一种基于L‑I曲线的特高压变压器空载直流偏磁快速计算方法与流程

本发明属于特高压电网设备及安全稳定保障措施领域，特别涉及一种基于L-I曲线的特高压变压器空载直流偏磁快速计算方法。

背景技术：

随着超、特高压直流输电技术的飞速发展，我国实现了远距离、大容量、低能耗、高效率的电力输送。特高压自耦变压器作为特高压电网的核心元件之一，在改善电能质量、增强电力系统运行稳定性、降低系统运行成本、满足社会用电需求等方面发挥着极其重要的作用。但特高压变压器的运行受到直流输电线路的影响问题也日益突出，当直流偏置干扰混入施加在特高压变压器绕组端部的正弦工频激励时，变压器励磁电流在正负半个周期出现明显不对称现象，即所谓的直流偏磁现象，励磁电流产生大量的谐波，增加变压器的无功消耗，造成变压器振动增强，金属结构件和油箱局部过热，给电力系统的稳定运行带来极大影响。特高压变压器结构复杂，造价成本高，难以直接通过试验方法来研究变压器直流偏磁响应机制，为了探明特高压变压器直流偏磁物理效应，给出特高压变压器直流偏磁评价指标，为特高压变压器抗偏磁改造奠定理论和技术依据，有必要在有限的时间和资源内，找到一种快速精确的特高压变压器直流偏磁计算方法，这对于研究特高压变压器直流偏磁具有重要意义。目前用于变压器直流偏磁计算的方法有电路-磁路法、谐波平衡有限元和时域场路耦合法。电路-磁路法进行变压器的直流偏磁计算，分析不同直流偏磁工况下绕组电流的变化情况，但磁路模型没有充分考虑漏磁的影响，难以满足工程分析需要。基于谐波平衡有限元的方法，通过磁场耦合外部电路，对单元内磁矢量位的各次谐波同时求解再叠加，结果具有较高的精确性；但当变压器模型节点数和谐波次数比较多时，求解方程比较大，从而导致占用资源较多，计算时间长。基于时域场路耦合法的变压器直流偏磁计算，讨论了基于步长和龙格库塔法对计算结果的精确性与稳定性的问题，该方法具有较高的精确性与稳定性，可进行直流偏磁条件下详细的电磁特性分析，但该方法在计算效率上具有一定的缺陷。相关文献在场路耦合计算方法的基础上，引入了一种自适应优化算法，通过变步长来提高计算效率，但该方法并未用于大型变压器的直流偏磁计算。

技术实现要素：

为了克服上述现有技术的不足，本发明提供了一种基于L-I曲线的特高压变压器空载直流偏磁快速计算方法，通过特高压自耦变压器磁场模型获取L-I曲线，采用修正电感参数的四阶龙格库塔法完成特高压变压器空载直流偏磁快速计算。

为了实现上述发明目的，本发明采取如下技术方案：

一种基于L-I曲线的特高压变压器空载直流偏磁快速计算方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：根据变压器实际结构参数，构建变压器三维实体模型，采用棱边有限元法建立变压器直流偏磁计算磁场模型；

步骤2：利用步骤1的磁场模型，根据能量扰动原理计算变压器绕组流过不同电流时的自感值和绕组间的互感值，绘制L-I曲线；

步骤3：根据变压器电气连接图，通过电压补偿搭建变压器直流偏磁等效电路计算模型；

步骤4：利用修正电感参数的四阶龙格库塔法求解直流偏磁等效电路模型，适当加大直流电阻加快计算速度，其中的电感参数通过插值L-I曲线获得；

步骤5：计算特高压自耦变压器在不同直流偏置情况下的励磁电流，对各种偏置下的稳态励磁电流波形进行FFT变换，得到各偏置下的电流谐波变化情况。

进一步，所述步骤1中，棱边有限元法以磁矢量A为状态变量，假设导磁介质各向同性，根据Maxwell方程组得到变压器内部的非线性磁场方程：

$\▿\×v\▿\×A=J---\left(1\right)$

其中，ν为磁阻率，m/H；A为矢量磁位，Wb/m²；J为激磁电流密度，A/m²。

棱边有限元的自由度为场矢量沿棱边l的环A_l，采用的矢量形状函数N_l，单个单元的插值函数为：

$A=\underset{l=1}{\overset{n_{edge}}{\mathrm{\Σ}}}{N}_l{A}_l---\left(2\right)$

其中：n_edge为单元棱边号

整体场域的插值函数为：

$A=\underset{n=1}{\overset{n_n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_n(x,y,z)A_n---\left(3\right)$

其中：{M_n,n＝1,2,…,n_n}为基函数序列，由相关单元形状函数N_i对应叠加而成，n为基函数序列通项编号；n_n为总棱边数；A_n为单元标量磁位。

对公式(1)应用格林定理，得伽辽金加权余量方程：

$-{\∫\∫\∫}_{V}v(\▿\×M_m)\·(\▿\×M_m)A_n\mathrm{dV}={\∫\∫\∫}_V{M}_m\·\mathrm{JdV}---\left(4\right)$

其中，M_m{m＝1,2,…,n_n}为权函数序列；

将棱边有限元的权函数分别代入方程(4)，针对全部权函数，将加权余量方程离散形成代数方程组，求解所有棱边上的磁矢量为A。

进一步，所述步骤2中，变压器绕组的电动势方程：

$E=\frac{d\mathrm{\ψ}}{dt}=\frac{d\mathrm{\ψ}}{dI}\frac{dI}{dt}=L_D\left(I\right)\frac{dI}{dt}---\left(5\right)$

其中，E为绕组电动势；ψ为线圈磁链矢量；L_D(I)为动态电感矩阵，I为变压器绕组电流矩阵，t为时间变量。

根据能量扰动原理，当线圈电流增加δI_k(δ＝0～1)时，磁链变化δψ_k，端口电压需施加增量δu_k＝d(δψ_k)/dt，外部能量增量dW_k＝δu_kδI_kdt＝ψ_kδI_kdδ，进而电源提供的总能量：

$W_{circut}=\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\δI}}_k{\mathrm{\ψ}}_{k}d\mathrm{\δ}=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{I}_k{\mathrm{\ψ}}_k---\left(6\right)$

其中，δI_k为线圈电流增量

由电流变化引起的外部电源能量变化与动态电感及励磁电流相关联：

${\mathrm{\ΔW}}_{circut}=\frac{1}{2}{L}_{Dkp}{\mathrm{\ΔI}}_k{\mathrm{\ΔI}}_p,(k,p=1,2)---\left(7\right)$

其中，L_Dkp为绕组电感矩阵，k,p为绕组编号，

磁场系统的磁场能量：

$W_{magnetic}=\frac{1}{2}\∫J\·AdV=\frac{1}{2}\∫B\·HdV---\left(8\right)$

其中，B为磁通密度，H为磁场强度，

由电流变化引起的内部磁场能量变化为：

${\mathrm{\ΔW}}_{magnetic}=\frac{1}{2}\∫\mathrm{\Δ}B\mathrm{\Δ}HdV---\left(9\right)$

其中，ΔB为磁通密度变化量，ΔH为磁场强度变化量，

由能量守恒原理，式(7)和(9)中的能量变化相等，便可以得到动态电感矩阵L_D(I)。

通过给变压器线圈施加一系列电流离散值，记录每一个电流对应的电感矩阵，得到线圈自感值及互感值随电流的变化曲线，绘制L-I曲线。

进一步，所述步骤3中，直流偏磁状态下，为加快计算速度，可增大直流电阻，为使计算电路接近实际偏磁电路，变压器直流偏磁等效电路方程：

$u+U_{dc}+(I-i_{dc})*R=L_D\left(I\right)\frac{dI}{dt}+RI---\left(10\right)$

其中，u为交流电压源向量；U_DC为直流干扰电压源；I为前一个计算周期内的电流离散值；i_dc为前一个计算周期内电流的均值；L_D(I)表示电感矩阵随着电流变化而变化；R为计算直流电阻。

进一步，所述步骤4中，利用修正电感参数的四阶龙格库塔法求解上述变压器直流偏磁等效电路方程，由k时刻电流i_k计算k+1时刻电流i_k+1，具体过程如下：

1)将k时刻电流i_k值，代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得i_k所对应的线圈自感L(i_k)和互感M(i_k)；由i_k、L(i_k)及M(i_k)的数值计算i(t)在t_k时刻的斜率d₁；

2)从第一个(i_k,t_k)积分点出发，前进半个步长h/2，得到第二个积分点处未知量的i_k+h/2的预估值将代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得所对应的线圈自感和互感由及的数值计算i(t)在i_k+h/2时刻的斜率d₂；

3)以d₂为斜率，重新从第一个积分点出发，前进半个步长h/2，计算第二个积分点处未知量的预估值将代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得所对应的线圈自感和互感由及的数值计算i(t)在i_k+h/2时刻的斜率d₃，并以(d₂+d₃)/2作为第二个积分点处的导数平均值；

4)以d₃为斜率，前进一个步长h，计算第三个积分点处未知量的预估值i_k+h；将i_k+h代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得i_k+1所对应的线圈自感L(i_k+h)和互感M(i_k+h)；由i_k、L(i_k+h)及M(i_k+h)的数值计算i(t)在t_k+1时刻的斜率d₄

5)最后t_k+1时刻的电流i_k+1为：

$i_{k+1}=i_k+\frac{h}{6}(d_1+2d_2+2d_3+d_4)---\left(11\right)$

6)计算完一个周期后，记录该周期的电流离散值I，求出该周期的电流均值i_dc，代入步骤3中的变压器直流偏磁等效电路方程(10)，进行下一个周期电流计算，直至满足计算进入稳定判断条件：

$\sqrt{\frac{\underset{k=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\[i_{nT,k}-i_{(n+1)T,k}\]}^2}{p}}\≤\mathrm{\ϵ}---\left(12\right)$

其中i_nT,k为第n个周期的第k个时刻电流值；i_(n+1)T,k为第n+1个周期的第k个时刻电流值；p为一个周期总的计算电流数；ε为判稳限值，为一很小的数。

进一步，所述步骤5中，计算不同直流偏置情况下的励磁电流，将计算得到的稳定电流波形存入相应文件，编制FFT变换程序，进行谐波分析，研究随着直流偏置的增大，谐波电流变化情况。

与最接近的现有技术相比，本发明提供的技术方案具有以下有益效果：

1)本发明提出的基于棱边有限元法建立变压器磁场模型，根据能量扰动原理计算绕组流过不同电流时的自感值和绕组间的互感值，绘制的L-I曲线用于直流偏磁计算，有效解决了动态电感获取困难、耗时长及电感重复计算问题，节省了计算工作量，实现了在很短的时间内完成偏磁计算。

2)本发明提出的基于带修正电感参数的四阶龙哥库塔法有效地解决了特高压变压器铁心磁导率随电流变化剧烈问题，实现特高压变压器偏磁精确求解。

3)本发明提出的基于加大直流计算电阻带电压补偿的直流偏磁电路模型有效解决了实际电路直流电阻小、时间常数大、计算效率低问题，实现了特高压变压器直流偏磁的快速精确求解。

附图说明

图1为本发明建立的特高压变压器直流偏磁计算的三维几何模型(a)和基于棱边有限元法搭建的磁场模型(b)。

图2为本发明通过磁场模型，根据能量扰动原理，绘制的变压器自感及互感随电流的变化曲线，其中，(a)是高压绕组自感随电流变化曲线；(b)是中压绕组自感随电流变化曲线；(c)是高中压互感随电流变化曲线；(d)是电路中的等效电感随电流变化曲线。

图3是本发明步骤3中的直流偏磁等效电路方程求解流程。

图4是本发明步骤4中带修正电感参数的四阶龙格库塔法的求解流程。

图5是本发明计算的不同偏磁情况下励磁电流波形情况。

图6是本发明谐波分量随直流偏置增大发生的变化情况。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明进一步详细说明。

本发明提供一种基于L-I曲线的特高压变压器空载直流偏磁快速计算方法，下面结合附图对本发明具体实施方式进行详细说明。

步骤1，根据变压器实际结构参数，构建变压器三维实体模型，采用棱边有限元法建立变压器直流偏磁计算磁场模型。

棱边有限元法以磁矢量A为状态变量，假设导磁介质各向同性，根据Maxwell方程组得到变压器内部的非线性磁场方程：

$\▿\×v\▿\×A=J---\left(1\right)$

其中，ν为磁阻率，m/H；A为矢量磁位，Wb/m²；J为激磁电流密度，A/m²。

棱边有限元的自由度为场矢量沿棱边l的环A_l，采用的矢量形状函数N_l，单个单元的插值函数为：

$A=\underset{l=1}{\overset{n_{edge}}{\mathrm{\Σ}}}{N}_l{A}_l---\left(2\right)$

其中：n_edge为单元棱边号

整体场域的插值函数为：

$A=\underset{n=1}{\overset{n_n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_n(x,y,z)A_n---\left(3\right)$

其中：{M_n,n＝1,2,…,n_n}为基函数序列，由相关单元形状函数N_i对应叠加而成，n为基函数序列通项编号；n_n为总棱边数；A_n为单元标量磁位。

对公式(1)应用格林定理，得伽辽金加权余量方程：

$-{\∫\∫\∫}_{V}v(\▿\×M_m)\·(\▿\×M_m)A_n\mathrm{dV}={\∫\∫\∫}_V{M}_m\·\mathrm{JdV}---\left(4\right)$

其中，M_m{m＝1,2,…,n_n}为权函数序列；

将棱边有限元的权函数分别代入方程(4)，针对全部权函数，将加权余量方程离散形成代数方程组，求解所有棱边上的磁矢量为A。

按照特高压自耦变压器实际尺寸，获取包括变压器高压绕组和中压绕组的内径和外径、铁心的半径、铁心的高度、上轭的长度及窗口的宽度在内的参数，根据变压器对称性，构建特高压变压器1/8三维几何模型。几何模型构建的过程中，将铁心构建为整体，将绕组作为载流块导体考虑，建立圆柱筒形，忽略铁轭与主铁柱之间的接缝，铁心和绕组之外的部分认为是变压器油或者空气；对模型进行规则切割，便于得到六面体单元，减少单元节点数；获取各部分构件的材料属性参数，采用棱边有限元法构建变压器三维有限元磁场模型。

步骤2：利用步骤1的磁场模型，根据能量扰动原理计算变压器绕组流过不同电流时的自感值和绕组间的互感值，绘制L-I曲线；

变压器绕组电动势方程：

$E=\frac{d\mathrm{\ψ}}{dt}=\frac{d\mathrm{\ψ}}{dI}\frac{dI}{dt}=L_D\left(I\right)\frac{dI}{dt}---\left(5\right)$

其中，E为绕组电动势；ψ为线圈磁链矢量；L_D(I)为动态电感矩阵，I为变压器绕组电流矩阵，t为时间变量。

根据能量扰动原理，当线圈电流增加δI_k(δ＝0～1)时，磁链变化δψ_k，端口电压需施加增量δu_k＝d(δψ_k)/dt，外部能量增量dW_k＝δu_kδI_kdt＝ψ_kδI_kdδ，进而电源提供的总能量：

$W_{circut}=\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_0^1{\mathrm{\δI}}_k{\mathrm{\ψ}}_{k}d\mathrm{\δ}=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{I}_k{\mathrm{\ψ}}_k---\left(6\right)$

其中，δI_k为线圈电流增量

由电流变化引起的外部电源能量变化与动态电感及励磁电流相关联：

${\mathrm{\ΔW}}_{circut}=\frac{1}{2}{L}_{Dkp}{\mathrm{\ΔI}}_k{\mathrm{\ΔI}}_p,(k,p=1,2)---\left(7\right)$

L_Dkp为绕组电感矩阵，k,p为绕组编号，

磁场系统的磁场能量：

$W_{magnetic}=\frac{1}{2}\∫J\·AdV=\frac{1}{2}\∫B\·HdV---\left(8\right)$

其中，B为磁通密度，H为磁场强度，

由电流变化引起的内部磁场能量变化为：

${\mathrm{\ΔW}}_{magnetic}=\frac{1}{2}\∫\mathrm{\Δ}B\mathrm{\Δ}HdV---\left(9\right)$

其中，ΔB为磁通密度变化量，ΔH为磁场强度变化量，

由能量守恒原理，式(7)和(9)中的能量变化相等，便可以得到动态电感矩阵L_D(I)。

根据高压绕组和中压绕组的匝数及截面积，给变压器高压绕组和中压绕组线圈施加一系列电流离散值，给绕组设置圆柱坐标系，电流均匀分布于绕组截面之上，高中压绕组电流方向相同，大小成1:2关系，在模型的外表面设置磁力线平行条件。设置电流离散值时，考虑到特高压变压器铁心材料励磁性能很好，很小的励磁电流可使铁心达到饱和状态，因此在电流较小时，电流间隔设置的很小，电流较大时，可放大电流间隔，为减少正负电流计算的电感误差，在计算完每一个正值电流离散值时，将其变成相反数，进行对应的负值电流计算，记录每一个电流离散值对应的电感矩阵，便可以得到线圈自感及互感随电流的变化曲线，分别绘制L₁-I曲线、L₂-I曲线、M₁₂-I或M₂₁-I曲线及偏磁电路中等效的电感电流曲线L-I曲线。

步骤3，对实际特高压变压器直流偏磁电路模型进行等效，高压绕组采用4绕组并联方式，中压绕组采用2绕组并联方式，高中压绕组之间采用串联方式，因此电路直流电阻为高压绕组电阻和中压绕组电阻之和，电路等效电感为自感之和再加上2倍的互感，表示为：

R_总＝R₁+R₂ (9-1)

L_D(I)＝L₁(I)+L₂(I)+2M₁₂(I) (9-2)

其中，R_总为等效直流电阻；R₁为高压绕组电阻；R₂为中压绕组电阻；L₁(I)为高压绕组自感；L₂(I)为中压绕组自感；M₁₂(I)为高中压绕组互感。

直流偏磁状态下，为加快计算速度，可在计算时增大直流电阻，减小时间常数，减少计算过渡过程。考虑到实际电路中，特高压变压器绕组采用多绕组并联方式，绕组横截面积相对于普通变压器更大，匝数更多，直流电阻很小，电阻上产生的压降相对于交流电压可以忽略不计，为使得计算电路接近实际偏磁电路，变压器直流偏磁等效电路方程：

$u+U_{dc}+(I-i_{dc})*R=L_D\left(I\right)\frac{dI}{dt}+RI---\left(10\right)$

其中，u为交流电压源向量；U_DC为直流干扰电压源；I为一个计算周期内的电流离散值；i_dc为一个计算周期内电流的均值；L_D(I)表示等效电感矩阵随着电流变化而变化；R为计算直流电阻。

该直流偏磁电路模型能保证在计算的过程中线圈电感两端的电压基本为交流电压，接近于很小的直流电阻对应的偏磁电路模型。

步骤4，利用修正电感参数的四阶龙格库塔法求解上述变压器直流偏磁等效电路方程，由k时刻电流i_k计算k+1时刻电流i_k+1具体过程如下：

1)由k时刻电流i_k值，代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得i_k所对应的线圈自感L(i_k)和互感M(i_k)；由i_k、L(i_k)及M(i_k)的数值计算i(t)在t_k时刻的斜率d₁

2)从第一个(i_k,t_k)积分点出发，前进半个步长h/2，得到第二个积分点处未知量的i_k+h/2的预估值将代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得所对应的线圈自感和互感由及的数值计算i(t)在i_k+h/2时刻的斜率d₂

3)以d₂为斜率，重新从第一个积分点出发，前进半个步长h/2，计算第二个积分点处未知量的预估值将代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得所对应的线圈自感和互感由及的数值计算i(t)在i_k+h/2时刻的斜率d₃，并以(d₂+d₃)/2作为第二个积分点处的导数平均值；

4)以d₃为斜率，前进一个步长h，计算第三个积分点处未知量的预估值i_k+h；将i_k+h代入三次样条插值函数，插值L-I曲线，获得i_k+1所对应的线圈自感L(i_k+h)和互感M(i_k+h)；由i_k、L(i_k+h)及M(i_k+h)的数值计算i(t)在t_k+1时刻的斜率d₄

5)最后t_k+1时刻的电流i_k+1为：

$i_{k+1}=i_k+\frac{h}{6}(d_1+2d_2+2d_3+d_4)---\left(11\right)$

6)计算完一个周期后，记录该周期的电流离散值I，求出该周期的电流均值i_dc，代入步骤3中的变压器直流偏磁等效电路方程(10)，进行下一个周期电流计算，直至满足计算进入稳定判断条件：

$\sqrt{\frac{\underset{k=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\[i_{nT,k}-i_{(n+1)T,k}\]}^2}{p}}\≤\mathrm{\ϵ}---\left(12\right)$

其中i_nT,k为第n个周期的第k个时刻电流值；i_(n+1)T,k为第n+1个周期的第k个时刻电流值；p为一周期总的计算电流数；ε为判稳限值，为一很小的数，计算过程中取为10^-3。

步骤5，计算不同直流偏置情况下的励磁电流，令I_DC＝2A,I_DC＝10A,I_DC＝20A,I_DC＝60A,I_DC＝100A，分别进行特高压自耦变压器直流偏磁计算，将计算得到的稳定电流波形存入相应文件，编制FFT变换程序，进行谐波分析，研究随着直流偏置的增大，谐波电流变化情况。结果表明，随着直流偏置的增大，励磁电流和低次谐波都随之增大。

表1是计算的不同偏磁下的励磁电流谐波分量幅值

表1

如上所述，对本发明进行了详细地说明，显然，只要实质上没有脱离本发明的发明点及效果、对本领域的技术人员来说是显而易见的变形，也均包含在本发明的保护范围之内。