一种泊松白噪声激励下非线性系统的追踪控制方法与流程

本发明涉及随机控制和非线性系统领域，具体地说，特别涉及到一种泊松白噪声激励下非线性系统的追踪控制方法。

背景技术：

针对非高斯随机激励下的随机动力学问题的研究，在最近20多年来得到了快速发展。广义FPK方程近似解法是对FPK方程法的扩展，它将随机激励范围扩展到非高斯情况。在基本理论方面，Di Paola和Falsone一起给出了非高斯相关随机激励的伊藤和Stratonovich随机微分法则及它们之间的Wong-Zakai修正项，并用Monte Carlo数值模拟进行了检验。Di Paola和Vasta一起建立了泊松白噪声参激下非线性系统的随机积分微分方程与随机微分方程之间的关系。

Zeng和Zhu发展了一类泊松白噪声激励下的拟线性系统的平均广义FPK方程，并利用摄动法求解了系统响应总能量的近似平稳概率密度函数和位移响应的近似平稳边缘概率密度。传统上来讲，随机追踪控制的设计是基于线性化方法和高斯白噪声激励下的。许多行之有效的控制方法只关心两个被控量，即均值和方差或协方差。这类控制基于所述系统输出符合高斯分布的假定。然而，由于一个随机非线性系统的输出通常为非高斯。因此，在最近十几年，一些基于随机非线性系统输出的概率密度函数(PDF)的反馈追踪控制方法研究得到了越来越多的科研人员的关注。

技术实现要素：

本发明的目的在于针对现有技术中的不足，提供一种泊松白噪声激励下非线性系统的追踪控制方法，以解决现有技术中存在的问题。

本发明所解决的技术问题可以采用以下技术方案来实现：

本发明在Generalized-Fokker-Planck-Kolmogorov(GFPK)方程的基础上，为泊松白噪声激励的多自由度非线性系统设计反馈控制，使得该系统的输出概率密度收敛到给定的概率密度。首先推导泊松白噪声激励下的非线性系统运动方程及与之相应的近似平稳广义FPK(GFPK)方程，然后由GFPK方程中平稳解与系统参数之间的关系得到反馈控制率的表达式。本发明采取以下步骤：

将高维系统动力学方程

对状态矢量的增量作如下展开

将上述方程的右端项在x₀处作Taylor级数展开

令方程中左右两端不同ε幂次项分别相等，进而可以得到用F(x₀,t)表达的H(x₀,t)的各阶摄动展开分量

求得关于p＝p(x|x₀)的平均广义FPK方程：

根据给定的目标概率密度，由如上平均广义FPK方程求得追踪控制律：

与现有技术相比，本发明的有益效果如下：

在外部激励为非高斯分布的情况下，不论原系统输出是高斯分布还是非高斯分布，都可以令受控后的系统具有给定的概率密度。

附图说明

图1是本发明随机追踪控制方法流程图。

图2是系统受控制后边缘概率密度ρ(x₁,t)的时变过程。

图3是控制力u₁的时间历程。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

实施例1

参见图1、图2和图3，对一个空间充分混合的种群，描述种群密度随时间的演化的受控的脉冲型Lotka-Volterra模型为：

式中X₁(t)≥0,X₂(t)≥0是两个随机过程，分别代表被捕食者和捕食者的种群密度。两个种群分别有各自不同的自然生长率(或死亡率)a＞0,b＞0和竞争参数c_i＞0,s＞0。耦合项c₁X₁X₂和c₂X₁X₂分别表示由于两个种群间存在的捕食关系而导致的被捕食者种群的相对减少和捕食者种群的相对增长，并由此构建了种间平衡。项是所谓的被捕食者的种内竞争项，也称自竞争项，这一项的存在，乃基于这样一个客观事实，即对被捕食者而言，其栖息繁衍的环境中可供其种群消耗的食物、水、空间等资源是有限的，当为了争夺濒临耗尽的资源，必然在种群内部个体间形成竞争。

为了使该生物系统在强外界环境干扰下更加稳定，方法之一就是引入控制，使得捕食者和被捕食者关系轨迹渐进到渐近稳定平衡点[b/c₂,(a-bs/c₂)/c₁]附近。因此，考虑如下形式的目标概率密度

目标概率密度的受控系统，可以采用本发明的控制方法(为了简便计算，假定各随机脉冲的强度值相同，即Y_sk＝Y，且Y是均值为零的高斯分布，有＜Y³＞＝0,＜Y⁴＞＝3＜Y²＞²)。可以得到如下控制力：

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。