一种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于粒计算与流体力学技术领域，涉及一种非线性对流扩散方程的粒计算 加速求解方法。
【背景技术】
[0002] 关于对流扩散问题，目前在工程应用方面主要有3种解决方法：有限元法、有 限差分法、有限体积法。在对流占优的情况下，convection-diffusionequation出现 双曲型方程性质，此时用有限元法、有限差分法解方程将出现数值振荡及数值弥散问题， JimDouglas,Jr.andThomasF.Russell针对这一种情况最先提出了特征修正技术，结合有 限元法、有限差分法等一般方法，有了解决数值震荡和数值弥散问题的特征有限元法、特征 有限差分法、特征混合元法。然而，近年来，针对非线性对流扩散方程，众学者在离散格式及 误差分析等方面做了很多研究，取得了诸多成果，但解非线性对流扩散方程的效率问题一 直存在，计算复杂度高，求解效率低。
【发明内容】
[0003] 有鉴于此，本发明的目的是针对解非线性对流扩散方程存在的效率低的问题提出 非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，通过粒度层次切换来快速重构解，从而达到 降低计算复杂度，提高求解速度的目的。
[0004] 为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
[0005] -种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，包括以下步骤：
[0006] 步骤一：先在粗粒度的粒层上求解非线性对流扩散方程，得到粗粒度上的收敛 解；
[0007] 步骤二：再切换粒层，在细粒层上运用一阶泰勒展式将方程组线性化，进一步降低 计算复杂度，再运用步骤一得到的解，通过跨粒层快速重构解来求解方程组，得到目标粒度 (细粒度）的解，使得方程在保持稳定性及精确度的基础上加快求解速度，提高效率。
[0008] 进一步，本方法的具体步骤如下：
[0009] 1)非线性对流扩散方程：
[0011] 上式中，扩散系数a= (Ci1,a2)T和流速分量b=Od1,b2)T是线性的，源项f(u) =f(u，x，t)是非线性函数，Q是以ill为边界的有界域，T>0表示时间，u为物质浓度，
[0012] 2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空间，其范数为：
以下条件，其中，C*，c%a*，a% C1, C2, (：3为正常数：
[0015] a)0 < c*< c < c *< +00，0<a a < a *<+〇〇，max I a I<max IbI< C "
[0016] b) WcH P ' ：?；：：%；：
[0018] d)u G L~ (0, T；Hr+1(Q))；
[0019] e) utGL 2 (0,T；Hr+2),r = I if s=I and r 2 if s =0；
[0021] 3)用特征有限元法对方程组（I)进行离散：
[0022]
湘伴的特征方向T=T(x，t)
[0023]方程组（1)的特征形式为：
[0025]Sobolev空间梦=，内积=Jn 叙物F;并令 麵= 輕运用格林公式，⑵式可改写为如下形式：
[0027]对时间区间（0,T]进行划分：
tn=n?At，n= 1，2, ? ? ?，N;
[0028] 在特征修正技术中，t=。时，特征方向导数通过式（4)离散：
[0030]
代表第n时间层X处的特征线与第n-1时间层的交点；
[0031] 4)在细粒层上，对区间Q进行步长粒度为h的划分，Vh表示有限元空间，VnWh
[0032]方程组⑴的特征有限元解如下：
[0033]对于n= 1,2,…N,寻找使得
[0037] 初始条件的近似值u|可以通过U。在Vh中的插值给出，方程组（5)得到唯一确定 解K];
[0038] 5)由于源项是非线性函数，方程组（5)的计算复杂度高，这里先在粗粒度H2 =h的粒层上求解非线性对流扩散方程，通过方程（7)得到收敛解嗓，
[0040] 6)切换粒层，通过粒层之间的解的快速重构来求解，
[0041]
将方程巧妙线性化，直接由粗粒度H上的解,推出细粒度h上的解?^
[0043] 本发明的有益效果在于：本发明所述方法从实际需求出发，结合多粒度的优势，先 将复杂的非线性问题在粗粒度上求解，再通过粒层之间的解的快速重构，切换粒层，由粗粒 层上的解推算出细粒层上的解，将非线性方程组巧妙线性化，有效降低了问题的复杂度，提 高了效率。
【附图说明】
[0044] 为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行 说明：
[0045]图1为本发明所述方法的流程示意图；
[0046] 图2为粒层之间解的快速重构示意图。
【具体实施方式】
[0047] 下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。
[0048] 图1为本发明所述方法的流程示意图，如图所示，本方法包括以下步骤：步骤一： 先在粗粒度的粒层上求解非线性对流扩散方程，得到粗粒度上的收敛解；步骤二：再切换 粒层，在细粒层上运用一阶泰勒展式将方程组线性化，进一步降低计算复杂度，再运用步骤 一得到的解，通过跨粒层快速重构解来求解方程组，得到目标粒度（细粒度）的解，使得方 程在保持稳定性及精确度的基础上加快求解速度，提高效率。图2为粒层之间解的快速重 构示意图。
[0049] 具体包括：
[0050] 1)非线性对流扩散方程：
[0052] 上式中，扩散系数a= (Ci1,a2)T和流速分量b=Od1,b2)T是线性的，源项f(u) =f(u，x，t)是非线性函数，Q是以为边界的有界域，T> 0表示时间，u为物质浓度，
[0053] 2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空间，其范数为：
[0055] 记#從=丨M丨i领=_鳴 以下条件，其中，c*，c%a*，a%C1,C2, (：3为正常数：
[0056] 0 <c*<c<c*< + °°，0<aa<a*< + 〇〇，maxIaI<maxIbI<C丄；
[0057]
[0059] uGL~ (0,T；Hr+1(Q))；
[0060] utGL2 (0,T；Hr+2),r=Iifs=Iandr2ifs= 0 ；
[0062] 3)用特征有限元法对方程组（I)进行离散：
[0063]
相伴的特征方向T=T(x，t)
[0064] 方程组（1)的特征形式为：
[0066]Sobolev空间F=. 内积 1?分=J4 梦.S.铲；并令 Al錢痛4 .????运用格林公式，⑵式可改写为如下形式：
[0068]对时间区间（0,T]进行划分：
tn=n?At，n= 1，2, ? ??，N;
[0069] 在特征修正技术中，t=。时，特征方向导数通过式（4)离散：
[0071]
代表第n时间层X处的特征线与第n-1时间层的交点；
[0072] 4)在细粒层上，对区间Q进行步长粒度为h的划分，Vh表示有限元空间，VnWh ~(Q);
[0073]方程组（1)的特征有限元解如下：
[0074]对于n=1，2,…N,寻找键1 €:%使得
[0078] 初始条件的近似值tt|可以通过U。在Vh中的插值给出，方程组（5)得到唯一确定 解俩I;:
[0079] 5)由于源项是非线性函数，方程组（5)的计算复杂度高，这里先在粗粒度H2 =h的粒层上求解非线性对流扩散方程，通过方程（7)得到收敛解B|:，
[0081] 6)切换粒层，通过粒层之间的解的快速重构来求解，
[0082]运用函数= /(略）将方程巧妙线性化，直接由粗粒度H 上的解推出细粒度h上的解
[0083]
[0084] 复杂度分析：
[0085] M=Q/H，m=Q/h,n=T/At
[0086] 特征有限元法复杂度：
[0088] 粒计算加速求解法复杂度：
[0090] 因为H>h，H2=h，所以100*0(nXM) =O(nXm)，效率提高一个数量级。
[0091] 实施例：
[0093]X= (xl，x2)，Q= [0, 1]X[0, 1]，b= (1，l)1，a= 〇? 〇〇1，At= 1. 25X10 4，
[0095] 下表给出t= 0. 125时不同方法得到的解的误差及CPU时间，结果显示解的精度 几乎不变，速度提高。
[0096] 表1特征有限元法求解非线性对流扩散方程的误差和CPU时间
[0098] 表2粒计算加速求解非线性对流扩散方程的误差和CPU时间
[0099]
[0100] 最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通 过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在 形式上和细节上对其做出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。
【主权项】
1. 一种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，其特征在于：包括以下步骤： 步骤一：先在粗粒度的粒层上求解非线性对流扩散方程，得到粗粒度上的收敛解； 步骤二：再切换粒层，在细粒层上运用一阶泰勒展式将方程组线性化，进一步降低计算 复杂度，再运用步骤一得到的解，通过跨粒层快速重构解来求解方程组，得到目标粒度（细 粒度）的解，使得方程在保持稳定性及精确度的基础上加快求解速度，提高效率。2. 根据权利要求1所述的非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，其特征在于： 具体步骤如下： 1) 非线性对流扩散方程：上式中，扩散系数a= (a^a2)T和流速分量b=(bi，b2)T是线性的，源项f(U)=f(u，x，t)是非线性函数，Q是以为边界的有界域，T>O表示时间，u为物质浓度，2)Wm'p(Q)是Q上的sobolev空间，其范数为：记Wm'2(Q) =Hm(Q):方程组（1)满足以下 条件，其中，c*，c%a*，a%C1,C2,C3为正常数： a) 0 <cc*< + 00,0 <aaa*< + 00,maxIaI<max|b| <C b) + 汊=: __U:.d)uGL~ (0,T；Hr+1(Q))； e)utGL2(0,T；Hr+s),r=Iifs=Iandr2ifs= 0 ；3) 用特征有限元法对方程组（I)进行离散：?的特征方向T=T(X，t)的方方程组（1)的特征形式为：:第n时间层x处的特征线与第n-1时间层的交点； 4) 在细粒层上，对区间Q进行步长粒度为h的划分，Vh表示有限元空间，VnW1^ (Q); 方程组（1)的特征有限元解如下： 对于n= 1，2,…N，寻找SiH使得初始条件的近似值《1:可以通过u。在Vh中的插值给出，方程组（5)得到唯一确定解 5) 由于源项/_!〇是非线性函数，方程组（5)的计算复杂度高，这里先在粗粒度H2=h 的粒层上求解非线性对流扩散方程，通过方程（7)得到收敛解《1，6) 切换粒层，通过粒层之间的解的快速重构来求解 运用函数将方程巧妙线性化，直接由粗粒度H上的 解推出细粒度h上的解
【专利摘要】本发明涉及一种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，属于粒计算与流体力学技术领域。该方法先在粗粒度的粒层上求解非线性对流扩散方程，得到收敛解；再切换粒层，在细粒层上运用一阶泰勒展式将方程组线性化，进一步降低计算复杂度，使得方程在保持稳定性及精确度的基础上加快求解速度，提高效率。本方法从实际需求出发，结合多粒度的优势，先将复杂的非线性问题在粗粒度上求解，再通过粒层之间的解的快速重构，切换粒层，由粗粒层上的解推算出细粒层上的解，将非线性方程组巧妙线性化，有效降低了问题的复杂度，提高了效率。
【IPC分类】G06F17/11
【公开号】CN105224504
【申请号】CN201510764639
【发明人】王国胤, 田亚兰, 徐计, 尚明生, 张学睿
【申请人】中国科学院重庆绿色智能技术研究院
【公开日】2016年1月6日
【申请日】2015年11月10日