一种特高压变压器轴对称直流偏磁仿真模型的制作方法

本发明属于特高压交流电网电气设备安全运行技术领域，特别涉及一种特高压变压器轴对称直流偏磁仿真模型。

背景技术：

特高压输电输送距离远、容量大、损耗低、占地面积小，有效解决了我国电网和能源发展的难题。特高压变压器作为特高压电网的关键设备之一，结构复杂，造价成本高，它的安全稳定运行直接关乎到特高压输电系统的正常运行和可靠性。

从变压器中性点混入直流电流时产生直流偏磁现象，相关研究证明，地磁暴和特高压直流输电采用单极大地方式运行是引起变压器直流偏磁问题的主要原因。直流偏磁引起变压器铁芯半周饱和，励磁电流严重畸变，变压器无功消耗增加，振动增强，变压器金属结构件和油箱局部过热，绝缘材料加速老化，缩短变压器寿命；同时造成继电保护动作或拒动，易引起电压的大幅波动，严重时导致大范围停电事故，对变压器及电网的安全稳定运行带来严重的威胁。

我国研制的特高压变压器一般为自耦结构，相同容量下，与一般变压器相比，自耦变压器具有体积小，绕组电阻小，铁心导磁率大等特性，同时对偏磁直流电流的耐受能力更弱。特高压输电系统多采用八分裂导线，线路电阻较小，产生地磁感应电流大，较500kv主干电网更容易受到直流偏置电流干扰。因此，迫切需要对特高压变压器的直流偏磁问题进行深入研究，以便快速得到相关电气量，针对性地采取措施，对电气设备和电网的安全稳定运行意义重大。

目前，针对变压器直流偏磁问题已经开展了很多方面的深入研究与分析。谐波平衡有限元法通过求解磁场方程和电路方程，获得未知量励磁电流和磁矢量位的谐波分量，但其消耗资源较多，计算效率不高。改进的谐波平衡有限元法通过对磁矢量位的各次谐波分量同时求解再叠加，从而获得较高的计算精确性，但这种方法求解复杂，耗费时间较长。j-a理论分析变压器铁芯直流偏磁工况下的励磁特性时涉及到的参数繁多，与变压器磁路电路模型结合后计算量很大。时域场路耦合方法采用棱边有限单元建立三维变压器磁场模型，该方法具有较高的精确性与稳定性，可进行直流偏磁条件下详细的电磁特性分析，但其在计算效率上存在一定的缺陷，三维磁场求解复杂，对于特高压变压器需要串联大电阻进行求解，且无法进行长时间过渡过程的计算，效率很低。在场路耦合计算方法的基础上的自适应优化算法，通过变步长来提高计算效率，但该方法仅对小型变压器的偏磁计算进行了验证，对于需要进行多个周期的特高压变压器直流偏磁计算分析，计算效率仍没有得到大幅度提高。

技术实现要素：

本发明的目的是提供一种特高压变压器轴对称直流偏磁仿真模型，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据特高压变压器结构参数，通过磁阻一致原则建立特高压变压器实际三维模型的等效轴对称几何模型，根据轴对称特性，采用节点有限元法规则划分网格，建立特高压变压器二维磁场计算模型；

步骤2：根据能量扰动原理，通过能量增量法对磁场模型进行有限元计算，获取高中压绕组流过不同电流时的自感值和绕组间的互感值，得到动态电感耦合参数；

步骤3：根据特高压变压器负载直流偏磁运行特点及变压器电气连接，建立特高压变压器负载直流偏磁等效电路模型，采用四阶龙格库塔法求解电路方程，得到电流耦合参数；

步骤4：在轴对称模型的基础上，通过时域场路耦合迭代原理进行特高压变压器负载直流偏磁仿真计算，对比三维模型和二维模型下的计算结果，验证二维轴对称模型的正确性及高效性；

步骤5：通过分析原边串联电阻、时间步长h对特高压变压器负载直流偏磁计算结果的影响，得到负载直流偏磁计算串联电阻的极小值，根据精度要求选择适当电阻及时间步长保证特高压变压器偏磁计算的效率、精确性及稳定性；

步骤6：在额定负载下，计算特高压自耦变压器在不同直流偏置情况下的电流变化情况，并对各种偏置下的稳态电流波形进行fft变换，得各直流偏置下电流的直流分量及电流谐波情况。

所述步骤1中，建立特高压变压器三维模型的等效轴对称模型时，根据磁路的欧姆定律，列出各模型的磁路方程，保证在线性条件下的主柱磁通，从而确定等效模型的相关部件尺寸；

所述步骤1中，节点有限单元法以磁矢量a为状态变量，假设导磁材料介质各向同性，根据maxwell方程组得到变压器内部的非线性磁场方程：

其中，μ为导磁介质的磁导率，m/h；a为矢量磁位，wb/m²；j为电流密度，a/m²；为旋度计算。

节点单元的自由度为节点i的矢量磁位ai，采用的标量形状函数ni，a为未知变量，单个单元的插值函数为：

其中：nnode为单元节点编号

整体求解场域的插值函数为：

其中：{mn,n＝1,2,…,nn}为基函数序列，由标量形状函数ni对应叠加而成，n为基函数序列通项编号；nn为总的节点数；an为单元的标量磁位；

对公式(2)应用格林定理，得伽辽金加权余量方程：

其中，mm{m＝1,2,…,nn}为权函数序列；

伽辽金加权余量法中{mm}与{mn}相同；在节点单元上，权函数与形状函数相同；边界面积分项为边界磁场强度的切向分量的贡献，en为边界面单位法向分量，在变压器计算模型中只涉及到该项为零的情况，即：

所以有：

将公式(2)代入公式(6)，针对全部权函数，就可以将加权余量方程离散成代数方程组，通过求解便可以得到所有节点上的矢量磁位a。

所述步骤2中，变压器绕组电动势方程：

其中，e为绕组电动势；ψ为载流线圈的磁链；ld(i)为动态电感矩阵；

根据能量扰动原理，当线圈电流增加δik(δ＝0～1)时，磁链变化δψk，端口电压需施加增量δuk＝d(δψk)/dt，外部能量增量dwk＝δukδikdt＝ψkδikdδ，进而电源提供的总能量：

其中，δik为线圈电流增量，k为绕组编号；

由电流变化引起的外部电源能量变化与动态电感及励磁电流相关联：

其中ldkp为绕组电感矩阵，k,p为绕组编号；

磁场系统的磁场能量：

其中，b为磁通密度，h为磁场强度，

由电流变化引起的内部磁场能量变化为：

其中，δb为磁通密度变化量，δh为磁场强度变化量，

由能量守恒原理，式(9)和(11)中的能量变化相等，便可以得到动态电感矩阵ld(i)。

所述步骤3中，考虑特高压自耦变压器为高-中压运行状态，根据变压器的电气接线方式，变压器高压侧接额定交流电压，中压侧接负载，低压空载运行，在交直流混合情况下，推导得到变压器等效电路微分方程：

其中，r1、r2分别为高中压绕组等效电阻，r为原边需串联电阻，zl表示负载电阻，u1表示原边交流电压，udc表示直流偏磁电压。l1、l2和m分别表示高、中压绕组的自感以及高中压绕组之间的互感。

变压器磁链方程为：

ψ＝ls(i,t)i(t)(14)

其中，ψ为载流线圈的磁链，ls为静态电感，表示磁链与激励电流i的关系。

对于多线圈模型，公式(14)的矩阵形式为：

ψ＝lsi(15)

由绕组电动势e＝dψ/dt，结合公式(14)推导变压器电路系统时域微分方程的矩阵形式：

其中，ld为动态电感矩阵，表示磁链随激励电流变化的关系，即内部非线性励磁与端口激励的时变特性，需要通过磁场模型计算获得。

对于公式(16)描述的电路模型，若其初值给定：

利用四阶龙格库塔法可由tk时刻的线圈电流ik计算得到ik+1时刻的电流ik+1，其数值解法为：

其中h为时间步长，d1-d4为步长内的分段计算斜率；

所述步骤4中，时域场路耦合原理将非线性磁场有限元求解与时域电路计算迭代耦合，计算步骤如下：

(1)已知变压器磁场模型在某时刻的绕组电流为ik，基于节点有限元法计算磁场，并通过能量扰动原理计算动态电感ld。

(2)将ld代入电路模型的微分方程，采用四阶龙格库塔法，结合电感参数与电压激励uk+1，计算下一时刻的电流ik+1。

(3)将ik+1回馈磁场模型，进行下一时刻的磁场求解。

所述步骤5中，在额定负载情况下，施加相同偏磁电流为100a，计算不同电阻不同步长下的电流过渡过程，每种情况下串联电阻r分别取10ω、25ω、50ω、100ω、200ω以及400ω。步长h分别取0.02/100s、0.02/200s和0.02/400s。原边施加的总电压为考虑串联电阻分压影响的电压，保证计算前电阻后侧电压为变压器额定电压。

为确保计算的准确性和合理性，电流进入稳态过程的判据为：

n为一个周期的总计算电流数；为第m周期的第p个计算电流值；为第m-1个周期的第p个计算电流值。

所述步骤6中，进行无直流偏磁电流和直流偏磁电流分别为2a、10a、20a、60a以及100a的仿真计算，获取不同直流偏置下的电流变化情况，将计算的稳定电流波形存入相应文件，编制fft变换程序，进行谐波分析，研究随着直流偏置的增大，电流谐波变化情况。

本发明的有益效果是：

1)本发明建立的特高压变压器轴对称直流偏磁仿真模型，与实际三维模型相比，大幅度减少了模型规模及求解变量，节省了计算工作量，且计算精度可以保证，相较于三维模型优势明显。

2)本发明在特高压变压器轴对称模型的基础上，结合时域场路耦合原理进行直流偏磁仿真计算，有效解决了特高压变压器进行直流偏磁计算时间较长的问题，保证了计算的精确性及高效性。

3)本发明给出了变压器轴对称模型的选择方法，各部分磁路宽度及部件尺寸做出了相关规定，为特高压变压器设计运行提供参考。

附图说明

图1为变压器实际三维几何模型。

图2为特高压变压器磁路模型，其中(a)四柱式变压器磁路模型(b)三柱式变压器磁路模型。

图3为三柱式变压器几何模型。

图4为特高压变压器轴对称模型。

图5为特高压变压器二维模型,其中(a)特高压变压器二维几何模型,(b)特高压变压器二维有限元模型。

图6为特高压变压器电路连接,其中(a)特高压变压器负载电路结构图,(b)特高压变压器负载直流偏磁等效电路图。

图7为三维和二维模型下的励磁电流随时间变化曲线。

图8为直流磁化曲线。

图9为不同电阻不同步长下的励磁电流随时间变化曲线，其中，(a)电阻200ω步长不同时的励磁电流波形，(b)步长为0.02/200s串联电阻不同时的励磁电流波形。

图10为无直流时的电流随时间变化曲线，其中，(a)无直流时的励磁电流波形，(b)无直流时的电流波形。

图11为不同直流下的励磁电流随时间变化曲线。

图12为不同直流下的绕组电流随时间变化曲线，其中(a)高压绕组电流波形，(b)中压绕组电流波形。

具体实施方式

本发明提供的是一种特高压变压器轴对称模型负载直流偏磁快速计算方法，下面结合附图对本发明具体实施方式进行详细说明。

步骤1，根据特高压变压器结构参数，通过磁阻一致原则建立特高压变压器实际三维模型的等效轴对称几何模型，根据轴对称特性，采用节点有限元法规则划分网格，建立特高压变压器二维磁场计算模型。

查阅厂家手册获取特高压自耦变压器各部件的尺寸及相关计算参数，包括变压器铁芯的半径、铁芯的高度、上轭的长度、绕组线圈的半径等。根据变压器的几何对称性，构建特高压变压器实际八分之一三维模型，如图1所示。

根据磁路基本定律，拟设想首先用两台完全相同的单相三柱式变压器并联来对特高压变压器实际模型进行等效，使其在一定程度上模拟实际特高压变压器的直流偏磁过程。为方便区分，称实际变压器模型为四柱式模型，等效模型为三柱式模型。变压器四柱式模型和三柱式模型的等效磁路模型如图2(a)和2(b)所示。根据磁路的欧姆定律，由变压器四柱式模型等效磁路，可列方程：

其中φ，φ，φ分别为通过右边磁阻r3，r2，左边r3的磁通；n为变压器线圈匝数；i为通过变压器线圈的电流；

由磁阻公式:

可得到磁阻r1，r2，r3，r4。其中：l为磁路的平均长度，μ为磁导率，s磁路截面积；

联合公式(20)和(21)可以求出φ，φ，φ。则右主柱磁通φφφ，根据磁路的欧姆定律：

ni＝φrm1(22)

求得四柱式变压器模型总磁阻的一半rm1；

单台三柱式变压器磁路模型的总磁阻rm2为:

为保证在线性情况下两个模型的主磁通一致，根据电磁关系，应满足：

rm1＝rm2(24)

且三柱式变压器模型的主柱、绕组线圈尺寸和位置与四柱式变压器一致。

按照磁阻相等原则实现特高压变压器等效三柱式几何模型的建立，单台八分之一三柱式变压器模型如图3所示。

针对变压器三柱式模型，根据磁路分析方法，进一步建立其等效轴对称模型，保证两个变压器模型在相同条件下的磁感应强度，线圈匝数，磁阻基本一致。等效后的两台单相三柱式轴对称变压器结构尺寸完全一样，每台变压器包含一主柱两旁柱及上下铁扼，线圈缠绕在主柱上，变压器封闭在油箱内。其中一台单相三柱式变压器八分之一轴对称模型如图4所示。

根据三维轴对称模型的轴对称特性，利用ansys进行变压器磁场求解时，可以简化为二维模型进行计算，只需将单元属性关键项设为轴对称模型即可。根据模型的上下对称性，二分之一二维变压器几何模型如图5(a)所示。

采用节点单元plane53单元，并进行四边形规则网格划分变压器及空气区域，减少磁场节点单元规模，提高求解效率，得到变压器二维轴对称有限元模型，如图5(b)所示。二维轴对称磁场模型的磁力线平行边界条件设为在离铁心、线圈足够远的位置划出一条闭合线。实际根据变压器轴对称模型的结构对称性，“对称轴”、“上侧线”和“右侧线”上施加磁力线平行条件；“上下对称线”上施加磁场垂直边界条件，其自然满足。

节点有限单元法以磁矢量为a为状态变量，假设导磁材料介质各向同性，根据maxwell方程组得到变压器内部的非线性磁场方程：

其中，μ为导磁介质的磁导率，m/h；a为矢量磁位，wb/m²；j为电流密度，a/m²；为旋度计算。

节点单元的自由度为节点i的矢量磁位ai，采用的矢量形状函数nl，a为未知变量，单个单元的插值函数为：

其中：nnode为单元节点编号

整体求解场域的插值函数为：

其中：{mn,n＝1,2,…,nn}为基函数序列，由相关单元形状函数ni对应叠加而成，n为基函数序列通项编号；nn为总的节点数；an为单元的标量磁位；

对公式(2)应用格林定理，得伽辽金加权余量方程：

其中，mm{m＝1,2,…,nn}为权函数序列；

伽辽金加权余量法中{mm}与{mn}相同；在节点单元上，权函数与形状函数相同；边界面积分项为边界磁场强度的切向分量的贡献，en为边界面单位法向分量，在变压器计算模型中只涉及到该项为零的情况，即：

所以有：

将公式(2)代入公式(6)，针对全部权函数，就可以将加权余量方程离散成代数方程组，通过求解便可以得到所有节点上的矢量磁位a。

步骤2，根据能量扰动原理，通过能量增量法对磁场模型进行有限元计算，获取高中压绕组流过不同电流时的自感值和绕组间的互感值，得到动态电感耦合参数。

变压器绕组电动势方程：

其中，e为绕组电动势；ψ为载流线圈的磁链；ld(i)为动态电感矩阵；

根据能量扰动原理，当线圈电流增加δik(δ＝0～1)时，磁链变化δψk，端口电压需施加增量δuk＝d(δψk)/dt，外部能量增量dwk＝δukδikdt＝ψkδikdδ，进而电源提供的总能量：

其中，δik为线圈电流增量；

由电流变化引起的外部电源能量变化与动态电感及励磁电流相关联：

其中ldkp为绕组电感矩阵，k,p为绕组编号；

磁场系统的磁场能量：

其中，b为磁通密度，h为磁场强度；

由电流变化引起的内部磁场能量变化为：

其中，δb为磁通密度变化量，δh为磁场强度变化量；

由能量守恒原理，式(9)和(11)中的能量变化相等，便可以得到动态电感矩阵ld(i)。

利用ansys软件平台建立的单台变压器二维仿真模型为二分之一模型，根据变压器电磁关系，设置磁场计算的对称系数为1。假设通过ansys仿真计算得到的电感为，那么电路中绕组之间的电感l与磁场求解得到的电感需建立一定的关系。高压绕组的四个线圈并联，每台变压器铁心柱上各套有两个线圈，因此电路中高压绕组等效自感为磁场求解得到的高压绕组自感的四分之一。中压绕组的两个线圈并联，每台变压器铁心柱上给套一个线圈，因此电路中中压绕组等效自感与磁场求解得到的中压绕组自感相等。根据前述关系，可以推导得出电路中高中压绕组之间的等效互感为磁场求解得到的高中压绕组之间互感的二分之一。

步骤3，根据特高压变压器负载直流偏磁运行特点及变压器电气连接，建立特高压变压器负载直流偏磁等效电路模型，采用四阶龙格库塔法求解电路方程，得到电流耦合参数。

考虑特高压自耦变压器为高-中压运行状态，高压绕组采用4绕组并联方式，中压绕组采用2绕组并联方式，高中压绕组之间采用串联方式。根据变压器的电气接线方式，变压器高压侧接额定交流电压，中压侧接负载，低压空载运行，变压器的负载电路结构图如图6(a)所示，l1-l6分别为变压器的6个绕组。在交直流混合情况下，其等效电路模型如图6(b)所示。推导得到变压器等效电路微分方程：

其中，r1、r2分别为高中压绕组等效电阻，r为原边需串联电阻，zl表示负载电阻，u1表示原边交流电压，udc表示直流偏磁电压。l1、l2和m分别表示高、中压绕组的自感以及高中压绕组之间的互感。

变压器磁链方程为：

ψ＝ls(i,t)i(t)(14)

其中，ψ表示载流线圈的磁链，ls为静态电感，表示磁链与激励电流i的关系。

对于多线圈模型，公式(14)的矩阵形式为：

ψ＝lsi(15)

由绕组电动势e＝dψ/dt，结合公式(14)推导变压器电路系统时域微分方程的矩阵形式：

其中，ld为动态电感矩阵，表示磁链随激励电流变化的关系，即内部非线性励磁与端口激励的时变特性，需要通过磁场模型计算获得。

对于公式(16)描述的电路模型，若其初值给定：

利用四阶龙格库塔法可由tk时刻的线圈电流ik计算得到ik+1时刻的电流ik+1，其数值解法为：

其中h为时间步长，d1-d4为步长内的分段计算斜率；

步骤4，通过时域场路耦合迭代原理进行特高压变压器负载直流偏磁计算，比较三维模型和二维轴对称模型下的计算结果，验证二维轴对称模型求解直流偏磁的正确性及高效性，结果如图7和表1所示。

表1不同模型下直流偏磁计算的cpu耗时

研究的特高压自耦变压器铁芯材料具有强非线性、高导磁性特点，其直流磁化曲线图及其局部放大图如图8所示，图中b表示磁感应强度，h表示磁场强度。

时域场路耦合原理将非线性磁场有限元求解与时域电路计算迭代耦合，计算步骤如下：

(1)已知变压器磁场模型在某时刻的绕组电流为ik，基于节点有限元法计算磁场，并通过能量扰动原理计算动态电感ld。

(2)将ld代入电路模型的微分方程，采用四阶龙格库塔法，结合电感参数与电压激励uk+1，计算下一时刻的电流ik+1。

(3)将ik+1回馈磁场模型，进行下一时刻的磁场求解。

步骤5，通过分析原边串联电阻、时间步长h对特高压变压器负载直流偏磁计算结果的影响，得到负载直流偏磁计算串联电阻的极小值，根据精度要求选择适当电阻及时间步长保证特高压变压器偏磁计算的效率、精确性及稳定性。

在额定负载情况下，施加相同偏磁电流为100a，基于电压迭代补偿计算不同电阻不同步长下的电流过渡过程，每种情况下串联电阻r分别取10ω、25ω、50ω、100ω、200ω以及400ω。步长h分别取0.02/100s、0.02/200s和0.02/400s。原边施加的总电压为考虑串联电阻分压影响的电压，保证计算前电阻后侧电压为变压器额定电压。

为确保计算的准确性和合理性，电流进入稳态过程的判据为：

n为一个周期的总计算电流数；为第k周期的第p个计算电流值；为第k-1个周期的第p个计算电流值。

励磁电流稳定后的一个周期结果如图9所示，分析表明：变压器负载直流偏磁计算结果受串联电阻和步长的影响。串联电阻不变时，步长由0.02/100s减小至0.02/200s，励磁电流幅值增幅较大，步长继续减小到0.02/400s，励磁电流幅值基本不变。在相同步长条件下，从串联电阻400ω减小至100ω时，励磁电流波形基本相同。继续减小串联电阻至50ω、25ω，励磁电流波形开始有略微偏差。当减小串联电阻至10ω时，励磁电流波形已经有较大偏差，已无法正确反映出直流偏效果；计算得到电流中的直流分量如表2所示。

表2串联不同电阻时计算得到电流中的直流分量

表2所示，在一定计算误差允许范围内，从串联电阻25ω到400ω计算得到的电流中直流分量接近100a直流理论值，高压绕组电流中的谐波分量也相近。串联电阻为10ω时，电流中的直流分量已与偏磁电流理论值相差很大，计算结果不正确。进行直流偏磁计算时，可以根据精度要求选择适当的串联电阻。

随着串联电阻的减小，电流达到稳定时的计算周期数逐渐增多如表3所示.

表3串联不同电阻的负载直流偏磁计算时间

结合表3，串联电阻仅为10ω时，需要计算90个周期，结合之前对二维轴对称模型的cpu耗时分析，总时间也仅为52小时左右。因而，二维轴对称模型进行负载直流偏磁计算时可以最大程度地减小原边串联电阻，从而忽略串联电阻带来的影响，实现长过渡过程时间的计算，且大大提升准确性和计算效率。

步骤6，在额定负载下，计算特高压自耦变压器在不同直流偏置情况下的电流变化情况，进行无直流偏磁电流和直流偏磁电流分别为2a、10a、20a、60a以及100a的仿真计算，获取不同直流偏置下的电流变化情况，电流稳定后的一个周期如图10、11及12所示，将计算的稳定电流波形存入相应文件，编制fft变换程序，进行谐波分析，得到各直流偏置下电流的励磁电流直流分量及电流谐波情况，如表4所示。结果表明，变压器正常运行时，励磁电流幅值约为0.24a左右，电流波形为正弦波。当混入直流后，增大直流偏磁电流，变压器励磁饱和程度将加深，励磁电流幅值也将增加，波形畸变加剧，正负半周不对称性严重，出现尖顶波。励磁电流在正半周中心处达到峰值，励磁电流中的直流分量基本与直流理论值相等。

表4不同直流电流下励磁电流中的谐波分量

特高压变压器负载运行时，铁心的饱和程度受直流电流的影响。随着直流偏磁电流的不断增加，铁芯的饱和程度加深，漏磁增大，高压绕组电流逐渐受到直流电流的影响，畸变程度增加，中压绕组电流同时受到影响，高压、中压绕组电流共同影响负载电流。发生直流偏磁后，随着直流电流的增加，低于5次的谐波幅值随着直流偏磁电流的增加明显增加。5到6次谐波幅值随着直流偏磁电流的增加而增加，当直流偏磁电流大到一定程度，幅值有所下降。

利用特高压自耦变压器轴对称模型可以有效模拟变压器的电磁过程，电流参数可以充分反映直流偏磁情况。随着直流偏置电流的增大，励磁电流峰值逐渐增大，增大到一定程度时，将严重影响变压器乃至电力系统的安全稳定运行。

综上所述，本发明通过建立特高压变压器实际三维模型的等效轴对称模型，将复杂的磁场模型等效成简单的二维磁场模型，并获取动态电感参数，建立特高压变压器负载直流偏磁电路模型，通过四阶龙格库塔法获取电流参数，采用时域场路耦合方法实现特高压变压器负载直流偏磁快速计算，通过仿真证明了特高压变压器轴对称模型分析直流偏磁的高精确性及高效性，为大量研究变压器直流偏磁问题带来方便，有利于变压器的安全稳定运行。