值Μ，当收敛η步后，若
则该极值点为零点。Μ以及收敛的步数视不同的问题而定。在上述等分10份 的情况下
均为零点。模值|f(xn)|的收敛速度与初始区间[m，n]所取的大 小以及[m，n]的等分数量有关，初始区间越小、等分越多，收敛的越快。
[0042 ] 2、用模值收敛求解实波数及虚波数平面内的弥散曲线
[0043] 波在不同结构中传播的弥散方程有不同的具体形式，一般性的形式为关于频率ω 和波数ξ的超越方程：
[0044] δ(ω ,ξ)=〇 (1)
[0045] 考虑在波数ξ为实数和纯虚数的情况下数值求解方程(1)。由于弥散方程在频率ω 和波数ξ的平面内的解为曲线，因此，用线元对整个平面扫描。
[0046] 先固定频率ω和波数ξ中的任一个，不妨设固定波数为ξ〇,此时方程(1)变为：
[0047] f( ω )=g( ω ,ξ〇)=0 (2)
[0048]用长为3t的线微元对直线ξ = ξο进行扫描，假设扫描起始点为ω〇。如图3所示:在区 间[ω0，ω0 + 3?]内，比车父节点 ω〇，co〇 + t，ω〇 + 2?，ω〇 + 3? 处模值
I的t(大小，3)找I出最小值。若在coQ+t或 c〇0+2t取得最小值，则按1中的过程进一步等分，并判断是否为零点。若最小值取在端点上， 则进入下一个区间扫描。为防止极小值点恰巧处在端点ω 〇+3t处，下一个区间取为[ω 0+2t， c00+5t]，此区间包含了 c〇〇+3t。因此，相邻的区间相隔2t。更一般地，若将区间等分η份，则相 邻区间相隔η-1份。当对直线ξ = ξο扫描结束，进入下一条直线ξ = ξο+Δξ扫描，重复以上过 程，可以得到在整个ω，ξ平面内方程的解。为了使得到的解曲线更加完整，在固定波数扫描 结束后，可再固定频率扫描。
[0049] 3、用模值收敛求解复波数域内的弥散曲线
[0050]考虑在波数ξ为复数的情况下数值求解方程（1)。令l = a+bi，其中a，b为实数，则方 程(1)化为：
[0051] h( ω ,a,b)=g( ω ,a+bi) (3)
[0052] 由于弥散方程在实频率ω和复波数ξ组成的空间内的解为曲线，因此，用面元对整 个空间扫描;先固定频率ω、波数实部a、波数虚部b中的任一个，不妨设固定频率为ω〇,此 时方程(3)变为：
[0053] q(a,b) =h( ω〇,a,b) (4)
[0054] 在平面ω = ω〇内，用面微元[&，&+3幻\[13，+38]对平面进行扫描。假设扫描起始 点为(ao, bo)。如图4所示：
[0055] 在面微元[a。，ao+3t] X [bo，bo+3s]内，比较16个节点（a。，bo)，（ao+t，bo)，…，（ao+ 3t，bo+3s)处I q(a，b) I的大小，找出最小值。若在面元的内部节点处，即（ao+t，bo+s)，（ao+ 2t，bo+s)，（ao+t，bo+2s)，（ao+2t，bo+2s)，取得最小值，贝lj进一步等分，并判断是否为零点。若 最小值取在面元的边界节点上，则进入下一个区间扫描。为防止极小值点恰巧处在面元边 界处，下一个区间取为[ao+2t，ao+5t] X [bo，bo+3s]，因此，沿a轴扫描时，相邻的面元相隔 2t。更一般地，若面元沿a轴等分η份，则相邻面元相隔n-1份。沿a轴扫描结束后，再沿b轴扫 描，这样可以得到整个平面ω = ω〇内方程(3)的解。
[0056] 当对平面ω = ω〇扫描结束，进入下一个平面ω = ω〇+Δ ω扫描，重复以上过程，可 以得到在整个《，a，b空间内方程(3)的解。为了使得到的解曲线更完整，固定频率扫描结束 后，再固定实波数扫描，然后固定虚波数扫描。
[0057] 4、用模值收敛求解任意元超越方程的解
[0058] 用模值收敛求解平面内的弥散方程与复数域内的弥散方程的过程具有更一般性 的形式。现在将此过程推广到η元超越方程的求解。假设一般性的η元超越方程为：
[0059] f(xi,X2, . . . ,Χη)=0 (5)
[0060] 为使扫描微元与解曲线有且只有一个交点，若解曲线为m维(m< η)，则扫描微元选 为n-m维，即固定Χ1，Χ2,…，Χη中的m个量，不妨设固定Χ1，Χ2,…，Xm，用[Xm+l，Xm+l+A Xm+1] X [Xm+2，Xm+2+ A xm+2] X . . . X [χη，χη+ Δ χη]作为扫描微元扫描。当解曲线为m维(m < η)，若扫描 微元维度大于n-m维，则每个微元与解曲线的交点不唯一，因此很多解会被遗漏，若扫描微 元维度小于n-m维，则每个微元与解曲线几乎不会相交。举例为:在三维空间中，解曲线为一 维曲线，则用平面微元扫描;若解曲线为二维曲面，则固定方程(3)中的两个量，用线微元扫 描;若解曲线为离散的点，则用体微元扫描;若解曲线为三维空间，则直接验证空间中的每 个点的方程模值是否收敛到零即可。实际求解η元超越方程时，若不确定解曲线维度m的值， 可以将扫描微元的维度从高到低试验，得到的解会随着扫描微元维度降低而致密直至解的 突然消失，此时的扫描维度为n-m-1维，由此确定m的值。
[0061 ]下面结合具体实施例对本发明的应用原理作进一步的说明。
[0062]实施例1:考察波在无限大压电板中的传播，其对称模态的弥散方程为：
[0064] Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图5。
[0065 ]其反对称模态的弥散方程为：
[0067] Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图6:
[0068]实施例2:考察Rayleigh-Lamb波的频谱，其纵向模态的弥散方程为：
[0070] Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图7:
[0071 ]其弯曲模态的弥散方程为：
[0073] Ω表示频率，Z表示波数。用本发明的模值收敛数值求解得到图8:
[0074] 本发明阐述了利用模值收敛求解复波数域弥散方程的方法，并推广至求解一般的 多元超越方程，并列举了两种模型中波的弥散方程的求解结果。本发明求解复波数域内的 弥散曲线是有效的，且对弥散方程的形式没有要求，通用性强。
[0075] 以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精 神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
【主权项】
1. 一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，其特征在于，所述用于求解声 波传感器中的弥散曲线数值的方法利用弥散方程模值在零点附近的收敛性求解声波传感 器中的弥散特性，对实波数域与复波数域的情况均适用;包括： 根据波数的求解空间确定扫描单元的形式； 利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点； 利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点。2. 如权利要求1所述的用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，其特征在于，所 述根据波数的求解空间确定扫描单元的形式包括： 声波在不同结构中传播的弥散方程为二元超越方程f( ω，ξ)=0,当在实波数域和纯需 波数的情况下求解此方程时，频率ω和波数ξ组成了一个二维平面，而方程f( ω，ξ)=〇的解 则是一条条平面内的曲线，选择固定频率或者波数中的任意一个会得到ω-ξ二维平面内的 一条直线，再用线元对这条直线进行扫描，线元在ω-ξ二维平面内与弥散曲线的交点是唯 一的； 当在复波数域内求解此方程时，波数ξ为复数，令ξ = a+bi，a，b均为实数，则方程g(a，b， C)=f( ω ,ξ)=0； 方程变为a，b，|的三元超越方程，波数的实部a，虚部b以及频率ω组成了一个三维空 间，而方程g(a，b，|)=0的解是一条条空间内的曲线，选择固定波数的实部a，虚部b以及频 率ω中任意一个会得到a-b-ξ空间中的一个平面，再用面元对这个平面进行扫描，面元在a-b-ξ的三维空间中与弥散曲线的交点是唯一的。3. 如权利要求1所述的用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，其特征在于，所 述利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点包括： 在选择好相应的扫面微元后，取步长划分微元，比较划分节点上方程的模值I f( ω，ξ) 的大小，找出弥散方程模值取最小值的节点，若节点不取在扫描微元的边界节点上，则此节 点即为模值极小值点，然后依次进入下一个扫描微元，新的扫描微元需将上一扫描微元中 的部分边界节点包含在内部;最后，以某一步长改变初始固定的频率或波数的值，找出空间 中的所有弥散方程的模值极小值点。4. 如权利要求1所述的用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，其特征在于，所 述利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点为： 在扫描微元中得到方程模值取极小值的某个节点后，以此节点为中心，相邻节点为边 界节点，形成新的微元，取步长划分此微元，计算新微元节点上的方程模值，比较得出取最 小值的节点；重复上述过程，得到一系列模值递减的极小值节点，若初始极小值节点的模值 比上最新极小值节点的模值趋向于无穷，则此极小值节点为零点。
【专利摘要】本发明公开了一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，所述用于求解实波数域及复波数域内的弥散曲线的数值方法利用弥散方程模值在零点附近的收敛性求解弥散方程在实波数域及复波数域内的频率与波数的解，包括：根据波数的求解空间确定扫描单元的形式；利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点；利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点。本发明有效地解决了实波数域及复波数域内弥散方程的数值求解困难，可应用于各类波传播问题中的弥散方程的求解，适合波在多种传感器模型中的传播分析。
【IPC分类】G06F19/00
【公开号】CN105590025
【申请号】CN201510944218
【发明人】钱征华, 朱峰, 王彬
【申请人】南京航空航天大学
【公开日】2016年5月18日
【申请日】2015年12月16日