应用于保密通信的Lü系统混沌自同步的微分几何方法与流程

本发明属于可应用于保密通信的混动同步技术领域，尤其涉及一种实现以lü混沌系统为驱动系统，以单输入的受控lü系统为响应系统的混沌自同步方法。

背景技术：

混沌运动是非线性学科领域的分支，但其涉及的范围已大大超出传统的非线性学科领域界限，发展成为综合性的、交叉性的、跨领域的学科分支，很大的拓宽了人们认识非线性科学的视域，对非线性科学的认识更加深刻。

混沌也被应用于激光保密通信。一个典型的应用是混沌调制。混沌调制是1992年halle、hasler等提出的解决秘密通信中复杂的问题的一种办法，基本思想是将原始信号与一个混沌信号调制在一起进行发送；而接收器进行解调，根据混沌信号分离出原始信号；对第三方由于其不知晓该混沌信号的动态特性，因此无法解密。混沌激光保密通信的优点有：1)它是硬件加密。用收、发激光器的结构参数作为密钥，避免了算法加密的安全隐患；2)加解密的速度很快，因为它靠的是激光器的响应速度；3)由于靠激光器输出的混沌波形来隐藏信息，而不再是单光子，传输距离长；4)与现行的光纤通信系统兼容，可便利地移植现有光纤通信技术中放大、波分复用等所有技术。2005年，欧盟在第五届科技框架计划occult项目的资助下，德、法、英等七国研究者在雅典城120km的城域网中在的速率下实现了通信速率1gb/s的混沌激光保密通信。2010年，欧盟第六届科技框架计划picasso项目完成了外腔反馈混沌半导体激光器的光子集成，并在法国贝桑松100km的城域网中完成了10gb/s的混沌保密通信实验。

如此产生一个问题，对于发射机和接收机，必须有几乎一致的混沌信号，这需要有混沌同步技术来实现。混沌同步是指两个混沌系统的不同运行轨迹,随着时间的变化,同时收敛到相同的值,这两个系统的运行轨迹始终保持一致.混沌同步研究工作可以分为以下几种同步类型(参见顾葆华.混沌系统的几种同步控制方法及其应用研究,南京理工大学博士学位论文.2009.)：

1)完全同步(completesynchronization),是驱动系统和响应系统的运行轨迹完全一致,是混沌同步研究的基础；

2)广义同步(generalizedsynchronization)是驱动系统和响应系统输出的运行轨迹保持函数关系，广义同步是完全同步和投影同步的推广；

3)相位同步(phasesynchronization)是两个耦合的混沌系统能进入一个中间区域，能够保持系统运行轨迹相位的同步；

4)滞后同步(lagsynchronization)是两混沌系统的轨迹存在一个时间延迟的同步，比相位同步要求严格，比完全同步要求宽松；

5)投影同步(projectivesynchronization)是两个混沌系统保持比例关系，即频率相同，幅值保持比例关系，投影同步是完全同步的延伸；

6)组合同步(combinationsynchronization)是两个驱动系统的加权组合与响应系统同步，组合同步是完全同步和投影同步的推广；

7)复合同步(compoundsynchronization)是三个驱动系统的复合系统与响应系统同步。

除此之外，还有反同步，是指两个混沌系统的状态变量其运行轨迹频率相同、振幅相同、方向相反，即两个混沌系统的状态变量和为0的同步情况；类似地还有反相同步、部分同步等同步现象。这些同步方法均是在激光保密通信中有实用价值的技术。

技术实现要素：

为了克服已有混沌同步方法的控制品质较低的不足，本发明提供一种应用于保密通信的lü系统混沌自同步的微分几何方法，以lü混沌系统为驱动系统，以单输入的受控lü系统为响应系统，采用微分几何中向量场的李导数方法设计一种混沌自同步方法，控制品质较高。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种应用于保密通信的lü系统混沌自同步的微分几何方法，所述方法包括以下步骤

1)lü混沌自同步问题描述

驱动系统为lü系统，形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，2a-b≠0；

以受控lü系统为响应系统，形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，u是标量输入，a、b和c为系统中已知的正实数参数，与系统(1)中的同名参数等值，并且同样要求2a-b≠0；

混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为ξ(t0)和x(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(3)

其中t表示时间，趋向于驱动系统的轨迹，即

这里||·||代表空间中向量的2-范数；

2)响应系统的状态转换和反馈

为了找寻响应系统(2)的状态变换以简化系统，先作反馈

u＝-cx2+x1x3+v(5)

系统简化为

考虑将系统(6)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单更为标准的形式，比如下面的三阶受控下三角系统

其中w为输入控制量，为此，记系统(6)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号

注意在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合；

令

计算如下向量场李括号

在x1＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(6)不可能实现状态反馈线性化；但是，当2a-b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(6)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(7)，然而，仍需探究系统(6)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到

此时全局范围内分布的秩为3(在2a-b≠0时)并且对合，令

取如下分布

δ0＝span{x0}；δ1＝span{x0,x1}；δ2＝span{x0,x1,x2}，(16)

分布δ0,δ1,δ2及x0,x1,x2具有以下性质：

①可验证[x0,x1]＝0，[x1,x2]＝0以及[x0,x2]＝0；

②由①，δ0,δ1,δ2均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h1(x),h2(x),h3(x))^t＝h(x)＝h(x1,x2,x3)满足

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h1(x)为光滑函数，符号”l”表示做李导数，第2组为

其中h2(x)为光滑函数，第3组为

其中h3(x)为光滑函数，上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h1,h2,h3)^t状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(7)的形式，但从系统(22)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换y＝(y1,y2,y3)^t还可进一步简化

如用y状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

3)驱动系统的状态变换

比较驱动系统(1)比较响应系统(2)，二者仅状态名称不同以及驱动系统(1)无控制输入，那么作与状态变换(25)类似的变换η＝(η1,η2,η3)^t＝s(ξ)

该变换的逆变换为

在η状态下驱动系统成为

4)同步

现在考虑系统(28)与系统(25)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器：

该控制器下系统(32)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0，首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t1时刻到达系统(32)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(32)的t0时刻应满足

关于e(t0)利用式(23)和式(26)，计算如下

由于式(35)和式(36)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(35)得

其中c0和c1为待定系数，利用式(36)的第1个式子得到

再由式(36)的第2个式子

整理得到

该e2(t)满足式(35)和式(36)的各项要求，那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0；

在时间t1之后，系统(31)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(31)大范围渐进稳定，说明系统(28)与系统(25)在此控制律下实现同步。

进一步，所述步骤4)中，系统(31)中e2和e3的有限时间镇定和e1的渐进镇定，保证了系统(1)与系统(2)混沌同步的实现，结合式(23)和式(27)，当t＞t1时

可见，式(4)要求的满足。

再进一步，所述方法还包括以下步骤：

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

其中参数t1-t0可用于调节广义同步实现的快慢，而u1中相关初值为

在上述控制器下，驱动系统(1)与响应系统(2)实现混沌同步。

本发明的有益效果主要表现在：第一，采用基于微分几何的状态空间转换的控制方法，从深层次揭示了lü混沌系统的几何结构；第二，提出一种直接设计渐进稳定轨迹的技术，其中也包含了一种提高有限时间控制器光滑度的方法，相对于普遍采用的设计lyapunov函数的控制方法(见洪亦光,陈代展.非线性系统分析与控制.北京,科学出版社,2005.)，有利于提高控制品质；第三，采用单输入的同步，控制器简单易于电路实现；第四，通过改变参数t1-t0，可调节混沌同步实现的快慢。

附图说明

图1是lü系统即驱动系统的3维相图，其参数a＝36，b＝3并且c＝20，初值为ξ1(t0)＝5.0,ξ2(t0)＝10.0,ξ3(t0)＝5.0；

图2是响应系统即受控lü系统的3维相图，其参数a＝36，b＝3并且c＝20，初值为x1(t0)＝2,x2(t0)＝2,x3(t0)＝2；

图3是误差系统的渐进稳定，其初值为e1(t0)＝0.002180622652,e2(t0)＝0.0833333,e3(t0)＝5；

图4是控制量u1，其中参数设置如下：t1-t0＝1，即有限时间控制的时长为1秒。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种lü系统混沌自同步的微分几何方法，包括以下步骤

1)lü混沌自同步问题描述

混沌同步技术涉及的驱动系统为lü系统，lü系统是中国科学院的吕金虎老师发现并证明其与lorenz系统、rossler系统和chen等先前发现的混沌系统均不能拓扑等价，是一个全新的混沌吸引子，方程其具体形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，当这些参数在一定范围内系统(1)将出混沌，例如取a＝36，b＝3和c＝20，本发明中限制2a-b≠0。

以受控lü系统为响应系统，其具体形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，u是标量输入，a、b和c为系统中已知的正实数参数，与系统(1)中的同名参数相同，并且同样要求2a-b≠0。

混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为ξ(t0)和x(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(3)

其中t表示时间，趋向于驱动系统的轨迹，即

这里||·||代表空间中向量的2-范数。

由于驱动系统为lü系统，响应系统为受控lü系统，故称二者的混沌同步问题为混沌自同步；

2)响应系统的状态转换和反馈

为了找寻响应系统(2)的状态变换以简化系统，先作反馈

u＝-cx2+x1x3+v(5)

系统可简化为

考虑将系统(6)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单更为标准的形式，比如下面的三阶受控下三角系统

其中w为输入控制量，为此，记系统(6)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)

注意在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)。令

计算如下向量场李括号

在x1＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(6)不可能实现状态反馈线性化(见isidori,a.nonlinearcontrolsystems.3rdedition,communicationsandcontrolengineeringseries,springer-verlag,newyork-heidelberg-berlin,1995)；但是，当2a-b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(6)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(7)(见celikovskys,nijmeijerh.equivalenceofnonlinearsystemstotriangularform:thesingul(6)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到

此时全局范围内分布的秩为3(在2a-b≠0时)并且对合，令

取如下分布

δ0＝span{x0}；δ1＝span{x0,x1}；δ2＝span{x0,x1,x2}，(16)

分布δ0,δ1,δ2及x0,x1,x2具有以下性质：

①可验证[x0,x1]＝0，[x1,x2]＝0以及[x0,x2]＝0；

②由①，δ0,δ1,δ2均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h1(x),h2(x),h3(x))^t＝h(x)＝h(x1,x2,x3)满足(见陈省身等.微分几何讲义(第二版).北京,北京大学出版社,2001.)

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h1(x)为光滑函数，符号”l”表示做李导数(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)，第2组为

其中h2(x)为光滑函数，第3组为

其中h3(x)为光滑函数。上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h1,h2,h3)^t状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(7)的形式，但从系统(22)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换y＝(y1,y2,y3)^t还可进一步简化

如用y状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

3)驱动系统的状态变换

比较驱动系统(1)比较响应系统(2)，二者仅状态名称不同以及驱动系统(1)无控制输入，那么作与状态变换(25)类似的变换η＝(η1,η2,η3)^t＝s(ξ)

该变换的逆变换为

在η状态下驱动系统成为

4)同步

现在考虑系统(28)与系统(25)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统可表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器(见旺纳姆.线性多变量控制:一种几何方法.北京,科学出版社,1984.)

该控制器下系统(32)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，但是该控制器的控制量在t1时刻仍然不为0，很容易控制过量，有一定缺陷。为此，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0。首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式。由于要求t1时刻到达系统(32)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(32)的t0时刻应满足

关于e(t0)利用式(23)和式(26)，可以计算如下

由于式(35)和式(36)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(35)得

其中c0和c1为待定系数，利用式(36)的第1个式子得到

再由式(36)的第2个式子

整理得到

该e2(t)满足式(35)和式(36)的各项要求。那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0。

在时间t1之后，系统(31)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(31)大范围渐进稳定，说明系统(28)与系统(25)在此控制律下实现同步。

下面将说明系统(31)中e2和e3的有限时间镇定和e1的渐进镇定，保证了系统(1)与系统(2)混沌同步的实现。结合式(23)和式(27)，当t＞t1时

可见，式(4)要求的满足。

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

其中参数t1-t0可用于调节广义同步实现的快慢，而u1中相关初值为

在上述控制器下，驱动系统(1)与响应系统(2)实现混沌同步。

为验证本广义同步技术，利用matlab软件仿真了lü系统即驱动系统的3维相图(见图1)；仿真了响应系统即受控lü系统的3维相图，其中控制器u的设定遵循了式(45)(见图2)；仿真了误差系统(31)及其控制器，其中控制器u1也遵循式(45)(见图3和图4)。

图3显示误差系统能渐进稳定到原点，期间有一些转折，通常这是由于驱动系统和响应系统均作混沌运动在误差系统上的反映。然而，在t1时刻有最后一处具有较光滑过渡的转折，这是由于采用了有限时间控制，此时e2和e3已经到达0。转折处之后，误差系统的控制量归0，而e1依靠误差系统本身的动态特性趋向0。控制量u1在t1处有连续一阶导数(见图4)，但无二阶导数；如果设计控制量u1在t1处仅连续但无一阶导数，t1处光滑度将下降，好处是此时不必要求相应地e2(t)多项式的阶次降低，控制器能较简单。