一种非线性自抗扰控制系统稳定性判断方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于自动化技术领域，涉及一种非线性自抗扰控制系统稳定性判断方法。
【背景技术】
[0002] 自抗扰控制是中科院韩京清研究员提出的一种新的实用控制方法，其独特的控制 理念已得到了人们的认可，其优异的控制性能已为广泛的理论分析和实际应用所证实。韩 京清提出的非线性自抗扰控制由于在扩张状态观测器和控制律设计中使用了非线性函数， 因此在抗干扰能力、控制精度等方面具有一定的优势。但非线性函数的引入使得系统运动 变得更加复杂、稳定性和性能分析更为困难，非线性扩张状态观测器及非线性自抗扰控制 系统的稳定性分析一直是个难点。
[0003] 利用描述函数法研究扩张状态观测器中含有单个及两个非线性环节的自抗扰控 制系统频域稳定性，但由于考虑非线性个数有限，图形变换较为复杂以及描述函数法固有 的局限性，很难推广到一般非线性自抗扰系统中。基于李雅普诺夫稳定性定理研究了单入 单出和多入多出自抗扰控制系统的时域稳定性，提出了稳定性的一些充分条件，但由于过 多的限制条件、较为复杂的推导过程，处理一般的自抗扰控制系统有一定的难度。总体来 说，非线性自抗扰控制系统的稳定性分析还需要更为直接、简便的分析方法。
【发明内容】
[0004] 本发明所要解决的技术问题是提供一种简便易行的非线性自抗扰控制系统稳定 性判断方法。
[0005] 为解决上述技术问题所采用的技术方案是：一种非线性自抗扰控制系统稳定性判 断方法，包括如下步骤：
[0006] ( -）建立非线性自抗扰控制系统，其包括被控对象和非线性自抗扰控制器；所 述非线性自抗扰控制器包括跟踪微分器、非线性扩张状态观测器和非线性误差反馈控制律 u ；
[0007] 所述被控对象为
[0008]
[0009] 在（式1)中，X1为被控对象的状态，a为被控对象相应状态的增益，i;为被控对 象的状态相应的一阶导数，其中i = 1，2, ···，!!，η为大于1的正整数；y为被控对象输出，非 线性误差反馈控制律u为被控对象的控制输入量，b是控制通道增益；
[0010] 所述跟踪微分器为
[0011]
[0012] 在（式2)中，r为所述跟踪微分器的输入，Vl(i = 1，2, "·，η)为所述跟踪微分器 的输出，λ为可调速度因子，
为快速跟踪函数；
[0013] 所述非线性扩张状态观测器为
[0014]
[0015] 在（式3)中，被控对象输出y和非线性误差反馈控制律U的b倍增益分别为所 述非线性扩张状态观测器的输入信号 ；Zl (i = 1，2,. . .，n+1)为所述非线性扩张状态观测 器的输出；(i=l，2，…，n+1)为所述非线性扩张状态观测器的增益；e代表被控对象 的输出y与非线性扩张状态观测器的输出Z 1之间的偏差；所述非线性扩张状态观测器中的
;通常取如下非线性函数：
[0016]
[0017] 其中，ai(i=l，2，…，n+1)和δ为正常数，Sgn()表示符号函数；
[0018] 所述非线性误差反馈控制律U的表达式如下：
[0019]
(式 5)
[0020] 其中， CN 105159065 A VL 3/12 贝
[0021]
[0022] 在（式5)和（式6)中，Ic1为增益系数，a' 为正常数；b为控制通 道增益；u。是非线性误差反馈控制律u中状态反馈部分，即状态反馈控制律；
[0023] 所述非线性扩张状态观测器的输出Z1 (i = 1，2, ···，!〇与所述跟踪微分器的输出 V1 (i = 1，2,…，η)做减法比较后作为所述状态反馈控制律u。的输入e1;所述非线性误差 反馈控制律u的b倍增益作为所述非线性扩张状态观测器的第一输入信号；所述被控对象 的输出y作为所述非线性扩张状态观测器的第二输入信号；
[0024] (二）进行系统转换；
[0025] 假设Al所述跟踪微分器的输入r为0,那么所述跟踪微分器的输出V1 (i = 1，2，…，η)均为0 ;
[0026] 令Gi=Vi-Zi;则对（式6)中的fal (V「Zy a' ;，δ )作如下变换：
[0027]
[0028]
[0029]
[0030]
[0031]
[0032]
[0033]
[0034]
[0035] ：
[0036]
[0037]
[0038]
[0039]
[0040] CN 105159065 A VL 4/12 贝
[0041]
[0042]
[0043] (式10)表示当f -1取得最大值时相应的熟其中i = 1，2, ···，η, n+1 ;
[0044] 将所述非线性扩张状态观测器（式3)做如下变形：
[0045]
[0046]
[0047]
[0048]
[0049]
[0050]
[0051]
[0052] 其中，
[0053]
[0054]
[0055]
[0056]
[0057]
[0058]
[0059]
[0060]
[0061]
[0062]
[0063]
[0064] υ?Ν 丄 λ ^ υ/丄厶
[0065]
[0066] (式17)即为间接鲁里叶系统，所述间接鲁里叶系统的前向通道函数G(S)的表达 式为：
[0067] G(s) = cT(sI_A) i+p/s ; (式 18)
[0068] (三）利用鲁棒波波夫判据对间接鲁里叶系统进行稳定性判断；
[0069] 首先，定义间接鲁里叶系统的区间传递函数G1如下：
[0070]
[0071]
[0072]
[0073] m，η分别为整数；
[0074] 进而定义如下分子顶点多项式Nk如下：
[0075] (式 20)其中，
[0076]
[0077]
[0078] 同样，定义分母顶点多项Sdk如下：
[0079] (式 21)
[0080] ….
[0081] CN 105159065 A m ~P 7/12 页
[0082][0083] 定义间接鲁里叶系统的传递函数集Gk如下：[0084]
(式 22)
[0085] 由（式20)、（式21)和（式22)可知，间接鲁里叶系统的传递函数集Gk包括如下 16个前向通道函数G(s):
[0086]
[0087] (式 23)
[0088] 当G(s) e GJt，若存在一正实数Θ均满足波波夫稳定性条件，则前向通道传递 函数G(S)为式（19)所示区间传递函数G1，即G( S) e G1的间接鲁里叶系统是绝对稳定的。
[0089] 所述非线性扩张状态观测器为三阶非线性扩张状态观测器，即η = 2 ;其表达式如 下：
[0090]
(式 24)
[0091] 其中，Zl、z2、Z3分别为所述三阶非线性扩张状态观测器的输出；β Q1、β。2、β。3分 别为所述三阶非线性扩张状态观测器的增益；
[0092]
[0093]
[0094] 则得到变增益线性扩张状态观测器，其表达式如下：
[0095]
(式 25)
[0096] 将 λ02(θ)、λ03(θ)分别简写为入。 2、入。3;
[0097] 令
[0098] f (I) = a X1+ α η a jXn,
[0099] 则所述变增益线性扩张状态观测器的传递函数为：
[0100]
[0101] (式 26)
[0102] 根据劳斯判据法，所述变增益线性扩张状态观测器稳定的充要条件是：
[0103] λ〇2β 01 β。2> λ 〇3β。3; (式 27)进一步，如果 α 2= α 3，由于 λ02、λ03均是 跟踪误差e的函数，则λ。2= λ。3，因此，所述变增益线性扩张状态观测器稳定的充要条件 是：
[0104] β01β02> β 03； (式 28)
[0105] 说明：式（27)是三阶非线性扩张状态观测器稳定的一般条件，式（28)是在满足 α 2= α 3情况下三阶非线性扩张状态观测器稳定的特殊条件。
[0106] 本发明的有益效果是：（1)通过将非线性自抗扰控制系统转换为区间鲁里叶系 统，利用鲁棒波波夫判据判断系统的稳定性，既可判定标称系统的稳定性，也可以判定存在 参数摄动系统的鲁棒稳定性，十分方便；(2)原本复杂的非线性扩张状态观测器稳定性分 析，通过将其转换为变增益的线性扩张状态观测器，再利用劳斯判据即可判定其稳定性，十 分简单、方便。
【附图说明】
[0107] 图1为典型非线性自抗扰控制系统结构框图。
[0108] 图2为间接鲁里叶系统结构框图。
[0109] 图3稳定性分析原理图。
【具体实施方式】
[0110] 下面结合图1-图3以