分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法及系统

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法及系统。

背景技术：

有限时间稳定性是指系统受到初始扰动后，状态轨迹在一个相对确定的时间区间内的稳定性，有限时间稳定性与系统的初始状态紧密相关；固定时间稳定性是指驱动系统和响应系统在有限时间内达到平衡，且稳定时间有可估计的上界的稳定性，固定时间稳定性与增益参数息息相关。

但是，在一些实际的工程应用中，初始状态和增益参数会难以预测或者不断改变，这些信息的改变会导致无法准确估算出系统的稳定时间。因此，在2014年，sanchez-torres提出了一种预定时间稳定性，预定时间稳定可以在系统的初始状态和增益参数未知的情况下，也能使系统在提前设置的预定时间前达到稳定状态，同时在文献“基于滑动模式控制技术的多涡卷混沌系统预定义时间修正函数投影同步，复杂度2020(2020)”中，作者提出了一种修正函数的同步控制器，研究了超混沌系统在滑膜面的预定时间稳定性问题，数值仿真的结果表明此理论的有效性，但是，该种方法在使用滑膜面时会引起剧烈抖动，降低了系统的稳定性和同步的稳定性。

技术实现要素：

为了解决上述问题，本发明提供一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法及系统，使分数阶混沌系统的同步有更广泛的应用场景，提高系统的稳定性，避免了使用滑膜面引起的剧烈抖动，增加了同步的稳定性。

本发明的另一目的是提供一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步系统。

本发明所采用的技术方案是：

一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法，包括如下步骤：

s1、根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；

s2、根据所述s1中的驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；

s3、根据所述s1中的驱动系统和响应系统以及所述s2中的预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步。

优选地，所述s1中，所述驱动系统的状态方程为：

所述响应系统的状态方程为：

式中，i＝1,2,...,n，0＜α＜1代表系统的阶数，t＞t0，t0代表初始时间，xi(t)与yi(t)分别代表驱动系统和响应系统的状态变量，σi＞0代表系统的自抑制，τ＞0代表延时常数，x(0)＝(x1(0),x2(0),...,xn(0))^t、y(0)＝(y1(0),y2(0),...,yn(0))^t分别代表驱动系统和响应系统的状态向量，fi(·)代表连续的非线性函数，fi(·)为连续递增的延时激活函数，ui(t)表示同步控制器的输入。

优选地，所述s2具体包括如下步骤：

s21、将所述s1中的驱动系统与响应系统的状态变量相减，得到预定时间投影同步误差为：

ei(t)＝yi(t)-xi(t)；

s22、将所述s21中的预定时间投影同步误差求α阶导数，得到预定时间自适应同步误差系统：

设是预定时间自适应同步误差系统的状态向量，则预定时间自适应同步误差系统的初始值为e(0)＝y(0)-x(0)。

优选地，所述s3具体包括如下步骤：

s31：将所述s1中驱动系统与响应系统的状态方程代入所述s22中的预定时间自适应同步误差系统，可得：

d^αei(t)＝-σiei(t)+hi(ei(t))+hi(ei(t-τ))+ui(t)

其中，hi(ei(t))＝fi(y,t)-fi(x,t)，hi(ei(t-τ))＝fi(y,t-τ)-fi(x,t-τ)；

s32、根据所述s31中的预定时间自适应同步误差系统可得预定时间同步控制器为：

式中

式中，β2、λ2、k、p均为常数，l＝sup{|fi(y,t-τ)|+|fi(x,t-τ)|}，tc为可调参数，cv为系统参数。

优选地，所述s3还包括如下步骤：

s33、根据所述s32中的预定时间同步控制器得到分数阶混沌系统的稳定时间计算方式，以用于确认稳定时间由可调参数确定。

优选地，所述s33中，分数阶混沌系统的稳定时间计算方式为：

设函数在[0,+∞)是一个连续且严格单调递增的函数，并且满足：

(1)其中是一个非空集合，代表系统全局固定时间稳定的混沌吸引子；

(2)tc∈{r1,…,rb}是可调参数；

(3)对于任何v(x)＞0，都存在常数α,k,b,p＞0，0＜p≤1，qk≥1，由此

其中，

对于任意的v(x)＞0，都有

稳定时间t(x0)的计算公式为：

根据詹森不等式，由0＜p≤1可知

得到

当

当v(x0)→+∞，得到

优选地，所述s33中，分数阶混沌系统的稳定时间计算方式为：

设函数在[0,+∞)是一个连续且严格单调递增的函数，并且满足：

(1)其中是一个非空集合，代表系统全局固定时间稳定的混沌吸引子；

(2)tc∈{r1,…,rb}是可调参数；

(3)对于任何v(x)＞0，都存在常数α,b＞0和p＞1，使得：

其中，

根据詹森不等式，由p＞1可知

稳定时间t(x0)的计算公式为：

当

当v(x0)→+∞，得到

优选地，其特征在于，所述s3还包括如下步骤：

s34、根据李雅普诺夫函数确认所述s31中的预定时间自适应同步误差系的自适应稳定性。

优选地，所述s33具体为：

设李雅普诺夫函数函数为：

将所述s31中的预定时间自适应同步误差系统代入到李雅普诺夫函数函数中，并求导可得：

其中，β2、λ2均为正参数，若设那么可变形成以下形式：

与单调递增函数的假设相符，确认预定时间自适应同步误差系统的自适应稳定性。

本发明的另一个技术方案是这样实现的：

一种应用所述的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的系统，包括

系统延时划分模块：根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；

自适应同步误差模块：根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；

同步控制器模块：根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应控制。

与现有技术相比，本发明的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法及系统，首先根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步，使分数阶混沌系统的同步有更广泛的应用场景，提高系统的稳定性，避免了使用滑膜面引起的剧烈抖动，增加了同步的稳定性。

附图说明

图1是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的流程图；

图2是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的驱动系统的混沌相位图；

图3是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的无控制输入的响应系统混沌行为轨迹图；

图4是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的预定时间同步控制器在tc＝1,p＝0.5输入下的同步误差响应曲线；

图5是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的预定时间同步控制器在tc＝1.5,p＝0.5输入下的同步误差响应曲线；

图6是本发明实施例1提供的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的的预定时间同步控制器在tc＝1,p＝2输入下的同步误差响应曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

本发明实施例1提供一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法及系统，如图1-6所示，包括如下步骤：

s1、根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；

s2、根据所述s1中的驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；

s3、根据所述s1中的驱动系统和响应系统以及所述s2中的预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步。

这样，首先根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步，使分数阶混沌系统的同步有更广泛的应用场景，提高系统的稳定性，避免了使用滑膜面引起的剧烈抖动，增加了同步的稳定性。

所述s1中，所述驱动系统的状态方程为：

所述响应系统的状态方程为：

式中，i＝1,2,...,n，0＜α＜1代表系统的阶数，t＞t0，t0代表初始时间，xi(t)与yi(t)分别代表驱动系统和响应系统的状态变量，σi＞0代表系统的自抑制，τ＞0代表延时常数，x(0)＝(x1(0),x2(0),...,xn(0))^t、y(0)＝(y1(0),y2(0),...,yn(0))^t分别代表驱动系统和响应系统的状态向量，fi(·)代表连续的非线性函数，fi(·)为连续递增的延时激活函数，ui(t)表示同步控制器的输入。

这样，即可得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统的状态方程，以便在后续步骤中使用。

所述s2具体包括如下步骤：

s21、将所述s1中的驱动系统与响应系统的状态变量相减，得到预定时间投影同步误差为：

ei(t)＝yi(t)-xi(t)；(3)

s22、将所述s21中的预定时间投影同步误差求α阶导数，得到预定时间自适应同步误差系统：

设是预定时间自适应同步误差系统的状态向量，则预定时间自适应同步误差系统的初始值为e(0)＝y(0)-x(0)。

这样，即可根据驱动系统和响应系统得出预定时间自适应同步误差系统。

所述s3具体包括如下步骤：

s31：将所述s1中驱动系统与响应系统的状态方程代入所述s22中的预定时间自适应同步误差系统，可得：

d^αei(t)＝-σiei(t)+hi(ei(t))+hi(ei(t-τ))+ui(t)；(5)

其中，hi(ei(t))＝fi(y,t)-fi(x,t)，hi(ei(t-τ))＝fi(y,t-τ)-fi(x,t-τ)；

s32、根据所述s31中的预定时间自适应同步误差系统可得预定时间同步控制器为：

式中

式中，β2、λ2、k、p均为常数，l＝sup{|fi(y,t-τ)|+|fi(x,t-τ)|}，tc为可调参数，cv为系统参数。

这样，通过将驱动系统与响应系统的状态方程代入预定时间自适应同步误差系统中，即可得到预定时间同步控制器。

所述s3还包括如下步骤：

s33、根据所述s32中的预定时间同步控制器得到分数阶混沌系统的稳定时间计算方式，以用于确认稳定时间由可调参数确定。

所述s33中，分数阶混沌系统的稳定时间计算方式为：

设函数在[0,+∞)是一个连续且严格单调递增的函数，并且满足：

(1)其中是一个非空集合，代表系统全局固定时间稳定的混沌吸引子；

(2)tc∈{r1,…,rb}是可调参数；

(3)对于任何v(x)＞0，都存在常数α,k,b,p＞0，0＜p≤1，qk≥1，由此

其中，

对于任意的v(x)＞0，都有

稳定时间t(x0)的计算公式为：

根据詹森不等式，由0＜p≤1可知

得到

当

当v(x0)→+∞，得到

这样，根据0＜p≤1时的cv，得到分数阶混沌系统的稳定时间计算公式。

所述s33中，分数阶混沌系统的稳定时间计算方式为：

设函数在[0,+∞)是一个连续且严格单调递增的函数，并且满足：

(1)其中是一个非空集合，代表系统全局固定时间稳定的混沌吸引子；

(2)tc∈{r1,…,rb}是可调参数；

(3)对于任何v(x)＞0，都存在常数α,b＞0和p＞1，使得：

其中，

根据詹森不等式，由p＞1可知

稳定时间t(x0)的计算公式为：

当

当v(x0)→+∞，得到

这样，根据p＞1时的cv，得到分数阶混沌系统的稳定时间计算公式。

所述s3还包括如下步骤：

s34、根据李雅普诺夫函数确认所述s31中的预定时间自适应同步误差系的自适应稳定性。

所述s33具体为：

设李雅普诺夫函数函数为：

将所述s31中的预定时间自适应同步误差系统代入到李雅普诺夫函数函数中，并求导可得：

其中，β2、λ2均为正参数，若设那么可变形成以下形式：

与单调递增函数的假设相符，确认预定时间自适应同步误差系统的自适应稳定性。

这样，与本实施例单调递增函数的假设相符，由此可以证明分数阶混沌系统的预定时间稳定理论是有效可行的。同样地，若控制系统参数满足一定条件时，使得当时e(t)＝0时，则可以实现具有延时环节的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法。

特别的，为了更加直观的展示本发明提出的一种分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的有效性和可行性，本发明使用matlab软件对此方法进行计算机仿真实验，具体过程：

分数阶驱动系统的状态方程为：

其中，驱动系统为四维混沌系统，初始值为x(0)＝[0.6,0.7,0.3,0.4]^t，图2为驱动系统的混沌相位图。

分数阶响应系统的状态方程为：

其中，响应系统为相同阶数的四维混沌系统，初始值为y(0)＝[3,-4,2,2]^t，式中，σi＝0.1(i＝1,2,3,4)，a＝10，b＝40，c＝2.5，k＝10，h＝4，r＝2.5，a1＝10，b1＝28，c1＝8/3，r1＝1，图3为响应系统在无控制输入时，响应系统的三维轨迹图。

驱动-响应系统的误差设定为：

ei(t)＝yi(t)-xi(t)；(25)

预定时间同步控制器为：

式中，hi(ei(t))＝fi(y,t)-fi(x,t)，l＝sup{|fi(y,t-τ)|+|fi(x,t-τ)|}。

将公式(23)和公式(24)代入(26)，控制器具体为

(1-1)假设0＜p≤1，α＝0.82，i＝1,2,3,4，σi＝0.1，μ＝12.9，ω＝11，k＝5.2；取p＝0.5，则当tc＝1时，在同步控制器(27)的输入下，系统的同步误差轨迹如图4所示；

(1-2)假设0＜p≤1，α＝0.82，i＝1,2,3,4，σi＝0.1，μ＝12.9，ω＝11，k＝5.2；取p＝0.5，则当tc＝1.5时，在同步控制器(27)的输入下，系统的同步误差轨迹如图5所示；

(1-3)假设p＞1，α＝0.82，i＝1,2,3,4，σi＝0.1，μ＝12.9，ω＝11，k＝5.2；取p＝2，则当tc＝1时，在同步控制器(27)的输入下，系统的同步误差轨迹如图6所示；

(1-4)在实际应用中，系统受到延时的影响是难免的，因此本发明设计了一种主动控制器来补偿延时对系统同步误差带来的影响，控制参数如前所示，进行仿真实验，从仿真曲线可以直观的观察到本发明提供的方法能够实现在延时和任意初始状态时驱动-响应系统的投影同步控制。

本发明的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法，首先根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步，使分数阶混沌系统的同步有更广泛的应用场景，提高系统的稳定性，避免了使用滑膜面引起的剧烈抖动，增加了同步的稳定性；同时驱动系统和响应系统的同步时间可以根据需要进行预先设定，从而能更好、更准确的预测自适应同步的时间。

实施例2

本发明实施例2提供一种应用所述的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步方法的系统，包括

系统延时划分模块：根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；

自适应同步误差模块：根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；

同步控制器模块：根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应控制。

本发明的分数阶混沌系统的预定时间自适应同步系统，首先根据分数阶混沌系统的动态特征得到两个具有延时的分数阶混沌系统：驱动系统和响应系统；根据所述驱动系统和响应系统的延时误差，建立预定时间自适应同步误差系统；根据所述驱动系统和响应系统以及所述预定时间自适应同步误差系统得到预定时间同步控制器，以用于预定时间自适应同步误差系统的自适应同步，使分数阶混沌系统的同步有更广泛的应用场景，提高系统的稳定性，避免了使用滑膜面引起的剧烈抖动，增加了同步的稳定性；同时驱动系统和响应系统的同步时间可以根据需要进行预先设定，从而能更好、更准确的预测自适应同步的时间。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。