专利名称：拟正二测直观图模板及其构图方法和模板的使用的制作方法
技术领域：
本发明涉及一种拟正二测直观图的画法及其模板，特别是公开一种拟正二测直观图模板及其构图方法和模板的使用，是一种学校文教用品，用于绘制直观图的工具模板。
背景技术：
几十年来，在中学教学中流行较广的一个错误，即认为斜二测直观图画法是平行投影画法。本案发明人已经在《数学通报》上发表过《斜二测直 观图不是平行投影空间图形的证明》。现在使用的斜二测坐标系是经过调整的，调整的实质是将X轴逆时针旋转了约3.59°，将y轴逆时针旋转了约7.18°，这种旋转，使得球的左下部位过分下垂，球的右上部位超量耸起。所以“斜二测画法”的适用范围应当加以限制它仅适用于简单的多面体，而不适用于旋转体。现在已无法考证是谁第一个把调整之后斜二测画法称之为平行投影画法，但在整个中学教育界以及机械制图界一直是这样认为的。例如
1、现行的普通高中课程标准实验教科书，数学，人教A版，必修2(2007年2月第3版)，P16，第9行“斜二测画法是一种特殊的平行投影画法”;P18，倒数第7行“从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形”；
2、[北师大版]高中数学必修2教材，P9，倒数第I行“用斜二测画法画的直观图是根据平行投影的原理画出的图形”。人教A版教材及北师大版教材都是目前全国最有影响力的教材。于是人们一直认为斜二测画法是放置于四海而皆准的真理、一种普遍适用的法则。人们一直在Ο-xyz空间直角坐标系中试图画一切空间图形的直观图，哪怕在画圆柱、圆锥时不直观也坚信不移，在无法画球时也视而不见，目前在教材中对斜二测画球普遍采用回避态度。现行教科书上对简单多面体、圆柱、圆锥、球采用了多种不同的画直观图的方法，当在同一幅图中涉及了多种几何体时，画法规则便出现了混乱，于是便出现了各种一点不直观的直观图。应当知道，画直观图的目的是为了培养学生的空间想象能力，它首先要“直观”。而目前不分场合地使用斜二测画法，犹如不分适应症范围地使用同一张医药处方。有些老师为了避免旋转体的不直观，改用正等轴测画圆柱、圆锥，又另外想了一个方法专门画球。由于这个认识上的错误，导致相关几何体(多面体、圆锥、圆柱、球)直观图画法上的混乱，致使在一个图形中同时存在多种几何体，例如球和它的内接多面体时，在画法上无所适从，采取回避者有之，胡乱画画忽悠学生者有之(这种忽悠实际上是一种无奈)。这种情况，在人教A版必修2，北师大版必修2的相关章节随处可见。这对培养学生空间想象能力不能不说是一个极大的遗憾，这个问题不解决，这种遗憾将无休止地延续下去。比较各种常见画法画出的平行投影直观图(见附图1)，可以看出，目前流行的“斜二测画法”虽然实际上不属于平行投影，但用这种方法画出的简单多面体直观性非常好，但是用这种方法画出的球的直观图却很难令人苟同，因为它离球形“直观”实在相距太远。
发明内容
本发明的目的就是解决现有技术中“斜二测画法”的缺陷，公开一种拟正二测直观图的构图方法，并设计相应的模板，兼容简单多面体，还能绘制真正的球的直观图。本发明是这样实现的一种拟正二测直观图模板及其构图方法和模板的使用，其特征在于所述的构图方法直观图的投影线与三坐标轴X轴、y轴和Z轴的夹角依次为a、90°、90° -〃，设观测点在赤道偏在赤道平面上方，则所述三坐标轴的轴向伸缩比例依次为sinff、sin90°、sin(90。-σ )，当sin σ为O. 2或O. 15时，三坐标的轴向伸缩比例为
O.2:1:0. 98或O. 15:1:0. 99，选三坐标的轴向伸缩比例为O. 2:1:1或者O. 15:1:1 ； 把带有等分刻度线的三种不同大小的圆球内接正方体上下表面正方形的外接圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆和赤道大圆，纵向伸缩变形为O. 2:1或O. 15:1的椭圆状并分布在模板两侧，这些椭圆的“等分刻度线”便于水平图形旋转以获得立体感；
所述的模板中心设有三个大小不同的圆，其中球轮廓为最大的一个圆，其轮廓圆上设有常用几何体的关键位置线，在其右下方为球内接正方体的内切球轮廓圆，其左下方为球的内接正四面体的内切球轮廓圆；模板上还设有三种椭圆，分别为球内接正方体上下表面正方形的外接圆伸缩变形成的椭圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆伸缩变形成的椭圆和赤道大圆伸缩变形成的椭圆，伸缩比为O. 2:1或O. 15:1，这两组不同伸缩比的椭圆分布在模板两侧。所述拟正二测直观图模板的使用用于作出圆柱及其相关多面体、圆锥及其相关多面体、球及其相关多面体和球、圆柱、圆锥及其相关多面体高度综合时的直观图。从附图I中的正二测画法可以看出，它兼具“平行于_7饭平面的图形(或截面)与直观图中的相应部分为I: I显示，以及球的任意方向轮廓都是圆”的目前人们一致认可的优点。但是,这样的画法也有一个很大的缺点直观性不好。本发明通过改变正二测投影方向，保留它的优点而改善它的不足，提出一种“拟正二测”直观图，其定义如下
设直观图的投影线与三坐标轴(X轴、y轴、Z轴)的夹角依次为O·，90° ,90° -a。通俗地讲，就是设观测点偏在赤道平面上方。在这种情况下，三坐标轴的轴向伸缩比例依次为sin a , sin90°， sin (90° -σ )，即 sin σ，1，cos σ。当sin < O. 20时,cos σ彡O. 98。这说明，当“赤道平面”形成的椭圆的短轴与长轴之比彡O. 20时，ζ轴的轴向伸缩比例非常接近于I。如果把三坐标轴(X轴、y轴、Z轴)的轴向伸缩比例确定为O. 2 (或比O. 2小)I: I，就称这时的直观图为“拟正二测”直观图，如附图2、附图3所示。本发明“拟正二测”直观图的优点
1、“拟正二测”直观图保留了“正视图1:1显示”的优点，并使得在同一张直观图中的多面体和旋转体同时得到了完美的表达。2、z轴轴向伸缩比例非常接近于1，“北极点”可近似地画在最上端，符合球的习惯画法。虽然“拟正二测”直观图的作图法有些限制，但它仍然有着广泛的使用基础人教A版，上海版等教材中的圆锥、圆柱的习惯画法非常接近于“拟正二测”画法。美中不足的是，他们的椭圆画得太胖(离心率较小)，这与“北极点”在最上端相矛盾(椭圆画得太胖即离心率较小时，Z轴的轴向伸缩比例较小，从而使“北极点”下移)。3、“拟正二测”直观图通过旋转一个角度表现多面体的立体感。可见，拟正二测直观图已经避免了现行斜二测直观图的先天不足。除了上述优点外，本发明拟正二测直观图的构图方法还具备其它好处
I、普通高中课程标准实验教科书，数学，人教A版，必修2 (2007年2月第3版)，P17,第3行“在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆”。如果单单看水平放置的圆，上面描述似乎并无不妥。但是如果把问题转化为“画一个轴截面是正方形的圆柱”，采用正等测画椭圆的方法(见附图4)去画，马上会发现，在正等测画法中，椭圆的水平方向长轴大约被放长了 I. 155倍，该圆柱的轴截面变成了长方形，如附图5所示。
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但如果采用拟正二测画法去画轴截面是正方形的圆柱，或轴截面是正三角形的圆锥，那它的表达几乎是完美的，见附图6、附图7。2、几乎所有的教科书中都如附图8般画球。尽管ζ轴轴向伸缩比例较小，北极点应该有较大数量的下移，但还是把北极点画在最上面。采用正等测画法也有相似的问题，如附图9。如果采用拟正二测画法去画球，那它的北极点几乎达到最上端，见附图10。
图I是采用各种常见画法画出的平行投影直观图的比较示意图。图2是本发明的拟正二测直观图的定义图。图3是本发明拟正二测直观图与正二测直观图的比较示意图。图4是采用正等测画椭圆的方法示意图。图5是采用正等测画法画圆柱的方法示意图。图6是采用拟正二测画法画的轴截面是正方形的圆柱示意图。图7是采用拟正二测画法画的轴截面是正三角形的圆锥示意图。图8是目前教材中北极点的位置示意图。图9是正等测画法画的球上北极点的位置示意图。图10是拟正二测画法画的球上北极点的位置示意图。图11是本发明拟正二测直观图模板结构示意图。图12是使用拟正二测直观图模板作球的内接正多面体步骤一示意图。图13是使用拟正二测直观图模板作球的内接正多面体步骤二示意图。图14是使用拟正二测直观图模板作球的内接正多面体步骤三示意图。图15是旋转前正三角形的水平图形。图16是正三角形的水平图形作旋转后的情形。图17是旋转前正方形的水平图形。图18是正方形的水平图形作旋转后的情形。图19是旋转前钝角三角形的水平图形。图20是钝角三角形的水平图形作旋转后的情形。
图21是采用本发明模板作的球的内接正方体直观图。图22是采用本发明模板作的球的内接正四面体直观图。图23是采用本发明模板作的球的内接正八面体的直观图。图24是采用本发明模板作的球内接圆柱直观图。图25是采用本发明模板作的球内接圆锥直观图。图26是采用本发明模板作的正四面体直观图。图27是采用本发明模板作的圆柱内切球直观图。
图28是采用本发明模板作的圆柱和内接倒四棱锥直观图。图29是采用本发明模板作的正方体和正四面体直观图。图30是采用本发明模板作的皇冠螺帽直观图。图31是采用本发明模板作的没有经过旋转的六角螺帽直观图。图32是采用本发明模板作的经过旋转的六角螺帽直观图。图33是采用本发明模板作的正方体的内切球直观图。图34是采用本发明模板作的正八面体直观图。图35是采用本发明模板作的半球的最大内接正四棱锥直观图。图36是采用本发明模板作的正四棱锥直观图。
具体实施例方式本发明一种拟正二测直观图模板及其构图方法和模板的使用，其构图方法直观图的投影线与三坐标轴X轴、y轴和Z轴的夹角依次为O·、90°、90° -σ，设观测点在赤道偏在赤道平面上方，则所述三坐标轴的轴向伸缩比例依次为sina、sin90°、sin(90° -σ)，当sinff为O. 2或O. 15时，三坐标的轴向伸缩比例为O. 2:1:0. 98或O. 15:1:0. 99，选三坐标的轴向伸缩比例为O. 2:1:1或者O. 15:1:1。把带有等分刻度线的三种不同大小的圆球内接正方体上下表面正方形的外接圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆和赤道大圆，纵向伸缩变形为O. 2:1或O. 15:1的椭圆状并分布在模板两侧，这些椭圆的“等分刻度线”便于水平图形旋转以获得立体感。根据附图11，模板中心设有三个大小不同的圆，其中球轮廓为最大的一个圆，其轮廓圆上设有常用几何体的关键位置线，在其右下方为球内接正方体的内切球轮廓圆，其左下方为球的内接正四面体的内切球轮廓圆。模板上还设有三种椭圆，分别为球内接正方体上下表面正方形的外接圆伸缩变形成的椭圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆伸缩变形成的椭圆和赤道大圆伸缩变形成的椭圆，伸缩比为O. 2:1或O. 15:1，这两组不同伸缩比的椭圆分布在模板两侧。将带有等分刻度的圆纵向伸缩变形为椭圆状后，椭圆上也带有等分刻度，且椭圆短轴/长轴< O. 30 (本发明模板提供的两种不同伸缩比使得ζ轴轴向伸缩比例彡O. 98 ^ I)。因此，当三坐标轴轴向伸缩比为O. 2:1:1时，北极点可画在最上端。本发明拟正二测直观图模板用于作出圆柱及其相关多面体、圆锥及其相关多面体、球及其相关多面体和球、圆柱、圆锥及其相关多面体高度综合时的直观图。根据附图12 14，使用本发明拟正二测直观图模板作球的内接正多面体的方法
1、使用模板画出球轮廓及赤道大圆；
2、在赤道大圆内画出内接正方形，并利用模板刻度作适当旋转。旋转原理见附图15 20 ；
3、分别 连接南极点、北极点和赤道大圆内接正方形各个顶点，得到球与内接正八面体的直观图。根据附图21 23，分别表示使用本发明拟正二测直观图模板作出球的内接正方体、球的内接正四面体、球的内接正八面体的直观图。根据附图24 36，采用本发明拟正二测直观图的构图方法及拟正二测直观图模板可作出各种拟正二测直观图。
权利要求
1.一种拟正二测直观图模板的构图方法，其特征在于直观图的投影线与三坐标轴X轴、y轴和z轴的夹角依次为〃、90°、90° -〃，设观测点在赤道偏在赤道平面上方，则所述三坐标轴的轴向伸缩比例依次为sinff、sin90°、sin(90。- σ )，当sin σ为O. 2或O. 15时，选三坐标的轴向伸缩比例为O. 2:1:1或者O. 15:1:1 ; 把带有等分刻度线的三种不同大小的圆球内接正方体上下表面正方形的外接圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆和赤道大圆，纵向伸缩变形为O. 2:1或O. 15:1的椭圆状并分布在模板两侧，这些椭圆的“等分刻度线”便于水平图形旋转以获得立体感； 模板中心设有三个大小不同的圆，其中最大的一个圆为球的轮廓圆，其轮廓圆上设有常用几何体的关键位置线，在其右下方为球内接正方体的内切球轮廓圆，其左下方为球的内接正四面体的内切球轮廓圆。
2.—种权利要求I所述构图方法的拟正二测直观图模板，其特征在于模板中心设有三个大小不同的圆，其中球轮廓为最大的一个圆，其轮廓圆上设有常用几何体的关键位置线，在其右下方为球内接正方体的内切球轮廓圆，其左下方为球的内接正四面体的内切球轮廓圆；模板上还设有三种椭圆，分别为球内接正方体上下表面正方形的外接圆伸缩变形成的椭圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆伸缩变形成的椭圆和赤道大圆伸缩变形成的椭圆，伸缩比为O. 2:1或O. 15:1，这两组不同伸缩比的椭圆分布在模板两侧。
3.—种权利要求2所述模板的使用，其特征在于用于作出圆柱及其相关多面体、圆锥及其相关多面体、球及其相关多面体和球、圆柱、圆锥及其相关多面体高度综合时的直观图。
全文摘要
本发明为一种拟正二测直观图模板及其构图方法和模板的使用，其特征在于直观图的投影线与三坐标轴x轴、y轴和z轴的夹角依次为α、90°、90°-α，当sinα为0.2或0.15时，选三坐标的轴向伸缩比例为0.2:1:1或0.15:1:1。模板中心设有一个球轮廓的大圆，大圆轮廓上设有常用几何体的关键位置线，在其右下方设有球内接正方体的内切球轮廓圆，其左下方设有球的内接正四面体的内切球轮廓圆；模板两侧还设有三种椭圆，分别为球内接正方体上下表面正方形的外接圆伸缩变形成的椭圆、球内接正四面体底面三角形的外接圆伸缩变形成的椭圆和赤道大圆伸缩变形成的椭圆。采用本发明方法和模板可以作出各种拟正二测直观图。
文档编号B43L13/00GK102795030SQ20121030796
公开日2012年11月28日 申请日期2012年8月28日 优先权日2012年8月28日
发明者唐文虎 申请人:唐文虎