一种基于灰色置信区间的结构应力‑强度干涉模型集合可靠性分析方法与流程

本发明涉及有限样本置信区间估计与结构安全性评估技术领域，特别涉及一种基于灰色区间且满足一定置信度要求的结构应力-强度干涉模型可靠性分析方法，为实现工程中贫信息、少数据条件下参数不确定性的合理量化以及结构应力和强度二维集合干涉模型下安全态势的有效度量提供了可行的处理办法。

背景技术：

结构的安全性问题，特别是结构强度问题是工程设计领域关注的核心。由于材料分散性、载荷不确定性的效应显著存在，加之实际工程中受到试验成本及周期的限制，往往可获得的样本信息十分有限，因此，如何利用小规模的样本数据，完成参数不确定性的合理量化以及结构安全性的准确评估，具有显著的工程实用价值。

若想实现有限样本下不确定性的量化与结构安全性的合理评价，首先需要建立可信的参数估计方法。传统的参数估计方法是根据概率数理统计理论提出的，是从大样本数据的统计规律性来考虑问题，并用被估计值在估计区间出现的概率来评定估计区间的置信度。但是由于种种限制大多数结构问题的试验次数较少，获得的数据样本量较小，无法根据已往经验在统计上确定其分布规律。因此，应用传统的概率数理统计理论反而会出现较大的风险。

此外，结构可靠性分析是当前处理不确定性条件下结构安全态势评估的最有效手段，主要包括概率可靠性方法和非概率可靠性方法两大类。概率可靠性理论发展成熟，但样本需求量大，工程适用性差；基于集合理论的非概率可靠性分析方法，在处理小样本情况时具有天然的优势，但是当前方法并未从试验样本出发，也未考虑置信度要求下的结构可靠性指标计算问题。

综上，如何以有限样本数据为基础，开展具有一定置信度的参数估计方法，并进而实现满足置信度要求下的结构非概率可靠性分析，是当前学术界和工程界广泛关注的热点问题。本发明针对结构应力-强度干涉模型，通过引入灰色数学理论，并定义样本间的灰色距离测度，实现样本均值置信区间的快速获得；结合结构非概率集合可靠性分析方法，最终建立了置信度与可靠度双重标准下结构安全性的合理评判准则，促进了结构不确定性分析方法的工程化进程。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于灰色置信区间的结构应力-强度干涉模型集合可靠性分析方法，充分考虑实际工程问题中试样样本数量的限制，以灰色数学理论为基础，通过定义样本间的灰色距离测度，构建满足一定灰色置信度要求的结构应力和强度均值量化区间；再引入基于非概率集合理论的结构可靠性指标，最终建立面向结构应力-强度集合干涉模型的且具有置信度水平的结构可靠性分析方法。所提出方法可实现由小样本数据出发到结构安全校核的完整过程。

本发明采用的技术方案为：一种基于灰色置信区间的结构应力-强度干涉模型集合可靠性分析方法，实现步骤如下：

第一步：考虑结构应力S和强度R具有不确定性，可通过下式进行数学表征：

$S\∈S^I=\[\underset{\‾}{S},\stackrel{\‾}{S}\]=\[S^c-S^r,S^c+S^r\]$

和

$R\∈R^I=\[\underset{\‾}{R},\stackrel{\‾}{R}\]=\[R^c-R^r,R^c+R^r\]$

其中，S^I和R^I分别表示结构应力和强度的可行区间，S和R表示应力区间和强度区间的下界，和表示应力区间和强度区间的上界，S^c和R^c是结构应力和强度的均值，S^r和R^r是结构应力和强度的半径。通常情况下，结构应力和强度的均值满足R^c>S^c，此外，本发明中结构应力和强度半径S^r和R^r的取值为已知量。

第二步：为了实现第一步中结构应力S和强度R的区间表达，需借助真实试验条件或数值仿真手段，首先获得描述结构应力S和强度R有限样本的递增序列如下：

S_data＝{S_data(1),S_data(2),...,S_data(m)}和R_data＝{R_data(1),R_data(2),...,R_data(n)}

其中，m和n分别代表应力样本序列和强度样本序列的样本容量并满足：3＜m,n≤10。进而，基于灰色关联理论，分别定义出应力样本序列S_data和强度样本序列R_data中任意样本与观测样本间的灰色距离测度如下：

$d_g(S_i,S_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S_i-S_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,m$

和

$d_g(R_i,R_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R_i-R_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,n$

其中，d_g(S_i,S_j)和d_g(R_i,R_j)分别表示面向S_data和R_data的灰色距离测度，||d(S_i,S_data)||_∞和||d(R_i,R_data)||_∞分别代表应力和强度样本对应于样本序列的无穷范数，|·|为绝对值运算符，ξ为分辨系数，这里取值为0.5，i和j为计数指标。

第三步：根据第二步定义的灰色距离测度，以S_data和R_data中每一个样本作为观测样本，分别计算其与整个样本序列的灰色距离测度，并对结果进行平均处理，得到面向完整应力和强度样本序列的平均测度函数和如下：

$J_{S_i}=\frac{1}{m}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{d}_g(S_i,S_j),i=1,2,...,m$

和

$J_{R_i}=\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{d}_g(R_i,R_j),i=1,2,...,n$

再利用归一化方法，将和转化为加权函数和进而，结合灰色数学理论中的累加灰生成思想，计算出基于有限样本数据的结构应力和强度均值的灰色估计值和这里，加权函数表示样本序列S_data中样本S_i在灰色估计值中所占的比例，加权函数表示样本序列R_data中样本R_i在灰色估计值中所占的比例，于是有：且

第四步：将第三步计算出的灰色估计值和作为新的样本，分别加入到原始应力样本序列S_data和原始强度样本序列R_data中，于是，样本序列更新为：

和

为了探究结构应力和强度均值S^c和R^c与灰色估计值和之间的数学关联，利用第二步中建立的灰色距离测度表达式，建立灰密度指标θ下的如下表达式：

和

其中，和分别表示应力和强度均值的灰色估计值和同样本更新序列和间的灰色距离测度，赋值灰密度指标θ并求解上式，分别得到当前灰密度水平下均值S^c和R^c的可行边界，即：

和

其中，S^c(θ)和分别表示给定灰密度指标θ下应力均值可行区间的下界和上界，R^c(θ)和分别表示给定灰密度指标θ下强度均值可行区间的下界和上界，这里，和分别基于样本更新序列和中有限样本间的拓扑关系和距离关系，反映了S^c和R^c与灰色估计值和间的匹配程度；灰密度指标θ满足其取值越大，表明均值S^c和R^c出现在灰色估计值和附近的可能性越大。

第五步：遍历灰密度指标θ的取值空间，分别建立结构应力和强度均值的灰密度函数f_θ(S^c)和f_θ(R^c)，给定置信度水平1-α，利用数值积分方法计算出满足灰色置信度要求的应力和强度均值S^c和R^c的置信区间和这里，置信度水平1-α的取值范围是：0＜1-α≤1，本发明中，置信度水平赋值为0.975，即α＝0.025。

第六步：根据第五步求得的满足灰色置信度要求的均值置信区间和结合确知的结构应力和强度半径S^r和R^r，基于面积比思想，针对典型工况，即：结构二维应力-强度干涉模型应满足：

$\underset{\‾}{S_{1-a}^c}-S^r\≤\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r\≤\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r\≤\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}+R^r$

构建并求解出满足(1-α)²置信度水平下结构二维应力-强度干涉模型的集合可靠性度量如下：

$R_{s,{(1-\mathrm{\α})}^2}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}$

综上，可实现从样本出发的满足一定置信度要求下结构非概率集合可靠性的综合评价。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了处理有限样本下含置信度要求的结构可靠性分析的新思路，弥补和完善了现有结构可靠性分析理论和方法的局限性。首先，利用应力和强度样本间的拓扑关系和距离信息，定了灰色距离测度，进而建立了灰色置信度要求下的应力和强度均值的量化区间；再将置信区间与结构非概率集合可靠性理论相结合，实现了从样本出发，同时包含置信度和可靠度双重标准的结构安全性校核，为结构的精细化设计提供了合理的理论支持。

附图说明

图1是本发明基于灰色置信区间的结构应力-强度干涉模型可靠性分析流程图；

图2是本发明针对结构应力-强度干涉模型的数学表达示意图；

图3是本发明提出的不同灰密度指标下应力或强度均值区间边界示意图；

图4是本发明提出的灰色置信度下结构应力或均值置信区间计算示意图；

图5是本发明提出的满足置信度要求结构应力-强度干涉模型集合可靠度计算示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于灰色置信区间的结构应力-强度干涉模型集合可靠性分析方法，包括以下步骤：

(1)如图2所示，考虑结构应力S和强度R具有不确定性，可通过下式进行数学表征：

$S\∈S^I=\[\underset{\‾}{S},\stackrel{\‾}{S}\]=\[S^c-S^r,S^c+S^r\]$

和

$R\∈R^I=\[\underset{\‾}{R},\stackrel{\‾}{R}\]=\[R^c-R^r,R^c+R^r\]$

其中，S^I和R^I分别表示结构应力和强度的可行区间，S和R表示应力区间和强度区间的下界，和表示应力区间和强度区间的上界，S^c和R^c是结构应力和强度的均值，S^r和R^r是结构应力和强度的半径。通常情况下，结构应力和强度的均值满足R^c>S^c，此外，本发明中结构应力和强度半径S^r和R^r的取值为已知量。

(2)为了实现第一步中结构应力S和强度R的区间表达，需借助真实试验条件或数值仿真手段，首先获得描述结构应力S和强度R有限样本的递增序列如下：

S_data＝{S_data(1),S_data(2),...,S_data(m)}和R_data＝{R_data(1),R_data(2),...,R_data(n)}

其中，m和n分别代表应力样本序列和强度样本序列的样本容量并满足：3＜m,n≤10。进而，基于灰色关联理论，分别定义出应力样本序列S_data和强度样本序列R_data中任意样本与观测样本间的灰色距离测度如下：

$d_g(S_i,S_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S_i-S_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,m$

和

$d_g(R_i,R_j)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R_i-R_j|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}},i,j=1,2,...,n$

其中，d_g(S_i,S_j)和d_g(R_i,R_j)分别表示面向S_data和R_data的灰色距离测度，||d(S_i,S_data)||_∞和||d(R_i,R_data)||_∞分别代表应力和强度样本对应于样本序列的无穷范数，其具体表达式为：

$\left|\right|d(S_i,S_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}=\underset{k}{max}\{|S_{data\left(k\right)}-S_i|,k=1,2,...,m\}$

和

$\left|\right|d(R_i,R_{data})|{|}_{\mathrm{\∞}}=\underset{k}{max}\{|R_{data\left(k\right)}-R_i|,k=1,2,...,n\}$

|·|为绝对值运算符，ξ为分辨系数，这里取值为0.5，i、j和k表示计数指标。

(3)根据第二步定义的灰色距离测度，以S_data和R_data中每一个样本作为观测样本，分别计算其与整个样本序列的灰色距离测度，并对结果进行平均处理，得到面向完整应力和强度样本序列的平均测度函数和如下：

$J_{S_i}=\frac{1}{m}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{d}_g(S_i,S_j),i=1,2,...,m$

和

$J_{R_i}=\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{d}_g(R_i,R_j),i=1,2,...,n$

再利用归一化方法，将和转化为加权函数和即：

和

进而，结合灰色数学理论中的累加灰生成思想，计算出基于有限样本数据的结构应力和强度均值的灰色估计值：和这里，加权函数表示样本序列S_data中样本S_i在灰色估计值中所占的比例，加权函数表示样本序列R_data中样本R_i在灰色估计值中所占的比例，于是有：且

(4)将第三步计算出的灰色估计值和作为新的样本，分别加入到原始应力样本序列S_data和原始强度样本序列R_data中，于是，样本序列更新为：

和

为了探究结构应力和强度均值S^c和R^c与灰色估计值和之间的数学关联，利用第二步中建立的灰色距离测度表达式，建立灰密度指标θ下的如下表达式：

和

如图3所示，由于灰色距离测度和具有分段单调性，即当和时，和单调递增，当和时，和单调递减，当和时，和取极大值1。因此，上述不等式中一旦S^c和R^c已知，灰密度指标θ可唯一确定，反之，若θ已知，对于结构应力和强度均值的计算将等效转化为分段函数求解边值问题。即当和时，有：

$d_g\left(S^c,\hat{S}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|S^c-\hat{S}|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒S^c\≥\hat{S}-0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

和

$d_g\left(R^c,\hat{R}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|R^c-\hat{R}|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒R^c\≥\hat{R}-0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

反之，当和时，有：

$d_g\left(S^c,\hat{S}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|\hat{S}-S^c|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒S^c\≤\hat{S}+0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(S^c,S_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

和

$d_g\left(R^c,\hat{R}\right)=\frac{\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}{|\hat{R}-R^c|+\mathrm{\ξ}\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}}\≥\mathrm{\θ}\⇒R^c\≤\hat{R}+0.5\left(1-\mathrm{\θ}\right)\left|\right|d\left(R^c,R_{data}^{*}\right)|{|}_{\mathrm{\∞}}$

通过赋值灰密度指标θ并求解上式，分别得到当前灰密度水平下均值S^c和R^c的可行边界，即：

和

这里，和分别基于样本更新序列和中有限样本间的拓扑关系和距离关系，反映了S^c和R^c与灰色估计值和间的匹配程度；灰密度指标θ满足其取值越大，表明均值S^c和R^c出现在灰色估计值和附近的可能性越大。

(5)遍历灰密度指标θ的取值空间，分别建立结构应力和强度均值的灰密度函数f_θ(S^c)和f_θ(R^c)并满足：

$f_{\mathrm{\θ}}\left(S^c\right)=\frac{\mathrm{\θ}}{{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{\hat{S}}\underset{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\underset{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}+{\∫}_{\hat{S}}^{+\mathrm{\∞}}\stackrel{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\stackrel{\‾}{S^c\left(\mathrm{\θ}\right)}}$

和

$f_{\mathrm{\θ}}\left(R^c\right)=\frac{\mathrm{\θ}}{{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{\hat{R}}\underset{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\underset{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}+{\∫}_{\hat{R}}^{+\mathrm{\∞}}\stackrel{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}\·\mathrm{\θ}d\stackrel{\‾}{R^c\left(\mathrm{\θ}\right)}}$

如图4所示，给定置信度水平1-α，利用数值积分方法计算出满足灰色置信度要求的应力和强度均值S^c和R^c的置信区间和并满足：

${\∫}_{\underset{\‾}{S_{1-a}^c}}^{\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}}{f}_{\mathrm{\θ}}\left(S^c\right)\·S^c{\mathrm{dS}}^c={\∫}_{\underset{\‾}{R_{1-a}^c}}^{\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}}{f}_{\mathrm{\θ}}\left(R^c\right)\·R^c{\mathrm{dR}}^c=1-\mathrm{\α}$

这里，置信度水平1-α的取值范围是：0＜1-α≤1，本发明中，置信度水平赋值为0.975，即α＝0.025。

(6)根据第五步求得的满足灰色置信度要求的均值置信区间和结合确知的结构应力和强度半径S^r和R^r，基于面积比思想，针对如图5所示的典型工况，即：结构二维应力-强度干涉模型应满足：

$\underset{\‾}{S_{1-a}^c}-S^r\≤\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r\≤\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r\≤\stackrel{\‾}{R_{1-a}^c}+R^r$

构建并求解出满足(1-α)²置信度水平下结构二维应力-强度干涉模型的集合可靠性度量如下：

$R_{s,{(1-\mathrm{\α})}^2}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}$

综上，可实现从样本出发的满足一定置信度要求下结构非概率集合可靠性的综合评价。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对结构应力和强度的有限数据信息完成基于灰色置信区间的结构可靠性分析。其中，结构应力和强度的半径已知，即：S^r＝3，R^r＝1.5。基于过往经验，表征结构强度的数据信息较多，共有15个样本点；考虑工程问题的复杂性，表征结构应力的数据信息需要借由个体试验获得，因此数据量较少，共有5个样本点。经排序后，可知结构应力和强度的递增样本序列为：

S_data＝{44.3,46.9,48.1,50.0,51.4}

R_data＝{49.3,49.6,49.6,49.7,49.9,50.2,50.3,50.4,50.5,50.6,50.6,50.9,51.0,51.2,51.4}

根据本发明提出的方法，利用定义的灰色距离测度，分别计算得到灰色估计值：和根据灰色数学理论，可以分别计算得到结构应力和强度均值在置信度水平为0.975下的灰色置信区间为：

和

根据已知的半径信息，可以进一步获得灰色置信度为0.975下结构应力和强度的置信区间为：S∈[45.36,51.30]和R∈[48.61,52.18]，进而，该应力-强度干涉模型在满足置信度要求下的结构集合可靠度为：

$R_{s,{0.975}^2}=R_{s,0.95}=1-\frac{{\[(\stackrel{\‾}{S_{1-a}^c}+S^r)-(\underset{\‾}{R_{1-a}^c}-R^r)\]}^2}{8S^r{R}^r}=1-\frac{{(51.3-48.61)}^2}{8\×3\×1.5}=80.1\%$

因此，在置信度满足0.95的条件下，本实施例中结构可靠度下限达到80.1％。

综上所述，本发明提出了一种基于灰色置信区间的结构应力-强度干涉模型集合可靠性分析方法。该方法利用有限的结构应力和强度样本数据，通过探究数据间的距离关系与拓扑关系，结合灰色关联思想，构建出表征应力和强度均值变化范围灰色置信区间。进而，将量化区间结果与结构应力-强度干涉模型相结合，最终实现了满足置信度要求的结构集合可靠性评估。本发明所提出的方法可以从有限的样本数据出发，完成置信度和可靠度双重标准下结构安全态势的合理评价，具有更为鲜明的工程实用价值。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含多源不确定性大型结构在有限试验且满足置信度条件下的集合可靠性分析领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。