电主轴的多轴疲劳寿命预测方法及疲劳寿命可靠性评估方法与流程

本发明属于机械制造电主轴的服役安全技术领域，具体涉及一种电主轴的多轴疲劳寿命预测方法及疲劳寿命可靠性评估方法。

背景技术：

电主轴，是一种将主轴电机与机床主轴“合二为一”的传动结构形式，使主轴部件从机床的传动系统和整体结构中相对独立出来。它将机床主轴与主轴电机相互融合，即将电机的定子、转子直接装入主轴部件内部，转子与主轴通关过盈配合或键连接的方式固定在一起，省略了传统机床中如皮带轮、齿轮等一系列传动装置，由内装式电动机直接驱动机床主轴，真正实现了机床的“零传动”，实现主轴的高速运转。

高速电主轴作为机械加工领域的核心部件，借助于变频技术、电机伺服控制技术和闭环矢量控制技术的快速发展和技术优化，在机械加工特别是数控机床领域得到了广泛的应用，同时极大的简化了机床主传动系统的机械装置。随着高速加工技术的迅速发展和广泛应用，各工业部门特别是航天、航空、汽车、摩托车和模具加工等行业，对高速度、高精度数控机床的需求与日俱增，这迫切需要开发出更加优质的高速电主轴。例如，车削电主轴作为数控机床车削加工的核心部件，其服役性能，包括服役寿命及疲劳寿命可靠性，直接影响到加工工件的精度及加工效率，鉴于目前对车削电主轴需求的不断加大，保证车削主轴长期稳定运行极为关键。因此针对电主轴的服役安全研究亟待开展。

在现有技术中，对于非比例加载下的多轴疲劳研究为疲劳研究领域所重点关注，众多领域特别是机械行业，多数构件受到服役条件影响，大都承受着非比例加载下的多轴载荷，相比于单轴疲劳，多轴疲劳研究方法更加接近实际工况。针对于电主轴，因为其结构较为复杂，主轴上多处区域如前端锥面，键槽等因几何形状的突变所导致的应力集中而使得这些区域大都承受复杂应力状 态。例如，对于车削电主轴而言，在大多数情况下，电主轴在实际加工过程中影响切削力的因素众多，根据切削材料的不同、切削速度的变化以及切削温度的影响，实际的切削力是在一定范围内波动的不确定数值。这就导致电主轴在实际情况下是在非比例载荷作用下服役。因此，针对这类情况，不能简单的等效为单轴疲劳问题去解决，而需要从多轴疲劳的角度，对电主轴的疲劳寿命进行预测和评估。

在目前多主轴疲劳寿命预测技术中，对于各种不同的据多轴疲劳准则还没有一种公认的疲劳寿命模型，每种疲劳寿命预测模型通常只适用于一种准则，其认定的主要疲劳参数只适用于相应的预测模型。当由于条件的变化需要改变准则时，同时也需要改变模型和/或预测参数。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是提供一种电主轴多轴疲劳寿命预测方法及疲劳寿命可靠性评估方法，克服单轴疲劳寿命不能反应电主轴实际应用状况的缺陷，提高电主轴的寿命评估精度，为电主轴疲劳寿命评估提供技术和数据支持，并最终达到提高电主轴使用性能的目的。

根据本发明的一个方面，提供了一种电主轴多轴疲劳寿命预测方法，所述方法包括如下步骤：

通过有限元分析方法，分析电主轴应力应变状态；

根据多轴疲劳准则及所述电主轴的应力应变状态，预测不同准则下的电主轴多轴疲劳寿命。

上述方案中，所述方法还包括：

在所述分析电主轴应力应变状态之前，建立电主轴三维有限元模型。

上述方案中，所述通过有限元分析方法，分析电主轴应力应变状态，进一步包括：

对电主轴进行静态力学分析，确定主轴瞬时应力应变状态；

建立主轴等效动力学模型，通过有限元模态分析计算得到主轴固有频率和振型；将所述主轴固有频率与电主轴工作频率进行对比，确定其工作频率是否与固有频率重合；

当所述主轴固有频率与所述工作频率重合时，进一步结合功率谱密度(PSD)得到等效应力；当所述主轴固有频率与所述工作频率不重合时，通过静态力学分析所确定睥瞬时应力应变状态得到等效应力；

利用有限元软件疲劳分析模块，将所述等效应力结合电主轴材料S-N曲线，确定电主轴存在的疲劳失效位置和疲劳类型。

上述方案中，所述预测不同准则下的电主轴多轴疲劳寿命，进一步包括：

基于临界平面的多轴疲劳损伤模型寿命评估，计算不同疲劳损伤模型下的多轴疲劳寿命。

根据本发明的另一个方面，还提供了一种电主轴的多轴疲劳寿命可靠性评估方法，所述方法包括：

通过有限元分析方法，分析电主轴应力应变状态；

根据多轴疲劳准则及所述电主轴的应力应变状态，预测不同准则下的电主轴多轴疲劳寿命；

对所述疲劳寿命的单一子样进行数据模拟，获得多组疲劳寿命数据，根据所述多组疲劳寿命数据对疲劳寿命可靠性进行评估。

上述方案中，所述通过有限元分析方法，分析电主轴应力应变状态，进一步包括：

对电主轴进行静态力学分析，确定主轴瞬时应力应变状态；

建立主轴等效动力学模型，通过有限元模态分析计算得到主轴固有频率和振型；将所述主轴固有频率与电主轴工作频率进行对比，确定其工作频率是否与固有频率重合；

当所述主轴固有频率与所述工作频率重合时，进一步结合功率谱密度(PSD)得到等效应力；当所述主轴固有频率与所述工作频率不重合时，通过静态力学分析所确定的瞬时应力应变状态得到等效应力；

利用有限元软件疲劳分析模块，将所述等效应力结合电主轴材料S-N曲线，确定电主轴存在的疲劳失效位置和疲劳类型。

上述方案中，进一步包括：

基于临界平面的多轴疲劳损伤模型寿命评估，计算不同疲劳损伤模型下的多轴疲劳寿命。

上述方案中，对所述疲劳寿命的单一子样进行数据模拟，获得多组疲劳寿命数据，根据所述多组疲劳寿命数据对疲劳寿命可靠性进行评估，进一步包括：

通过虚拟增广样本的方法，将不同多轴疲劳准则下疲劳寿命单一子样的样本量虚拟增广至样本量n≥10得到增广样本，并根据增广样本构造经验累积分布函数；

通过Bootstrap方法模拟出多组疲劳寿命数据；

通过Bayes估计方法，对所述多组疲劳寿数据中的未知参数进行参数估计，并进一步对疲劳寿命进行可靠性评估，从而得到基于不同准则下电主轴的疲劳寿命可靠性评估结果。

本发明的上述技术方案的有益效果如下：

1.本文提出的适用于电主轴设计的疲劳学开发流程为后续主轴精度寿命评估打下基础并提供理论依据。该方法同样也为精度寿命评估提供一个新的思路，有助于后续工作的开展。

2.提出了针对极小子样试验下可靠性评估的一种新方法。该方法仅需获得一组疲劳寿命数据即可对该款电主轴进行可靠性评估，从而避免了传统方法中进行大量实验所需的高昂费用。

附图说明

图1为本发明实施方式的电主轴多轴疲劳寿命预则及可靠性评估流程图；

图2为本发明实施例的电主轴有限元仿真多轴疲劳寿命预测流程图；

图3为本发明实施例的电主轴多轴高周疲劳准则下疲劳寿命预测结果评估流程图；

图4为本发明实施例不同准则下电主轴疲劳寿命可靠性评估方法流程图；

图5为本发明实施例的电主轴有限元模型示意图；

图6为本发明实施例的电主轴有限元模型网格划分效果图；

图7为本发明实施例的电主轴等效von Mises最大应力示意图；

图8为本发明实施例的电主轴等效动力学模型图；

图9为40Cr材质半对数S-N曲线；

图10为本发明实施例的电主轴加载历程图；

图11为本发明实施例的电主轴疲劳寿命最小寿命位置分布示意图；

图12为本发明实施例的基于Papadopilos准则的仿真数据频数直方图；

图13为本发明实施例的基于Papadopoilos准则的电主轴失效分布密度函数；

图14为本发明实施例的基于Papadopoilos准则的电主轴可靠度函数曲线。

附图标记说明：

1-电主轴锥台；2-轴承安装处；3-键槽；4-等效弹簧；5-等效应力最大点；6-疲劳寿命最小点。

具体实施方式

为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。

对于电主轴而言，多轴疲劳理论的研究能够为疲劳寿命预测提供更为切实的依据。在实际疲劳数据的基础上，采用软件模拟的方法，对多轴疲劳过程进行模拟，优化模拟参数，从而对疲劳寿命进行预测，并通过软件模拟的方法，对电主轴的疲劳寿命可靠性进行评估。本方法采用的主要分析软件包括：有限元软件ANSYS、三维建模软件Solidworks以及数学分析软件Matlab。

本发明的电主轴的多轴疲劳寿命预测方法及疲劳寿命可靠性评估方法，先通过有限元分析，得到电主轴疲劳危险点所在位置以及其应力应变状态；有限元疲劳分析模块对主轴寿命首先进行评估，由此初步确定主轴疲劳类型；而后通过基于临界平面的多轴疲劳准则，对主轴寿命进行多轴疲劳预测。在此基础上，利用所获得的基于不同疲劳损伤准则下的寿命预测数据，结合虚拟增广样本方法和Bootstrap方法，将单一样本数据模拟生成任意组数据，例如，2000～10000组，并对模拟数据中的未知参量进行Bayes估计，由此获得主轴基于不同多轴疲劳准则下疲劳寿命的可靠性指标。该方法为预测主轴疲劳寿命及机床运行可靠性提供支持，具有广泛的工程价值。

实施方式

本发明的电主轴的多轴疲劳寿命预测方法，包括如下步骤：

步骤S1，通过有限元分析方法，分析电主轴应力应变状态。

在本步骤前，还可以包括：建立电主轴三维有限元模型。具体的，可以首先根据主轴二维图纸，在solidworks三维建模软件中建立电主轴模型，并对该模型进行结构简化；然后将该三维模型导入至ANSYS Workbench有限元软件，从而建立电主轴三维有限元模型。

本步骤中，分析电主轴应力应变状态，具体包括如下步骤：

步骤S101，在考虑切应力或压应力、扭矩和轴承支撑等载荷条件下，对电主轴进行静态力学分析，确定主轴瞬时应力应变状态。

步骤S102，建立主轴等效动力学模型，有限元模态分析计算得到主轴固有频率和振型；在此基础上与主轴工作频率进行比对，确定其工作频率是否与固有频率重合，并进一步结合功率谱密度(PSD)得到等效应力。

本步骤中对工作频率与固有频率的判断，具体为：工作频率与主轴各阶固有频率发生重合或接近时，会发生共振而产生较大的等效应力，对后续疲劳寿命产生影响较大；若不发生重合远离各阶固有频率时，其等效应力接近于零，可以忽略不计，不对后续疲劳寿命产生影响。

步骤S103，在完成主轴静力学和动力学分析后，利用有限元软件疲劳分析模块，将所述等效应力结合电主轴材料S-N曲线，确定电主轴存在的疲劳失效位置和疲劳类型。

步骤S2，根据多轴疲劳准则及所述电主轴的应力应变状态，预测不同准则下的电主轴多轴疲劳寿命。

具体的，有限元仿真和不同多轴疲劳损伤准则，这里的准则通常情况下指的是基于临界平面的不同多轴疲劳损伤准则，对不同的多轴疲劳，进行疲劳寿命的预测。

图1为本发明实施方式的电主轴多轴疲劳寿命预则及可靠性评估流程示意图。如图1所示，本发明的电主轴的疲劳寿命可靠性评估方法，包括上述所述的步骤S1及步骤S2的疲劳寿命预测过程，同时，还包括如下步骤：

步骤S3，对所预测的疲劳寿命单一子样进行数据模拟，获得多组疲劳寿命数据，根据所述多组疲劳寿命对疲劳寿命可靠性进行评估。

本步骤中，通过Bootstrap方法对所预测的疲劳寿命单一子样进行数据模拟，具体为：

首先通过增广样本的方法，将不同多轴疲劳准则下疲劳寿命单一子样的样本量虚拟增广至多个样本量得到增广样本。通常情况下，Bootstrap方法对于样本量n≥10时适用，因此增广样本量应大于等于10，例如，n＝13。而后根据增广样本构造经验累积分布函数；其次，通过Bootstrap方法模拟出多组疲劳寿命数据，如5000组疲劳寿命数据；最后，通过Bayes估计方法，对所述多组疲劳寿数据中的未知参数进行参数估计，并进一步对疲劳寿命进行可靠性评估，从而得到基于不同准则下电主轴的疲劳寿命可靠性评估结果。

本发明上述实施方式所提供的电主轴疲劳寿命预测方法及疲劳寿命可靠性评估方法，得到了电主轴疲劳寿命和可靠性指标，为主轴结构优化，使用寿命预判以及疲劳寿命可靠性提供数据和技术支持。下面通过具体的实施例，对本发明的实施方式作进一步说明。

实施例

本实施例提供了一种电主轴多轴疲劳寿命预测及疲劳寿命可靠性评估方法。本实施例以A204车削电主轴为例，对该型号电主轴进行多轴疲劳寿命预测及可靠性分析。以下所述的电主轴、主轴均指的这里的设定。

图2为本实施例的电主轴有限元仿真多轴疲劳寿命预测流程示意图。如图2所示，本实施例的多轴疲劳寿命预测方法，包括如下步骤：

步骤S201，建立电主轴有限元模型。

本步骤中，根据电主轴二维CAD图纸，在三维建模软件Solidworks中完成了A204车削电主轴的三维实体建模并将其导入至有限元软件ANSYS Workbench中。图5为本实施例的电主轴有限元模型示意图。如图5所示，由于电主轴结构形状比较复杂，又考虑到实际工况中的载荷情况，为了使有限元计算更加简单，需要对模型进行必要的简化处理，如螺纹、退刀槽、圆角等按照实体处理，忽略了部分局部细节特征，仅表现电主轴锥台1、轴承安装处2及键槽3。图6为本实施例的电主轴有限元模型网格划分效果图。如图6所示，对于卡盘与主轴连接的锥面部分以及轴承前端过渡处易产生应力集中的部分 应给予足够的重视，在网格划分时将其进行细化以保证计算精度。

步骤S202，设定属性及条件。

在本步骤中，首先对电主轴的材料属性进行定义，本实施例将电主轴的材质定义为40Cr；同时对所述模型时行网格划分，并进一步对电主轴加载及边界条件进行确定。根据本领域的电主轴装配技术图可知，电主轴转子通过键连接带动主轴旋转并传递扭矩；主轴两端轴承起到支撑作用，同时限制主轴轴向和径向运动；切削力通过工件传递至与卡盘连接的锥面处，锥面与卡盘接触面积不少于75％。

在有限元软件中施加约束和载荷时，应该尽量保证按照实际工况下进行，以保证运算精度。根据实际工作情况，加载部位共有四处：

转子与主轴连接的两处键槽采用固定约束(Fixed Support)；

转子与主轴连接的键槽同时施加扭矩(Moment),M＝36N.m,输出扭矩大小由电机决定；

轴承与主轴的接触简化为刚性接触，用圆柱面支撑(Cylindrical Support)代替轴承约束，同时限制主轴径向和轴向两个方向的自由度；

切削过程中产生的切削力和转矩经过工件传递施加到卡盘与前端锥面的连接处。

为了尽可能接近实际工况，因此将工件等效为刚性单元，切削力直接施加在工件上，具体做法是切削力通过施加远程力(Remote Force)作用在接触面上，用来模拟车刀切削加工，比较符合实际加工。

步骤S203，电主轴静力学分析。

在步骤S202的基础上，电主轴加载和边界条件确定之后，即可以获得主轴结构各位置瞬时应力应变状态。图7为本实施例的电主轴等效von Mises最大应力示意图。如图7所示，有限元静力学分析下，其瞬时等效应力最大处位于主轴前端锥面与卡盘连接处，其等效应力最大达到245.47MPa；有限元静力学分析下，其瞬时等效应变最大位置与最大等效应力位置相同，其大小为0.0012mm/mm。

步骤S204，电主轴模态分析。

由本领域技术常识可知，A204车削电主轴前端由三个角接触球轴承支撑， 后端由一个双列圆柱滚子轴承支撑。在轴承支撑作用下，其准确的解析动力学模型建立较为复杂，因此，本步骤中有必要对轴承支撑进行必要的简化。图8为本实施例的电主轴等效动力学模型图。如图8所示，为考虑到结合面理论，利用弹簧阻尼单元等效轴承的弹性支撑，即通过等效弹簧4进行支撑，且轴承只提供径向刚度，且不会产生角度，弹簧阻尼单元选取在轴承安装的中间截面处。因电主轴属于中心对称图形，因此在轴承安装中间截面处用四个周向均布的等效弹簧4作为轴承支撑。

弹簧阻尼单元需要确定弹簧刚度和阻尼参数，在轴承各参数已知的情况下，角接触球轴承轴承的等效径向刚度可近似的用公式(1)计算：

$K_r=1.77236\×{10}^7\×k_m{\left(z^2{D}_w\right)}^{1/3}\frac{{\cos }^2\mathrm{\α}}{{\sin }^{1/3}\mathrm{\α}}{\left(F_{a0}\right)}^{1/3}(N/m)---\left(1\right)$

公式(1)中：

k_m–材料系数；

z–滚动体数目；

D_w–滚动体直径；

α–接触角；

F_a0–轴承预紧力。

根据轴承参数和等效径向刚度计算公式，得到角接触球轴承径向刚度值为4.8×10⁵N/mm，双列圆柱滚子轴承径向刚度，FAG轴承手册可查出，其径向刚度值为5.3×10⁵N/mm。

步骤S205，判断模态分析的固有频率是否与工作频率接近。

本步骤中，进一步对频率进行判断。当所述模态分析的固有频率与工作频接近时，则需要考虑固有频率对疲劳寿命的影响，转入步骤S208；当所述模态分析的固有频率与工作频率不接近时，则可忽略固有频率对疲劳寿命的影响，同时执行步骤S206，并转入步骤S207。

表1为电主轴前六阶模态固有频率及对应转速。如表1所示，在有限元分析下，电主轴前六阶模态固有频率和对应转速为：

表1

由表1可以看出，对本实施例而言，主轴最高工作转速为8000rpm，其对应工作频率仅为133Hz,远远低于其各阶固有频率，因此，主轴模态分析结果表明，主轴共振对后续疲劳寿命影响很小，可以忽略不计。

步骤S206，电主轴疲劳分析。

在步骤S205的模态分析中表明，主轴共振对疲劳寿命影响很小，可忽略不计，因此，仅考虑静力学分析下等效应力应变状态对疲劳寿命的影响。主轴材料40Cr的S-N曲线可由超声疲劳试验获得，该曲线拟合结果如图9所示。

机床车削过程中，由于主轴不断旋转，因此其所受到的切削力是一个交变应力。因为主轴在切削过程中承受切削力、扭矩等多种载荷，而且由于主轴旋转，主轴各点受力情况随时间呈周期性变化，因此，可将主轴受力等效为静力学某一状态下，电主轴受到正弦载荷作用，其载荷历程如图10所示.

步骤S207，获得有限元寿命结果。

执行步骤S206后，得到有限元寿命结果。图11为本实施例的电主轴疲劳寿命最小寿命位置分布示意图。如图11所示，考虑平均应力影响，获得主轴瞬时疲劳危险点位置。疲劳寿命最小值为7.7765×10⁹周次循环。

步骤S208，结合功率谱密度预测有限元疲劳寿命。

首先需要说明的是，在本实施例的条件设定前提下，所执行的是步骤S206和步骤S207，当取消本实施例的设定条件，还会存在一种模态分析后，所述固有频率与工作频率比较接近的情况，当这种接近达到阈值后，则执行本步骤。

确定了电主轴固有频率和振型后，结合功率谱密度(PSD)计算等效应力。图9为40Cr材质半对数S-N曲线。如图9所示，主轴材料40Cr的S-N曲线可由超声疲劳试验，通过曲线拟合获得。通过所述等效应力，及相应的PSD响应，预测有限元疲劳寿命。

本实施例的电主轴的多轴疲劳寿命预测的方法，相对于单轴疲劳更加接近实际工况，其分析得到的疲劳寿命更加接近实际使用时的疲劳寿命，可以更好的指导实际工作，更具有应用价值。

在对电主轴多轴疲劳寿命预测的基础上，对疲劳寿命的可靠性进行评估。图3为本实施例的电主轴多轴高周疲劳准则下疲劳寿命预测结果评估流程图。如图3所示，电主轴多轴高周疲劳准则下疲劳寿命预测结果评估方法，包括如下步骤：

步骤S301，获取有限元疲劳寿命结果及电主轴瞬时应力应变状态。

有限元分析结果表明，主轴疲劳类型属于高周疲劳，为了对主轴疲劳寿命可靠性进行评估，首先需要得到多轴高周疲劳准则下计算的疲劳寿命。众多多轴高周疲劳准则指出，材料或构件的临界平面定义为剪切应力幅值达到最大的平面。在电主轴危险部位已经确定的基础上，选择该位置进行疲劳寿命预测研究。

步骤S302，三向应力解析。

有限元分析结果表明，电主轴疲劳寿命薄弱点处与von Mises等效应力最大值处相同，因此，从该点出发，取平面位置θ，利用三向应力理论，计算出该平面上的剪切应力状态。由于有限元分析得到的应力应变状态为瞬时结果，且主轴工作状况下不断绕轴心旋转，因此，瞬时应力最大位置所在圆上各点即为一个周期下危险位置应力应变状态。

步骤S303，获取疲劳危险位置上一点应力应变历程。

利用坐标转换方法将该周期下各点状态融合至一点，即可得到疲劳危险位置上一点在一个周期下应力应变历程。从该位置出发，以0.1°为步长从0°变化到180°,计算得到每个平面的参数，根据临界平面定义，选取剪切应力幅值最大平面作为临界平面。

步骤S304，多轴高周疲劳准则下的电主轴疲劳寿命进行评估。

本实施例采用现有众多学者提出的四种多轴高周疲劳准则，进行评估。四种多轴高周疲劳准则如下：

McDiarmid模型作为临界面法的典型代表模型，其模型在多轴疲劳研究领域受到了广泛的关注，并且被MSC.Fatigue等专业疲劳分析软件所收录，其临 界平面定义为剪切应力幅值达到最大值所在平面，其多轴疲劳寿命预测模型表达如式(2)所示。

$C_a^{*}+\frac{t_{AB}}{2{\mathrm{\σ}}_u}{N}_{\max }^{*}=t_{eq}---\left(2\right)$

其中，表示最大剪切应力幅值，示临界平面上的最大正应力。t_AB表示产生两种不同裂纹的A型裂纹和B型裂纹所对应的扭转疲劳极限t_A和t_B,对于拉扭组合加载，一般发生A型裂纹，即t_AB＝t_-1，这里t_-1指的是扭转循环对称载荷下材料的剪切疲劳极限，σ_u为材料的拉伸强度极限。t_eq是等效单轴剪切应力。该准则适用条件是1.55≤f_-1/t_-1≤1.75。将该准则与剪切疲劳S-N曲线结合，可形成寿命模型。对于高周疲劳，其剪切疲劳S-N曲线同样满足Basquin公式，如式(3)所示。

$t_{eq}={\mathrm{\τ}}_f^{\′}{\left(2N_f\right)}^{b_0}---\left(3\right)$

其中，τ'_f为纯扭转加载下的疲劳强度系数，b₀为该加载条件下的疲劳强度指数，N_f为纯扭转加载下的疲劳寿命。两式联立即可得到McDiarmid模型下的疲劳寿命表达式。

Papadopoulos准则定义了广义剪切应力幅值，并结合静水平压力最大值σ_H，

进行线性组合，形成新的失效准则如式(4)(5)所示。

maxT_a+ασ_H,max≤τ_-1 (4)

α＝3(τ_-1/σ_-1-1/2) (5)

式(6)定义了广义剪切应力幅值T_a最大的平面为临界面，将该式与剪切应力S-N曲线结合，可形成寿命模型如式(6)。

${\mathrm{\τ}}_{eq,N}=\frac{\max T_a+3({\mathrm{\τ}}_{-1}/{\mathrm{\σ}}_{-1}-1/2){\mathrm{\σ}}_{H,a}}{1-3/{\mathrm{\τ}}_{-1}({\mathrm{\τ}}_{-1}/{\mathrm{\σ}}_{-1}-1/2){\mathrm{\σ}}_{H,m}}=f_2\left(N\right)---\left(6\right)$

其中σ_H,m、σ_H,a分别为静水压力的均值与幅值。该模型使用的材料范围是 而对于临界面法中，最大剪切应力幅值和该平面上的最大正应力是疲劳损伤的两个重要参数，根据这两个参数构造的满足扭转和拉压两种加载方式的多轴高周疲劳寿命模型表达式可进一步变形为式(7)。

$\sqrt{{\left(C_a^{*}\right)}^2-C_a^{*}{N}_{max}^{*}+{\left(\frac{t_{-1}}{f_{-1}}\right)}^2(f_{-1}+2C_a^{*})N_{max}^{*}}=t_{eq}---\left(7\right)$

而采用Papadopoulos模型，在排除脆性材料而给出的条件，该模型材料范围限制在1.25≤f_-1/t_-1≤2。

该模型下，将式与剪切疲劳S-N曲线联立，可得到疲劳寿命表达式。

Matake准则同样也是基于临界平面上剪切应力幅值与最大正应力的线性组合。其临界平面定义为剪切应力幅值达到最大值所在平面，平面上坐标由球坐标表示：

Findley曾经提出如式所示(9)的准则：

其中κ和λ均是材料常数，Matake在Findley的研究基础上将该式的系数重新定义，但仍认为是两个参数的线性组合，Matake准则下材料常数表达式如式(10)：

$\mathrm{\κ}=\left(\frac{2t_{-1}}{f_{-1}}\right)-1;\mathrm{\λ}=t_{-1}---\left(10\right)$

其中，t_-1和f_-1分别对应剪切疲劳极限和单轴疲劳极限。将Matake准则与剪切疲劳S-N曲线(f₂(N))结合，可形成寿命模型，模型表达如式(11)所示：

其中，τ_eq为寿命为N时的等效剪切疲劳强度。

基于实验验证，Carpinteri和Spagnoli认为，断裂面的法向向量和利用加权算法得到的最大剪切应力平面相吻合，考虑到疲劳裂纹产生和裂纹延展发生在不同的平面，Carpinteri和Spagnoli提出临界平面不同于疲劳断裂平面，两平面的法向向量夹角可用经验公式(2-11)表达：

$\mathrm{\α}=45\frac{3}{2}\[1-{\left(\frac{t_{-1}}{f_{-1}}\right)}^2\]---\left(12\right)$

其中，α是加权算法得到的断裂面应力方向与临界平面法相向量的夹角，

是扭转疲劳强度极限。据此确定临界平面之后，多轴疲劳损伤计算公式可表达为式(13)。

${\mathrm{\τ}}_{eq}=\sqrt{{\mathrm{\τ}}_{ac}^2+{\[\frac{t_{-1}}{f_{-1}}{\mathrm{\σ}}_{\max c}\]}^2}---\left(13\right)$

其中，τ_ac和σ_maxc分别是临界平面上的剪切应力幅值和最大正应力，t_-1和f_-1分别表示单轴疲劳强度和剪切疲劳强度。

将式(13)与单轴剪切疲劳S-N曲线f₂(N)结合，可形成寿命预测模型,如式(14)所示。

${\mathrm{\τ}}_{eq}=\sqrt{{\mathrm{\τ}}_{ac}^2+{\[\frac{t_{-1}}{f_{-1}}{\mathrm{\σ}}_{\max c}\]}^2}=f_2\left(N\right)---\left(14\right)$

步骤S305，四种准则的疲劳寿命评估。

表2为电主轴多周疲劳寿命预测计算结果。如表2所示，基于四种多轴高周疲劳准则下，主轴多轴疲劳寿命预测值如下：

表2

步骤S306，通过数据比对，得出最终的多轴高周疲劳准则下疲劳寿命评估结果准确度。

以等效von Mises应力状态下，有限元分析结果7.7765×10⁹周次作为参照依据，四种多轴高周疲劳准则与其进行比对，表3为疲劳寿命计算差值，如表3所示，其差别如下：

表3

Papadopoilos准则下，其多轴疲劳寿命结果最为保守，以该准则下疲劳寿命结果为例，进行疲劳寿命的可靠性评估。

本实施例的基于多轴高周准则的多轴疲劳寿命估计方法，对于主轴的可靠性评估，不需要进行大量实验获得一组数据，仅需通过仿真或者真实实验得到一组寿命数据即可，降低了研究成本。

电主轴因其加工工艺复杂、技术含量较高，若对主轴进行样本量较大的试验来达到可靠性评估，其试验成本过于昂贵，通常情况下只能进行样本量n＝1、n＝2的极小子样试验。上世纪70年代，美国斯坦福大学教授Efron提出Bootstrap方法，该方法对于样本量超过10的小子样评估问题提出了合理的解决方案，但是对于样本量低于5的极小子样实验的评估，单独的Bootstrap方法显然不适用。为了解决这一问题，利用虚拟增广样本方法，把样本量n＝1虚拟增广至n＝13。利用增广样本构造的经验累积分布函数模拟出5000组数据，在此基础上，利用Bayes法对模拟样本的可靠性数据所服从的分布函数中的未知参数进行估计，最终得到与电主轴寿命相关的可靠性结论。

图4为本实施例通过增广样本在不同准则下电主轴疲劳寿命可靠性评估方法流程图。如图4所示，本实施例的不同准则下电主轴疲劳寿命可靠性评估方法，包括如下过程：

步骤S401，将单一样本进行虚拟增广。

多轴高周疲劳Papadopoilos准则下，其预测疲劳寿命为1.42×10⁸周次循环，将其换算成使用时间，电主轴仿真模拟得到的疲劳寿命T₀＝2787.6h，根据工程经验，对于长寿命机械构件，其疲劳寿命服从对数正态分布，其对数寿命标准差取σ_Y＝0.17。T是服从对数正态分布的随机变量，该寿命取对数后，Y₀＝lgT₀＝3.4452，虚拟增广方法原则表明，增广子样均值与原始子样均值相等，增广子样标准差与类似件子样标准差相等，根据虚拟增广样本方法得到的13个样本取值如下：

{2.1371，2.7727，3.1582，3.3562，3.4291，3.4395，3.4452，3.4509，3.4613， 3.5342，3.7322，4.1177，4.7533}

步骤S402，Bootstrap方法仿真得到多组疲劳寿命数据。

在获得虚拟增广样本后，结合Bootstrap方法，随机模拟产生5000组数据，其数据分布如图12所示，其样本均值将该数值还原至实际寿命并与该准则下理论计算所得到的数据进行比对，其寿命误差 该误差满足工程上所允许的±5％范围，因此根据Bootstrap方法模拟出的数据符合工程要求，可以应用至后续可靠性分析。

步骤S403，Bayes方法对样本参数进行参数估计。

在获得样本均值后，需要对于未知参数μ进行估计。本例可将问题等效为，设主轴疲劳寿命取对数后，总体X～N(μ,σ²)，未知参数μ～N(ν,τ²),其中σ,ν,τ已知，X₁,X₂,…,X_N为X的样本，求二次损失下μ的贝叶斯估计。

贝叶斯估计下，μ的估计为3.435256。

步骤S404，分析得到该准则下疲劳寿命可靠性评估指标。

将上述相关参数的贝叶斯估计值代入到对数正态分布的相关表达式，可以得到电主轴的可靠度指标如下：

对数正态分布为：

$\lg x=\frac{\ln x}{\ln 10}~N(\mathrm{\μ},{\mathrm{\σ}}^2)$

lnx～N(μln10,(σln10)²),令a＝μln10,b＝σln10,lnx～N(a,b²)

失效分布密度函数为：

$f\left(t\right)=\frac{1}{bt\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp \[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\ln t-\hat{a}}{b}\right)}^2\]---(15-1)$

代入后即得：

$f\left(t\right)=\frac{1}{ln10\×0.17\×\sqrt{13}\×t\×\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp \[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\ln t-ln10\×3.435256}{ln10\×0.17\×\sqrt{13}}\right)}^2\]---(15-2)$

由式(15-1)及(15-2)可得，基于Papadopoilos准则下的多轴高周疲劳失效分 布密度函数曲线如图13所示。图13中的曲线表明，当t≈350h时，f(t)_max＝2.76×10^-4。这表示在本实施例设定工况下，该型号电主轴运行到350h时失效的个体数占整个试验样本的比例最大，约为0.0276％.

可靠度函数为：

$R\left(t\right)=1-{\∫}_0^t\frac{1}{bt\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp \[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\ln t-\hat{a}}{b}\right)}^2\]dt---(16-1)$

代入后即得：

$R\left(t\right)=1-{\∫}_0^t\frac{1}{ln10\×0.17\×\sqrt{13}\×\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp \[-\frac{1}{2}{\left(\frac{\ln t-ln10\×3.435256}{ln10\×0.17\×\sqrt{13}}\right)}^2\]dt---(16-2)$

由式(16-1)及(16-2)得到基于Papadopoilos模型下主轴可靠度函数曲线如图14所示。图14所示的可靠度曲线表明，在该准则下，主轴可靠性随使用时间的上升，其疲劳寿命可靠度逐渐降低，在主轴运行至2700h时，其可靠度为0.5。

针对长寿命电主轴，本实施例的电主轴多轴疲劳寿命可靠性评估方法能够在仿真结果的基础上，对单一子样下电主轴疲劳寿命进行评估和可靠性研究，这一方法为实际加工生产中，主轴疲劳寿命评估提供技术和数据支持，同时为后续主轴精度寿命评估打下基础。以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。