一种地磁指纹数据库自动化构建方法与装置与流程

本发明涉及一种地磁指纹数据库采集和自动构建方法与装置，属于信息智能化物联网应用技术领域

背景技术：

地磁数据采集的前提是移动载体准确行进至采集点，即移动机器人的路径规划。路径规划又首先需要机器人准确的定位。定位方式可以分为两种：主动式定位与被动式定位。主动式定位是指通过对外部信息的感知，获取有效的环境特征，再与系统中预先设定的模型进行匹配，进而得出机器人的位置。此种定位方式需要事先获取环境信息并将其导入系统中，但目前室内平面图的来源十分有限，比如谷歌的做法是由合作商家提供平面图，北京点道互联科技点道则是20-30％是商城主动提供，70％通过人工线下收集的，这无疑降低了此种定位方式的效率和实用性，且环境改变后准确率和可靠性也将大大下降，不易调整。被动式定位是指机器人实时监测自身的运动状态，通过初始状态与对运动的累加计算出机器人当前在空间中的位置和方向。目前普遍使用的是航位推算法，但是传统的航位推算法取固定原点，最终只能得出当前位置与目标夹角在[-90°，90°]之间的夹角，适用范围有限。所以我们需要一种更实用，适用于所有情况的定位方式。

路径规划是指根据需求找出一条从起点到目标点的最优或者最近的无碰撞路线，主要可分为基于环境信息已知的路径规划和基于环境信息全部未知或部分未知的路径规划。基于环境信息已知的路径规划包括：(1)可视图法：根据已知的环境信息制定一条由起点到目标点的无碰路径轨迹，机器人按人为指定轨迹行驶。但由于室内平面图的来源与准确度有限，该方法的实用性不强，且环境变化后可靠性急剧下降，适应性差。(2)栅格法：该种方法将区域分割成一个个栅格，规划后的行驶路径用连续的栅格序列号表示，机器人在栅格之间行驶。

但是如何划分栅格是该方法的一个主要问题，栅格过多，计算量巨大，效率下降，栅格过少，分辨率下降，损失空间增多，准确率下降。基于环境信息全部未知或部分未知的路径规划包括：(1)人工势场法：人工势场法是由khatib提出的一种虚拟力法，其基本思想是把机器人的运动看作在虚拟力驱动中的运动，即目标点对机器人有吸引力，反之，障碍物对机器人有排斥力，二者共同作用于机器人，根据牛顿运动定律等算法解出机器人的运动方向与速度。但是由于其原理限制，存在在障碍物前振荡与在狭窄通道中摆动等缺点。所以我们需要一种更为简单快捷、可靠实用的路径规划方法。

传统的地磁数据采样装置仅仅考虑对地磁的x,y,z三个轴的数据进行采处理后生成地磁指纹数据库，没有考虑到传感器空间姿态对采集到的数据的影响，同时没有对铁磁场的干扰例如电路板和其他金属材料对地磁数据的影响进行校准，采集到的数据与实际有相当大的差距，并且没有考虑到移动设备的功耗，对器件的供电模式不加限制，不利于设备的续航和能源的节约。同时，在构造地图阶段，传统的地磁数据采样装置对机器人所在位置的确定没有具体的算法，没有考虑空间波动，因此定位精度不够。

在地磁数据库的建立上，传统的解析法适合于表现大范围的地磁场信号，但计算量大，分析过程比较复杂，不适合于特点为小范围，且需要快速更新数据的室内定位，需要更好的统计学方法去高效地构建局部地磁场。

技术实现要素：

发明目的：针对现有技术中存在的问题与不足，本发明提供一种地磁指纹数据库自动化构建方法与装置，使用无需事先提供室内平面图的移动机器人高效准确地到达需要采集地磁数据的指定点，并自动化反复采集，实时更新地磁数据，对磁场干扰和倾角进行补偿，解决机器人定位不准确的问题，为了使地磁数据与室内的实际情况匹配度更高，采用了克里金插值法对未测量点进行较准确的估值。

技术方案：一种地磁指纹数据库自动化构建方法，包括如下步骤：

移动机器人的定位方式采用改进的航位推算法，从而得到适用于所有情况的、移动机器人当前方向与目标点方向在[-180°，180°]之间的夹角；路径规划采用模糊控制法，无需事先获取室内平面图，也不需要设计具体路线，只需要确定所要采集的起点、节点、终点位置，移动机器人即可避开障碍物，准确到达目标点进行地磁数据库的采集；自动化采集，将节点按照顺序标号，移动机器人即可按照标号依次反复到达各节点采集地磁数据，实现地磁指纹数据库的构建与实时更新；

获取室内的地磁指纹数据，首先消除干扰磁场，然后采集三维地磁数据和三维加速度数据，对地磁数据进行倾角补偿，保证数据不受倾角影响；

对机器人反馈的位置进行卡尔曼滤波与粒子滤波相结合的混合滤波，通过不断获取新数据，利用噪声的权重进行调整，根据噪声变化进行快速调整；

对未测量点的地磁数据用克里金插值法进行估值，根据测量点修正后的地磁数据用克里金插值法公式求出各测点的权重，估计插值点即未测点的地磁数据，完善地磁数据库。

一种地磁指纹数据库自动化构建装置，包括：

数据采集载体，用于搭载地磁数据采集端，到达室内的指定区域可进行室内空间的数据采集；

人机交互模块，负责在地磁指纹数据库自动化构建中实现人机交互及可视化表达；

数据采集模块，用于采集地磁数据和加速度数据，以达到获得地磁数据和计算传感器倾角的目的；

偏转角获取模块：使用电子罗盘，用于采集方向信息，作为移动机器人的方位角，从而定位自身位置，寻找下一节点；

速度获取模块，根据光码盘测速的原理，使用红外线照射驱动轮内侧的黑白相间的条纹，利用红外线特征对条纹进行脉冲计数，获取移动机器人车轮的角速度，实现机器人对自身位置的定位；

距离获取模块，通过安装在移动机器人前方的超声波测距模块，获取移动机器人与周围环境中障碍物的距离，从而调整行进方向，躲避障碍物；

运动控制模块，主控模块收集处理各模块的信息，给运动控制模块的两个电机输出控制信号，控制移动机器人的行进方向与速度。

主控模块，用于储存和运行算法，对各个模块进行驱动和协调管理。在程序中事先设定采集节点，在移动机器人行进过程中，根据节点顺序来进行模糊控制的参数设定，利用距离获取模块来判断移动机器人是否遇到障碍物，并时刻收集偏转角数据与初始值累加来获得移动机器人行进的方向，收集速度获取模块的数据来计算移动机器人行进的速度，根据收集和计算得到的数据在有障模式下通过模糊化算法对运动控制模块发送指令，进行障碍避让，在无障模式下用增量式pid算法对移动机器人行进的方向进行控制，实现到达节点的目的。到达指定区域后利用改进的航位推算法通过积累的数据进行定位，初步计算得到移动机器人所处的位置，并通过数据采集模块收集地磁和加速度数据，根据平面校准法驱动运动控制模块获取磁场数据消除干扰磁场，利用加速度数据进行倾角补偿后，根据反馈的位置数据进行混合滤波，获得最佳位置估计，形成地磁指纹数据。在获取新的节点地磁指纹数据后，利用克里金插值法完善地磁数据，更新已有的地磁指纹数据库，并上传到云数据库中。在整个过程中，使用者均可以通过人机交互模块获取即时信息和对移动机器人进行控制。；

进一步地，所述数据采集载体使用双轮差分驱动式移动机器人；

进一步地，所述人机交互模块通过可触摸的lcd屏进行使用者与机器人的交互，可以通过屏幕对机器人发送指令，实现控制机器人的目的，并且实时显示机器人各种状态，使使用者可以方便地获得机器人的信息。

进一步地，所述主控模块由k60单片机及外围主板组成。

有益效果：与现有技术相比，本发明提供的地磁指纹数据库自动化构建方法与装置，操作方便、成本低，解决了在室内地磁数据库采集过程中需要事先获取室内平面图、干扰磁场影响大、姿态受限制、机器人定位不准、未测点估值计算量大且准确度较低等缺点。同时克服了在采集地磁数据库时需要设定具体路线、移动载体自适应性差、定位终端必须按指定姿态握持等问题。本发明在室内地磁数据库采集过程中不需要事先获取室内平面图，也不需要设计具体路线，只需要确定所要采集的起点、节点、终点位置，移动机器人即可按照设定的节点顺序自动化反复采集并实时更新地磁数据。相对于其他地磁指纹数据库自动化构建方法与装置具有造价低、方便实用、自适应性强、定位精准等优点。

附图说明

图1为本发明实施例的移动机器人示意图；

图2为本发明实施例的地磁指纹数据库自动化构建方法的框图；

图3为模糊控制的框图；

图4为室内设置的所有采集节点示意图；

图5为实际磁场、干扰磁场和读取磁场的关系图；

图6为地磁传感器与水平面的夹角关系；

图7为加速度传感器与水平面的夹角关系；

图8为数据采集处理的框图；

图9为克里金插值法处理的框图。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

地磁指纹数据库自动化构建方法，包括如下步骤：移动机器人的定位方式采用改进的航位推算法，从而得到适用于所有情况的、移动机器人当前方向与目标点方向在[-180°，180°]之间的夹角；路径规划采用模糊控制法，无需事先获取室内平面图，也不需要设计具体路线，只需要确定所要采集的起点、节点、终点位置，移动机器人即可避开障碍物，准确到达目标点进行地磁数据库的采集；自动化采集，将节点按照顺序标号，移动机器人即可按照标号依次反复到达各节点采集地磁数据，实现地磁指纹数据库的构建与实时更新；

获取室内的地磁指纹数据，首先消除干扰磁场，然后采集三维地磁数据和三维加速度数据，对地磁数据进行倾角补偿，保证数据不受倾角影响；

对机器人反馈的位置进行卡尔曼滤波与粒子滤波相结合的混合滤波，通过不断获取新数据，利用噪声的权重进行调整，根据噪声变化进行快速调整；

对未测量点的地磁数据用克里金插值法进行估值，根据测量点修正后的地磁数据用克里金插值法公式求出各测点的权重，估计插值点即未测点的地磁数据，完善地磁数据库。

地磁指纹数据库自动化构建装置，包括：

数据采集载体，用于搭载地磁数据采集端，到达室内的指定区域可进行室内空间的数据采集；

人机交互模块，负责在地磁指纹数据库自动化构建中实现人机交互及可视化表达；

数据采集模块，用于采集地磁数据和加速度数据，以达到获得地磁数据和计算传感器倾角的目的；

偏转角获取模块，使用电子罗盘，用于采集方向信息，作为移动机器人的方位角，从而定位自身位置，寻找下一节点；

速度获取模块，根据光码盘测速的原理，使用红外线照射驱动轮内侧的黑白相间的条纹，利用红外线特征对条纹进行脉冲计数，获取移动机器人车轮的角速度，实现机器人对自身位置的定位；

距离获取模块，通过安装在移动机器人前方的超声波测距模块，获取移动机器人与周围环境中障碍物的距离，从而调整行进方向，躲避障碍物；

运动控制模块，主控模块收集处理各模块的信息，给运动控制模块的两个电机输出控制信号，控制移动机器人的行进方向与速度。

主控模块，用于储存和运行算法，对各个模块进行驱动和协调管理。在程序中事先设定采集节点，在移动机器人行进过程中，根据节点顺序来进行模糊控制的参数设定，利用距离获取模块来判断移动机器人是否遇到障碍物，并时刻收集偏转角数据与初始值累加来获得移动机器人行进的方向，收集速度获取模块的数据来计算移动机器人行进的速度，根据收集和计算得到的数据在有障模式下通过模糊化算法对运动控制模块发送指令，进行障碍避让，在无障模式下用增量式pid算法对移动机器人行进的方向进行控制，实现到达节点的目的。到达指定区域后利用改进的航位推算法通过积累的数据进行定位，初步计算得到移动机器人所处的位置，并通过数据采集模块收集地磁和加速度数据，根据平面校准法驱动运动控制模块获取磁场数据消除干扰磁场，利用加速度数据进行倾角补偿后，根据反馈的位置数据进行混合滤波，获得最佳位置估计，形成地磁指纹数据。在获取新的节点地磁指纹数据后，利用克里金插值法完善地磁数据，更新已有的地磁指纹数据库，并上传到云数据库中。在整个过程中，使用者均可以通过人机交互模块获取即时信息和对移动机器人进行控制；

数据采集载体使用双轮差分驱动式移动机器人；

人机交互模块通过可触摸的lcd屏进行使用者与机器人的交互，可以通过屏幕对机器人发送指令，实现控制机器人的目的，并且实时显示机器人各种状态，使使用者可以方便地获得机器人的信息。

主控模块由k60单片机及外围主板组成。

移动机器人主体：如图1所示，该部分主要由底盘、车轮、电机、主控器、液晶屏、电子罗盘、光码盘、超声波测距以及电池等外围电路组成。底盘承载了电机等各个模块，液晶屏构成人机交互模块，主控器为主控模块，液晶屏与主控器共同组成操作平台，实现人机交互；电子罗盘与两个电机同构成偏转角获取模块，实现移动机器人方位角的获取与朝向目标点间方位角的调整；光码盘与车轮及电机组成了速度获取模块，在驱动轮内侧贴上黑白相间的等间隔条纹，利用红外线特性对转动的条纹进行脉冲计数，即可计算出驱动轮的角速度，电机再根据主控器的命令调整转速；超声波测距组成了距离获取模块，超声波传感器通过发射头射出超声波波束，遇到障碍物后反射，由接收头接收回波，然后记下往返的时间间隔，最后通过距离公式计算出接收头与障碍物的距离，传送给主控器经过处理与计算后主控器发送指令给电机，实现行进速度与方向的调整，从而逐渐接近最后到达目标点。

移动机器人的定位方式采用改进的航位推算法，即进行坐标轴平移，将移动机器人的当前位置作为坐标原点，在此基础上进行机器人行进方向与目标方向间夹角的计算。设目标点t在新坐标中的坐标值为(xt-xn，yt-yn)，其中(xn，yn)是原坐标系中机器人的当前位置，(xt，yt)是原坐标系中的目标位置。然后计算新坐标中原点与目标点t之间的正弦和余弦值，即

确定θt所在象限后利用反三角函数即可求出唯一的θt。

移动机器人行进方向由如下公式确定：

其中△s为行驶距离的步长，△ti为机器人完成该段步长所用时间，θ0为移动机器人初始行驶角度，(x0，y0)为移动机器人初始坐标值。初始值累加后就可以得出移动机器人当前的准确位置与行进方向。最后以θt减去θn再确定到[-180°，180°]范围，即可得出夹角△θ值。

路径规划采用模糊控制，模糊控制框图如图2所示，根据距离信息处理结果以及目标点的位置，移动机器人将周围环境分为有障模式和无障模式。然后对不同的环境模式采取不同的控制方式，即：有障环境下的模糊控制和无障环境下的模糊pid控制，从而决策出转弯控制量。

1)有障模式下的模糊控制：

将左、前、右三个方向上的距离向量d和目标点与机器人正向方向夹角值△θ作为系统输入，转弯控制量α作为输出。主要过程为：模糊输入-根据模糊推理库进行模糊推理-去模糊输出，通过建立隶属函数进行模糊化，由模糊推理机构和模糊规则库组成的模糊推理库进行模糊推理，最后用重心法去模糊化。

根据移动机器人的特点和实际应用需要，模糊系统的隶属度函数表示如下：

①将前、左、右方向与障碍物的距离df、dl、dr为三个模糊集：n(近)，m(中)，l(远)。

②车身与目标点的夹角△θ取nz、fz，分别表示目标点在小车左侧和右侧，建立隶属函数：△θ>0时，隶属度为fz；当△θ<0时，隶属度为nz，其中△θ的范围为[-180°，180°]。

③转弯控制量α的模糊集合取：论域[-6°，6°]，ll(左大转弯)、ls(左小转弯)、z(保持)、rs(右小转弯)、rl(右大转弯)五档。

模糊推理库：根据司机的驾驶经验，库中包括120条if.then形式的模糊控制规则，其总体思想是：当机器人与障碍物过近时，转大弯避开；当机器人与障碍物距离远时则将向导设置为目标点，通过转小弯来使行进方向趋近目标点；当机器人与障碍物距离为中时，则同时考虑两方面因素，但是以避障为主要任务。2)无障模式下模糊pid控制：

以某一时刻机器人行进方向与目标点的夹角△θt作为系统输入，转弯控制量α为输出，其控制的目标是使机器人的行进角度θt不断逼近目标角θt’，最终达到两个值相等。

采用增量式数字pid控制算式：

δu(k)＝kp[e(k)-e(k-1)]+kie(k)+kd[e(k)-2e(k-1)-e(k-2)]

其中e(k)为此次误差；

隶属函数为：

①输入△θ，将其定义为5个模糊子集：{nl，ns，ze，ps，pl}，分别代表：负大、负小、保持、正小、正大，论域为[一180°，180°]。

②输出kp、kl、kd参数量定义为3个模糊子集：{s，m，l}，分别代表：小、中、大，论域为[0，l]。通过pid参数kp、kl、kd与角度偏差之间的模糊关系，对三个参数进行在线整定，以满足在不同输入时控制参数的不同要求，从而保证系统的控制效果。

本发明可自动化构建并实时更新地磁数据。在主控器中将所有节点按照顺序编号，如图3所示；当移动机器人到达某节点并完成数据采集后，即将下一节点设定为目标节点；当移动机器人采集完最后一个节点的数据后，再将第一个节点设置为目标节点，即可实现移动机器人反复循环采集地磁数据，从而实现地磁数据的实时更新。

地磁数据采集部分：首先对干扰地磁进行校正，在地磁传感器的x、y和z坐标系中，位于坐标原点的圆o表示地球磁场矢量绕z轴圆周转动过程中在xy平面内的投影轨迹，再没有外界任何磁场干扰的情况下，此轨迹将会是一个标准的以o(0,0)为中心的圆。当存在外界磁场干扰的情况时，测量得到的磁场强度矢量δ将为该点地球磁场ε与干扰磁场ζ的矢量和，如图4，记作：

δ＝ε+ξ

平面校准法是针对xy轴的校准，将配备有磁传感器的设备在x、y平面内自转，等价于将地球磁场矢量绕着过点o’垂直于xy平面的法线旋转，而圆o’为磁场矢量在旋转过程中在xy平面内投影的轨迹。这可以找到圆心的位置为((xmax+xmin)/2，(ymax+ymin)/2)；同样将设备在xz平面内旋转可以得到地球磁场在xz平面上的轨迹圆，这可以求出三维空间中的磁场干扰矢量ζ(ζx,ζy,ζz)，利用求得的ζ矢量对数据进行修正。

地磁传感器在空中的倾斜姿态如图6，通过三轴加速度传感器测量出三轴上重力加速度的分量ax、ay、az，计算出地磁传感器和水平面x轴的角度α、水平面y轴的角度β

利用计算得到的角度把初始的xm、ym计算出真实地磁数据hx、hy

hy＝ymcos(β)+xmsin(α)sin(β)+zmcos(α)sin(β)

hx＝xmcos(α)+zmsin(β)

通过补偿角度使得收集数据的x、y轴始终处于水平面，而不会随着地磁传感器的倾角而发生数值的变化，保证数据的使用范围不受使用者的使用姿态限制，定位终端在任何情况都有效，使定位变得更加方便、灵敏且准确。

由于机器人的传感器本身以及周围的环境会使测量带有一定的误差，所以机器人要依据不准确的信息来实现精确定位是不现实的，因此为了消除机器人移动过程中引入的误差，下面由卡尔曼滤波与粒子滤波相结合的非线性滤波来确定机器人的真实位置。

在本例中，用x0:n表示机器人的所处位置的状态，y0:n表示机器人反馈的位置，两种分布是不同的，un和vn分别表示均值为0的高斯分布状态噪声和观测噪声，且满足q为过程激励噪声协方差矩阵，r为观测噪声协方差矩阵，在更新机器人位置的过程中，我们可以得到

xn＝axn-1+un-1

yn＝hxn+vn

其中a、h表示状态变换矩阵，可在实际操作中不断调整，我们的目标是通过y0:n实现对状态x0:n的顺序估计，即通过机器人反馈的位置来对真实位置进行估计，根据贝叶斯理论，后验概率p(x0:n|y0:n)包含了对状态x0:n估计的所有信息，但是我们很难直接得到其数学表达式，粒子滤波算法为解决该问题提供了有效的方法，其通过在一个所谓的重要性分布π(°)采样获得一组离散样本点来近似计算后验概率，并得到粒子的重要性权重

我们首先在已知的先验概率分布p(x0)上进行采样获得粒子，即为机器人通过传感器测得的数据，然后通过概率分布

得到粒子的更新，这里由于状态噪声服从高斯分布，且高斯分布的数学期望为方差为q，因此有

最后，有上式我们可以得到粒子的重要性权重为

这里似然函数可以由下式得到

经过归一化

及重采样，状态xn的最小均方估计(mmse)可表示为

当观测噪声较大时，粒子无法准确描述后验概率，导致估计性能受到影响，考虑对状态xn的顺序估计满足

x′n＝ax′n-1+un-1

并且基于粒子滤波的mmse估计与x′n之间满足

这里en可以假设为最优估计与mmse估计之间的误差，其服从均值为0，协方差矩阵为φ的高斯分布，由于上两式均为线性方程，因此可以考虑卡尔曼滤波得到其最优估计x′n，即为机器人所处的位置的估计，有

pn|n-1＝apn-1|n-1a^t+q

kn＝pn|n-1(φ+pn|n-1)^-1

pn|n＝(i-kn)pn|n-1

其中pn|n-1为先验估计误差协方差矩阵，kn为卡尔曼增益，pn-1|n-1为后验估计误差协方差矩阵。

克里金插值法处理部分：克里金插值法，又称空间自协方差最佳插值法，是一种吸收了地磁统计思想的用于空间插值的地理统计方法，认为任何在空间连续性变化的属性是不规则的，不能简单用平滑的数学函数进行模拟，而采用随机表面可以较恰当的描述。克里金假设某种属性的空间变化既不是完全随机也不是完全确定的，可以表示为3种主要成分的和：与恒定均值或趋势有关的结构性成分；与空间变化有关的随机变量，即区域性变量；与空间无关的随机噪声。

以本发明的二维空间为例，设二维空间某位置为t，在t处的磁场x轴分量的强度hx(t)(磁场y轴分量的强度hy(t)同理)

可由式

hx(t)＝m(t)+ε′(t)+ε″

式中：m(t)是描述hx(t)中地球主磁场结构性成分的确定函数；ε’(t)是描述地磁异常场与空间变化有关的的随机变化项,如室内铁质器具对磁场的影响；ε”是与空间无关的扰动磁场，

在空间上具有零均值、方差为σ²的与空间无关的噪声。

利用克里金法进行空间插值首先是确定适当的结构性趋势项函数hx(t)。局部地区的地球主磁场随空间变化平缓，通常采用一次或二次曲面来表示其趋势，可以通过对实测的地磁数据进行多项式曲面拟合而获得。在局部地磁场中去除该趋势项后，剩余的磁场要素值hx’(t)为地磁区域性变量和扰动磁场之和。若区域化变量ε’(t)满足二阶平稳假设，即相距为h的两点t,t+h之间的地磁场的数学期望等于零，而且两点间的方差只与距离h有关，即随机变量hx’(t)在区域内是平稳的，即满足

e[h′x(t)-h′x(t+h)]＝0

e{[h′x(t)-h′x(t+h)]²}＝2γ(h)

式中：γ(h)为半方差函数。区域性变量理论的两个内在假设条件是差异的空间稳定性和可变性。一旦结构性成分确定后，剩余的差异变化属于同质变化，不同位置之间的差异仅是距离的函数。这样区域性变量可以表示为：

hx(t)＝m(t)+γ(h)+ε

其中半方差的估算公式为

式中：h是控制点间的距离，常用于作为滞后系数；k为相距为h的控制点对的数量。对应于h的γ(h)图称为半方差图。为了在克里金法中利用半方差图确定采样点的权重,必须先得到拟合半方差的理论模型。常见的半方差拟合函数有：球面模型、高斯模型、线性模型等。拟合后的半方差图重要作用是确定局部内插所需要的权重因子wi。权重wi的选择应使内插值的估计是无偏估计，且估计的方差小于采样值的其他线性组合产生的方差。为了书写方便,将m个估算用的测点进行编号,依次为1、2、…、m，插值点编号为0。hx0’为插值点t0去趋势项后的地磁要素估计值；wi为第i个控制点的权重；hxi’为第i个测点去趋势项后的地磁要素值。用克里金法估算未测量点的地磁数据的方程为：

若权重wi满足式(6)时,才可获得z’0的最小方差：

式中：γ(hij)为控制点i和j间的半方差；γ(hi0)为控制点i和未知点0间的半方差；λ为拉格朗日系数。hx0’的最小方差s2可以用来反映在整个研究区域内插值结果的可靠性。