一种基于改进的按位替换法求矩阵三角分解的模块的制作方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及矩阵运算，尤其涉及一种基于改进的按位替换法求矩阵三角分解的新 型模块。
【背景技术】
[0002] 矩阵运算是科学和工程计算的基础。矩阵简洁直观的表述方式、运算的灵活性和 高数值稳定性使矩阵运算成为众多工程项目的关键技术和核心问题。矩阵运算包括矩阵乘 法、矩阵分解、矩阵求逆等。其中矩阵分解是矩阵乘法的逆过程，是矩阵求逆的一种简化的 求解方式，发展也最为普及。由于分解后的矩阵具有更加明显的数值特征或物理含义，矩阵 分解在数值分析和工程领域获得广泛应用。例如在环境管理风险评估、数字图像处理和加 密、计算流体动力学、信号处理和控制等大规模数据分析领域，矩阵分解算法已经或正在成 为核心支撑。如何有效利用资源实现快速大规模矩阵分解运算成为了设计的重点和难点。
[0003] 目前矩阵分解种类繁多，工程应用中，常用的有QR分解、LU分解、奇异值分解等，结 合具体的应用可选择不同的分解方法。其中QR分解可用于任意矩阵的分解，其本质是将任 意矩阵A分解成一个正交矩阵Q与一个三角矩阵R的乘积。QR分解经典算法有gram-schmidt 法、householder变换法和givens旋转法，采用递推方法，计算复杂度大，流程控制困难，并 行性差。LU分解是针对非奇异阵（即矩阵顺序主子式均不为0)的一种矩阵分解方式，它的本 质是将矩阵A分解为一个下三角阵L与上三角阵U的乘积。但LU分解计算复杂度高，采用递推 方法，串行性要求较高，占用存储空间大。奇异值分解是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推 广，奇异值分解的本质是将一个复矩阵A分解为两个酉矩阵U、V以及一个对角阵S的乘积。但 奇异值分解很难拆成不相关子运算，奇异值分解并行性较差，计算复杂度较高，计算效率、 实时性较差。
[0004] 综上，目前现有的矩阵分解技术在工程应用中仍有一定的局限性，主要归结为以 下几点不足：
[0005] 第一，采用递推迭代方法，串行性要求较高，进行并行运算难度较大，难以满足工 程应用中实时性要求。
[0006] 第二，运算复杂度较高，运算量较大，计算时间较长。
[0007] 第三，运算空间复杂度较高，占用的存储空间较大，在具体工程应用资源利用率不 尚。
【发明内容】
[0008] 本发明是为避免现有技术的不足之处，提出一种新的基于改进的按位替换法求矩 阵三角分解的模块，以期能降低运算复杂度，压缩存储空间，提高分解运算的可并行性，进 而较快速、高效的完成矩阵分解运算。
[0009] 本发明为解决技术问题采用如下技术方案：
[0010] 本发明一种基于改进的按位替换法求矩阵三角分解的模块的特点包括:边界元素 获取单元、内部元素获取单元、上三角矩阵分解单元和下三角矩阵分解单元；
[0011]所述边界元素获取单元用于获得待分解矩阵
的约化系数矩阵N的边界元素;所述待分解矩阵A为满足各阶顺序主子式不为0的Μ阶方阵； aji表示第j行第i列元素;i，j = l，2,3,…，Μ;
[0012] 所述内部元素获取单元用于获得待分解矩阵Α的约化系数矩阵Ν的内部元素;从而 获得约化系数矩阵N;
[0013] 所述上三角矩阵分解单元用于分解待分解矩阵A的上三角矩阵；
[0014]所述下三角矩阵分解单元用于分解待分解矩阵A的下三角矩阵。
[0015]本发明所述的基于改进的按位替换法求矩阵三角分解的模块的特点也在于：
[0016] 所述边界元素获取单元根据待分解矩阵A，利用式（1)获得约化系数矩阵N的边界 兀素 nii.o 和 nji.o:
[0017]
(1)
[0018] 所述内部元素获取单元利用式(2)获得约化系数矩阵N的对角元素 rm.d-υ:
[0019]
(2)
[0020] 式（2)中，k = 2,3，."i-l;
[0021] 所述内部元素获取单元利用式(3)获得约化系数矩阵N的下三角元素 r^.d-υ:
[0022]
(3)
[0023] 式（3)中，i = 2,3, =
[0024] 所述内部元素获取单元利用式(4)获得约化系数矩阵N的上三角元素 r^. (η):
[0025]
(4)
[0026] 式（4)中，i = j+l，j+2, =
[0027] 从而获得约化系数矩阵N为
[0028] 所述下三角矩阵分解单元根据所述约化系数矩阵N，利用式(5)将所述待分解矩阵 A分解为下三角矩阵
[0029]
[0030]
[0031]
[0032]所述上三角矩阵分解单元根据所述约化系数矩阵N，利用式(6)将所述待分解矩阵 A分解为上三角矩阵
[0033]
[0034] (6).
[0035]
[0036] 与已有扠不ffl比，不友明有Μ双呆怀现仕：
[0037] 1、本发明提出的矩阵分解模块，在整个运算过程中，只有在内部元素获取单元、下 三角矩阵分解单元中和上三角矩阵分解单元中，需要对约化系数矩阵的对角元素做开方或 倒数(除法），整个分解模块的其余部分只涉及简单的乘加运算过程，避免了现有技术中大 量的开方、平方、求范数、除法等运算，极大地简化了运算过程。
[0038] 2、本发明提出的矩阵分解模块，在基于原按位替换法进行矩阵三角分解算法的基 础上，对其算法进行了修正和改进，产生了改进的高效矩阵分解算法。本发明提出的矩阵分 解模炔基于改进的按位替换矩阵分解算法，不仅拓宽了运算适用范围，且大大简化了运算 过程，使运算复杂度更低。
[0039] 3、本发明提出的矩阵分解模块，通过在边界元素获取单元和内部元素获取单元中 获取并创建约化系数矩阵，分解了串行迭代过程，使得在获取约化系数矩阵元素的同时，上 三角矩阵分解单元和下三角矩阵分解单元内部可以由前级得到的约化系数矩阵元素，并行 求解上、下三角矩阵元素，克服了现有矩阵分解技术中，由于采用迭代串行计算逐个计算 上、下三角矩阵元素导致的可并行性不强的问题。
[0040] 4、本发明提出的矩阵分解模块，基于按位替换的方法，使得整个模块除输入待分 解矩阵所占用的存储空间外，无需占用额外的存储空间。现有矩阵分解技术，由于要占用大 量的存储空间，从而在超大规模矩阵分解的工程应用中具有一定的局限性，本发明正是解 决了这一问题。
[0041] 5、本发明提出的矩阵分解模块，各单元内部运算过程运算复杂度较低，且内部元 素获取单元内部可按上、下三角并行执行运算过程，且上三角矩阵分解单元和下三角矩阵 分解单元可并行操作，因而运算时间较短，解决了现有矩阵分解技术运算时间复杂度较高 的问题。
【具体实施方式】
[0042]本实施例中，一种基于改进的按位替换法求矩阵三角分解的模块包括:边界元素 获取单元、内部元素获取单元、上三角矩阵分解单元和下三角矩阵分解单元;其分解思路 是：1根据给定的待分解矩阵，求其约化系数矩阵的边界元素;2根据待分解矩阵和其约化系 数矩阵的边界元素，求其约化系数矩阵的内部元素；3根据约化系数矩阵，将待分解矩阵分 解为上三角矩阵和下三角矩阵，从而完成整个矩阵的分解;具体的说，
[0043] 边界元素获取单元用于获得待分解矩阵.
勺约 化系数矩阵N的边界元素;待分解矩阵A为满足各阶顺序主子式不为0的Μ阶方阵;a#表示第j 行第i