一种基于绳系技术的空间碎片回收控制方法与流程

本发明属于航天器控制领域，具体是一种基于绳系技术的空间碎片回收控制方法。

背景技术：

随着人类宇宙活动的日益频繁，在地球轨道附近遗留的以航天器碎片为主的太空垃圾急剧增加，这必将对在轨航天器的运行产生极大威胁，回收及清理这些空间碎片势在必行。因此，基于空间系绳的碎片回收技术已引起了科研工作者们的极大兴趣。如钟睿等基于线性自治绳系系统的稳定理论推导出了一套线性反馈控制律，能够实现空间绳系系统的稳定回收中国空间科学技术,2009,29(6):66-73)。Yu等基于一接近真实绳系系统的时变自由度柔性绳模型，对空间系绳的匀速回收进行了研究，数值结果表明在回收末期绳系碎片将发生大幅摆动甚至绕航天器旋转(Acta Astronautica,2010,67(7-8):845-853)。Steindl研究了空间绳系系统在回收过程中的面内外振荡问题，利用中心流形及协同控制方法分别对系绳摆动进行了抑制(Meccanica,2014,49(8):1879-1885)。Wen等提出了一套关于空间绳系回收的非线性张力控制策略，通过实时准线性化迭代算法数值解决了一系列非线性最优控制问题(Advances in Space Research,2016,57(3):754-763)。

通过关注前人的研究成果可以发现，最优控制(如能量最优、时间最优)可以在满足各类约束的情况下完成绳系碎片的回收任务，但这将消耗大量的计算资源及时间，且只能得到数值结果，无法获得一个解析控制律。另一方面，人们也提出了一些解析的拉力控制律，但通常仅适用于运行在偏心率较小的开普勒轨道的绳系碎片系统，一旦轨道偏心率增大将不再适用。此外，部分回收控制律是基于线性化系统设计的，显然，这与实际工程任务中的非线性绳系碎片系统存在较大偏差。因此，基于非线性时变绳系系统并考虑系绳弹性，得到一套解析的碎片回收控制律，同时保证回收控制过程是渐近稳定的，并且具有良好安全性的回收控制方法一直是本领域技术人员待解决的技术难题。

技术实现要素：

本发明针对现有技术的不足，公开了一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法，该方法基于空间三维非线性时变绳系系统动力学方程，考虑系绳弹性，提出一种绳系碎片回收解析控制律，可以对径向回收过程中系绳的面内及面外摆动进行抑制，通过解析控制律的定义域得到期望回收倾角的范围，最后，利用Floquet理论进一步确定能使系统在回收过程中保持渐近稳定的期望回收倾角范围。

本发明是这样实现的，一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法，该方法包括如下步骤：

步骤一，采用弹性杆模型研究空间绳系碎片系统，根据第二类Lagrange方程，建立系统动力学微分方程；

步骤二，选取要回收的系绳长度，引入无量纲变换，将步骤一的系统动力学方程改写为无量纲形式的系统动力学方程，描述回收过程中系绳的面内外摆动；

步骤三，研究回收过程中非线性时变系统动力学方程的面内外摆角振动抑制问题，推导出系绳长度变化解析控制律以及在碎片回收过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围；

步骤四，利用Floquet理论进一步分析系统的稳定性以及保持渐近稳定的期望面内俯仰角的取值范围。

进一步，所述的步骤一的具体为：

步骤1.1，考虑系绳应变，采用弹性杆模型研究该系统的面内外振荡，视质量分别为m_S和m_D的在轨航天器S及空间碎片D为质点、将回收长度为l的空间系绳考虑成一根无质量弹性杆，ε表示弹性系绳的应变、EA为系绳刚度，系统质心o运行于偏心率为e的开普勒椭圆轨道，考察系统面内俯仰角θ及面外滚转角φ；

步骤1.2，选取面内俯仰角θ、面外滚转角φ及回收绳长l为广义坐标，根据第二类Lagrange方程，系统动力学微分方程可写为：

式中“'”表示对时间t的导数，参数ν为真近点角，μ_E为地球引力常数，r为系统质心o至地心O的距离，T＝εEA为系绳张力，Q_θ和Q_φ分别为θ和φ两个自由度的广义力；其中：

r(ν)＝a(1-e²)/κ，

式中，a为绕地轨道长半轴，参数κ＝1+ecosν。

进一步，所述的步骤二具体为：在不计环境摄动的情况下，令Q_θ＝0和Q_φ＝0，以l_r表示要回收系绳长度的参考长度，引入无量纲变换ξ＝l/[l_r(1+ε)]，将系统动力学方程(1)改写为无量纲形式：

式中以真近点角ν为无量纲时间，“·”表示对ν求导数，u为无量纲系绳张力；动力学微分方程组(2)可以描述回收过程中系绳的面内外摆动，而且方程中的sinθcosθ、sinφcosφ、cos²φ等项表明空间绳系碎片系统具有复杂的非线性特性，当系统状态远离平衡点时其动力学行为将与线性化系统产生较大差异。同时，当系统偏心率不为0时，这将是一个非自治系统。

进一步，所述的步骤三具体为：

步骤3.1，在回收阶段，要求面内外摆角分别趋近于θ_e和φ_e；并通过绳长变化率控制实现回收，由于绳长已被控制律约束，故令则可将系统动力学方程(2)的前两式写为范式：

则平衡位置为：

步骤3.2，根据式(4)第一式中反正弦函数的定义域，可得到：

基于式(4)中的第一式，推导出无量纲系绳长度变化率满足：

步骤3.3，若期望保持恒定，即可进一步推导出系绳长度变化控制律：

其中，绳长度变化控制律是通过无量纲控制力u驱动的；

步骤3.4，若要求系绳保持回收，即则由式(7)可得出：

或

联立式(5)和(8)可以得到在碎片回收过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围：

进一步，所述的步骤四具体为：

步骤4.1，基于回收控制律(7)，存在一个平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)能使系绳沿指定方向(θ_e,φ_e)回收，进一步讨论该平衡位置稳定性；另外，值得注意的是，若仅以无量纲绳长ξ为控制变量，对系统面内、面外摆角两个参数同时进行振动抑制，则其将是一个欠驱动控制系统。

在无量纲控制力u作用下，基于绳长变化率(7)对系绳进行回收控制，即系统自由度ξ已被完全约束，故可依据动力学方程(2)的前两式研究系绳回收过程中期望倾角的稳定性。

步骤4.2，利用Floquet理论对该时变系数的非自治系统稳定性进行分析，研究系统方程(2)的变分方程：

其中Jacobi矩阵：

以上Jacobi矩阵满足Df(ν+Θ)＝Df(ν)。不难看出，其周期为Θ＝2π；特别地，在初始时刻，若积分变量矩阵Φ取为单位矩阵，即Φ|_ν＝0＝I，则变分方程(10)经历一个周期2π的积分迭代，可以得到单值矩阵B＝Φ|_ν＝2π。

步骤4.3，再根据Floquet理论，通过特征乘数即单值矩阵特征根λ_i(i＝1,2,3,4)可以判定原方程(2)的稳定性：当所有特征根的模均小于1时，系统渐近稳定；只要有一个特征根的模大于1，则系统不稳定。

这可以有效地研究在先前欠驱动回收控制律(7)作用下，非自治系统在期望倾角附近的稳定性。基于以上Floquet理论研究表明，当控制律作用于运行区间时可以保证系统的回收过程渐近稳定。

步骤4.4，通过Floquet理论可进一步研究碎片回收过程中期望面内俯仰角的取值范围为：

且值得注意的是，在偏心率e较大时，部分绝对值较小的期望俯仰角θ_e可能会引起系绳回收过程不稳定。

进一步，所述的在施加控制约束区间Π的补集Σ上不施加额外控制力，即可实现空间碎片的稳定回收；若期望进一步优化控制效果，可在区间Σ上施加额外控制力，以控制系绳在区间Σ上可能产生的发散。

本发明相对于现有技术的有益效果在于：

(1)本发明所采用的空间绳系碎片系统是一类典型的非线性系统，且运行于开普勒椭圆轨道时系统动力学方程的系数将随时间不断变化；

(2)本发明是在空间三维非线性绳系碎片动力学模型基础上提出一套解析的碎片回收控制律，能够在径向回收过程中对系绳的面内外振荡进行有效抑制。

(3)通过该解析控制律的定义域及Floquet理论得到能使系绳在回收过程中保持渐近稳定的期望倾角范围；该方法既可以保证碎片被稳定地回收到在轨航天器附近又可以确保回收过程的安全尤其是末时刻的安全性。

附图说明

图1为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法所采用的弹性杆模型；

图2为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法中系统可稳定回收的区间；

图3为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法中期望俯仰角的稳定性关系图；

图4为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法稳定的绳系碎片回收控制中碎片在o-χη下回收轨迹图；

图5为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法稳定的绳系碎片回收控制中碎片在o-ζη下回收轨迹图；

图6为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法稳定的绳系碎片回收控制中无量纲绳长随真近点角变化情况图；

图7为本发明一种基于绳系技术的空间碎片回收的控制方法稳定的绳系碎片回收控制中无量纲绳长变化率随真近点角变化情况图。

具体实施方式

本发明是基于空间三维非线性时变绳系系统动力学方程，提出一种绳系碎片回收解析控制律，可以对径向回收过程中系绳的面内及面外摆动进行抑制。基于各种系统约束条件得到期望回收倾角的范围，最后，利用Floquet理论进一步确定能使系统在回收过程中保持渐近稳定的期望回收倾角范围。具体的方法如下。

如图1所示，由于空间绳系碎片系统在回收阶段系绳始终处于绷紧状态，故考虑系绳应变，采用弹性杆模型研究该系统的面内外振荡。视质量分别为m_S和m_D的在轨航天器S及空间碎片D为质点、将回收长度为l的空间系绳考虑成一根无质量弹性杆，ε表示弹性系绳的应变、EA为系绳刚度，。系统质心o运行于偏心率为e的开普勒椭圆轨道，考察系统面内俯仰角θ及面外滚转角φ。

选取面内俯仰角θ、面外滚转角φ及回收绳长l为广义坐标，根据第二类Lagrange方程，系统动力学微分方程可写为：

式中“'”表示对时间t的导数，参数ν为真近点角，μ_E为地球引力常数，r为系统质心o至地心O的距离，T＝εEA为系绳张力，Q_θ和Q_φ分别表示θ和φ两个自由度的广义力。同时，r(ν)＝a(1-e²)/κ，这里，a为绕地轨道长半轴，参数κ＝1+ecosν。

在不计环境摄动的情况下，通常可令Q_θ＝0和Q_φ＝0。以l_r表示要回收系绳长度的参考长度，引入无量纲变换ξ＝l/[l_r(1+ε)]，则系统动力学方程(1)可改写为无量纲形式：

式中以真近点角ν为无量纲时间，“·”表示对ν求导数，u为无量纲系绳张力。动力学微分方程组(2)可以描述回收过程中系绳的面内外摆动，而且方程中的sinθcosθ、sinφcosφ、cos²φ等项表明空间绳系碎片系统具有复杂的非线性特性，当系统状态远离平衡点时其动力学行为将与线性化系统产生较大差异。同时，当系统偏心率不为0时，这将是一个非自治系统。

研究回收过程中非线性时变系统(2)的面内外摆角振动抑制问题。在回收阶段，要求面内外摆角分别趋近于θ_e和φ_e，并通过绳长变化率控制实现回收，由于绳长已被控制律约束，故令可将方程组(2)的前两式写为范式

平衡位置为：

根据式(4)第一式中反正弦函数的定义域，可得到：

基于式(4)中的第一式，还可推导出无量纲系绳长度变化率满足：

现在，若期望保持恒定，即可进一步推导出系绳长度变化控制律：

而此绳长度变化控制律是通过无量纲控制力u驱动的。若要求系绳保持回收，即则由式(7)可得出：

或

联立式(5)和(8)可以得到在碎片回收过程期望平衡位置中面内俯仰角的取值范围：

通过以上分析发现，基于回收控制律(7)，存在一个平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)能使系绳沿指定方向(θ_e,φ_e)回收，该平衡位置稳定性须进一步讨论。另外，值得注意的是，若仅以无量纲绳长ξ为控制变量，对系统面内、面外摆角两个参数同时进行振动抑制，则其将是一个欠驱动控制系统。

在无量纲控制力u作用下，基于绳长变化率(7)对系绳进行回收控制，即系统自由度ξ已被完全约束，故可依据动力学方程(2)的前两式研究系绳回收过程中期望倾角的稳定性。利用Floquet理论对该时变系数的非自治系统稳定性进行分析，研究系统(2)的变分方程：

其中Jacobi矩阵：

以上Jacobi矩阵满足Df(ν+Θ)＝Df(ν)。不难看出，其周期为Θ＝2π。特别地，在初始时刻，若积分变量矩阵Φ取为单位矩阵，即Φ|_ν＝0＝I，则变分方程(10)经历一个周期2π的积分迭代，可以得到单值矩阵B＝Φ|_ν＝2π。再根据Floquet理论，通过特征乘数即单值矩阵特征根λ_i(i＝1,2,3,4)可以判定原系统(2)的稳定性：当所有特征根的模均小于1时，系统渐近稳定；只要有一个特征根的模大于1，则系统不稳定。

如图2所示，这可以有效地研究在先前欠驱动回收控制律(7)作用下，非自治系统在期望倾角附近的稳定性。基于以上Floquet理论研究表明，当控制律作用于运行区间时可以保证系统的回收过程渐近稳定。

如图3所示，通过Floquet理论可进一步研究期望面内俯仰角θ_e的取值范围，能够发现当θ_e＞0时会导致碎片回收过程不稳定。

因此，碎片回收过程中期望面内俯仰角的取值范围为

且

特别地，在偏心率e较大时，部分绝对值较小的期望俯仰角θ_e可能会引起系绳回收过程不稳定。

值得注意的是，在施加控制约束区间Π的补集Σ上可以不必施加额外控制力，即可实现空间碎片的稳定回收。如若期望进一步优化控制效果，还可以在区间Σ上施加额外控制力，以控制系绳在区间Σ上可能产生的发散。

通过数值仿真研究绳系碎片系统在回收控制过程在平衡点附近的稳定性。设系统初始时刻真近点角ν₀＝0、无量纲系绳长度ξ₀＝1、运行于偏心率e＝0.05的开普勒轨道，在解析的绳长变化率控制律(7)作用下，通过数值模拟可研究系绳回收过程的动力学行为。基于先前设定的系统参数取θ_e＝-10^-4rad∈(-0.0334rad,0)，同时不妨取期望的面外滚转角φ_e＝0，依据回收控制律(7)，研究绳系碎片保持平衡位置(θ_e,0,φ_e,0)沿径向(θ_e,φ_e)回收的动力学行为。

利用Floquet理论可先计算出在控制律(7)作用下运行于轨道区间时，系统单值矩阵特征根分别为λ_1,2＝0.64172±0.76633i和λ_3,4＝0.99902±0.03189i，易得出Floquet特征乘数的模为|λ_1,2,3,4|＝0.99953，它们皆小于1，故可以证明此回收控制过程是渐近稳定的，具体数值结果如图4～7所示。图中展示了在无量纲轨道坐标系o′-χηζ下(即原点o′固结于在轨航天器的质心上，χ轴指向在轨航天器运动的反方向，η轴由地球质心O指向在轨航天器的质心，ζ轴可由右手定则确定)碎片的回收轨迹。如图4所示，在坐标系o′-χη下，即使存在初始摄动，绳系碎片在回收控制过程中摆动并未发散。如图5所示，在坐标系o′-ζη下，在解析的回收控制律作用下，绳系碎片的摆动也被很好地抑制。如图6所示，无量纲系绳长度随真近点角ν的变化情况，可以发现经历ν＝150rad的回收控制后，系绳被回收至ξ＝0.1处，此时可对碎片进行机械抓取或绳网捕捉等以待进行下一步处理。如图7所示，无量纲绳长变化率随无量纲时间的变化情况，可以看出系绳的回收速率也逐步趋于0，这可以很好地保证当碎片回收到航天器附近时系统避免发生剧烈碰撞，具有良好的安全性。