使用多个天线确定全电磁耦合张量的制作方法

本申请要求2016年8月15日提交的美国专利申请号15/236,682的优先权。

本公开总体上涉及井下测井工具领域，尤其涉及井下电磁测井工具。具体地，公开了使用包括设置在井孔中的多个天线的工具来确定地层的全电磁耦合张量的各种技术。

背景技术：

在烃勘探和生产领域中已知各种测井技术。这些技术使用配备有发射器的仪器或工具，这些发射器用于将能量发射到已经被井孔穿透的地下地层中。在本说明书中，地下地层中。在本说可互换使用，以指示例如电磁仪器(或工具)，电缆工具(或仪器)或随钻测井(loggingwhiledrilling)工具(或仪器)。发射的能量与周围地层相互作用以产生信号，然后由一个或多个传感器对该信号进行检测和测量。通过处理检测到的信号数据，可以生成地层性质的分布。

包括电磁感应和波传播测井工具的电磁测井工具用于确定井孔周围地层的电性质。这种测井工具获得与地层的电阻率(或其倒数，电导率)有关的测量值，当被解释时，允许人们推断地层和其中的流体的各种岩石物理性质。电磁感应电阻率测井的物理原理是众所周知的。

电磁测井工具使用发射器和接收器天线。在一些实施例中，这种天线可以用作发射器和/或接收器。本领域技术人员将理解，天线可以在一个瞬间用作发射器而在另一个瞬间用作接收器。还应当理解，由于互易(reciprocity)原理，这里公开的发射器-接收器配置是可互换的，即“发射器”可以用作“接收器”，反之亦然。

常规的电磁测井工具采用磁偶极矩基本上沿着工具的纵向轴线的轴向发射器和接收器天线。这些工具没有方位角敏感性。在大角度或水平井中，利用轴向天线获得的测量结果不包含关于地层方向性的信息，该信息允许区分井孔是否接近例如从上方或下方的导电层。例如，这种信息用于井位应用中。已经公开了一种测井工具，其包括一个或多个天线，这些天线具有相对于工具轴倾斜或横向的磁偶极矩，例如在美国专利号5,508,616、美国专利号6,163,155，美国专利号6,476,609，美国专利号7,656,160，美国专利号8,466,683、美国专利号7,755,361、美国专利公开号20140292340、以及美国专利号9,389,332中所描述的那些天线。这种测井工具能够提供包含关于地层方向性的信息的定向测量。它进一步提供了用于各种地层评估应用的更多信息。

例如，在美国专利号7,656,160、美国专利号7,755,361和美国专利号8,466,683中，提出了使用具有三个倾斜的发射器(接收器)线圈和倾斜的接收器(发射器)线圈的测井工具的方法来确定电磁场耦合的全张量，该电磁场耦合的全张量又用于确定地下地层性质。“倾斜的”发射器和接收器线圈的磁矩具有沿z轴即工具旋转轴的非零分量，但不完全与z轴对齐。为了说明，在图1a和图1b中示出来自美国专利号7,755,361的两个实施例。图1a示出了两个倾斜的发射器104,108和两个倾斜的接收器106,110，而图1b示出了一个倾斜的发射器104和三个倾斜的接收器106,110,112。

技术实现要素：

公开了一种井下电磁测井工具，其具有沿着测井工具的纵轴间隔开的两个或多个天线组，每个天线组具有一个天线或近端定位或并置的多个天线，每个天线组具有偶极矩相对于测井工具的纵向轴线倾斜的至少一个倾斜天线，至少一个天线组除了偶极矩相对于测井工具的纵向轴线倾斜的至少一个天线之外，还具有偶极矩相对于测井工具的纵向轴线横向或轴向的至少一个天线，并且任何给定的天线组对包括至少四个天线。测井工具设置在穿透地层的井孔中，并且在旋转的同时测量工具旋转角度，从一个天线组发射电磁信号，并且利用另一个天线组接收电磁信号。使用接收的电磁信号和测量的工具旋转角来确定电磁耦合张量的一些或全部元素，并且使用所确定的电磁耦合张量的一个或多个元素来确定地层的性质(properties)。

提供本发明内容是为了介绍将在以下详细描述中进一步描述的一些概念。本发明内容不旨在识别所要求保护的主题的关键或必要特征，也不旨在用于帮助限制所要求保护的主题的范围。

附图说明

当结合附图阅读时，从以下详细描述中最好地理解本发明。需要强调的是，根据工业上的标准实践，各种特征未按比例绘制。实际上，为了清楚讨论，可以任意增加或减少各种特征的尺寸。参考以下附图描述确定的实施例。在整个附图中通常使用相同的数字来引用相同的特征和组件。参考以下附图描述确定电磁(em)张量的所有九个元素的系统和方法的实施例。

图1a是具有两个倾斜发射器和两个倾斜接收器的现有技术电磁测井工具的示意图。

图1b是具有一个倾斜发射器和三个倾斜接收器的现有技术电磁测井工具的示意图。

图2a是根据本公开的具有两个倾斜发射器、一个轴向发射器和一个倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图2b是图2a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图3a是根据本公开的具有两个倾斜发射器、一个轴向接收器和一个倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图3b是图3a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图4a是根据本公开的具有倾斜发射器、横向发射器、轴向发射器和倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图4b是图4a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图5a是根据本公开的具有倾斜发射器、横向发射器、倾斜接收器和轴向接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图5b是图5a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图6a是根据本公开的具有倾斜发射器、横向发射器和两个倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图6b是图6a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图7a是根据本公开的具有倾斜发射器、横向发射器、倾斜接收器和横向接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图7b是图7a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器、倾斜接收器和横向接收器的磁矩之间的相对方位角。

图8a是根据本公开的具有两个倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图8b是图8a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图9a是根据本公开的具有倾斜发射器、两个横向发射器和倾斜接收器的电磁测井工具的一个实施例的示意图。

图9b是图9a的实施例的端视图，其示出了根据本公开的倾斜发射器、横向发射器和倾斜接收器的磁矩之间的相对方位角。

图10a示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

图10b示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

图10c示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

图10d示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

图10e示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

图10f示出了根据本公开的可用于确定电磁耦合张量的流程图的一部分。

具体实施方式

在以下描述中，阐述了许多细节以提供对本公开的理解。然而，本领域技术人员将理解的是，可以在没有这些细节的情况下实践本公开，并且可以对所描述的实施例进行多种变化或变型。

在此公开了一种用于从发射器t1和接收器r1确定电磁(em)张量的所有九个元素的系统和方法：对于多个发射器接近或并置的情况，和此外，由于能够确定相对增益因子，例如和来自t2发射器和接收器r1或来自发射器t3和接收器r1的em张量的任何非零元素的张量能够通过将增益因子和乘以来自发射器t1和接收器r1的em张量元素来确定。

使用在此描述的各种实施例以及在下面的权利要求的范围内的其他实施例中的任何实施例，能够使用em张量的九个元素中的任何一个来生成一个或多个测量，例如em张量的九个元素中的任何元素的两个不同线性组合之间的幅度比或者相位差进行定义的测量来表征地层。可以使用表征地层的测量，例如，用于地质导向和地层评估，例如通过确定地层边界的方向，到地层边界的距离和/或地层边界的相对侧上的电阻率。

图2a是根据本公开的实施例的示例性井下工具的示意图。该工具包括发射器子站201和接收器子站202。发射器子站201具有彼此相邻放置的三个发射器天线t1、t2和t3。t1和t2是倾斜天线，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩。t3是轴向天线，其具有基本平行于工具轴线的磁矩。接收器子站202包括一个倾斜的接收器天线r1，该天线具有既不平行也不垂直于工具轴的磁矩。两个倾斜发射器和一个倾斜接收器天线的磁矩处于不同的方位角平面中，如图2b中的端视图所示，其中和是t1和t2分别相对于接收器r1的方位角。两个发射器t1和t2的磁矩也在不同的方位角平面中。所有发射器和接收器天线都能够在适合测井工具的多个频率下工作。两个子站201、202间隔开所需的距离，其中一个或多个测井工具或间隔件连接在它们之间。尽管示出三个发射器近端放置，但是它们中的两个或全部可以并置。此外，尽管在所描述的实施例中，三个发射器天线位于与接收器天线不同的子站中，但是所有天线可以放置在相同的子站中。

当倾斜发射器t1以特定频率发射电磁场能量时，接收器r1处的感应电压可以根据以下形式的等式写成：

其中是接收器r1相对于某个参考的方位角。五个系数和其中称为第0谐波系数，和称为第1谐波系数，和称为第2谐波系数，这些系数是em耦合张量的元素的线性组合，并且能够表示如下：

其中是发射器t1的磁偶极矩相对于工具轴线的倾斜角，是接收器r1的磁偶极矩相对于工具轴线的倾斜角，是发射器t1的磁偶极矩相对于接收器r1的磁偶极矩的方位角。应当注意的是，em耦合张量的所有九个元素和对于感应电压有贡献。

当倾斜发射器t2以特定频率发射电磁场能量时，能够以如等式(1)和等式(2)相同的方式来写成接收器r1处的感应电压除了由t2替换t1以外。同样在此情况下，em张量的所有九个元素，和对于感应电压有贡献。如果两个发射器t1和t2紧密接近或并置，来自发射器t2的em张量的九个元素与来自发射器t1的那些元素相同，除了由于天线的构造、电子漂移等而产生的相对增益因子的常数因子。换句话说：

当轴向发射器t3以特定频率发射电磁场能量时，接收器r1处的感应电压能够根据以下形式的等式来写：

其只包括第0谐波系数和第1谐波系数。这些系数能够以如下更简单的形式来表示：

在此情况下，只有em张量的三个元素和对于感应电压有贡献。如果发射器t3与t1紧密接近或并置，来自t3的em张量的三个元素与来自发射器t1的相同，除了由于天线的构造、电子漂移等而产生的相对增益因子换言之：

图10c与图10a和图10b相结合，示出了根据本公开的用于确定em张量的图2a的实施例的流程图。井下工具设置在穿透地层的井孔中(图10a-1001)。在该实施例中，井下工具包括至少两个倾斜的发射器和一个轴向发射器，这些发射器彼此接近或并置在一个子站中，以及放置在不同的子站中的至少一个倾斜的接收器。井下工具发射em能量(图10a-1003)，同时它在井孔中旋转进行(图10a-1005)。

在多个方位角处从感应电压确定系数和在多个方位角处从感应电压确定系数和以及在多个方位角处从感应电压确定系数和(图10b-1007)。能够使用但不限于美国专利号9,389,332中所描述的方法来确定系数。

能够使用等式(2d)和等式(2d)，对于t1和r1从第2谐振系数和求解和与差

类似地，能够使用上面的等式，对于t2和r1从第2谐振系数和求解和与差除了用索引t2替换t1以外(图10b-1009)。能够使用和通过：

或

或两者的线性组合来确定增益因子(图10b-1011)。

能够进一步使用等式(2b)和(2c)从系数求解和并且除了用t2替换发射器索引和增益因子以外，使用相同的公式从系数和进行求解(图10b-1013)：

其中a^-1是下面的矩阵的逆：

能够在多个方位角出从感应电压确定系数和(图10c-1015)。能够使用但不限于美国专利号9,389,332中所描述的方法来确定系数。

能够使用等式(5a)、(5b)和(5c)从系数和求解和(图10c-1017)：

随后，能够使用和通过：

或

或者两者的线性组合或者其他方式来确定增益因子(图10c-1019)。接着能够使用增益因子以及等式(10a)来求解(图10c-1021)

对于发射器t1使用等式(2a)，对于发射器t2使用相同的等式(索引被替换)，以及来自等式(8a)或(8b)的增益因子和来自等式(12)的从系数和求解和(图10c-1023)：

其中是发射器t1和t2的磁偶极矩的方位角之间的差异。

等式(13a)、(13b)、(7a)和(7b)给出从和求解(图10c-1025)和因此，来自发射器t1和接收器r1的em张量的所有九个元素和全部被确定。此外，因为相对增益因子和也被确定，来自发射器t2和接收器r1，或者来自发射器t3和接收器r1的em张量的九个元素中的任何元素也能够通过将增益因子或乘以来自发射器t1和接收器r1的em元素来确定。

应当注意的是，这里公开的井下电磁测井工具的所有实施例具有沿着测井工具的纵向轴线间隔开的两个或多个天线组，每个天线组具有一个天线或近端定位或并置的多个天线。每个天线组还具有至少一个天线，该天线具有相对于测井工具的纵向轴线倾斜的偶极矩。除了具有相对于测井工具的纵轴倾斜的偶极矩的至少一个天线之外，至少一个天线组还具有至少一个天线，该天线具有相对于测井工具的纵向轴线横向或轴向的偶极矩，并且任何给定的天线组对包括至少四个天线。

还应当注意的是，在此所要求保护的内容与现有技术之间的至少一个区别在于，现有技术未能公开、教导或以其他方式表明要求至少一个天线组除了倾斜天线以外还具有横向天线或者轴向天线。例如，图1a中所示的现有技术实施例具有两个天线组，每个天线组具有两个倾斜天线，但两个天线组都没有横向或轴向天线。对于图1b的现有技术实施例能够进行类似的评述。在至少一个天线组中不存在横向或轴向天线以及倾斜天线妨碍了实践本文所述的方法和装置。

图3a是根据本公开的另一实施例的示例性井下工具的示意图。该工具包括发射器子站301和接收器子站302。发射器子站301具有彼此靠近放置两个发射器天线t1和t2。t1和t2是倾斜天线，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩。接收器子站302包括一个倾斜的接收器天线r1，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩，以及一个轴向天线r2，其具有基本平行于工具轴线的磁矩。两个倾斜发射器和一个接收器天线的磁矩处于不同的方位角平面中，如图3b中的端视图所示，其中和是t1和t2分别相对于接收器r1的方位角。两个发射器t1、t2的磁矩处于不同的方位角平面中。所有发射器和接收器天线都能够在适合测井工具的多个频率下工作。两个子站301、302间隔开所需的距离，其中一个或多个测井工具或间隔件连接在它们之间。此外，虽然示出了两个接收器邻近放置，但它们可以并置。此外，虽然示出了两个发射器天线位于与两个接收器不同的子站中，但是它们可以放置在相同的子站中。

图10d结合图10a和图10b，示出了根据本公开的用于确定em张量的图3a的实施例的流程图。在这种情况下，我们将不具有发射器t3和接收器r1对。相反，我们将具有两个另外的发射器/接收器对：倾斜发射器t1和轴向接收器r2对，以及倾斜发射器t2和轴向接收器r2对。因此，除了涉及发射器t3和接收器r1的那些步骤之外，步骤将保持相同，其中应当由发射器t1和接收器r2，或发射器t2和接收器r2进行代替。在下文中，我们将使用发射器t1和接收器r2来说明，但是可以通过相应地将索引t1改变为索引t2来使用发射器t2和接收器r2能够进行同样的操作。

当倾斜发射器t1以特定频率发射电磁场能量时，能够根据以下形式的等式来书写接收器r2处的感应电压

其中是发射器t1的磁矩相对于某个参考的方位角。感应电压仅涉及第0谐波系数和第1谐波系数，因为第2谐波系数的每项具有等于零的因子能够在多个方位角处从感应电压确定和(图10d-1027)。例如，能够使用但不限于美国专利号9,389,332中描述的方法来确定系统。第0谐波系数和第1谐波系数能够表示如下：

在此情况下，em张量只有三个元素和对感应电压有贡献。

能够使用等式(15a)、(15b)和(15c)从系数和求解(图10d-1029)和

如果接收器r2与r1紧密接近或并置，则来自发射器t1和接收器r2的em张量的三个元素与来自发射器t1和接收器r1的三个元素相同，除了作为由于天线的构造、电子漂移等而产生的相对增益因子的常数因子之外。然后，增益因子能够使用和通过以下不同方式来确定：

或

或者两者的线性组合，或者其他方式(图10d-1301)。增益因子接着能够与等式(16a)一起用于求解(10d-1033)：

能够使用公式(13a)和(13b)来求出(图10d-1035)和其中由等式(18)给出。以相同的方式，使用如之前相同的步骤(图10d-1037)，来自发射器t1和接收器r1的em张量的所有九个元素和能够被全部确定。

能够使用来自发射器t2和接收器r2的数据来导出与等式(16b)和(16c)相似的等式。因此，使用或能够容易算出相对增益能够使相对增益与相等并且根据下面的等式以及等式(8a)来求解t1和r1之间的相对方位角(如果未知)：

或者从下面的等式以及等式(8b)：

图4a是根据本公开的实施例的示例性井下工具的示意图。该工具包括发射器子站401和接收器子站402。发射器子站401具有彼此接近放置的三个发射器天线t1、t2和t3。t1是倾斜天线，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩。t2是横向天线，其具有垂直于工具轴线的磁矩。t3是轴向天线，其具有基本平行于工具轴线的磁矩。接收器子站402包括一个倾斜的接收器天线r1，该倾斜的接收器天线r1具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩。倾斜发射器、横向发射器和接收器天线的磁矩处于不同的方位角平面中，如图4b中的端视图所示，其中和是t1和t2分别相对于接收器r1的方位角。所有发射器和接收器天线都能够在适合测井工具的多个频率下工作。两个子站401、402间隔开所需的距离，其中一个或多个测井工具或间隔件连接在它们之间。尽管示出了三个发射器邻近放置，但是它们中的两个或全部能够并置。此外，尽管所描述的实施例示出了三个发射器天线位于与接收器天线不同的子站中，但是它们可以放置在相同的子站中。

当横向发射器t2以特定频率发射电磁场能量时，接收器r1处的感应电压可以以与等式(1)和等式(2)相同的方式来书写，除了用t2替换索引t1，并且设置同样在这种情况下，em张量的所有九个元素和除了以外，都对感应电压有贡献。如果两个发射器t1和t2紧密接近或并置，则来自发射器t2的em张量的九个元素(除了其为零)除了恒定因子之外与来自发射器t1的那些元素相同，其中恒定因子是由于天线的构造、电子漂移等引起的相对增益因子换句话说：

图10c结合图10a和图10b，示出了根据本公开的用于确定em张量的图4a的实施例的流程图。井下工具设置在穿透地层的井孔中(图10a-1001)。回顾如下实施例：井下工具包括邻近放置或并置在一个发射器子站中的倾斜发射器、横向发射器和一个轴向发射器，以及放置在不同子站中的至少一个接收器。井下工具发射em能量(图10a-1003)，同时井下工具在井孔中进行旋转，(图10a-1005)。

在多个方位角处，从感应电压确定系数和在多个方位角处，从感应电压确定系数和在多个方位角处，从感应电压确定系数和(图10b-1007)。可以使用但不限于美国专利号9,389,332中描述的方法来确定系数。

能够使用等式(2d)和等式(2e)对于t1和r1从系数和确定张量元素线性组合和

还能够使用相同的等式，对于t2和r1从系数和求解和除了用t2代替索引t1，并且设置(图10b-1009)。接着，能够使用和通过以下方式不同地确定增益因子：

或

或两者的线性组合，或其他方式(图10b-1011)。

还可以使用等式(2b)和(2c)从系数并且除了用t2替换发射器索引t1并设置以及先前确定的增益因子以外，使用相同的公式从系数求解和(图10b-1013)。

其中a^-1是以下矩阵的逆：

还能够在多个方位角处，从感应电压确定系数和例如可以使用但不限于在美国专利号9,389,332中描述的方法来确定系数。

能够使用等式(5a)、(5b)和(5c)从系数和求解(图10c-1017)和

然后能够使用和通过以下方式不同地确定增益因子：

或

或两者的线性组合，或其他方式(图10c-1019)。接着，可以使用增益因子以及等式(24a)来求解(图10c-102)

对于发射器t1使用等式(2a)，并且对于发射器t2使用相同等式(除了用t2替换指数t1并设置)，以及来自等式(22a)或(22b)的增益因子和来自等式(26)的能够求解和(图10c-1023)：

其中，是发射器t1和t2的磁偶极矩之间的方位角差。

能够进一步通过等式(21a)、(21b)、(27a)和(27b)从和求解(图10c-1027)和

因此，来自发射器t1和接收器r1的em张量的所有九个元素和被完全确定。此外，由于还确定了相对增益因子和因此来自发射器t2和接收器r1，或者来自发射器t3和接收器r1的em张量的任何元素也能够通过都将增益因子或乘以来自发射器t1和接收器r1的张量元素来确定。

图5a是根据本公开的另一实施例的示例性井下工具的示意图。该工具包括发射器子站501和接收器子站502。发射器子站501具有彼此接近放置的两个发射器天线t1和t2。t1是倾斜天线，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩，t2是具有垂直于工具轴线的磁矩的横向天线。接收器子站502包括一个倾斜的接收器天线r1，其具有既不平行也不垂直于工具轴线的磁矩，以及一个轴向天线r2，其具有基本平行于工具轴线的磁矩。两个发射器和倾斜的接收器天线的磁矩处于不同的方位角平面中，如图5b中的端视图所示，其中和是t1和t2分别相对于接收器r1的方位角。两个发射器位于不同的方位角平面。所有发射器和接收器天线都能够在适合测井工具的多个频率下工作。两个子站501、502间隔开所需距离，其中一个或多个测井工具或间隔件连接在它们之间。虽然显示了两个发射器邻近布置，但它们能够并置。此外，虽然示出了两个发射器天线位于与两个接收器不同的子站中，但是它们可以放置在相同的子站中。

图10d结合图10a和图10b，示出了根据本公开的用于确定em张量的图5a的实施例的流程图。在这种情况下，与图4a的实施例相比，我们将不具有发射器t3和接收器r1对。取而代之，我们将具有两个其他的发射器/接收器对：倾斜发射器t1和轴向接收器r2对，以及横向发射器t2和轴向接收器r2对。因此，除了应当由发射器t1和接收器r2代替的涉及发射器t3和接收器r1的那些步骤之外，步骤将保持相同。

当倾斜发射器t1以特定频率发射电磁场能量时，接收器r2处的感应电压可以根据以下形式的等式来书写：

其中是发射器t1的磁矩相对于某个参考的方位角。感应电压仅涉及第0谐波系数和第1谐波系数。可以在多个方位角处从感应电压确定系数和例如，可以使用但不限于美国专利号9,389,332中描述的方法来确定系数。这些系数可以用更简单的形式表示如下：

在这种情况下，只有三个em张量元素和对于感应电压有贡献。如果接收器r2与r1紧密接近或并置，来自发射器t1和接收器r2的em的三个元素与来自发射器t1和接收器r1的元素相同，除了恒定因子，其是由于天线的构造、电子漂移而产生的相对增益因子换句话说：

能够使用等式(29a)、(29b)和(29c)从系数和求解和

然后能够使用和通过以下方式来确定增益因子

或

或两者的任何线性组合，或使用其他方式。增益因子接着能够与公式(31a)用于求解

可以使用相同的等式(27a)和(27b)求出和由公式(33)给出。使用如之前的相同步骤能够完全确定来自发射器t1和接收器r2的em张量的全部九个元素和

能够使用发射器t2和接收器r2导出类似于使用发射器t1和接收器r2的等式(31b)和(31c)。因此，能够使用或容易地计算出相对增益能够使相对增益与相等，并且与等式(22b)一起从下面的等式求解t1和r1之间的方位角(如果未知)：

或者与等式(22b)一起从下面的等式进行求解：

图6a是根据本公开的又一实施例的示例性井下工具的示意图。该工具包括发射器子站601和接收器子站602。发射器子站601具有彼此邻近放置的两个发射器天线t1和t2。t1是倾斜天线，其具有既不平行也不正交于工具轴线的磁矩，t2是具有与工具轴线正交的磁矩的横向天线。接收器子站602包括两个倾斜的接收器天线r1和r2，其具有既不平行也不正交于工具轴线的磁矩。两个发射器和接收器天线中的一个接收器天线的磁矩处于不同的方位平面，如图6b中的端视图所示，其中和是tl和t2分别相对于接收器r1的方位角。两个发射器位于不同的方位角平面中，两个接收器也位于不同的方位角平面中。所有发射器和接收器天线都能够在适合测井工具的多个频率下工作。两个子站间隔开所需的距离，其中通过一个或多个测井工具或间隔物连接在它们之间。虽然示出了两个发射器邻近放置，但它们可以并置。此外，虽然示出了两个发射器天线位于与两个接收器不同的子站中，但是它们可以放置在相同的子站中。

图10e结合图10a，示出了图6a示出了根据本公开的用于确定em张量的图6a的实施例。此外，我们能够利用横向接收天线，即如图7a所示的磁偶极矩正交于工具轴线的天线，来替换倾斜接收器中的一个，例如图6a中的r2。除了在相应的方程中设置之外，仍然可以以相同的方式求解em耦合张量的九个元素。图10e中所示的流程图也能够用于该实施例。

可替换地，我们具有如图8a中所示的两个倾斜发射器、横向反射器和倾斜接收器的工具，或者如图9a所示的倾斜发射器、两个横向发射器和倾斜接收器的工具。对于两个发射器配置，我们仍然能够根据图10f所示的流程图来求解em耦合张量的九个元素。

如本领域所理解的，在互易(reciprocity)原理下，发射器和接收器的作用可以颠倒，使得例如子站201中的天线能够用作接收器并且子站202中的天线能够作为发射器。此外，尽管在图中仅示出了一个发射器子站，但是可以扩展到具有多个发射器子站的实施例。类似地，尽管在图中仅示出了一个接收器子站，但是可以扩展到具有多个接收器子站的实施例。

如本领域所理解的，处理器可以合并到系统中。处理器可以承载在井下工具上，或者它可以位于地面上，向有线或无线组件发送数据或指令或者从有线或无线组件接收和处理数据。处理器可以包括非瞬态计算机可读存储介质，其中存储有一个或多个程序，该一个或多个程序包括由处理器执行的指令。

尽管上面已经详细描述了一些示例实施例，但是本领域技术人员将容易理解，在示例实施例中可以进行许多修改而不实质上脱离本公开。因此，这些修改旨在包括在如以下权利要求所限定的本公开的范围内。在权利要求中，装置加功能的条款旨在覆盖这里描述的执行所述功能的结构，而不仅仅是结构等同物，而且也包括等同结构。因此，尽管钉子和螺钉可能不是结构等同物，因为在紧固木质部件的环境中，钉子采用圆柱形表面将木质部件固定在一起，而螺钉采用螺旋表面，钉子和螺钉可以是等效结构。申请人的明确意图是不要援引美国35u.s.c.§112，第6段，对于本文任何权利要求的任何限制，除了那些权利要求明确使用“用于...的手段”和相关功能的词语之外。