4]:“fangs,wang x.“modeling and analysis method of fractional-order buck-boostconverter.”international journal of circuit theory and applications,48(9):1493-1510,2020.”中的记载。上述两种对buck变换器的建模方法会导致设计出的buck变换器输出电压纹波增大，本发明同时考虑了输出滤波电容的等效串联电阻和分数阶阶次来对buck变换器建模，以解决这一缺陷。

3、目前大量的研究表明，电容的电化学性质本质上是分数阶的，而电容又是构成buck变换器输出低通滤波器的核心部分。参考文献[5]:“j.xu,l.gu and j.rivas-davila.“effect of class 2ceramic capacitor variations on switched-capacitor andresonant switched-capacitor converters.”ieee journal of emerging and selectedtopics in power electronics,(8)3:2268-2275,2020.”中的记载。因此考虑输出滤波电容器的分数阶特性对buck变换器进行建模以及控制器设计具有重要意义。

技术实现思路

1、本发明提供一种基于状态空间平均法的分数阶buck变换器建模及控制方法，考虑了输出滤波电容器的分数阶特性，能更好的反映实际buck变换器的性能，控制器设计方法简单，且设计出的电路对电源的补偿效果良好。

2、本发明采取的技术方案为：

3、基于状态空间平均法的分数阶buck变换器建模及控制方法，包括以下步骤：

4、步骤1：利用分数阶微积分理论，搭建电容器的分数阶数学模型；

5、步骤2：利用状态空间平均法并采用步骤1中的电容器的分数阶数学模型，得到分数阶buck变换器模型；

6、步骤3：使用开环buck的参数fo，fc，fz和fs进行控制器的设计：根据fc和fz的大小关系选择控制器的类型，并绘制伯德图，其中，fo为开环buck的谐振频率，fc为开环系统的截止频率，fz为输出滤波电容的esr引起的零点频率，fs为开关频率；

7、步骤4：根据步骤3中的相关公式得到控制器的各电容值和电阻值，结合步骤2中的分数阶buck变换器模型，得到输出电压，通过调整输入电压或负载电阻，判断输出电压波形是否稳定。

8、所述步骤1中，利用分数阶微积分理论，得出电容器的分数阶数学模型为：

9、

10、式(1)中：ic为流经电容的电流；cα为电容的容值；vc为电容两端的电压；α为分数阶电容的阶数，0<α<1；

11、所述步骤2中，buck变换器运行于电感电流连续模式时，其工作周期分成两种不同工作状态：工作状态1为功率开关q导通阶段，此时二极管d承受反向电压而断开，等效电路如图3(a)所示；工作状态2为功率开关q关断阶段，此时二极管d承受正向电压而导通，等效电路如图3(b)所示：

12、在0<t<dts时，其状态方程为：

13、

14、式(2)中：d为占空比；ts为开关周期；il为电感电流；vi为输入电压；vo为输出电压；l为电感的感值；rc为电容的等效串联电阻值；r为负载电阻；

15、在dts<t<ts时，其状态方程为：

16、

17、根据buck变换器的运行特点知，buck变换器中的电感电流il和输出电压vo等电路变量都存在高频的开关纹波。由状态空间平均法可知，电路变量中的高频开关纹波能够通过在一个开关周期内对电路变量进行平均而去除，即：

18、

19、式(4)中：x表示buck变换器中的任一电路变量，包括电感电流、输入电压和输出电压等；ts为开关周期；<x>为电路变量x的开关周期平均值。

20、根据分数阶微积分的性质有：

21、

22、根据状态空间平均法的步骤，建立运行于电感电流连续模式下buck变换器的分数阶状态平均模型：

23、令il，vo，d和vi分别为il，vo，d和vi的直流分量；<il>,<vo>和<vi>分别为il，vo和vi在一个开关周期内的平均值；和分别为il，vo，d和vi的交流分量；此时buck变换器中的电感电流、电容电压以及占空比等参数都能够表示为：

24、

25、基于式(2)、式(3)和式(6)，求得运行于ccm下buck变换器的分数阶状态空间平均模型为：

26、

27、式(7)中：il(t)为电感电流瞬时值；vo(t)为输出电压瞬时值。

28、由于各变量的交流分量的幅值远小于其相应的直流分量，将式(6)代入式(7)分离直流分量，可得：

29、

30、由caputo分数阶导数定义可知，常数的任意分数阶导数等于零，即式(8)的左边等于零；因此，系统的直流分量，即稳态工作点为：

31、

32、消去式(7)的直流分量，并忽略二次及以上的交流分量，即可得交流小信号模型：

33、

34、综上，可以得到分数阶buck变换器控制至输出的传递函数为：

35、

36、式(11)中：gvd是分数阶buck变换器控制至输出的传递函数；s是拉普拉斯算子；α是电容器的分数阶阶次。

37、所述步骤3中，开环buck中的fc和fs根据需要通过设置获得，所述开环buck中的fo和fz可通过以下公式求得：

38、fo＝((sinαπ/2)/(lcα))(1/(α+1))/2π,

39、式(12)中：cα是分数阶电容的容值。

40、所述步骤3中，根据fc和fz的大小关系选择控制器的类型，具体包括：

41、(1)当fz<fc时，控制器的类型为单极点-单零点控制器，所述单极点-单零点控制器的传递函数为：并设置fkz＝0.1fo，fkp＝0.5fs；其中，fkz为所述单极点-单零点控制器的零点频率；fkp为所述单极点-单零点控制器的极点频率；k1为gc1(s)的放大系数。

42、(2)当fz>fc时，控制器的类型为双极点-双零点控制器，所述双极点-双零点控制器的传递函数为:并设置fz1＝0.5fo，fz2＝fo，fp1＝fz，fp2＝fs；其中，fz1为所述双极点-双零点控制器的第一零点频率；fz2为所述双极点-双零点控制器的第二零点频率；fp1为所述双极点-双零点控制器的第一极点频率；fp2为所述双极点-双零点控制器的第二极点频率；k2为gc2(s)的放大系数，k2＝1/[r1(c1+c2)]。其中，r1为控制器第一电阻；c1为控制器第一电容；c2为控制器第二电容。

43、所述步骤4中，双极点-双零点控制器括第一电阻r1、第二电阻r2、第三电阻r3、第一电容c1、第二电容c2、第三电容c3和运算放大器oa，c3与r3串联后和r1并联，跨接在所述双极点-双零点控制器的输入和运算放大器oa的负输入端，c1与r2串联后和c2并联，跨接在运算放大器oa的负输入端和输出端之间，所述运算放大器oa的正输入端接参考电平，所述运算放大器oa的输出端为所述双极点-双零点控制器的输出端；

44、先设置r3和gain，由gain＝r2/r3，求出r2值，其余参数可通过如下公式计算获得：

45、

46、本发明一种基于状态空间平均法的分数阶buck变换器建模及控制方法，技术效果如下：1)实际电容器的容值会随着环境温度和工作频率的变化而变化，本发明使用分数阶微积分理论搭建电容器的模型能更准确的反映其电特性；

47、2)与其他buck变换器建模方法相比，本发明将非线性时变系统转化为线性时不变系统，物理意义明确，有利于研究电路的工作机理；

48、3)与其他控制器设计方法相比，本发明能够同时获得良好的相位裕度和幅值裕度，使闭环系统具有更好的相对稳定性；

49、4)本发明buck变换器的输入电压或者负载电阻在一定范围内调节，输出电压仍是稳定的；5)本发明提供了一种分数阶buck变换器的建模和控制器设计方法，建模时考虑了输出滤波电容器的分数阶特性，能更好的反映实际buck变换器的性能，控制器设计方法简单，且设计出的电路对电源的补偿效果良好。