一种基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法与流程

本发明属于铣削加工领域，更具体地，涉及一种基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法。

背景技术：

在五轴数控加工中，刀轴矢量剧烈变化会引起刀具与工件曲面的过切和碰撞，使得刀具轨迹中经常会有锯齿形状，以及实际加工中的振动，进而影响加工精度和加工表面质量。因此，刀轴矢量的变化率必须受到限制，同时要考虑避免刀具的碰撞和过切。

国内外工业界和学术界都针对五轴数控加工的刀轴矢量优化进行了大量的理论研究和应用研究。在工业界，目前已有ug/nx和catia等市场占有率最高的两种通用计算机辅助制造(cam)软件，其中ug/nx对刀轴矢量控制的策略有17种之多，包括相对于矢量、垂直于工件曲面、相对于工件曲面等等，这种刀轴矢量控制的策略需要编程人员根据经验主观判断且需大量输入参数而获得，并不能保证是最优化的结果。此问题在中国尤其严重，原因是国内更缺乏有高级工艺经验的cam工程师，其结果是一般国内复杂曲面零件加工的时间、精度、平顺度，都不如欧美先进国家。其根本原因是缺乏一个统一的数学框架来描述刀轴矢量优化方法。

目前，对于刀轴矢量的优化过程中，刀轴矢量的优化中避免了刀具的过切或碰撞进行了修正，但不能保证刀轴矢量的运动轨迹是光顺的；申请号cn201310451890.3、名称为“运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀矢光顺方法”的发明专利，首先确定加工轨迹曲线上刀轴矢量光顺调整区间、根据走刀步长确定离散点的基础上，建立机床旋转进给轴转角优化数学模型；然后，计算离散点对应的曲面法矢相对刀轴矢量的旋转角度，最后，对获得的离散加工轨迹法矢转角进行拟合，获得光顺的刀轴矢量函数，保证机床旋转轴运动平滑，但是该方法没有考虑加工过程中刀具与工件的过切或碰撞问题，而且刀轴矢量的计算不是系统和综合性的求解方法，无法满足广泛的加工需求。

技术实现要素：

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法，通过确定待优化矢量的加工需求并建立的相应的协变场泛函，由此解决刀具与工件的过切或碰撞、刀轴矢量轨迹的光顺性等技术问题。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)选取刀轴矢量作为待优化的对象，并根据实际加工状况确定与其相对应的具体加工需求，分别将该具体加工需求逐一转化为与之对应的目标协变场泛函或约束协变场泛函；

(b)所有所述具体加工需求对应的目标变场泛函或约束协变场泛函构成一个组合，该组合中所有所述目标变场泛函或约束协变场泛函加权求和得到待优化刀轴矢量的优化模型；

(c)将所述优化模型按照刀具轨迹曲线离散，从而得到离散的优化模型，并采用约束非线性优化的方法求解该离散的优化模型的最小值，从而得到所需的待优化刀轴矢量，由此完成刀轴矢量的优化。

进一步优选地，步骤(a)中，所述加工需求包括：

(a1)刀轴矢量稳定性：待优化刀轴矢量的波动最小；

(a2)刀轴矢量方向优选：待优化刀轴矢量方向与预设方向场误差最小；

(a3)刀轴矢量方向限定：预设位置处待优化刀轴矢量方向与该位置的预设向呈几何关系；

(a4)刀轴矢量方向禁区：待优化刀轴矢量避开加工禁区，在该禁区内刀具沿待优化刀轴矢量的方向加工与工件发生过切或碰撞。

进一步优选地，所述(a1)的加工需求建立的目标协变场泛函按照下列表达式进行，

其中，t是轨迹参数，其中t∈[0，1]，a(t)是待优化刀轴矢量，g(t)是刀具加工轨迹曲线上的度规，es是待优化刀轴矢量的稳定性泛函。

进一步优选地，所述(a2)的加工需求建立的目标协变场泛函按照下列表达式进行，

其中，p是任意的正数，m(t)是预设的方向场，其绝对值的取值范围在0到1之间，ep是待优化刀轴矢量的优选方向泛函。

进一步优选地，所述(a3)的加工需求建立的约束协变场泛函按照下列表达式进行

其中，f(a(t))为预设位置处待优化刀轴矢量方向与该位置的预设方向呈几何关系的几何关系式，ex是待优化刀轴矢量的方向限定泛函，

(i)当要求待优化刀轴矢量方向与特定预设方向平行时，所述f(a(t))按照下列表达式进行，

f(a(t))=-υv(t)·a(t)

v(t)是预设方向矢量场，υ是任意的正数；

(ii)当要求待优化刀轴矢量构成的矢量场所在平面与预设方向垂直时，所述f(a(t))按照下列表达式进行，

f(a(t))＝μn(t)·a(t)²

n(t)是预设特定位置处的预设方向的法向矢量场，μ是任意的正数；

(iii)当要求待优化刀轴矢量与预设方向呈夹角φ(t)时，所述f(a(t))按照下列表达式进行，

f(a(t))＝η(q(t)·a(t)-cos(φ(t)))

q(t)预设方向矢量场，η是任意的正数，φ(t)是前倾角关于曲线参数t的函数。

进一步优选地，所述(a4)的加工需求建立的约束协变场泛函按照下列表达式进行，

其中，ef是待优化刀轴矢量的方向禁区泛函，p(a(t))是待优化刀轴矢量所有运动方向的标量区域函数，p(a(t))＞0，是任意的正数。

进一步优选地，在步骤(c)中，对所述协变场泛函进行加权求和，由此得到所述待优化刀轴矢量的优化模型e为：

e＝es+ep+ex+ef+ea

进一步优选地，采用有限差分离散所述优化模型，得到离散后的待优化刀轴矢量优化模型按照下列表达式进行，

其中，n是将轨迹参数t的区间[0.0,1.0]等分成多个区间的区间数量，j是第j个离散点，取[0,n]之间的整数，aj是第j个离散点处的刀轴矢量，aj+1是第(j+1)个离散点处的刀轴矢量，mj是有限差分离散后的预设方向场，其绝对值的取值范围在0到1之间，f(aj)为有限差分离散后的几何关系式，p(aj)是有限差分离散后的待优化刀轴矢量所有运动方向的标量区域函数，λj为拉格朗日乘子。

进一步优选地，采用有限元离散所述优化模型，得到离散后的待优化刀轴矢量优化模型按照下列表达式进行，

其中，i是第i个轨迹离散点，ai是对应上述a(t)的第i个离散点处的刀轴矢量，ai+1是对应上述a(t)的第(i+1)个离散点处的刀轴矢量，mi是有限元离散后的预设的方向场，其绝对值的取值范围在0到1之间，f(ai)为有限元离散后的特定预设方向决定的关系式，p(ai)是有限元离散后的待优化刀轴矢量所有运动方向的标量区域函数，λi为拉格朗日乘子。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

1、本发明通过建立针对实际的加工需求，确定待优化刀轴矢量的应满足的加工需求，并根据该加工需求确定目标和约束，并由此建立相应的协变场泛函，构建刀轴矢量优化模型，实现了刀轴矢量的量化求解，提高数控加工过程中的可控性；

2、本发明通过在刀轴矢量稳定性的加工需求的泛函表达式中，引入刀具加工轨迹曲线上的度规g(t)，保证了泛函的协变性，使刀轴矢量优化模型能够适应任意曲面；

3、本发明通过采用协变场泛函表示加工需求的方式，使得加工需求量化，加工需求的数量和所占权重可根据实际情况调整，且适用于不同的加工轴的加工，适用范围广，使用价值高；

4、本发明通过采用有限差分或有限元法离散后转变为求和函数，由于刀具轨迹不是一条连续的曲线，而是由一些离散的刀位点组成的，因此为了满足不同的加工需求，使用该方法将这个很复杂的工程问题转化成了数学问题，在优化刀轴的过程中无需计算度量张量和参数曲面降低了问题的求解难度；

5、本发明通过采用约束非线性优化的方法求解优化模型，因为整体刀轴矢量优化协变场泛函离散之后是一个非线性约束优化模型，所以要采用非线性约束优化方法进行求解，利用非线性优化算法对离散后的模型进行求解得到刀轴矢量序列，降低了优化模型求解的难度，求解结果的鲁棒性较好。

附图说明

图1是按照本发明的优选实施例所构建的基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法的流程图；

图2是按照本发明的优选实施例所构建的数控加工中刀轴矢量在实际加工中的结构示意图；

图3是按照本发明的优选实施例所构建的加工过程中前倾角和侧倾角决定刀轴矢量的示意图；

图4是按照本发明的优选实施例所构建的五轴数控加工中刀轴矢量波动示意图；

图5是按照本发明的优选实施例所构建的加工工件侧壁时限定刀轴矢量方向的示意图；

图6是按照本发明的优选实施例所构建的被加工工件四个顶点处限定刀轴矢量方向的示意图；

图7是按照本发明的优选实施例所构建的五轴数控加工中避免与工件侧壁岛屿或凸台发生干涉的示意图；

图8是按照本发明的优选实施例所构建的有限差分方法对参数区间和刀具轨迹分割的示意图；

图9是按照本发明的优选实施例所构建的有限元方法对刀具轨迹分割的示意图；

图10是按照本发明的优选实施例所构建的汽轮机叶片加工过程中的刀轴矢量优化示意图；

图11是按照本发明的优选实施例所构建的与图10对应的刀轴矢量变化率与刀触点的关系示意图；

图12是按照本发明的优选实施例所构建的对曲率变化较大的截面加工的刀轴矢量优化示意图；

图13是按照本发明的优选实施例所构建的与图11对应的刀轴矢量变化率与刀触点的关系示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

图2是按照本发明的优选实施例所构建的数控加工中刀轴矢量在实际加工中的结构示意图，如图2所示，刀触点，简称cc点，是指刀具铣削工件曲面的过程中，与工件曲面和刀具曲面相切的位置点；刀触点轨迹，即cc轨迹，所有的cc点按照一定方式连接起来的线段的集合称为刀触点轨迹；刀位点，简称cl点，是指刀具的定位基准点，对于各种铣削刀具，一般取刀具轴线与刀具底端的交点；刀位点轨迹，即cl轨迹，所有的cl点按照一定方式连接起来的线段的集合称为刀位点轨迹，本发明中的刀具轨迹就是指cl轨迹；刀轴矢量，刀具轨迹上每一个cl点对应一个刀具位置，图3是按照本发明的优选实施例所构建的加工过程中前倾角和侧倾角决定刀轴矢量的示意图，如图3所示，在五轴数控加工中，刀轴矢量由前倾角φ和侧倾角θ决定。定义前倾角的坐标系。

图1是按照本发明的优选实施例所构建的基于协变场泛函的刀轴矢量优化方法的流程图，如图1所示，该优化方法包含以下步骤：

(a)确定刀轴矢量应满足的四个加工需求：

(a1)刀轴矢量稳定性：待优化刀轴矢量的波动最小，图4是按照本发明的优选实施例所构建的五轴数控加工中刀轴矢量波动示意图，如图4所示；

(a2)刀轴矢量方向优选：待优化刀轴矢量方向与预设方向场误差最小；两种实际加工案列为：

在五轴数控加工中，应保证前倾角尽可能小，以增大切宽，提高加工效率；

在五轴型腔加工中，当工件侧壁表面的任何一部分被限定时，应使刀轴矢量方向与限定直线方向一致，图5是按照本发明的优选实施例所构建的加工工件侧壁时限定刀轴矢量方向的示意图，如图5所示；

(a3)刀轴矢量方向限定：预设特定位置处待优化刀轴矢量方向与该位置的预设方向平行或垂直；三种实际加工案列为：

在五轴型腔加工中，应当限定刀轴矢量方向来保证刀具曲面与型腔转角处的转角曲面保持贴合一致性，如图5所示；

在五轴型腔加工中，应当限定刀轴矢量方向来保证刀具曲面在任意刀触点处和工件侧壁表面相切，如图5所示；

在工件曲面的顶点处，应保证刀轴矢量方向为预定义的方向，图6是按照本发明的优选实施例所构建的被加工工件四个顶点处限定刀轴矢量方向的示意图，如图6所示；

(a4)刀轴矢量方向禁区：待优化刀轴矢量避开加工禁区，该禁区内刀具沿待优化刀轴矢量的方向加工会与工件发生过切或碰撞。三种实际加工案列为：

在五轴profiling加工中，应当使刀轴矢量方向避免位于刀具与工件发生干涉或距离较近的区域，比如工件曲面上的带岛屿或凸台与刀具发生干涉的区域，图7是按照本发明的优选实施例所构建的五轴数控加工中避免与工件侧壁岛屿或凸台发生干涉的示意图，如图7所示；

在五轴数控加工中，应当保持前倾角为正值，避免破坏已切削的工件；

在五轴数控加工中，当曲面是凹的情况下，应当调整刀轴矢量使刀具轮廓曲率大于工件模型的曲率，避免发生干涉；

(b)将加工需求转化为目标协变场泛函和约束协变场泛函

(b1)刀轴矢量稳定性

将刀具轨迹表示成一条以t为参数的曲线c(t)，其中t从0取到1，0和1分别对应于曲线的两端。a(t)表示在刀触点轨迹c(t)所对应的刀轴矢量不能剧烈变化，即稳定性条件，这就要求刀轴矢量a(t)随轨迹的变化幅度不能太大，刀轴矢量a(t)的变化幅度可表示为：

方程(2)中弧长的微分ds作为积分参量，可保证积分式在任何参数化的表面上都适用。对于特定参数化的刀具轨迹，比如c(t)，a(t)的变化幅度可表示为：

方程(3)中g(t)是刀具轨迹曲线上的度规，随t的变化表示刀轴矢量方向随刀具轨迹的变化，要求a(t)不能剧烈变化，需使方程(3)最小。

(b2)刀轴矢量方向优选

用m(t)表示方向场，每一个参数t都有一个特定的方向，m(t)的绝对值范围在0到1。m(t)＝0表示不需要刀轴矢量方向优选这一加工需求，m(t)＝1强烈需要刀轴矢量方向优选这一加工需求。调整m(t)的值可以限定前倾角大小，前倾角的范围取1度到45度之间，这里取前倾角为15度。刀轴矢量方向优选这一加工需求可转化为求协变场泛函，即方程(4)的最小值：

其中系数p是常数，范围在0到1，是考虑所有方向的权重后得到。分别取p＝0.01和p＝0.0025对刀轴矢量方向进行优化。把方程(4)最小化后就能使刀轴矢量方向在理想的刀轴矢量方向附近。

(b3)刀轴矢量方向限定

定义f(a(t))表示不同的情况下刀轴矢量a(t)与预定义的矢量方向之间的关系函数。若有多种情况同时存在时，将相应情况的f(a(t))表达式权重求和后再代入到方程(5)中进行求解，即可将刀轴矢量方向限定转化为求方程(5)的最小值。

在多轴数控加工中，当要求刀具轨迹的首末端点处的刀轴方向与特定预设方向平行时，该加工需求应按等式(6)进行

f(a(t))=-υv(t)·a(t)(6)

其中v(t)是预设特定位置处的预设方向矢量场，υ是任意的正数，取υ＝1000。

在四轴数控加工中，当要求刀轴方向构成的矢量场所在平面与特定方向保持垂直时，该加工需求按照等式(7)进行

f(a(t))=μn(t)·a(t)²(7)

其中n(t)预设特定位置处的预设方向的法向矢量场。μ是任意的正数，取μ＝1000。

在五轴数控加工中，当要求预设特定位置处待优化刀轴矢量方向与该位置的预设方向呈特定夹角时，该加工需求按照等式(8)进行

f(a(t))=ηq(t)·a(t)-cos(φ(t))(8)

其中q(t)预设特定位置处的预设方向矢量场，η是任意的正数，取η＝1000，φ(t)是前倾角关于曲线参数t的函数。

(b4)刀轴矢量方向禁区

刀轴矢量方向禁区条件的一种表示方法为：构建一个标量的区域函数p(a)，定义刀轴矢量所有运动方向。在刀轴矢量运动的禁区，定义p(a)为正数，在允许刀轴矢量运动的区域，定义p(a)等于0。从而将刀轴矢量方向禁区需求转化为求协变场泛函，即方程(9)的最小值：

其中是较大的常数，取

刀轴矢量方向禁区条件另一种表示方法为：ai表示在刀触点ci的刀轴矢量，每一个刀触点ci都有一块允许刀轴矢量运动的区域，这个区域是ai的集合，用vmap(ci)表示。仅考虑前倾角φ，把侧倾角θ当作常数，允许的最大值和最小值是由vmap(ci)的边界给定的。如果vmap(ci)的边界是φimin和φimax，那么φi的范围就是：

φimin≤φi≤φimax(10)

在五轴数控加工中，当侧倾角固定时，刀轴矢量方向仅仅是由前倾角φ决定，可得到：

θ(t)＝const

φmin(t)≤φ(t)≤φmax(t)t∈[0.0,1.0](11)

(c)建立协变场泛函表示的整体刀轴矢量优化协变泛函模型，

对该模型求解得到待优化刀轴矢量，基于上述目标和约束的协变场泛函，整体刀轴矢量优化统一协变场泛函为：

a(t)是刀轴矢量，满足边界条件，即在t＝0和t＝1时有一组固定的值。求解这个统一泛函的变分，搜索合适的刀轴矢量场a(t)，可求统一泛函的极小值，使得优化后的刀轴矢量满足给定的所有需求。

建立整体刀轴矢量优化模型具有开放性，不限于本发明中给出的四个需求。如果有新的加工需求，可直接将新的加工需求添加到方程(12)中，建立新的统一泛函，并对其优化求解。

(d)对刀轴矢量优化协变泛函模型进行离散并进行求解得到优化后的刀轴矢量

考虑加工精度要求，利用有限差分或有限元方法对刀轴矢量优化模型的积分协变场泛函求和：

利用有限差分方法对参数区间和刀具轨迹分割并求和，图8是按照本发明的优选实施例所构建的有限差分方法对参数区间和刀具轨迹分割的示意图，如图8所示：

将参数t的区间[0.0,1.0]等分成n个区间，每一个离散点用整数j∈[0,n]表示。cj序列是刀具轨迹分割后的节点，aj是依附在cj上的刀轴矢量。积分泛函的解析表达式与有限差分的关系可表示为：

方程(12)中一阶微分的平方项用向前和向后的有限差分表示，有限元差分之后，积分函数转化为求和函数，得到离散的刀轴矢量优化模型为：

其中

方程(14)为整体刀轴矢量优化的离散模型。对j∈[1,n-1]，采用变分条件和可得到4(n-1)个联立方程。

利用有限元法将刀具轨迹曲线离散并求和，图9是按照本发明的优选实施例所构建的有限元方法对刀具轨迹分割的示意图，如图9所示：

ci序列是刀具轨迹分割后的节点，ai是依附在ci上的刀轴矢量，li+1,i≡|ci+1-ci|是每一段线段的长度。积分泛函的解析表达式与有限元分割的关系可表示为：

有限元分割之后，积分函数转化为求和函数，得到离散的刀轴矢量优化模型为：

其中

方程(16)为整体刀轴矢量优化的离散模型。采用变分条件和可得到多个有限元的方程。

通过输入权重参数来决定各种加工需求在刀轴矢量优化结果中的重要性。选择所需要的条件限定，调节不同条件的权重。方程(14)的几个系数p、v、μ、φ是可以任意调节的系数，每一个系数都代表相应的加工需求在刀轴矢量优化结果中的权重。

利用约束非线性优化求解方法求解上述优化问题，得到同时满足四个加工需求的刀轴矢量场。

图10是按照本发明的优选实施例所构建的汽轮机叶片加工过程中的刀轴矢量优化示意图，如图10所示，五轴数控加工中，汽轮机叶片加工轨迹上的刀轴矢量优化示意图。实线箭头是刀具轨迹上每个刀触点处的法矢方向，细虚线箭头是理想的刀轴矢量方向，粗虚线箭头是优化后的刀轴矢量方向。从图中可以看出，优化后的刀轴矢量方向接近理想的刀轴矢量方向，而且刀轴矢量方向变化与汽轮机叶片表面的曲率变化相适应，优化后的刀轴矢量方向分布较好。

图11是按照本发明的优选实施例所构建的与图10对应的刀轴矢量变化率与刀触点的关系示意图，如图11所示，在图10中，实线表示优化前的刀轴矢量方向变化率，虚线表示优化后的刀轴矢量方向变化率。可以看出，在优化前，在曲率比较大的两块区域，刀轴矢量方向的变化率非常大。在优化后，刀轴矢量在这两块区域的运动光顺了很多。在曲率比较低的区域，因为刀轴矢量方向限定条件的影响，刀轴矢量方向仍然靠近理想的刀轴矢量方向。

图12是按照本发明的优选实施例所构建的对曲率变化较大的截面加工的刀轴矢量优化示意图，如图12所示，实线箭头是刀具轨迹上每个刀触点处的法矢方向，细虚线箭头是理想的刀轴矢量方向，粗虚线箭头是优化后的刀轴矢量方向。从图中可以看出，优化后的刀轴矢量方向接近理想的刀轴矢量方向，而且刀轴矢量方向变化与截面的曲率变化相适应，优化后的刀轴矢量方向分布较好。

图13是按照本发明的优选实施例所构建的与图11对应的刀轴矢量变化率与刀触点的关系示意图，如图13所示，在优化前，在曲率比较大的区域，刀轴矢量方向的变化率非常大。在优化后，刀轴矢量在曲率比较大的区域的运动光顺了很多，优化后的刀轴矢量方向变化率远小于优化前，而且在曲率较小的区域，刀轴矢量方向与理想的方向接近。该图还描述了刀轴矢量方向限定的权重参数对优化的影响，粗虚线的权重参数取0.01，细虚线的权重参数取0.025，可以看出，权重参数越小，刀轴矢量越光顺。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。