一种3‑PRS串并联机构等效质量的确定方法与流程

本发明涉及一种3-prs串并联机构等效质量的确定方法，属于机器人动力学领域。

背景技术：

并联机器人作为一类机器人，具有精度高、刚度大、速度快和承载能力强等优点。六自由度stewart型并联机器人已经得到相当充分的研究，已在工程中广泛应用。少自由度并联机器人如图1所示的3-prs（3—自由度数目，p—移动副，r—转动副，s—球面副）串并联机构具有结构简单、控制容易、成本相对较低等并能满足特殊场合的要求，因此具有广阔的应用前景。

等效质量是并联机器人动态性能的一个重要指标，是研究串并联机器人动力学特性的基础和主要手段。串并联机构的分支间相互耦合，每个分支的等效质量/等效转动惯量都随着运动平台的末端位姿、驱动力、不同位置的速度和加速度变化而变化。而3-prs串并联机构的等效质量随运动状态变化非常显著，末端位姿对等效质量和驱动力的影响很大，等效质量对驱动力的变化非常敏感，在3-prs串并联机构运动的过程中，末端位姿不断发生变化，等效质量也随着变化，确定不同位姿时的等效质量也变得尤为困难。

技术实现要素：

本发明针对在分析串并联机构动力学特性时等效质量难以确定的问题，提供了一种3-prs串并联机构等效质量的确定方法。通过工作在转矩模式下的电机和立柱上的光栅尺计算出广义力和广义坐标下的速度和加速度，对所构建的拉格朗日方程求解，进而表述出不同位姿处的等效质量。本发明直观地反映了3-prs串并联机构的驱动力、广义速度和加速度等参量间的相互关系，这对合理规划路径、优化结构和控制系统及有效节约能源提供技术指导，促进其在工业生产中的应用，具有重要的学术意义和实用价值。

通过对系统广义力的求解和调节三个滑块（16，26，36）的滑动，运用测距光栅尺（19，29，39）测得三个滑块（（16，26，36））的位移，得到广义速度与广义加速度，有效的解决上述问题。

本发明采取的技术方案是这样实现的：

一种3-prs串并联机构等效质量的确定方法，其特征在于，具体包含以下步骤：

s1：在静、动平台上建立固定和局部坐标系，并选取三根立柱（14、24、34）上滑块（16、26、36）移动的位移作为广义坐标值；

s2：用齐次坐标变换和正向运动学描述固定坐标系下滑块，连杆及动平台的动能和势能，得到3-prs串并联机构总的动能和势能；

s3：设定伺服电机（11、21、31）工作于转矩模式下，计算作用在立柱（14、24、34）中滚珠丝杠（13、23、33）的轴向力，进一步用虚功原理求解机构作用在滑块的系统广义力；

s4：计算广义速度和广义加速度，构建3-prs串并联机构的拉格朗日方程，求出3-prs串并联机构中的滑块（16、26、36）质量、连杆（17、27、37）质量、动平台4转动惯量等不变的未知参量，确定移动滑块（16、26、36）在不同位置时机构的等效质量。

进一步，在步骤s2中，实时计算并检测滑块（16、26、36）处于不同位置时动平台末端位姿在工作空间内部。

进一步，3-prs串并联机构的广义速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光栅测距尺（19、29、39）测得滑块（16、26、36）在单位时间内的位移对时间分别求一次和两次导数计算得到。

进一步，三个滑块（16、26、36）共要移动不少于段的不同位移。

进一步，三个滑块（16、26、36）每次移动的位移长度间不能成比例或相等。

更进一步，对于个未知参数的方程，若滑块（16、26、36）共移动段不同位移，对应方程有唯一确定的解；若移动的位移大于段，采用最小二乘法确定方程最优解。

再进一步，通过所建立的拉格朗日方程，求出个未知参数，把等效质量、、、、、表达出来。

本发明具有的有益效果是：

（1）本发明提供的等效质量确定方法直观反映了3-prs串并联机构的动态特性，为路径规划、优化设计及控制提供技术指导。

（2）本发明技术方案的步骤s2中，计算动平台的动能和势能时，运用了正向运动学，而目前并联机器人的正向运动学已有成熟的计算方法，便于计算和应用。

（3）本发明技术方案中步骤s3中，广义力的确定方法容易操作，便于实现。

（4）本发明技术方案中步骤s4中，拉格朗日方程中的广义速度和广义加速度的求解方法通过测距光栅尺容易实现，适用性广。

（5）本发明的方法能用于其它类型串并联机构等效质量/等效转动惯量的确定，具有很强的通用性。

附图说明

图1是本发明3-prs串并联机构结构示意图。

图2是本发明3-prs串并联机构运动示意图。

图中：1、第一支链2、第二支链3、第三支链

4、动平台5、固定平台

11、第一伺服电机21、第二伺服电机31、第三伺服电机

12、第一联轴器22、第二联轴器32、第三联轴器

13、第一滚珠丝杠23、第二滚珠丝杠33、第三滚珠丝杠

14、第一立柱24、第二立柱34、第三立柱

15、第一圆柱铰25、第二圆柱铰35、第三圆柱铰

16、第一滑块26、第二滑块36、第三滑块

17、第一连杆27、第二连杆37、第三连杆

18、第一球铰28、第二球铰38、第三球铰

19、第一测距光栅尺29、第二测距光栅尺39、第三测距光栅尺

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，下面将通过实施方式对本发明作进一步的详细描述。

3-prs串并联机构结构示意图如图1所示。系统由动平台4、固定平台5、三个伺服电机（11、21、31）、三个联轴器（12、22、32）、三个滚珠丝杠（13、23、33）、三根立柱（14、24、34）、三个圆柱铰（15、25、35）、三个滑块（16、26、36）、三根连杆（17、27、37）、三个球铰（18、28、38）、三条测距光栅尺（19、29、39）组成。其中滑块（16、26、36）在立柱（14、24、34）的竖直导轨上滑动，滑块（16、26、36）与连杆（17、27、37）通过圆柱铰（15、25、35）连接，连杆（17、27、37）与动平台4通过球铰（18、28、38）连接。

如图2，动平台4简化为三角形、固定平台5简化为三角形、三根立柱（14、24、34）简化为、三根连杆（17、27、37）简化为，三个滑块（16、26、36）及三个圆柱铰（15、25、35）都简化为。三角形和三角形的外接圆半径分别为和,为三个滑块（16、26、36）高度。

在3-prs串并联机构运动示意图中，伺服电机（11、21、31）通过联轴器（12、22、32）与滚珠丝杠（13、23、33）连接，从而带动滑块（16、26、36）在三个立柱（14、24、34）的导轨上滑动，通过转动副使滑块（16、26、36）与连杆（17、27、37）连接，与动平台通过球副与三根连杆（17、27、37）相连接，固定平台和动平台均为等边三角形。

分别在固定平台5和动平台4上建立固定坐标系和局部坐标系，其中原点在中点处，轴与重合并指向，轴与重合并指向；原点在中心，轴与重合并指向，轴平行于并指向。其中分别是的长度及其与立柱（14、24、34）的夹角。

由于3-prs串并联机构结构对称性，故三个滑块（16、26、36）的质量，三根连杆（17、27、37）的质量，动平台4绕质心的转动惯量（其中）。

动平台4的姿态运动规律由三个所述滑块（16、26、36）的所述滑块高度的运动规律确定。为了在机器人动力学特性分析及优化设计方面有进一步的研究，本发明提供了一种3-prs串并联机构等效质量的确定方法，其过程描述如下：

s1：在静、动平台上建立固定和局部坐标系，并选取三根立柱上滑块（16、26、36）移动的位移作为广义坐标值；

s2：用齐次坐标变换和正向运动学描述固定坐标系下滑块，连杆及动平台的动能和势能，得到3-prs串并联机构总的动能和势能；

s3：设定伺服电机工作于转矩模式下，计算作用在立柱中滚珠丝杠的轴向力，进一步用虚功原理求解机构作用在滑块的系统广义力；

s4：计算广义速度和广义加速度，构建3-prs串并联机构的拉格朗日方程，求出3-prs串并联机构中的滑块（16、26、36）质量、连杆（17、27、37）质量、动平台4转动惯量等不变的未知参量，确定移动滑块（16、26、36）在不同位置时机构的等效质量。

在步骤s2中，实时计算并检测滑块处于不同位置时的动平台末端位姿在工作空间内部。

3-prs串并联机构的广义速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光栅测距尺（19、29、39）测得滑块（16、26、36）在单位时间内的位移对时间分别求一次和两次导数计算得到。

三个滑块（16、26、36）共要移动不少于段的不同位移。

三个滑块（16、26、36）每次移动的位移长度间不能成比例或相等。

对于个未知参数的方程，若滑块共移动段不同位移，对应方程有唯一确定的解；若移动的位移大于段，采用最小二乘法确定方程最优解。

通过所建立的拉格朗日方程，求出个未知参数，把等效质量、、、、、表达出来。

确定所构建的拉格朗日方程中未知参数是求解所述等效质量的关键，下面以一个简化的实施例子来进行描述。

建立在静坐标系下3-prs串并联机构中各个运动构件的动能和势能。

滑块质量为均质，且质心位于竖直立柱上，移动位移为，其速度和加速度分别为和。

构件质量为均质，且质心坐标为，绕质心的转动惯量为，有：

。

动平台质量为，质心为，相对于静坐标系的速度和角速度分别为和，绕质心的惯量矩阵为，实际惯量矩阵中其他量级比主对角线上的小很多，故令。

动平台上点在动坐标系上的坐标为，质心在坐标系下坐标为，据点在三条支链中的机构尺寸表达和转换矩阵表达相等，可得到下列式子：

。

取为零势能面，重力加速度为，各个连接部分的摩擦力不计。

则整个机构的动能和势能可表示为：

（5）

。

构建机构的拉格朗日方程：

为系统的广义力，为广义坐标值，为相应广义坐标的速度。

展开后的拉格朗日方程可表达为：

。

将伺服电机（11、21、31）设置在转矩模式下，由伺服电机（11、21、31）输出的转矩已知，通过联轴器（12、22、32）的连接，将转矩换算为滚珠丝杠（13、23、33）上的轴向力，由以下式子可求得滚珠丝杠（13、23、33）的轴向力

其中：——轴向负载，——丝杠的轴向力，——导向件的综合摩擦系数，——丝杠导程，——进给丝杠的效率，。

进一步运用虚功原理，求得3-prs串并联机构的系统广义力。

在步骤s2中，须计算动平台的末端位姿，即在已知滑块位移，求解末端的位姿为运动学正解。由于3-prs串并联机构的正解方程可化简为一元多次方程，此方程的解存在多组解，故当滑块移动不同位移时要实时计算并检测3-prs串并联机构的末端位姿的解是否存在及合理性，要求滑块处于不同位置时动平台末端位姿在工作空间内部。

3-prs串并联机构的广义速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光栅测距尺（19、29、39）测得滑块（16、26、36）在单位时间内的位移对时间分别求一次和两次导数计算得到，以单个支链进行说明。

滑块16在立柱上从起始点滑动到所用的时间，距离为（由光栅测距尺测得），速度为；从滑动到所用的时间，距离为（由光栅测距尺测得），速度为；则和位移段有：

；。

三个滑块（16、26、36）共要移动不少于段的不同位移。

构建的拉格朗日方程中有个未知参数，要求解这些未知参数，三个滑块至少共要移动段位移；要使这些方程的系数不存在线性相关，尽可能三个滑块每次移动的位移长度之间不能成比例或相等。

对于个未知参数的方程，若滑块共移动段不同位移，对应方程有唯一确定的解；若移动的位移大于段，采用最小二乘法确定方程最优解。

作为一种数学优化技术的最小二乘法求解过程为：

将方程写成矩阵形式：

其中：为的矩阵，为的列向量，为的列向量，方程的个数大于未知数的个数即，正常该方程无解；在数值领域，计算解出最优解。

通过所建立的拉格朗日方程，求出个未知参数，把等效质量、、、、、表达出来。即

上述给出的求解3-prs串并联机构等效质量的例子中，是在保证通用性的基础上做了简化处理。3-prs并联机构有很多的变种，在应用的过程中，需要根据串并联机构的具体结构形式，改写公式（1）—（9），增加或删除相应的构建模型，如增加末端执行器（刀具）、增加电机、立柱和连杆数目等。

本发明的方法的特点是：

（1）本发明提供的等效质量计算方法得到了3-prs串并联机构滑块移动过程中不同位置下的等效质量，直观反映了3-prs串并联机构的动态性能，为路径规划及优化设计提供技术指导。

（2）本发明技术方案的步骤s2中，计算动平台的动能和势能时，运用了正向运动学，而目前并联机器人的正向运动学已有成熟的计算方法，便于计算和应用。

（3）本发明技术方案中步骤s3中，广义速度和广义加速度的求解方法通过测距光栅尺容易实现，适用性广。

（4）本发明技术方案中步骤s3中，广义力是通过设定伺服电机在转矩模式下计算得到，此方法容易操作，便于实现。

（5）本发明的方法可用于其它类型串并联机构等效质量/等效转动惯量的计算，具有很强的通用性。

本发明的应用，解决了3-prs串并联机构路径规划和优化中驱动力的分配问题，有效地节约能源。特别有助于从串并联机构设计开始阶段做到路径规划和优化，降低成本，促进3-prs串并联机构在工业、农业和服务业领域的广泛应用。而且本发明提供的方法也为其它类型并联机器人的等效质量/等效转动惯量研究提供了借鉴，具有良好的社会和经济效益。

以上所述的详细说明，只是针对本发明的较佳应用实例而已，仅仅是为方便技术人员能清楚理解，并非对本发明做任何形式上的限制，本领域的技术人员对本发明的技术内容做局部修改，等同变化或修饰，都落在本发明的保护范围之内。