基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，用于分析电力系统所能承受的最大时滞稳定裕度。该方法的具体步骤如下：首先，建立考虑时滞影响的电力系统模型。然后，针对所建模型构建Lyapunov泛函，在泛函的求导过程中通过采用Wirtinger不等式进行放缩，以减少判据的保守性。最后将所得判据用一组线性矩阵不等式(LMI)表示。
【专利说明】
基于W i rt i nger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法
技术领域
[0001 ]本发明涉及一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，适用于 解决互联电力系统广域控制策略中的延时问题，属于电力系统技术领域。
【背景技术】
[0002] 随着电网规模的不断扩大，单纯的依靠本地控制信息已经无法满足电网性能的要 求。因此电网稳定控制策略逐步从本地控制趋向于全局控制，特别是近年来广域测量系统 (WAMS)的快速发展，使电力系统全局控制策略的实现成为可能。
[0003] 在此基础上，现代电力系统控制器将从全局角度出发，利用本地信号和远端信号 作为反馈信号设计广域控制器。由于远端信号的引入，信号的延时将变得不可避免，已有研 究表明，即使很小的时滞都可能对电力系统稳定性产生影响。因此考虑电力系统所能承受 的最大时滞，对于电网的安全稳定运行具有十分重要的意义。
[0004] 目前关于时滞系统的研究，具有多种求解方法，常采用的求解方法是构造 Lyapunov泛函，基于Lyapunov稳定性理论，得到系统稳定判据，最后借助线性矩阵不等式 (LMI)来求解时滞稳定裕度。但是由上述方法得到的判据，实际是对求导后的Lyapunov泛函 放缩所得到的充分条件，因此造成所得判据具有一定的保守性。所以降低保守性问题成为 该方法研究的重点，也是难点之一。
【发明内容】
[0005] 发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提出一种基于Wirtinger不等式的 时滞电力系统稳定性判定方法，首先构造全新的Lyapunov泛函，将时滞下限不为零考虑进 判据中，然后利用Wirtinger不等式放缩技巧，降低结果的保守性。
[0006] 技术方案:一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，包括如下 步骤： j x(t) = Ax(t) + A,)X{t - ci(t))
[0007] (1)建立包含广域控制回路的时滞电力系统模型],、，、' \式中：
[x(j) = (p(j) /eH/{0,0] hi彡d(tXh2,办），y彡1。其中0彡hi<h2，y为常数;d(t)为系统延时;例X)为系统状态初 值。
[0008] (2)给定稳定判定条件：
[0009] 若存在正定矩阵P G R4nX4n;正定矩阵Qi G RnXn，i = 1，2，3;正定矩阵Zj G RnXn，j = 1， 2;矩阵XkGR2nX2n，k=l，2使下列矩阵不等式成立，则时滞电力系统是渐近稳定的：
[0012] 其中:(1)。= //e((7/ /)(72) + Q + 4 + 4 + 匀允2
[0013] r：!-^ Gf Gl G[]r
[0014] G3 =ei_e2，G4=ei+e2_2es，Gs= e2_e4，G6= e2+e4_2e7
[0015] r2=[Gf Ggr 0i
[0016] Gy = e3_e2，G8 = e3+e2_2e6，G9 = e2_e4，Gio = e2+e4_2e7
[0017] Qj -diag^O.-Q^J> Q： = ^^g(〇2^°2,；'Q： °.i/,);
[0018] Q,,=diag{0,,-{\-d)0,,Q5tt) _ Z^h2 xdiagiZ^Q.J + Uh-l\)^diag{Z^0,:)
[0019] 之=c//tzg(Z丨，3Z|)，之2 =r"ag(Z2,3Z2)
[0020] G^\e[ d(!)el {d{l)-h{)el {h.-dU^J 一 T
[0021 ] (?2 = A^C-, ~ (1 - cl)~ ~ cl)c!j -+ (1- d)C^
[0022] ei=[0i-i I O7-1], 1 = 1, , 7
[0023] 对于矩阵A，He(A)=A+AT。其中I代表单位矩阵。
[0024] (3)利用Matlab中的线性矩阵(LMI)工具箱判断给定时滞d(t)是否满足步骤(2)给 出的判定条件，若满足，则可判定在延时d(t)条件下的时滞电力系统是渐近稳定的。
[0025] 时滞电力系统模型乂(〇 =也的+ .^^_<^(厂)），式中：x=[xi xc]T， "4 B.cl 「珲/)$ 0- 〇 A ，4= p X1为系统状态变量;X。为控制器的状态变量;Ai为系统 _ V J L JJ 状态矩阵;Bi为系统输入矩阵;A。为控制系统的状态矩阵;C。为控制系统的输出矩阵;Cl为系 统输出矩阵;B。为控制系统的输入矩阵。
【附图说明】
[0026] 图1为本发明所提的时滞电力系统稳定性判定方法流程图；
[0027]图2为包含WADC的时滞电力系统；
[0028]图3为四机两区域电力系统；
[0029]图4为d(t)=0ms情况下四机两区域电力系统响应图；
[0030]图5为d(t) = 110ms情况下四机两区域电力系统响应图。
【具体实施方式】
[0031]下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明 而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价 形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。
[0032] (1)电力系统时滞模型的建立
[0033]通常情况下，电力系统可由一组微分代数方程描述，在系统运行点附近对其线性 化，最终系统可表示为：
[i, (/) = A,x, (/) + _ KU ⑴ | j(，) = ChV|(0
[0035] 式中：xi为系统状态变量;Ai为系统状态矩阵;Bi为系统输入矩阵;Ci为系统输出矩 阵;u为系统控制输入，y为系统控制输出。
[0036] 系统的控制策略采用基于WAMS的广域阻尼控制，其中广域阻尼控制器(WADC)的控 制输入信号含有系统远端信号，其状态方程可表示为： f.v {t) = Ax U) + Bu (t)
[0037] ^ f ( (2) UV⑴=(、弋⑴+ Z). W?
[0038] 式中：x。为控制器的状态变量;A。为控制系统的状态矩阵;B。为控制系统的输入矩 阵;C。为控制系统的输出矩阵;u。为控制系统输入，y。为系控制系统输出。D。为标量，反映了 输出y。与输入u。之间的直接关联。
[0039] 图2给出了包含广域控制回路的时滞电力系统结构关系图，其中的变延时d(t)是 由于远端信号传输所引起的传输延时。根据图2所示的关系图，可以得到：
[0040] (3) |w(/) = V(.(〇
[0041 ]其中：hi彡d(tXh2, <i(/) ，# 彡 1。.
[0042]进一步，时滞电力系统模型可表示为：
[0043] i(/) = Ax{() + Adx{t-d{t)) (4). T 「4 B.C 1 「5,1) C, 0]
[0044] 式中，4= 1 e 1 L 丨 c」 L〇 A J L sc\
[0045] (2)电力系统延时依赖稳定性判据方法
[0046]求解时滞稳定判据过程中，常用的放缩技巧是利用Jensen不等式。这种方法虽然 可行但增加了结果的保守性。本发明所提方法采用一种全新的不等式-Wirtinger不等式进 行放缩，可大大降低所得结果的保守性。首先，给出本发明所提方法用到的两个重要的引 理。
[0047]引理1:对于给定的正定矩阵M>0,以下不等式对于在区间[a，b]上连续可微函数x 都成立：
[0051 ]引理2:对于给定的正定矩阵R>0，矩阵I，W2和标量a G (〇，1)，定义对于所有的I， 函数 0 (a，R):
[0053] 如果存在矩阵乂，使A X >0,那么以下不等式成立： -* 'R XTW￡~
[0054] min 0(a., R)> " (仙 Lmi」L*及」L:i^i
[0055] 构造如下Lyapunov泛函： V ~ if Pq i- [ x1 (s)Q,x(s)cls + I x! (s)()2x(s)cis + [ x1 (s)Q,x(s)ds r n h-h h--h2
[0056] 〇 , _h t (5) + J [ i：1 (a0Z + | ^ j" x1 (s)Z lx(.s)dsci0
[0057] 式中：PGR4nX4n;QiGRnXn，i = l，2,3;ZjGRnXn，j = l，2，
[0058] = x1 (t) | ^xr(s)d$ I . xJ (syds
[0059] SeiGRM'eftOi-丨I 〇7-」，1 = 1，…，7为分块坐标矩阵，可得如下稳定性判据：
[0060] 判据:若存在正定矩阵P G R4nX4n;正定矩阵Qi G RnXn，i = 1，2，3 ;正定矩阵Zj G RnXn， j = l，2;矩阵XkGR2nX2n，k=l，2使下列矩阵不等式成立，则时滞电力系统是渐近稳定的：
(6)
[0063] 其中：c丨)(1 = /"，((，丫/%) + Q + 4 + 4 + (7:丨f
[0064] ri: = [Gf GTA Gl Gl^
[0065] 〇3 =ei_e2，G4=ei+e2_2es，Gs= e2_e4，G6= e2+e4_2e7
[0066] r2: = [(3f Gj G^J
[0067] 〇7 = e3_e2，G8 = e3+e2_2e6，G9 = e2_e4，Gio = e2+e4_2e7
[0068] Q = , 4 =t/Vag(a,02;,,
[0069] (), -^K2',^°5") 7 Z ^h? y.diag(Zi,0,ii) + (h2-h^xdiagiZ,,%^
[0070] 氧-―g(Z丨，耳），之二-g(Z2,3Z2)
[0071] 0；=[< (/(0< (d ⑴-(/z?-
[0072] Gj - - (1.-一（1 一 -4+:(1 -
[0073] ei=[0i-i I 07-i] ,i = l ,7 [0074]那么系统(4)渐近稳定。
[0075] 对于矩阵A，He(A)=A+AT。其中I代表单位矩阵。
[0076]证明：
[0077] 对于判据中的Lyapunov泛函进行求导可得：
[0081 ] 然后对求导后的Lyapunov泛函（7)的最后两项利用引用1,2处理，以
[0083]针对式(9)分别使用引理1可得： 处理方法相同，具体操作如下： (9)
[0085] 其中：
[0086] 111 = 63^1 ^12=64^1 ^21 = G5Cl^22 = G6ll [0087] 针对上式，使用引理2可得：
[0090]另一项-「了 办采用同样的处理方法：
[0092] 将处理后的两项代入到求导后的Lyapunov泛函中去可得：
[0096]系统渐近稳定，需要使所求Lyapunov泛函导数小于0,判据得证。
[0097]注：判据中的不等式（6)依赖于d (t)和,无法直接使用LMI工具箱求解。但 是不等式（6)是关于d(t)和的凸函数，所以只要使上述不等式在cKUzln， d(t) = -jii ： d(t) - hx . d(t) = j.i \ d{l) -h2 , d{t) = -pi ； d{l)二 h2、?'(〇 = "上都成立即 可。
[0098]下面介绍本发明的一个实施例：
[0099]四机两区域电力系统如图3所示，1号发电机上安装有广域阻尼控制器，选择《13作 为控制器反馈信号。广域阻尼控制器常规超前滞后WADC，如下式所示：
(10)
[0101] 其中：Tw=10s，Ti = 0.324s，T2 = 0.212s
[0102] 在111 = 0^ = 0情况下，利用本发明所提方法得到四机两区域电力系统在1=10与 Ka = 22时系统的稳定裕度分别为346.4ms与101.0ms。
[0103]设置系统在母线3处发生三相短路故障，持续200ms。通过图4中无时滞条件下的系 统响应，可以看出广域控制器WADC优化了系统的性能，消除了内部振荡。图5中给出了系统 中存在110ms延时情况下的系统响应，可以看出延时110ms情况下，K a= 10系统是稳定的，而 Ka = 22系统是不稳定的，呈现发散趋势。这也符合本发明所提方法求得Ka = 22条件下的时滞 稳定裕度101 .〇ms。
【主权项】
1. 一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，其特征在于，包括如下 步骤： (1) 建立包含广域控制回路的时滞电力系统模型?中：In < d (t)^h2, d{t) < μ -μ^Ι ；(2) 给定稳定判定条件： 若存在正定矩阵P e R4nX4n;正定矩阵& e RnXn，i = 1，2，3;正定矩阵^ e RnXn，j = 1，2;矩 阵XkeR2nX2n，k=l，2使下列矩阵不等式成立，则时滞电力系统是渐近稳定的：ei=[Oi-1 I 〇7-1]，1 = 1，···，7 对于矩阵A，He(A)=A+AT。其中I代表单位矩阵。 (3) 利用Matlab中的线性矩阵(LMI)工具箱判断给定时滞d(t)是否满足步骤(2)给出的 判定条件，若满足，则可判定在延时d(t)条件下的时滞电力系统是渐近稳定的。2. 如权利要求1所述的基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，其特征 在于，时滞电力系统模型式中：χ=[χι X。]1"， XI为系统状态变量;X。为控制器的状态变量;Αι为系统 状态矩阵;Βι为系统输入矩阵;A。为控制系统的状态矩阵;C。为控制系统的输出矩阵;Ci为系 统输出矩阵;B。为控制系统的输入矩阵。
【文档编号】H02J3/00GK105958476SQ201610299335
【公开日】2016年9月21日
【申请日】2016年5月6日
【发明人】孙永辉, 李宁, 卫志农, 孙国强, 张世达, 郭敏, 秦晨
【申请人】河海大学