正交时频空间通信系统中的汤姆林森-哈拉希玛预编码的制作方法

本申请要求于2016年4月1日提交的题为“systemandmethodforimprovingofdmcommunicationsystemsusingotfschannelestimates”的美国临时申请no.62/317,489在35u.s.c.§119(e)下的优先权权益，其内容通过引用整体并入本文用于所有目的。

本公开总体上涉及通信系统，并且更具体地，涉及用于汤姆林森-哈拉希玛(tomlinson-harashima)预编码点对多点和其他通信系统的系统和方法。

背景技术：

最近在高速无线传输系统的开发方面进行了相当多的投入。这涉及多输入/多输出(mimo)系统的开发，其中信息符号通过并行数据流被传输。所构成的流可以与单个用户相关联，或者可以属于多个独立用户。

通过mimo信道传输信息的一个挑战在于并行数据流的分离或均衡。一种这种均衡的方法涉及在通信信道的接收机侧采用判决反馈均衡器(dfe)。然而，在接收机内使用dfe可能在计算上是昂贵的并且导致误差传播。

技术实现要素：

本公开针对一种使用预编码的符号信息进行信号传输的方法。该方法包括在延迟-多普勒域中估计通信信道的二维模型，其中所述通信信道的二维模型是时延和频移的函数。在延迟-时间域中确定扰动向量，其中所述延迟-时间域通过fft运算与延迟-多普勒域相关。该方法进一步包括基于扰动向量修改用户符号，以便产生被扰动的用户符号。随后使用所述通信信道的延迟时间模型，确定与延迟-时间域中的一组固定时间相对应的一组汤姆林森-哈拉希玛预编码器。该方法还包括通过将汤姆林森-哈拉希玛预编码器应用于被扰动的用户符号来生成预编码的用户符号。随后基于预编码的用户符号生成调制信号，并提供该调制信号以在所述通信信道上传输。

在一个实施方式中，使用fft运算将汤姆林森-哈拉希玛预编码器应用于被扰动的用户符号。可以至少部分地通过执行所述通信信道的延迟-时间模型的分解，来确定汤姆林森-哈拉希玛预编码器。该分解可以包括lqd分解，其中l是下三角矩阵，d是对角矩阵，并且q是酉矩阵。

本公开还涉及一种通信装置，包括多个天线以及处理器。该处理器被配置为在延迟-多普勒域中估计通信信道的二维模型，其中所述通信信道的二维模型是时延和频移的函数。该处理器进一步被配置为在延迟-时间域中确定扰动向量，其中所述延迟-时间域通过fft运算与延迟-多普勒域相关。可以由该处理器基于扰动向量修改用户符号，以便产生被扰动的用户符号。随后由该处理器使用所述通信信道的延迟-时间模型，确定与延迟-时间域中的一组固定时间相对应的一组汤姆林森-哈拉希玛预编码器。该处理器进一步被配置为通过将汤姆林森-哈拉希玛预编码器应用于被扰动的用户符号，来生成预编码的用户符号。该通信装置进一步包括发射机，被配置为基于预编码的用户符号，向多个天线提供调制信号以在所述通信信道上传输。

在另一方面，本公开涉及一种通信设备，包括天线和接收机，该接收机被配置为从天线接收信号，所述信号表示已经被二维地扩展并且在通信信道上传输的数据。该接收机对所述信号进行处理，以基于所述通信信道的二维时频冲击响应来确定均衡系数。该接收机还使用所述均衡系数，执行二维信号均衡过程。

在另一方面，本公开涉及一种接收通信信号的方法。该方法包括接收信号，所述信号表示已经被二维地扩展并且在通信信道上传输的数据。该方法还包括对所述信号进行处理，以基于所述通信信道的二维时频冲击响应来确定均衡系数。然后使用所述均衡系数，执行二维信号均衡过程。

附图说明

为了更好地理解本发明的各种实施例的本质和目的，应结合附图参考以下详细描述，其中：

图1a图示了可以展现时间/频率选择性衰落的无线通信系统的示例。

图1b提供了可以在图1a的无线通信系统中利用的传统收发机的高层级表示。

图2a示出了(τ，t)坐标系下的由一维信道模型表示的信道中的加速反射物的时变冲击响应。

图2b示出了在延迟多普勒(τ，v)坐标系下使用时不变冲击响应表示的同一信道。

图3a是示例性otfs通信系统的组件的框图。

图3b提供了构成otfs调制的示例性形式的两个变换的图示。

图3c示出了otfs发射机和otfs接收机处的不同处理阶段的框图。

图4表示otfs发射机中的海森堡变换和otfs接收机中的魏格纳变换的概念实施方式。

图5说明性地表示otfs调制的示例性实施例，其包括时频平面到多普勒延迟平面的变换。

图6示出otfs域中的离散脉冲，其可用于信道估计的目的。

图7示出了属于不同用户的两个不同的基函数，其中每个跨越整个时频帧。

图8和图9图示通过以交织方式向不同用户分配不同资源块或子帧来在时频域中复用多个用户。

图10示出了示例性otfs收发机的组件。

图11示出了通过tdma系统和otfs系统的仿真所预测的比特差错率(ber)的比较。

图12是表示由示例性otfs收发机执行的操作的流程图。

图13示出了将otfs调制器用作被布置为将二维时频矩阵变换成发射波形的正交映射。

图14示出了otfs解调器在根据正交映射将接收波形变换成二维时频矩阵时的操作。

图15示例性地表示包含在由otfs调制器产生的冲击波形内的冲击串。

图16描绘了被配置为执行最小均方(lms)均衡过程的二维判决反馈均衡器。

图17a-17d描绘了otfs发射机和接收机以及每个对于相关联的时频网格的操作。

图18包括表示实现有限调制等效信道的二维冲击响应、发送信息向量x和接收信息向量y的一组柱形图。

图19示出了在持续时间为tμ的n个时间段期间，在m个频带上发射由n×m结构表示的经2d傅里叶变换的信息流形。

图20示出了根据各种更小的时间切片tμ正同时被发射m个经滤波otfs频带的示例。

图21提供了根据各种更小的时间切片tμ正被发射的otfs波形的另一个示例。

图22提供了otfs发射和接收的示例性处理的框图表示。

图23图示有限otfs调制映射的示例性结构。

图24a和图24b分别示出标准通信栅格和标准通信栅格的倒易。

图25示意性地表示标准通信环面。

图26示意性地表示标准通信有限环面。

图27图示了otfs调制映射的示例性结构。

图28示出了otfs调制块的频域解释。

图29描绘了时频网格上的导频帧在数据帧当中的示例性交织。

图30描绘了时域中的导频帧和数据帧的示例性交织。

图31描绘了延迟多普勒网格中的对应于一组天线端口的一组参考信号。

图32a和32b分别示出了示例性短的信道的频率响应和倒频率响应。

图33a和33b分别示出了示例性中等信道的频率响应和倒频率响应。

图34a和34b分别示出了相对较长信道的频率响应和倒频率响应。

图35a描绘了包含在粗略栅格的限定区域中的qam星座。

图35b说明性地表示远程接收机处的解码操作。

图36是表示在发射机处执行的反馈操作的框图。

图37是示例性滤波器的框图。

具体实施方式

如下所述，正交时频空间(otfs)调制的实施例涉及通过在时频平面上对二维(2d)基函数进行调制来发射每个信息符号。在示例性实施例中，调制基函数集被具体地推导出以最佳地表示时变多径信道的动态性。通过这种方式，otfs将时变多径信道变换成时不变延迟多普勒二维卷积信道。这有效地消除了在例如涉及高速车辆的通信中跟踪时变衰落(fading)的困难。

otfs将信道的相干时间以数量级增加。其使用经过很好研究的awgn码在平均信道snr上简化了信道上的信令。更重要的是，由于信道状态信息(csi)的固有地精确和有效的估计，其使得在移动车辆应用中能够按照天线数量对吞吐量进行线性缩放。另外，由于延迟多普勒信道表示非常紧凑，因此otfs使得能够在移动车辆应用中对于四个、八个以及更多天线在发射机处使用csi进行大规模mimo和波束形成。otfs中所需的csi信息是追踪时变信道所需的一部分。

从下面的讨论可以理解，otfs的一个特征是单个qam符号可以在多个时间点和/或频率点上扩展。这是增加处理收益和建筑物穿透能力的关键技术，以用于iot部署及pstn替换应用。在otfs域中的扩展允许在更宽的带宽和持续时间上扩展，同时保持不需要随时间被追踪的平稳信道。

一旦理解了otfs背后的基本概念，otfs的这些益处将变得明显。存在otfs的丰富的数学基础，其可以导致多种变化；例如它可以与ofdm或与多载波滤波器组结合。在进行otfs的详细讨论之前，首先描述以一维信道模型为基础的通信系统的各种缺点。

图1a图示了可以展现时间/频率选择性衰落的无线通信系统100的示例。系统100包括发射机110(例如，手机塔)和接收机120(例如，手机)。图1a所示的场景包括从发射机100发射的信号在到达接收机100之前经过的多个路径(多径)。第一路径130反射通过树132，第二路径140反射离开建筑物142，并且第三路径150反射离开第二建筑物152。第四路径160反射离开移动汽车162。因为路径130、140、150和160中的每一个经过不同的距离，并且以不同的等级和不同的频率衰减(attenuate)或衰落(fade)，当按传统配置时，由于多径信号的相消干涉，接收机120可能会丢失呼叫或至少遭受低吞吐量。

现在转到图1b，提供了可以在图1a的无线通信系统100中利用的传统收发机200的高层级表示。例如，收发机200可以根据用于时分多址(tdma)、码分多址(cdma)或正交频分多址(ofdm)系统的已制定协议来进行操作。在诸如tdma、cdma和ofdm系统之类的传统无线通信系统中，发射机204和接收机208之间的多径通信信道210由一维模型表示。在这些系统中，使用通信信道的冲击响应的一维表示来表征信道失真。收发机200可以包括一维均衡器220，一维均衡器220被配置为从接收机208产生的一维输出数据流230中至少部分地去除这个估计的信道失真。

不幸的是，使用一维信道模型存在许多基本问题。首先，现有通信系统中采用的一维信道模型是非平稳的；也就是说，通信信道的符号失真影响是从符号到符号而改变的。另外，当仅对信道进行一维建模时，由于“信道衰落”，某些接收到的符号将在能量上明显低于其他符号是有可能的。最后，一维信道状态信息(csi)是随机出现的，并且其大部分是通过在特定点进行的信道测量之间进行插值来估计的，因此导致该信息固有地不准确。这些问题仅在多天线(mimo)通信系统中恶化。如以下所讨论的，本文描述的otfs方法的实施例可以用于基本上克服由使用一维信道模型引起的基本问题。

通常，在基带中用时变冲击响应将多径衰落信道一维地建模为卷积信道

其中s(t)和r(t)分别表示复数基带信道输入和输出，并且其中是复数基带时变信道响应。

这种表示虽然是一般性的，但不会让我们洞察时变冲击响应的行为和变化。一种更有用且有见地的、通常也被用于多普勒多径双衰落信道的模型是

r(t)＝∫∫h(τ，v)e^j2πv(t-τ)s(t-τ)dvdτ(2)

在这种表示中，接收信号是发射信号的反射副本的叠加，其中每个副本以路径延迟τ被延迟、以多普勒频移v被频移，并且以对于该τ和v的时间无关延迟多普勒冲击响应h(τ，v)被加权。除了这种表示的直观性之外，公式(2)保持公式(1)的一般性。换句话说，它可以表示复数多普勒轨迹，如加速车辆、反射物等。这可以通过以下看出，如果我们将时变冲击响应表示为关于时间变量t的傅里叶展开

将(3)带入(1)，经过一些计算后我们得到公式(2)。作为示例，图2a示出了(τ，t)坐标系下的加速反射物的时变冲击响应，图2b示出了(τ，v)坐标系下表示为时不变冲击响应的同一信道。

这两个图形揭示的一个重要特征是：(τ，v)表示相比于(τ，t)表示有多紧凑。这对信道估计、均衡和跟踪具有重要意义，将在后面进行讨论。

注意，虽然h(τ，v)实际上是时间无关的，但对s(t)的运算仍然是时变的，这可以从公式(2)中明确的时间的复指数函数的效应中看出。在实施方式中，所公开的调制方案考虑恰当地选择正交基函数，其使得该信道的效应在那些基函数定义的域中变得真正时间无关。所提出的方案具有以下高层级概括。

首先，让我们考虑由τ，v索引的一组正交基函数φτ，v(t)，其与平移和调制正交，即，

并且让我们将发射信号看作是这些基函数的叠加：

s(t)＝∫∫x(τ，v)φτ，v(t)dτdv(5)

其中权重x(τ，v)表示要发射的信息承载信号。在(5)的发射信号经过公式(2)的时变信道后，我们得到基函数延迟和调制版本的叠加，这是由于(4)而导致：

其中*表示二维卷积。公式(6)可以被认为是用于线性时不变系统的卷积关系的一般化，其使用一维指数作为基函数。注意，可以在接收机处通过针对每个基函数φτ，v(t)进行匹配滤波，来恢复括号中的项。通过这种方式，在(τ，v)域中建立二维信道关系：

y(τ，v)＝h(τ，v)*x(τ，v)(7)

其中y(τ，v)是接收机二维匹配滤波器输出。还要注意，在这个域中，通过时不变二维卷积对信道进行描述。

对于无线信道的最后一种不同解释在下文中也是有用的。让我们将s(t)和r(t)看作平方可积函数的希尔伯特(hilbert)空间的元素。随后，公式(2)可以被解释为上的作用于输入s(t)的、由冲击响应h(τ，v)参数化的线性算子，并产生输出r(t)：

注意，虽然算子是线性的，但它不是时间不变的。如果不存在多普勒，即如果h(v，τ)＝h(0，τ)δ(v)，则公式(2)简化到时不变卷积。还要注意的是，尽管对于时不变系统，冲击响应被一维参数化，在时变情况下，我们具有二维的冲击响应。尽管在时不变情况下，卷积算子产生输入s(t)的延迟的叠加(因此参数化是沿着一维延迟轴的)，在时变情况下，我们具有如公式(2)所示的延迟和调制运算的叠加(因此参数化是沿着二维延迟轴和多普勒轴的)。这是使时变表示是非可交换(与可交换的卷积运算相反)并且使时变系统的处理复杂化的主要区别。

公式(8)的一个重点是算子可以由二维函数h(τ，v)紧凑地参数化，从而提供对信道的高效的、时间无关的描述。典型的信道延迟扩展和多普勒扩展是多载波系统的符号持续时间和子载波间隔的非常小一部分。

由公式(2)和(8)定义的时变系统的表示可以被表征为海森堡(heisenberg)表示。在这方面可以表明，每个线性算子(公式(8))可以通过如公式(2)中的一些冲击响应被参数化。

多普勒多径信道上的otfs调制

信道的时变在与信道获取、跟踪、均衡和到发射侧的信道状态信息(csi)的传输以用于波束成形和mimo处理有关的无线通信中引入了显著的困难。我们在此基于一组正交基函数来开发一个调制域，我们可以在该调制域上发射信息符号，并且信息符号在该调制域上在分组或突发传输持续时间内经历静态、时不变的二维信道。在该调制域中，信道相干时间以数量级增加，并且与siso或mimo系统中时域或频域中的信道衰落相关的问题显著减少。

图3是示例性otfs通信系统300的组件的框图。如图所示，系统300包括发射机310和接收机330。发射设备310和接收设备330分别包括第一收发机315-1和第二otfs315-2。otfs收发机315-1和315-2单向或双向地经由通信信道320以本文所述的方式进行通信。尽管在本文描述的示例性实施例中，系统300可以包括无线通信系统，但在其他实施例中，通信信道可以包括有线通信信道，例如光纤或同轴电缆内的通信信道。如上所述，通信信道320可以包括多个路径并且通过时间/频率选择性衰落来表征。

otfs收发机的组件可以在硬件、软件或其组合中实现。对于硬件实现，处理单元可以在一个或多个专用集成电路(asic)、数字信号处理器(dsp)、数字信号处理设备(dspd)、可编程逻辑设备(pld)、现场可编程门阵列(fpga)、处理器、控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合内实现。

现在参考图3b，提供了构成示例性otfs调制形式的两个变换的图示。它以高层级示出了诸如发射机310之类的发射机和诸如接收机330之类的接收机处所需的信号处理步骤。它还包括定义每个步骤的参数，其中在我们进一步公开每一步骤时将变得明显。此外，图3c示出了发射机和接收机处不同处理阶段的框图，并建立将用于各种信号的标记。

我们起初描述将波形域关联到时频域的变换。

海森堡(heisenberg)变换

我们在这部分中的目的是构造适当的发射波形，该发射波形承载了由时频平面中的网格(grid)上的符号提供的信息。我们开发这种调制方案的意图是将信道运算变换为时频域上的等效运算，其具有两个重要特性：(i)信道在时频网格上正交；和(ii)信道时变在时频网格上被简化并且可以用另外的变换来解决。幸运的是，这些目标可以通过一个非常接近已知的多载波调制技术的方案来实现，如下所述。我们将从多载波调制的一般框架开始，然后给出ofdm和多载波滤波器组实现方案的示例。

让我们考虑时频调制的下列分量：

●时频平面上的栅格(lattice)或网格，即以采样周期t对时间轴和以采样周期δf对频率轴的采样。

●分组突发，总持续时间为nt秒且总带宽为mδf赫兹

●一组调制符号x[n，m]，n＝0，...，n-1，m＝0，...，m-1，我们希望通过该突发来发射该组调制符号

●发射脉冲gtr(t)，其特性与为t的平移和为δf的调制相正交(如果接收机使用与发射机相同的脉冲，则通常是需要的)

给定上述分量，时频调制器是对栅格λ的海森堡算子，也就是说，它经由对脉冲波形gtr(t)的延迟和调制运算的叠加，将二维符号x[n，m]映射到发射波形

更形式上

其中，我们用пx(·)表示由离散值x[n，m]参数化的“离散”海森堡算子。

注意(12)与信道公式(8)的相似性。这不是巧合，而是因为我们应用了一种模仿信道效应的调制效应，以使得调制和信道的级联的端效应在接收机处更易于处理。这并不罕见；例如，线性调制(针对时不变信道)以其最简单的形式是发射脉冲g(t)与以波特率t采样的qam信息符号的增量序列(train)的卷积。

在目前的情况下，针对时变信道，我们利用二维增量序列对发射脉冲进行卷积和调制(参见信道公式(2))，该二维增量序列以一定的波特率和子载波间隔对时频域进行采样。

时频域中的采样率与脉冲gtr(t)的带宽和持续时间有关；即，其时频局部化。为了(10)的正交性条件在频率间隔δf内保持，时间间隔必须是t≥1/δf。t＝1/δf的临界采样情况通常是不实际的并且指的是限制情况，例如对于循环前缀长度等于零的ofdm系统或者对于gtr(t)等于理想奈奎斯特脉冲的滤波器组来说是限制的。

一些示例说明了这些原则：

示例1：ofdm调制：让我们考虑具有m个子载波、符号长度tofdm、循环前缀长度tcp和子载波间隔1/tofdm的ofdm系统。如果我们在公式(11)中代入符号持续时间t＝tofdm+tcp、符号数目n＝1、子载波间隔δf＝1/tofdm、以及gtr(t)为将子载波的持续时间限制为符号长度t的方形窗

随后我们得到ofdm公式

从技术上讲，公式(14)的脉冲不是标准正交的，而是与接收滤波器(其中cp样本被丢弃)正交的。

示例2：单载波调制：如果我们代入m＝1个子载波、t等于波特周期、且gtr(t)等于平方根升余弦奈奎斯特脉冲，公式(11)简化为单载波调制。

示例3：多载波滤波器组(mcfb)：如果gtr(t)是具有过量带宽α的平方根升余弦奈奎斯特脉冲、t等于波特周期并且δf＝(1+α)/t，则公式(11)描述mcfb。

将调制运算表示为如公式(12)中的海森堡变换可能是违反直观的。也就是说，调制通常被认为是调制符号x[m，n]到发射波形s(t)的变换。相反，海森堡变换使用x[m，n]作为算子的权重/参数，该算子当被应用于原型(prototype)发射滤波器响应gtr(t)时产生s(t)，参见公式(12)。虽然违反直观，但该公式在追求信道可以在其中被描述为时不变的二维域中的调制-信道-解调级联效应的抽象中是有用的。

接下来需要关注的是从波形域返回到时频域所需的接收机侧的处理。由于接收信号已经历了两次海森堡变换的级联(一次是调制效应，一次是信道效应)，所以很自然地要询问该级联的端到端效应是什么。这个问题的答案是由以下结果给出的：

命题1：让如公式(8)、(2)所定义的两个海森堡变换由冲击响应h1(τ，v)、h2(τ，v)被参数化并且被级联地应用于波形然后

其中，h(τ，v)＝h2(τ，v)⊙h1(τ，v)是由下列的卷积和调制运算所定义的h1(τ，v)、h2(τ，v)的“扭曲(twisted)”卷积。

将上述结果应用于(12)和(8)的调制和信道海森堡变换的级联，可以表明接收信号由海森堡变换给出

其中v(t)是加性噪声，并且组合变换的冲击响应f(τ，v)由x[n，m]和h(τ，v)的扭曲卷积给出

该结果可以认为是单载波调制情况的延伸，其中通过时不变信道的接收信号由qam符号与复合脉冲的卷积给出，该脉冲是发射机脉冲和信道冲击响应的卷积。

有了这个结果，我们就准备好检查示例性的接收机处理步骤。

接收机处理和魏格纳(wigner)变换

典型的通信系统设计通常要求接收机执行匹配滤波操作，以取接收波形与发射机脉冲的内积，其中该发射机脉冲被信道恰当地延迟或以其他方式失真。在目前情况下，我们已经使用了经延迟和调制的发射脉冲的集合，并且通常对于它们中的每个执行匹配滤波操作。

图4提供了这种处理的概念视图。在发射机上，我们为我们发射的每个符号对一组m个子载波进行调制，而在接收机上我们对这些子载波脉冲中的每个执行匹配滤波。我们定义接收机脉冲gr(t)，并取与其经延迟和调制的版本的集合的内积。接收机脉冲gr(t)在许多情况下与发射机脉冲相同，但是我们保留单独的标记来覆盖某些不相同的情况(最明显的是在必须丢弃cp样本的ofdm中)。

虽然这种方法在理想信道的情况下将产生足够的用于数据检测的统计数据(statistics)，但在此可以提出对于非理想信道效应的情况的关注。在这种情况下，通过与信道失真的携带信息的脉冲进行匹配滤波，来获得足够的用于符号检测的统计数据(假定加性噪声是白色且高斯的噪声)。然而，在许多设计良好的多载波系统(例如，ofdm和mcfb)中，每个子载波信号的信道失真版本只是发射信号的标量(scalar)版本，这允许独立于信道并且使用原始发射子载波脉冲的匹配滤波器设计。我们将简短地使这些陈述更加精确，并检查确保其成立所需的条件。

在otfs接收机的实际实施例中，对于ofdm或mcfb，该匹配滤波可以分别使用fft或多相变换在数字域中实现。然而，为了本讨论的目的，我们将对于任意的时间和频率偏移(τ，v)，通过取接收波形与接收机脉冲的经延迟和调制的版本的内积<gr(t-τ)e^j2πv(t-τ)，r(t)>，来考虑这种匹配滤波的一般化。尽管可能不一定是实际的实施方式，但它允许我们将图4的运算看作这个更一般的内积的二维采样。

让我们定义内积

函数被称为交叉模糊度(cross-ambiguity)函数，并且如果(在栅格λ上)在τ＝nt，v＝mδf处采样，则产生匹配滤波器输出

模糊度函数与海森堡变换的逆变换(即，wigner变换)有关。图4提供了一种直观的感觉，因为接收机似乎对发射机的运算取逆。更形式上地，如果我们得到发射和接收脉冲的交叉模糊度并将其用作海森堡算子的冲击响应，则我们得到正交交叉投影算子

换句话说，如果用在海森堡表示中，那么从匹配滤波器得出的系数将在最小平方误差的意义上提供对原始y(t)的最佳近似。

要解决的一个关键问题是匹配滤波器输出y[n，m](或更一般地y(τ，v))和发射机输入x[n，m]之间的关系。我们已经在(18)中建立了匹配滤波器的输入r(t)可以表示为具有冲击响应f(τ，v)(加噪声)的海森堡表示。匹配滤波器的输出有两个贡献

最后一项是噪声的贡献，我们将其表示为右侧的第一项是对包括发射脉冲的经延迟和调制的版本的叠加的(无噪声)输入的匹配滤波器输出。我们接下来确定该项可以表示为二维冲击响应f(τ，v)与发射和接收脉冲的交叉模糊度函数(或二维交叉相关)的扭曲卷积。

下面的定理总结了关键结果。

定理1：(基本时频域信道公式)。如果接收信号可以表示为

那么该信号与接收脉冲gtr(t)的交叉模糊度可以表示为

回想一下(19)中的f(τ，v)＝h(τ，v)⊙x[n，m]，即，复合冲击响应本身就是信道响应和调制符号的扭曲卷积。

将(19)中的f(τ，v)代入(22)，我们得到时频域中的端到端信道描述

其中v(τ，v)是加性噪声项。公式(25)提供时频平面上的时变信道的抽象。它指出，在任何时间和频率点v(τ，v)的匹配滤波器输出是由信道的延迟多普勒冲击响应与调制算子的冲击响应的扭曲卷积再与发射和接收脉冲的交叉模糊度(或二维交叉相关)函数的扭曲卷积给出的。

在栅格λ上评估公式(25)，我们获得匹配滤波器输出调制符号估计

为了获得对公式(25)、(26)更多的直观。让我们首先考虑理想信道的情况，即，h(τ，v)＝δ(τ)δ(v)。在这种情况下，通过直接代入，我们得到卷积关系

为了简化公式(27)，我们将使用模糊度函数的正交性。由于我们使用不同的发射和接收脉冲，我们会将(10)中所陈述的发射脉冲设计的正交性条件修改为双正交条件

在这种情况下，在(27)中只剩下一项并且我们得到

y[n，m]＝x[n，m]+v[n，m](29)

其中v[n，m]是加性白噪声。公式(29)表明在理想信道条件下，匹配滤波器输出确实恢复了发射符号(加噪声)。当然更令人感兴趣的是非理想时变信道效应的情况。我们接下来表明，即使在这种情况下，仍然保持了信道正交(没有符号间或载波间干扰)，同时信道复数增益失真具有封闭形式的表达式。

下面的定理将结果总结为(29)的一般化。

定理2：(端到端时频域信道公式)：

如果h(τ，v)具有由(τmax，vmax)定界的有限支集，并且如果对于τ∈(nt-τmax，nt+τmax)，v∈(mδf-vmax，mδf+vmax)，即，(28)的模糊度函数双正交性在至少与信道响应h(τ，v)的支集一样大的栅格λ的每个网格点(mδf，nt)的邻域中为真，那么以下公式成立

如果模糊度函数在λ的邻域中只是近似双正交(根据连续性)，则(30)只是近似为真。公式(30)是描述时频域中的信道行为的基本公式。它是理解信道及其沿时间和频率维度的变化的特性的基础。

现在，针对公式(30)依次展示一些观察结果。如前所述，在时间n或频率m中不存在跨越x[n，m]的干扰。

●调制域中的端到端信道失真是需要被均衡的(复数)标量。

●如果不存在多普勒，即，h(τ，v)＝h(τ，0)δ(v)，则公式(30)变为

这是已知的多载波结果，即每个子载波符号乘以在该子载波频率处评估的时不变信道的频率响应。

●如果不存在多径，即，h(τ，v)＝h(0，v)δ(τ)，那么公式(30)变成

y[n，m]＝x[n，m]∫h(v，0)e^j2πvntdτ(32)

注意，每个子载波经历的、作为时间nt的函数的衰落具有作为指数的加权叠加的复杂表示。这是在对像lte这样的具有移动性的无线系统的设计中的主要难题；它需要导频(pilot)的发射以及信道的连续跟踪，这在车速或多普勒带宽越高时变得越困难。

下面提供了这个通用框架的一些示例。

示例3：(ofdm调制)。在这种情况下，基本发射脉冲由(14)给出，并且基本接收脉冲为

即，接收机将cp采样清零并将正方形窗应用于包括ofdm符号的符号。值得注意的是，在这种情况下，双正交性沿着时间维度完全成立。

示例4：(mcfb调制)。在多载波滤波器组gtr(t)＝gr(t)＝g(t)的情况下。有几种基本脉冲g(t)的设计。平方根升余弦脉冲提供了沿频率维度的良好定位，代价是沿着时间维度较差定位。如果t比时间维度中的信道的支集大得多，那么每个子信道都看到平坦信道并且双正交性特性大致成立。

总之，现在已经描述了定义otfs的两种变换之一。具体而言，根据公式(30)，已经提供了关于发射机和接收机如何在基本发射和接收脉冲上应用合适的算子并且使信道正交化的解释。还已经提供了示例来说明基本脉冲的选择如何影响发射调制符号的时间和频率定位以及所实现的信道正交化的质量。然而，公式(30)表明，该域中的信道虽然没有符号间干扰，但经由线性相位因子的复杂叠加而在时间和频率维度上都遭受衰落。

接下来我们从公式(30)开始并且描述定义otfs的第二个变换；我们将展示这种变换如何定义信息域，其中信道不会在任何一个维度上衰落。

2dotfs变换

请注意，(30)中的时频响应h[n，m]通过类似于傅里叶变换的表达式而与信道延迟多普勒响应h(τ，v)有关。然而，存在两个重要的区别：(i)变换是二维的(沿延迟和多普勒)和(ii)针对两个维度定义了变换的指数具有相反的符号。尽管有这些困难，公式(30)指引了使用复指数作为在其上调制信息符号的基函数的方向；并且仅在时频域上传输那些经调制的复指数基的叠加。如下面所讨论的，该方法利用傅里叶变换特性并且有效地将一个傅立叶域中的乘性信道转换为另一个傅立叶域中的卷积信道。

鉴于公式(30)中的困难，我们需要开发一个傅立叶变换的合适版本和相关的采样理论结果。让我们从以下定义开始：

定义1：辛(symplectic)离散傅里叶变换：给定平方可求和的二维序列我们定义

注意，上述2d傅里叶变换(称为辛离散傅里叶变换)不同于更熟知的笛卡尔(cartesian)傅立叶变换，在于在两个维度中的每一维度上的指数函数具有相反的符号。在这种情况下这是必要的，因为它与信道公式的行为相匹配。

进一步注意到，所得到的x(τ，v)是周期性的，周期为(1/δf，1/t)。这种变换定义了一种新的二维平面，我们将称之为延迟多普勒平面，并且它可以表示1/δf的最大延迟和1/t的最大多普勒。一维周期函数也称为圆上的函数，而2d周期函数称为环面(torus)(或圆环(donut))上的函数。在这种情况下，x(τ，v)被定义在带有圆周(维度)为(1/δf，1/t)的环面z上。

x(τ，v)的周期性(或时频平面的采样率)也定义了延迟多普勒平面上的栅格，我们将其称为倒易(reciprocal)栅格

倒易栅格上的点具有使(34)中的指数为2π的整数倍的特性。

逆变换由下式给出：

其中c＝tδf。

接下来我们定义x(τ，v)的采样版本。特别是，我们希望在延迟维度上取m个样本(以1/mδf间隔)以及在多普勒维度上取n个样本(间隔为1/nt)。更形式上地，倒易栅格的更密集版本被定义为使得

我们在周期为(1/δf，1/t)的密集栅格上定义离散周期函数，或者等价地我们在带有这些维度的离散环面上定义函数

这些函数经由傅里叶变换关系与栅格λ上的离散周期函数关联或者等价地与离散环面上的函数关联

z0＝{(nt，mδf)，m＝0，...，m-1，n＝0，...n-1，}(39)

我们希望开发用于在(38)的栅格上对公式(34)进行采样的表达式。首先，我们从以下定义开始。

定义2：辛有限傅立叶变换：如果xp[k，l]是周期性的，周期为(n，m)，那么我们定义

请注意，xp[m，n]也是周期性的，周期为[m，n]，或者等价地，它是在离散环面上被定义的。形式上，sfft(x[n，m])是从的线性变换。

让我们现在考虑将xp[m，n]生成为(34)的采样版本，即那么我们可以证明(40)仍然成立，其中xp[m，n]是x[n，m]的周期化，周期为(n，m)。

这与一个傅立叶域中的采样在另一个域中产生混叠的结果类似。

离散(辛)傅里叶逆变换由下式给出

其中l＝0，...，m-1，k＝0，...，n-1。如果x[n，m]的支集被时间-频率限制到z0((41)中没有混叠)，则对于n，m∈z0，xp[n，m]＝x[n，m]，并且逆变换(42)恢复原始信号。

sdft被称为“离散”，因为它表示使用离散的一组指数的信号，而sfft被称为“有限”，因为它表示使用有限的一组指数的信号。

在本文中，辛傅里叶变换的一个重要特性是它将一个域中的乘性信道效应转换为变换域中的循环卷积效应。以下命题总结了这一点：

命题2：令为周期性2d序列。然后

sfft(x1[n，m]*x2[n，m])＝sfft(x1[n，m])·sfft(x2[n，m])(43)

其中*表示二维循环卷积。通过建立这个框架，我们准备好定义otfs调制。

离散otfs调制：考虑布置在2d网格上的、我们希望发射的一组nm个qam信息符号x[l，k]，k＝0，...，n-1，l＝0，...，m-1。我们将考虑x[l，k]是二维周期性的，周期为[n，m]。此外，假定多载波调制系统由以下定义

●时频平面上的栅格，即以采样周期t对时间轴和以采样周期δf对频率轴的采样(参见公式(9))。

●分组突发，总持续时间nt秒且总带宽mδf赫兹。

●发射和接收脉冲gtr(t)，其满足(28)的双正交性特性

●发射加窗平方和可求和函数其乘以时频域中的调制符号

●一组调制符号x[n，m]，n＝0，...，n-1，m＝0，...，m-1，其通过一组基函数bk，l[n，m]与信息符号x[k，l]有关

其中，基函数bk，l[n，m]与逆辛傅里叶变换(参见方程(42))有关。

鉴于上述分量，我们通过以下两个步骤来定义离散otfs调制

(45)中的第一个公式描述了otfs变换，它将逆辛变换与加窗运算相结合。第二个公式描述了通过由x[n，m]参数化的、对gtr(t)的海森堡变换来发射调制符号x[n，m]。公式(42)和(11)给出了调制步骤的更明确的公式。

虽然通过辛傅里叶变换的otfs调制表达式揭示了重要的特性，但通过公式(44)能够更加容易地理解调制，即，通过在时频平面上调制2d基函数bk，l[n，m]来发射每个信息符号x[k，l]。

离散otfs解调：让我们假设发射信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真，从而在接收机处产生r(t)。此外，令接收机使用接收加窗平方可求和函数wr[n，m]。然后，解调操作由以下步骤组成：

(i)对接收脉冲进行匹配滤波，或者更形式上地，在λ上评估模糊度函数(魏格纳变换)，以获得时频调制符号的估计

(ii)y[n，m]的加窗和周期化

(iii)以及对周期性序列yp[n，m]应用辛傅里叶变换

正如我们前面讨论的那样，解调操作的第一步可以被解释为时频域上的匹配滤波操作。第二步是确保到sfft的输入是周期性序列。如果使用平凡(trivial)窗，则可以跳过此步骤。第三步也可以解释为时频调制符号在正交基函数上的投影

上面定义的离散otfs调制指向经由离散且周期性的fft类型处理的有效实施方式。然而，它在二维傅里叶采样理论的背景下可能不能提供对这些操作的时间和带宽分辨率的洞察。接下来我们介绍连续otfs调制，并将更实用的离散otfs关联作为连续调制的采样版本。

连续otfs调制：考虑我们希望发射的周期为[1/δf，1/t]的二维周期函数x(τ，v)。此处周期的选择可能似乎是任意的，但是在下面的讨论之后，选择其的理由将变得明显。此外，假定多载波调制系统是通过以下定义的：

●时频平面上的栅格，即以采样周期t对时间轴和以采样周期δf对频率轴的采样(参见公式(9))。

●发射和接收脉冲gtr(t)，满足(28)的双正交性特性

●发射加窗函数其乘以时频域中的调制符号

鉴于上述分量，我们通过以下两个步骤来定义连续otfs调制：

第一个公式描述离散时频辛傅立叶逆变换[参见公式(36)]和加窗函数，而第二个公式描述了经由海森堡变换[参见公式(11)]的调制符号的发射。

连续otfs解调：让我们假设发射信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真，在接收机处产生r(t)。此外，令接收机使用接收加窗函数然后，解调操作由以下步骤组成：

(i)在λ上评估模糊度函数(魏格纳变换)，以获得时频调制符号的估计

(ii)对调制符号加窗以及在其上应用辛傅里叶变换

注意在(51)、(52)中没有对y[n，m]的周期化，因为sdft是在非周期平方可求和序列上定义的。离散otfs中所需的周期化步骤可以理解如下。假设我们希望通过执行连续otfs解调然后在延迟多普勒网格上采样来恢复发射信息符号

由于执行连续辛傅里叶变换通常是不现实的，我们考虑是否可以使用sfft获得相同的结果。答案是：如果输入序列首先被周期化(混叠)，那么sfft处理将确切地产生我们正在寻找的样本。另见公式(40)和(41)。

我们现已描述了otfs调制的典型形式的每个步骤。我们还讨论了接收机处的魏格纳变换如何对发射机处的海森堡进行逆变换[参见公式(27)、(29)]，并且类似地对于辛傅里叶正向变换和辛傅里叶逆变换。

图5说明性地表示otfs调制的示例性实施例，包括时频平面到多普勒延迟平面的变换。另外，图5指示采样率、延迟分辨率和时间分辨率之间的关系。参考图5，在第一操作中，海森堡变换将波形域中的时变卷积信道转换为时频域中正交但仍时变的信道。对于总带宽bw和m个子载波，频率分辨率为δf＝bw/m。对于总的帧持续时间tf和n个符号，时间分辨率是t＝tf/n。

在第二操作中，sfft变换将时频域中的时变信道转换为延迟-多普勒域中的时不变信道。多普勒分辨率为1/tf，并且延迟分辨率为1/bw。正如经典的频谱分析那样，窗的选择可以提供主瓣宽度(分辨率)和旁瓣抑制之间的折衷。

otfs域中的信道公式

现在将提供当非理想信道位于发射机和接收机之间时otfs系统中的端到端信号关系的数学表征。具体来说，本节将展示(2)、(8)中的时变信道如何变换为延迟-多普勒域中的时不变卷积信道。

命题3：考虑布置在周期为[m，n]的2d周期序列x[l，k]中的一组nm个qam信息符号。序列x[k，l]经历以下变换：

●使用公式(45)的离散otfs调制对它进行调制。

●通过公式(2)、(8)的延迟多普勒信道使它失真。

●通过公式(46)、(48)的离散otfs解调对它进行解调。

解调后得到的估计序列由输入qam序列x[m，n]和加窗冲击响应hw(·)的采样版本的二维周期卷积给出：

其中hw(τ′，v′)表示信道响应与加窗函数的循环卷积

hw(τ′，v′)＝∫∫e^-j2πvτh(τ，v)w(τ′-τ，v′-v)dτdv(55)

准确地说，窗w(τ，v)与信道冲击响应的微小修改版本e^-j2πvτh(τ，v)(以复指数修改)进行循环卷积，如在公式中可见的。窗函数w(τ，v)是时频窗w[n，m]的辛傅里叶变换

并且其中w[n，m]是发射窗和接收窗的乘积。

w[n，m]＝wtr[n，m]wr[n，m](57)

在很多情况下，发射机和接收机中的窗是匹配的，即wtr[n，m]＝w0[n，m]且因此w[n，m]＝|w0[n，m]|²。

窗效应是以取决于可用的频率和时间采样的跨度的分辨率，来产生原始信道的模糊版本。如果考虑矩形(或普通)窗，即，w[n，m]＝1，n＝0，...，n-1，m＝-m/2，...，m/2-1并且在其他情况下为0，那么它在(56)中的sdftw(τ，v)是带宽与n和m成反比的二维狄利克雷(dirichlet)核。

窗函数还有其他几个用途。系统可以设计为具有旨在使发射符号的相位随机化的窗函数。这种随机化可能对于导频符号而言比携带数据的符号更重要。例如，如果相邻小区使用不同的窗函数，则避免了导频污染的问题。

otfs域中的信道估计

可以为otfs系统设计各种不同的信道估计方案以及各种不同的实施方案选择和细节。

执行信道估计的直接方式需要在otfs域中发射包含离散增量函数的探测otfs帧、或等效地在时频域中发射一组未调制载波。从实际的观点来看，载波可以利用已知的(比如说bpsk)符号进行调制，该符号在接收机处被去除，这在许多ofdm系统中是很常见的。图6示出otfs域中的可用于信道估计目的的离散脉冲。

然而，由于信道响应的范围仅仅是otfs帧全部范围(1/t，1/δf)的一部分，所以这种方法可能是浪费的。例如，在lte系统中，1/t≈15khz，而最大多普勒频移fd，max通常要小一至两个数量级。类似地，1/δf≈67秒，而最大延迟扩展τmax也要小一至两个数量级。因此，我们可以将otfs帧的小得多的区域专用于信道估计，同时帧的其余部分承载有用的数据。更具体地说，对于具有(±fd，max，±τmax)支集的信道，我们需要长度为(2fd，max/t，2τmax/δf)的otfs子帧。

在多用户传输的情况下，每个ue可以具有位于otfs帧不同部分中的其自己的信道估计子帧。然而，该信道估计子帧的大小可能相对是有限的。例如，如果τmax是延迟维度范围的5％并且fd，max是多普勒维度的5％，则信道估计子帧仅需要是otfs帧的5％x5％＝0.25％。

重要的是，虽然信道估计符号被限制为otfs帧的一小部分，但它们实际上是通过与这些符号相关的相应的二维时频基函数来对整个时频域进行探测的。

信道估计的不同方法是在时频域中的子网格上投入导频符号。这种方法中的关键问题是对足以进行信道估计而不引入混叠的导频密度的确定。假设对于某些整数n0，m0，导频占据了子网格(n0t，m0δf)。回想一下，对于这个网格，sdft将是周期性的，周期为(1/n0t，1/m0δf)。然后，将前面讨论过的混叠结果应用到这个网格中，我们得到无混叠的奈奎斯特信道支集区域(±fd，max，±τmax)＝(±1/2n0t，±1/2m0δf)。在给定信道的最大支集的情况下，可以从这种关系中确定导频的密度。导频子网格应当扩展到整个时频帧，以便信道的分辨率不受损。

图29描绘了时频网格上的导频帧在数据帧当中的示例性交织。

图30描绘了时域中的导频帧和数据帧的示例性交织。

图31描绘了延迟多普勒网格中的对应于一组天线端口的一组参考信号。

otfs接入：多于一个用户的复用

有多种方式来在一个otfs帧中复用多个上行链路或下行链路传输。这里我们将简要回顾下面的复用方法：

●otfs延迟-多普勒域中的复用

●时频域中的复用

●码扩展域中的复用

●空间域中的复用

1.延迟-多普勒域中的复用：这可能是用于下行链路传输的最自然的复用方案。向不同的用户给予不同的otfs基函数集、或者信息符号集或资源块。给定基函数的正交性的情况下，可以在ue接收机处分离用户。ue只需要解调otfs帧中分配给它的部分。

与传统通信系统相反，在otfs系统中，即使是otfs域中的小子帧或资源块也将经由二维基函数在整个时频帧上传输，并将经历平均信道响应。图7通过示出属于不同用户的两个不同基函数来说明这一点。因此，无论资源块或子帧大小如何，对于每个用户都不存在信道分辨率损伤。

在上行链路方向，来自不同用户的传输经历不同的信道响应。因此，otfs域中的不同子帧将经历不同的卷积信道。这可能潜在地在两个用户子帧相邻的边缘处引入用户间干扰，并且需要保护(guard)间隙来消除它。为了避免这种开销，可以如下所述在下行链路中使用不同的复用方案。

2.时频域中的复用：在这种方法中，在时频域中，资源块或子帧被分配给不同的用户。图8以三个用户的情况说明了这一点。如图8所示，第一用户(u1)占用整个帧长度但仅占可用子载波的一半。第二用户(u2)和第三用户(u3)占用另一半子载波，并在它们之间划分帧的总长度。

注意在这种情况下，每个用户都使用所描述的otfs调制的稍微不同的版本。一个区别是每个用户i对子帧(ni，mi)，ni≤n，mi≤m执行sfft。这降低了信道的分辨率，或者换言之，减小了每个用户将在其中经历其信道变化的时频平面的范围。另一方面，这也给予调度器在时频平面中的用户信道最好的部分中调度用户的机会。

如果期望提取信道的最大分集(diversity)并且在整个时频帧上分配用户，则可以通过交织对用户进行复用。在这种情况下，一个用户占用时频帧的子采样网格，而另一用户占用与其相邻的另一个子采样网格。图9示出了与图8相同的三个用户，但他们在子载波维度上交织。当然，在时间维度上的交织也是可能的，和/或在两个维度上的交织都是可能的。对网格的每用户的交织或子采样的程度仅受限于必须适应的信道的扩展。

3.时频扩展码域中的复用：假设期望设计随机接入phy层和mac层，其中用户可以接入网络而不必经历复杂的rach和其他同步过程。已经认识到需要这种系统来支持物联网(iot)部署。otfs可以通过为每个用户分配不同的、被设计为随机数发生器(randomizer)的二维窗函数来支持这样的系统。在该实施例中，不同用户的窗被设计成彼此近似正交并且几乎与时间和频率偏移正交。每个用户随后仅在一个或几个基函数上进行传输，并使用该窗作为使干扰随机化和提供处理增益的手段。这可能会导致更加简化的系统，该系统对于低成本、短突发类型的iot应用来说可能是有吸引力的。

4.空间域中的复用：最后，与其他ofdm多载波系统一样，多天线otfs系统可以支持多个用户在整个时频帧上在相同的基函数上进行传输。用户通过适当的发射机和接收机波束成形操作而分离。

otfs通信系统的示例性实施方式

如上所述，正交时频空间(otfs)调制的实施例由两个变换的级联组成。第一变换将信息符号所在的二维平面(并且其可以被称为延迟多普勒平面)映射到时频平面。第二变换将时频域转换为实际构建发射信号的波形时间域。这种变换可以被认为是多载波调制方案的一般化。

图10示出了示例性otfs收发机1000的组件。otfs收发机1000可以被用作图3a的通信系统300中示出的示例性otfs收发机315中的一个或两者。otfs收发机1000包括发射机模块1005，发射机模块1005包括预均衡器1010、otfs编码器1020和otfs调制器1030。otfs收发机1000还包括接收机模块1055，接收机模块1055包括后均衡器1080、otfs解码器1070和otfs解调器1060。otfs收发机的组件可以在硬件、软件或其组合中实现。对于硬件实现，处理单元可以在一个或多个专用集成电路(asic)、数字信号处理器(dsp)、数字信号处理设备(dspd)、可编程逻辑设备(pld)、现场可编程门阵列(fpga)、处理器、控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合内实现。将考虑收发机1000的各种组件来描述所公开的otfs方法。

再次参照图3a，在一个方面，otfs通信的方法涉及通过通信信道320从发射设备310向接收设备330发射至少一个数据帧([d])，该数据帧包括一多达n²个数据元素的矩阵，n大于1。该方法包括在otfs收发机315-1内对数据帧的数据元素进行卷积，使得每个数据元素的值在被发射时被扩展在多个无线波形上，每个波形具有特征频率，并且每个波形承载从数据帧[d]的多个所述数据元素而来的卷积结果。此外，在发射处理期间，对该多个无线波形的频率进行多次循环偏移，使得每个数据元素的值作为被多次发送的多个经循环频移的波形而被发射。在接收设备330处，otfs收发机315-2接收并解卷积这些无线波形，从而重构所述至少一个数据帧[d]的副本。在该示例性实施例中，卷积处理使得任何数据帧([d])的任意数据元素都不能保证以完全精度进行重构，直到基本上所有这些无线波形已被发射和接收。

图11示出了通过tdma系统和otfs系统的仿真所预测的比特差错率(ber)的比较。两个系统都使用16qam星座。该仿真建模了100hz的多普勒扩展和3微秒的延迟扩展。从图中可以看出，对于相同的信噪比(snr)来说，otfs系统提供比tdma系统低得多的ber。

现在关注图12，图12是表示由otfs收发机1200执行的操作的流程图，otfs收发机1200可以实现为例如otfs收发机1000(图10)。otfs收发机1200包括发射机(其包括调制器1210)和接收机(其包括解调器1220)以及二维均衡器1230。在操作中，otfs收发机1200的发射机接收n×n符号矩阵形式的二维符号流，其在下文中可以被称为tf矩阵：

x∈c^n×n

如图13所示，在一个实施例中，调制器1210用作被布置来将二维tf矩阵变换成以下发射波形的正交映射：

φt＝m(x)＝∑x(i，j)φi，jφi，j⊥φk，l

参考图14，解调器1220根据正交映射将接收波形变换为二维tf矩阵，以便生成输出流1420：

在一个实施例中，otfs收发机1200由多个可变参数表征，多个可变参数包括例如延迟分辨率(即，数字时间“标记(tick)”或时钟增量)、多普勒分辨率、处理增益因子(块大小)和标准正交基函数。这些可变参数中的每一个可以表示为如下。

延迟分辨率(数字时间标记)：

多普勒分辨率：

处理增益因子(块大小)：

n＞0

c^nx1的标准正交基(谱形)：

u＝{u1，u2，..，un}

如图12所示，在操作期间，调制器1210取得tf矩阵x∈c^nx1并将其变换成脉冲波形。在一个实施例中，脉冲波形包括根据海森堡表示和谱形定义的脉冲串：

其中b1，b2...bn在图15中示出，并且按照海森堡关系：

π(h*x)＝π(h)·π(x)具体为：

π(δ(t，o)*x)＝lt·π(x)

π(δ(0，w)*x)＝mw·π(x)

海森堡表示规定：

由以下给定：

其中lt和mw分别代表循环时间和频移，并且可以表示为：

lτ∈c^n×n：

mw∈c^n×n：

解调器1220取得接收波形并将其转换为根据魏格纳变换和谱形定义的tf矩阵x∈c^nx1：

m和d的主要特性(斯通冯诺依曼(stonevonneumann)定理)：

d(h^am(x))＝h*x其中：

h(τ，w)≈a(τδt，wδf)

如图16所示，均衡器1230可以实现为被配置为执行最小均方(lms)均衡过程的二维判决反馈均衡器，从而使得：

发射机网格和接收机区间(bin)结构

现在将注意力转向图17a-17d，其描绘了otfs发射机102和接收机104，其中在描述otfs波形的发射和接收时将参考该otfs发射机102和接收机104。更具体地说，图17b-17d相对于时频发射机网格或一系列区间(bin)以及相应的时频接收机网格或一系列区间，示出了otfs波形的发射和接收。如下面将要讨论的，接收机104将通常相对于比关联于发射机102的时频发射网格更精细的时频接收网格进行操作。

现在转到图17a，发射机102和接收机104由包括一个或多个反射物106的受损无线数据信道100分开。如图所示，当波形(112，114a，114b)通过数据信道100传播时，反射物106可反射或以其他方式损伤波形(112，114a，114b)。这些反射物可以固有地由信道100(参见例如图18的有限信道heqv，f)的二维(2d)信道状态来表示。

在一个实施例中，发射机102包括发射机处理器102p，以将输入数据打包成至少一个n×m数据符号阵列。根据本文描述的otfs调制技术，编码处理随后被用于发射该数据符号阵列。所发射的otfs波形由接收机104接收，接收机104包括接收机处理器104p。在一个实施例中，接收机处理器104p利用与信道100的2d状态有关的信息来使得这些otfs波形能够被解码并恢复发射数据符号。具体地，接收机处理器104p可以使用otfs编码处理的逆，来解码和提取这多个数据符号。可选地，可以在接收机已经解码并提取多个数据符号之后，完成数据信道损伤的信号的校正。

在一些实施例中，otfs数据发射可以通过将输入n×m数据符号阵列变换成滤波后的ofdm符号的至少一个块或阵列来实现。例如，这可以使用一维傅立叶变换和滤波处理或算法来完成。然后可以使用各种类型的二维傅里叶变换将该滤波后的ofdm符号的块或阵列变换成ofts符号的至少一个块或阵列。通常将这些结果存储在发射机存储器102m中。然后可以通过各种方法在无线频率子带上传送所存储的结果。例如，在一个实施例中，采用一系列m个窄带滤波器组的发射机102c可以被使用。在这种实施方式中，发射机102c产生在至少n个时间间隔上发射的一系列m个相互正交的波形。

在一个实施例中，可以在时间和频率二者上都施加间隙或“保护带”，从而在发射之前使各种窄带滤波器和时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化。根据数据信道的特性，任何此类间隙或保护带可在情况允许时被增加或减少或设置为零。

可选地，otfs编码处理可以将n×m数据符号阵列编码在与辛分析兼容的流形(manifold)上。符号可以分布在长度为t的列时间轴和长度为f的行频率轴上，由此产生至少一个信息流形以存储在发射机存储器102m中。

信息流形以一种使得输入数据符号随后能够根据期望的otfs变换操作而被变换的形式，来有效地保持与输入数据符号相对应的信息，所述otfs变换操作例如辛2d傅立叶变换、离散辛2d傅立叶变换、有限辛傅立叶变换等。在某些实施例中，数据符号也可以在被保持到信息流形内之前被扩展。

otfs处理器102p然后可以根据2d辛傅立叶变换来变换信息流形。这种变换可以使用任何先前讨论的辛2d傅里叶变换、离散辛2d傅里叶变换和有限辛傅立叶变换来实现。该操作产生至少一个经2d傅立叶变换的信息流形，其可以存储在发射机存储器102m中。

otfs发射机102c通常将该至少一个经2d傅立叶变换的信息流形作为一系列“m”个同时窄带波形进行发射，每个系列在连续时间间隔上，直到整个经2d傅立叶变换的信息流形已经被发射。例如，发射机处理器102p可以在该经2d傅里叶变换的信息流形的所有频率和时间上(通常是以时间为基础在一列上)进行操作。发射机处理器102p可以选择位置n(其中n可以从1变化到n)处的给定列，并且根据与tμ成比例的持续时间的时间切片对具有一宽度的列进行发射，其中μ＝1/n。然后，可以使该经2d傅立叶变换的信息流形的列切片中的那些频率(例如，对应于该发射时间切片的频率)通过一组至少m个不同的、非重叠的窄带频率滤波器。这产生了m个相互正交的波形。然后，处理器102p可以使得这些所得到的滤波波形作为至少m个的多个相互正交的波形在不同的发射时间间隔(例如，每次一列)上进行发射，直到整个经2d傅立叶变换的信息流形已经被发射。

在一个实施例中，可以在时间和频率二者上都施加间隙或“保护带”，从而在发射之前使各种窄带滤波器与时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化。根据数据信道的特性，任何此类间隙或保护带可在情况允许时被增加或减少或设置为零。

每个otfs接收机104随后可以接收由发射机102发射的经2d傅里叶变换的信息流形的信道卷积版本。由于信道100引入的失真，原始以m个原始频率发射的m个窄带波形现在可能包括在不同频率范围上的m个以上的窄带波形。此外，由于发射otfs波形撞击各种反射物106，原始发射信号及其反射可能在不同的时间被接收。因此，每个接收机104将通常在具有比关联于发射机102的分网(mesh)更精细的分网的时频网格上对各种接收波形进行超采样或过采样。该过采样处理由图17b-17d表示，其描绘了具有比发射机otfs网格更小的时频增量的接收机时频网格。

每个otfs接收机104操作以在时间切片上接收所发射的经2d傅立叶变换的信息流形，所述时间切片具有通常小于或等于发射机102所采用的发射时间间隔的持续时间。在一个实施例中，接收机104使用至少m个不同的、非重叠的窄带频率接收滤波器组对接收波形进行分析。然后，接收机通常将原始发射的经2d傅里叶变换的信息流形的分辨近似(经信道卷积的版本)存储在接收机存储器104m中。

一旦接收到发射机102发射的波形，接收机104随后对信道100的卷积效应进行校正，从而便利于恢复原始发射的数据符号的估计。接收机104可以以多种方式实现这些校正。

例如，接收机104可以使用发射机102所使用的2d辛傅里叶变换的逆变换，来将接收到的波形变换为原始发射的信息流形的初始近似。可选地，接收机104可首先使用与2d信道状态有关的信息，来校正所发射的经2d傅里叶变换的信息流形的信道卷积近似(存储在接收机存储器中)。在该校正之后，接收机104随后可以使用在发射机102处采用的2d辛傅立叶变换的逆变换，来生成接收到的信息流形并且随后提取估计的数据符号。

虽然本文描述的otfs方法固有地在与发射机相关联的整个时频平面上扩展任何给定的数据符号，但是在一些实施例中，实现额外的扩展操作以确保所发射的数据符号是均匀分布可能是有用的。可以在发射机处理器102p将输入n×m数据符号2d阵列编码到辛分析兼容流形上之前或之后执行该扩展操作。为此目的可以使用许多扩展函数，例如2d啁啾操作。如果在发射机102处实现这样的扩展操作，则接收机104将利用该扩展操作的逆操作，以便从各种接收到的信息流形解码和提取数据符号。

图19示出了在n个持续时间为tμ的时间段期间，在m个频带上发射由n×m结构表示的经2d傅里叶变换的信息流形。在这个示例中，m个频带中的每个由给定的行表示，并且每个不同的时间段由给定的列表示。在图19的实施例中，假设otfs发射机被配置为在没有保护间隔的期间，在所分配的、包含m个频带的带宽上发射otfs信号。m个频带中的每个的带宽(ω0)是1/tμ。相应地，如果期望在最小时间间隔n*tμ上发射所有n列信息，则m必须具有不大于1/tμ的带宽，并且所有m个经滤波的otfs频带使用的带宽不能超过m/t，其中t是用于发射经2d傅里叶变换的信息流形的所有n列的总时间量。

在接收机104处，可以使用不同的、非重叠的窄带频率滤波器组来接收各种经2d傅里叶变换的信息流形，通常类似于发射机102所使用那些。同样，接收机时间切片和接收滤波器组通常会以更精细的粒度进行操作；也就是说，接收机通常会在更小的频率带宽和更短的时间切片上操作，但是通常在更宽的总频率和时间范围上操作。因此，接收机区间结构将优选地对发射机先前使用的相应的发射时间切片和不同的、非重叠的窄带频率发射滤波器组进行过采样。

如参考图19可以理解的那样，otfs发射机通常将对所得到的滤波波形(在本示例中是在所有行和连续的列上)进行发射，直到整个经2d傅里叶变换的信息流形已被发射。然而，发射机可以连续地且持续地发射连续的列(时间切片)——即在两个列之间没有任何时间间隙——以将其更多地作为一系列连续的更长持续时间波形，或者可选地，发射机可以在各个连续的列之间放置一些时间间隔，从而产生更明显的一系列波形突发。

换句话说，发射机可以将所得到的滤波波形作为以下任一种发射：1)在任何不同连续的发射时间间隔上的至少m个的多个同时发射的相互正交的波形；或2)多个otfs数据或otfs导频突发，其包括在由至少一个间隔的时间间隔所分开的不同发射间隔上的至少m个同时发射的相互正交的波形突发。

图20示出了根据各种更小的时间切片tμ同时发射m个经滤波的otfs频带的示例。根据重复的曲线形状显示每个滤波带的中心频率。更详细地显示了所发射的频率带宽区间之一，其大小为1/t且持续时间为t*μ。再次，如先前所讨论的，在优选实施例中，otfs接收机将使用过采样，并且因此使用更精细的粒度区间，该粒度区间仍然可以在更宽的时间和频率范围上延伸，以捕获具有高度延迟或多普勒频移的信号。

换句话说，在一些实施例中，在发射机处使用的非重叠的窄带频率滤波器可以被配置为使来自各种经2d傅里叶变换的信息流形的与滤波器函数成比例的频率通过，其中j是-1的平方根，t对应于从经2d傅立叶变换的信息流形中选择的持续时间tμ的给定的时间切片，并且k对应于给定的经2d傅立叶变换的信息流形中的给定的行位置，其中k在1和m之间变化。在此示例中，以频率单位hz为单位的带宽ω0可以与1/t成比例，并且t＝m/(允许的无线带宽)。

从图19和图20可以看出，各种经2d傅立叶变换的信息流形可以具有根据时间轴的总体维度ntμ和根据频率轴的总体维度m/t，并且各种经2d傅里叶变换的信息流形中的每个“单元格”或“区间”具有根据时间轴与tμ成比例的总体维度和根据频率轴与1/t成比例的总体维度。

图21提供了根据各种更小的时间切片tμ发射的otfs波形的另一个示例。在图21的图示中，还示出了作为时间的函数的、各种波形的调制幅度或程度。

在一些实施例中，使用底层调制信号来对发射的无线otfs波形进行调制可能是有用的，其中该底层调制信号允许接收机区分给定的接收信号源自于原始的2d时间和频率网格上的何处。例如，这可以帮助otfs接收机区分各种类型的接收信号，并且将直接信号区分于各种时间延迟和/或频移的反射信号。在这些实施例中，可以通过确定所接收的波形的时间和频率相关参数，来区分原始发射的otfs波形的网格、区间或栅格位置。例如，在当前讨论的“辛”实施方式中，其中经2d傅立叶变换的信息流形的每个“行”通过根据诸如之类的参数操作的窄带滤波器，“kω0”项可以使接收机能够通过其起源“列”位置“t”来区分任何给定的传入otfs波形。在这种情况下，接收机还应该能够通过对各种接收波形的t(时间相关)和k(频率相关)值二者进行确定，来确定各种接收波形的区间(网格、栅格)位置。这些值然后可以在接收信号的后续解卷积期间被使用。

如果需要进一步区分接收到的otfs信号的区间(网格、栅格)起源时间和频率原点，则还可以在发射之前对otfs信号施加额外的时间和/或频率变化调制方案，以允许otfs接收机进一步区分各种接收信号的区间(网格、栅格)原点。

在替代实施例中，可以使用狄拉克(dirac)梳方法对信息流形或经2d傅里叶变换的信息流形中任一个进行采样和调制。例如，这些方法利用的狄拉克梳可以是由狄拉克增量(delta)函数构成的周期性缓增(tempered)分布。

现在关注图22，图22提供了根据本公开的otfs发射和接收的示例性处理2200的框图表示。处理2200开始于打包用于发射的数据及其可选的预编码以校正已知的信道损伤(阶段2210)。然后通过2d傅立叶变换(诸如辛傅里叶变换、离散辛傅立叶变换或有限辛傅立叶变换)处理该素材(阶段2220)。在该处理之后，结果随后通过滤波器组(fb)并在一系列时间间隔tμ上发射(阶段2230)。发射的无线otfs波形随后通过通信或数据信道(c)，其中它们遭受各种失真和信号损伤(阶段2240)。在接收机处，根据滤波器组以不同的时间间隔对接收波形进行接收(阶段2250)。接收机滤波器组(fb*)可以是根据过采样持续时间操作的过采样滤波器组(fb*)，其中该过采样持续时间可以是原始时间间隔tμ的一部分。这种过采样函数使得能够以高分辨率针对信道引起的时间延迟和频移来更好地分析接收信号。在阶段2260，通过2d傅立叶逆变换(2d-fts)(其也可以是辛傅里叶逆变换、离散辛傅里叶逆变换、或有限辛傅立叶逆变换)来分析所接收的素材。然后可以使用例如2d信道状态信息对信道失真进一步校正该结果(阶段2270)。在其他实施例中，阶段2270可以在阶段2260之前。

otfs调制的进一步数学表征和二维(2d)信道模型的推导

在下文中，我们进一步开发了对海森堡表示和二维辛傅立叶变换所扮演的中心角色重点关注的otfs通信范例。这一开发的主要技术成果是对otfs二维信道模型的精确推导。

0.引言

正交时间频率空间是一种能够由通信收发机实现的新颖的调制方案，该调制方案通过将时间和频率维度放在均等的基础(footing)上，以将动态的一维无线介质转换为静态的二维局部isi信道。otfs收发机相对于传统收发机的主要优点如下：

1.衰落。消除时间和频率二者的选择性衰落。

2.分集。提取信道中的所有分集分支。

3.平稳性。所有符号都经历相同的失真。

4.csi。完美和高效的信道状态信息(csi)。

在某种意义上，otfs收发机通过通信介质建立虚拟线路，从而允许在无线域中应用传统的有线dsp技术。otfs收发机的实施例是基于来自表示理论的原理，从经典傅立叶理论进行一般化阐明。在操作层面上，otfs可以粗略表征为将二维傅里叶变换应用于滤波后的ofdm符号块。otfs是一种真正的二维时间频率调制，并且可以结合二维时频滤波和二维均衡技术二者。以下我们提供了otfs收发机的形式数学开发，重点在于二维信道模型的精确推导。

otfs和栅格

我们首先选择欠采样时频栅格，即密度小于或等于1的二维栅格。欠采样条件对于完美重构是必要的，然而，它似乎限制了信道采集的延迟多普勒分辨率。相反，雷达理论相当于选择密度大于或等于1的过采样时频栅格，其中过采样条件对于使目标测量的延迟多普勒分辨率最大化是必要的。事实证明，辛(二维)傅里叶变换在通信和雷达栅格之间交织。otfs通信范例是在过采样高分辨率雷达栅格上复用信息符号，并使用辛傅里叶变换和二维滤波以转换回通信坐标。这使得otfs能够兼顾两个世界的优势，即高分辨率延迟多普勒信道状态测量而不牺牲频谱效率。特别地，otfs信道模型可以被认为是无线介质的高分辨率延迟多普勒雷达图像。

无线频道

为了理解otfs，将无线信道理解为数学对象是有益的。令h＝l²(r)表示在时域上定义的“物理”波形的向量空间。无线介质的物理特性受多径反射现象的控制，即，发射信号通过大气传播并从环境中的各种对象反射。一些对象(可能包括发射机和接收机)正以非零速度运动。因此，(在一些温和的“窄带”假设下)，接收信号是发射信号的时间延迟和多普勒频移的叠加，其中时间延迟是由反射波形跨越的过量距离引起的，并且多普勒频移是由反射物与发射天线和/或接收天线之间的相对速度引起的。在数学上，这意味着无线信道可以表示为线性变换c：h→h，该变换被实现为多个时间延迟和多普勒频移的加权叠加，即，对于每个发射波形

从公式(0.1)可以看出，信道c由取决于两个变量τ和v的函数h决定，这两个变量被称为延迟和多普勒。这对(τ，v)可以看作是平面v＝r²上的一个点，该平面被称为延迟多普勒平面。因此，h是表征无线信道的一种二维(延迟多普勒)冲击响应。但是，应该记住的是这个术语是误导性的，因为(0.1)给出的h的动作不是卷积动作。

衰落

无线信道的一个基本物理现象是衰落。衰落现象对应于在特定维度上测量的接收信号的能量分布中的局部衰减。习惯上考虑两种衰落：时间选择性衰落和频率选择性衰落。第一种是由多普勒频移的破坏性叠加造成的，第二种是由时间延迟的破坏性叠加造成的。由于无线信道由时间延迟和多普勒频移二者的组合构成，因此它展现出这两种类型的衰落。缓解衰落现象是otfs收发机开发背后的重要动机。

海森堡表示

一个关键的观察是：在公式(0.1)中给出的延迟多普勒信道表示是被称为海森堡表示的基本数学变换的应用，其在延迟多普勒平面v上的函数和信号空间h上的线性算子之间变换。为了看到这一点，让我们分别用lτ和mv表示以τ的时间延迟运算和以v的多普勒频移运算，即，对于每个

使用这个术语，我们可以用下面的形式重写信道公式(0.1)：

让我们将海森堡表示定义为取函数a：v→c到线性算子π(a)：h→h的变换，由下式给出：

π(a)＝∫∫a(τ，v)lτmvdτdv.(0.3)

我们将该函数a称为算子π(a)的延迟多普勒冲击响应。从这个角度看，我们看到无线信道是将海森堡表示应用于延迟多普勒平面上的特定函数h。这种更高层次的抽象确立了映射π作为无线通信底层的基本对象。实际上，该对应将平稳线性系统和一维冲击响应之间的经典对应性推广到任意时变系统的情况(也称为线性算子)。在这方面，海森堡表示的主要特点是它在线性算子的组合与相应的冲击响应之间的扭曲卷积运算之间进行转换。更详细地说，如果：

a＝π(a)，

b＝π(b)，

那么我们得到：

其中*t是二维卷积的非交换扭曲。公式(0.4)是推导二维信道模型(otfs收发机的特性)的关键。

otfs收发机和2d信道模型

otfs收发机提供具有将衰落无线信道转换成平稳二维卷积信道的效果的数学变换。我们将此特性称为二维信道模型。

形式上地，otfs收发机可以被表征为一对线性变换(m，d)，其中m被称为调制映射，并且d被称为解调映射并且为m的逆。根据otfs范例，信息比特在v上被编码为复数值函数，该函数相对于栅格而言是周期性的，该栅格被称为倒易通信栅格。注意，术语“倒易”被用于表示λ^⊥和被称为原始通信栅格的更常规的栅格λ之间的一种类型的对偶关系。如果我们用表示λ^⊥的向量空间(v上的周期函数)，则otfs调制是一种线性变换：

在几何上，可以将信息认为是通过相对于栅格λ^⊥折叠v而获得的二维周期性域(圆环)上的函数。分别地，解调映射是在相反方向作用的线性变换，即：

二维信道模型的精确数学含义是：给定信息函数我们得到：

其中*表示对环面上的周期性卷积，并且函数c是关于无线信道的延迟多普勒冲击响应h的倒易栅格λ^⊥的周期化，即：

公式(0.7)和(o.8)对otfs收发机和无线信道之间的精确交互方式进行编码。

otfs方法和otfs收发机的这种解释的其余部分如下进行组织：

第1部分讨论了与延迟多普勒平面v相关的几个基本数学结构。我们首先介绍v上的辛形式，其为在经典信号处理中使用的更为熟悉的欧几里德(euclidean)形式的反对称变体。我们随后对作为v的二维离散子域的栅格进行讨论。我们把注意力集中在倒易栅格的构建上。倒易栅格在otfs收发机的定义中起着举足轻重的作用。我们随后继续讨论栅格的对偶对象(称为环面)，其是通过将平面相对于栅格进行折叠而获得的二维周期域。

第2部分讨论了辛傅里叶变换，其是根据在v上的辛形式而定义的二维傅立叶变换的变体。我们讨论了辛傅里叶变换的三种变体：连续的、离散的和有限的。我们解释了这些变体之间的关系。

第3部分讨论海森堡表示及其逆变换(魏格纳变换)。简而言之，海森堡表示是对时间延迟和多普勒频移运算之间的精确代数关系进行编码的结构。我们将魏格纳变换与更为熟悉的模糊度函数和交叉模糊度函数的概念联系起来。我们用基本信道公式的表达式进行总结。

第4部分讨论了otfs收发机的连续变体。我们首先指定对otfs收发机进行定义的参数。然后我们继续定义调制和解调映射。我们用第一原理推导了二维信道模型来对这部分进行总结。

第5部分讨论了otfs收发机的有限变体。简而言之，通过沿着有限均匀分布的子环面对倒易环面进行采样，以从连续变体获得该有限变体。我们定义了有限otfs调制和解调映射。然后，我们制定了二维信道模型的有限版本，其解释了有限二维冲击响应是连续子环面到有限子环面的限制。我们用经典的dsp运算对调制公式进行了显式的解释来对这部分进行总结。

1.延迟多普勒平面

■1.1辛平面

延迟多普勒平面是实数上的二维向量空间。具体而言，我们取v＝r²，其中第一坐标是延迟，用τ表示，第二坐标是多普勒，用v表示。延迟多普勒平面具有由辛形式(也称为辛内积或辛配对)编码的固有几何结构。辛形式是由行列式定义的配对ω：v×v→r：

其中v＝(τ，v)，且v′＝(τ′，v′)。注意辛形式与其欧几里德对应形式相反，是反对称的，即对于每个v，v′∈v，ω(v，v′)＝-ω(v′，v)。因此，向量与其自身的辛内积总是等于零，即对于每个v∈v，ω(v，v)＝0。事实证明，时间和频率的架构是由辛结构决定的。

1.1.1平面上的函数。

我们用c(v)表示在v上的复数值函数的向量空间。我们用*表示在v上的函数的线性卷积运算。给定一对函数f，g∈c(v)，对于每个v∈v，它们的卷积定义为：

■1.2栅格

栅格是同构到z²的交换子群，定义如下：

其中v1，v2∈v为线性无关向量。换句话说，λ包括向量v1和v2的所有整数线性组合。参见图23，向量v1和v2被称为栅格的生成器。根据定义，λ的体积是基本域的体积。可以表明：

vol(λ)＝|ω(v1，v2)|.(1.3)

当vol(λ)≥1时，栅格被称为欠采样，并且当vol(λ)≤1时，栅格被称为过采样。最后，在vol(λ)＝1的情况下，栅格被称为临界采样。

示例1.1(标准通信栅格)。使参数t≥0和μ≥1固定。令：

我们得到vol(λt，μ)＝μ。我们将λt，μ称为标准通信栅格。

■1.2.1倒易栅格。给定栅格它的正交互补栅格定义为：

λ^⊥＝{v∈v：ω(v，λ)∈z对于每个λ∈λ}.(1.5)

换句话说，λ^⊥包括在v中的所有向量，从而使得它们与λ中的每个向量的辛配对是整数。可以表明λ^⊥确实是一个栅格。我们将λ^⊥称为λ的倒易栅格。可以表明：

vol(λ^⊥)＝1/vol(λ)，(1.6)

这意味着当且仅当λ^⊥是过采样时，λ是欠采样的。这表明粗略(欠采样)栅格和精细(过采样)栅格之间的倒易性互换。另一属性涉及栅格包含性(inclusion)在倒易性下是如何表现的。给定由栅格和子栅格构成的一对，可以表明各倒易之间的包含性是相反的，即：

示例1.2考虑标准通信栅格λt，μ。它的倒易由下式给出：

参见图24a和24b，图24a和24b分别示出标准通信栅格和标准通信栅格的倒易。实际上，我们得到：

注意vol(λt，μ)^⊥＝1/μ，这表明随着原始栅格变得更加稀疏，倒易栅格变得更加密集。

■1.2.2栅格上的函数。我们用c(λ)来表示栅格上的复数值函数的向量空间。我们用r^λ：c(v)→c(λ)来表示规范限制映射，对于每个f∈c(v)和λ∈λ由下式给出：

r^λ(f)(λ)＝f(λ)，

我们用*表示λ上的函数之间的卷积运算。给定f，g∈c(λ)，对于每个λ∈λ，它们的卷积定义如下：

■1.3环面。环面(torus)z是二维周期性域，构成了栅格λ的几何对偶。形式上，z是作为向量空间v除以栅格λ的商而获得的连续组，即：

z＝v/λ.(1.10)

具体而言，根据定义，点z∈z是v中的λ陪集，即，对于一些v∈v：

z＝v+λ，(1.11)

一种构建z的替代方法(尽管不那么规范)是粘合λ的基本域的相对的面。在几何上，z具有通过将v相对于栅格λ进行折叠而获得的“圆环”形状。我们将z称为与λ关联的环面，或者有时也称为λ的对偶。注意，环面是圆的二维对应，其中第二维是通过将线r相对于一维栅格进行折叠而获得的。

示例1.3(标准通信环面)。如图25所示，与标准通信栅格λt，μ关联的环面由下式给出：

在几何上，zt，μ是两个圆的笛卡尔(cartesian)内积；一个具有直径tμ而另一个具有直径1/t。我们将zt，μ称为标准通信环面。

■1.3.1环面上的函数。我们用c(z)表示环面z＝v/λ上的复数值函数的向量空间。z上的函数自然地等价于函数f：v→c，其相对于按照栅格λ的元素的平移而是周期性的，即对于每个v∈v和λ∈λ：

f(v+λ)＝f(v)，(1.13)

因此，z上的函数的向量空间与v上的λ周期性函数的子空间一致，即c(z)＝c(v)λ。因此，我们得到自然周期化映射对于每个f∈c(v)和v∈v，由下式给出：

我们用*表示z上的函数的循环卷积运算。给定一对函数f，g∈c(z)，对于每个v∈v，它们的卷积定义为：

注意，环面z上的积分相当于栅格λ的基本域上的积分。

■1.4有限环面有限环面z0是与由栅格和子栅格组成的一对相关联的域。形式上，z0是由栅格λ除以子栅格λ0的商定义的有限组，即：

z0＝λ/λ0.(1.16)

具体而言，点z∈z是λ中的λ0陪集，即对于一些λ∈λ来说：

z＝λ+λ0，(1.17)

在几何上，z0是连续环面z＝v/λ0的有限均匀采样，因为我们得到自然包含：

λ/λ0°v/λ0.(1.18)

示例1.4(标准通信有限环面)。考虑标准通信栅格λt，μ。固定正整数n，m∈n^≥1。令(λt，μ)n，m为由下式定义的子栅格：

与关联的有限环面由下式给出(参见图26)：

总而言之，有限环面与两个循环组的笛卡尔内积是同构的；其中一个阶数为n而另一个阶数为m。我们将称为标准通信有限环面。

1.4.1有限环面上的函数。我们用c(z0)表示有限环面z0＝λ/λ0上复数值函数的向量空间。z0上的函数自然地等价于函数f：v→c，其相对于栅格λ0的平移而是周期性，即，对于每个λ∈λ和λ0∈λ0：

f(λ+λ0)＝f(λ)，(1.21)

因此，向量空间c(z0)与λ上的λ0周期性函数的子空间相一致，也就是说，因此，我们得到自然周期化映射对于每个f∈c(v)和λ∈λ，由下式给出：

我们用*表示z0上的函数的有限循环卷积运算。给定一对函数f，g∈c(z0)，对于每个v∈v，它们的卷积定义为：

注意，在有限环面z0上求和相当于在超栅格λ中的子栅格λ0的基本域上求和。

1.4.2有限环面之间的倒易性。给定有限环面z0＝λ/λ0，我们用z^⊥表示与倒易对相关的有限环面，即：

我们将际为倒易有限环面。虽然是不同的集合，但可以表明z0和作为有限组实际上是同构的。

示例1.5考虑由标准通信栅格λt，μ和子栅格组成的对。如上所示，与相关的有限环面同构于：

z0；z/zn×z/zm.

倒易栅格由下式给出：

因此，倒易有限环面由以下给出：

我们可以看到z0和作为有限组是同构的，因为两个组同构于两个循环组的笛卡儿乘积(尽管以不同的阶数)，其中一个阶数为n而另一个阶数为m。

2辛傅里叶变换

在本节中，我们介绍与辛形式相关联的二维傅立叶变换的变体，其被称为辛傅立叶变换。令ψ：r→c^×表示标准复指数函数，对于每个z∈r：

ψ(z)＝e^2πiz，(2.1)

2.1辛傅里叶变换的特性

辛傅立叶变换是与辛形式ω相关联的二维傅立叶变换的变体。形式上，辛傅里叶变换是由以下规则定义的线性变换sf：c(v)→c(v)，对于每个f∈c(v)和u＝(t，f)：

我们将变换后的域的坐标(t，f)分别称为时间和频率。

通常，(2.2)的逆变换由下式给出：

然而，因为ω是反对称的，所以我们有sf^-1＝sf。即，辛傅里叶变换等于它的逆。

2.1.1互换特性。辛傅里叶变换在函数乘积和函数卷积之间互换，如以下命题中所阐述的。

命题2.1(互换特性)。对于每个f，g∈c(v)，以下条件成立：

sf(f·g)＝sf(f)*sf(g)，(2.4)

sf(f*g)＝sf(f)·sf(g)，

实际上，互换特性遵循涉及二维平移和辛调制的运算的更基本特性。

●平移：给定向量v0∈v，将以v0的平移定义为线性变换对于每个f∈c(v)，由下式给出：

●调制：给定向量v0∈v，将以v0的辛调制定义为线性变换对于每个f∈c(v)，由下式给出：

也许辛傅里叶变换的最基本特性是它在平移和辛调制之间互换。该特性在以下命题中阐述。

命题2.2(将平移与辛调制互换)。对于每个v0∈v，以下条件成立：

■2.2离散辛傅里叶变换

离散辛傅立叶变换在两个离散变量的函数和两个连续周期性变量的函数之间相关联。形式上的定义假定选择了栅格令为倒易栅格，并且令z^⊥表示与λ^⊥相关联的环面，即：

z^⊥＝v/λ^⊥.

我们将z^⊥称为倒易环面。离散辛傅里叶变换是由下式给出的线性变换sfλ：c(λ)→c(z^⊥)，对于每个f∈c(λ)和u∈v：

其中c是归一化系数，被取为c＝vol(λ)。注意，固定λ∈λ的值，函数ψ(-ω(u，λ))f(λ)相对于倒易栅格是周期性的，因此是倒易环面上的函数。对于每个f∈c(λ)，逆变换由下式给出：

请注意，在环面z^⊥上积分等价于在栅格λ^⊥的基本域上积分。

2.2.1离散互换特性。离散辛傅里叶变换在函数乘积和函数卷积之间互换，如以下命题中所阐述的。

命题2.3(离散互换特性)。对于每个f，g∈c(λ)，以下条件成立：

sfλ(f·g)＝sfλ(f)*sfλ(g)，(2.9)

其中*代表周期性卷积。

2.2.2与连续变换的兼容性。连续辛傅里叶变换和离散辛傅里叶变换是兼容的。兼容性关系在下面的定理中阐述。

定理2.4(离散-连续兼容性关系)。我们有：

换句话说，公式(2.11)规定，对函数f进行连续傅里叶变换并随后相对于按倒易栅格λ^⊥的平移进行周期化与先将f限制到栅格λ并随后进行离散傅立叶变换是相同的。

2.3有限辛傅里叶变换

有限辛傅里叶变换涉及两个有限周期性变量的函数。形式上的定义假定由栅格和子栅格组成的对。我们用z0表示与该对相关的有限环面，即：

z0＝λ/λ0.

令λ^⊥和是相对应的倒易栅格。我们用z^⊥表示与该倒易对相关的有限环面，即：

有限辛傅里叶变换是由以下规则定义的线性变换对于每个f∈c(z0)和

其中c是归一化系数，被取为c＝vol(λ)。逆变换由下式给出，对于每个和λ∈λ：

其中c0是归一化系数，被取为c0＝vol(λ0)。

2.3.1有限互换特性。有限辛傅里叶变换在函数乘积和函数循环卷积之间互换，如以下命题中所阐述的。

命题2.5(离散互换特性)。对于每个f，g∈c(z0)，以下条件成立：

其中*代表有限循环卷积。

注意，公式(2.15)中的归一化系数c/c0等于有限环面z0中的点的数量。

2.3.2与离散变换的兼容性。离散辛傅里叶变换和有限辛傅里叶变换是兼容的。兼容性关系在下面的定理中阐述。

定理2.6。我们有：

用通俗的语言，公式(2.17)表明，对栅格λ上的函数f进行离散傅里叶变换并随后限制到倒易栅格λ^⊥与先相对于按栅格λ0的平移对f周期化并随后进行有限傅立叶变换是相同的。

示例2.7。考虑标准通信格λt，μ和子栅格(λt，μ)n.m。我们有以下的同构：

z0；z/nz×z/mz，

就这些实现而言，有限辛傅立叶变换及其逆变换取以下具体形式：

其中，在第一个公式中，k∈[0，m-1]，l∈[0，n-1]，以及在第二个公式中，k∈[0，n-1]，l∈[0，m-1]。注意由于辛配对，傅立叶指数为负号。

3海森堡理论

令h表示实线r上的平方可积复数函数的希尔伯特空间。我们用t表示该线的参数并将其称为时间。h上的内积由标准公式给出：

我们将h称为信号空间并且将信号空间中的函数称为波形。海森堡理论涉及时间和频率维度之间复杂相互作用背后的数学结构。简而言之，该理论研究了对函数的以下两个基本运算之间的代数关系：时间延迟和多普勒频移。

3.1时间延迟和多普勒频移

时间延迟和多普勒频移的运算确立了h上的酉(unitary)变换的两个单参数系。

3.1.1时间延迟。给定一个实数参数τ∈r，对于每个f∈h和t∈r，以τ的时间延迟的运算是由下式给出的线性变换lτ：h→h

lτ(f)(t)＝f(t-τ)，(3.2)

可以表明lτ是酉变换，即对于每个f，g∈h，其保留了内积：

<lτf，lτg>＝<f，g>，

此外，对于每个f，g∈h，变换系{lτ：τ∈r}满足：

具体而言，时间延迟运算彼此可交换，也就是说，

3.1.2多普勒频移。给定实数参数v∈r，以v的多普勒频移运算是由下式给出的线性变换mv：h→h，对于每个f∈h和t∈r

mv(f)(t)＝ψ(vt)f(t)，(3.3)

回想一下，ψ代表标准复指数函数ψ(z)＝e^2πiz。可以表明mv是酉变换，即对于每个f，g∈h，其保留了内积：

<mvf，mvg>＝<f，g>，

此外，对于每个v1，v2∈r，变换系{mv：v∈r}满足：

具体而言，时间延迟运算彼此可交换，也就是说

3.2海森堡表示

海森堡表示是统一时间延迟和多普勒频移两种运算的数学结构。主要困难在于这些运算彼此不可交换，而是满足以下条件：

lτmv＝ψ(-τv)mvlτ.(3.4)

出发点是考虑统一的延迟多普勒线性变换，对于每一对实数参数τ，v∈r：

π(τ，v)＝lτmv，(3.5)

在这种表示中，有序对(τ，v)被认为是延迟多普勒平面v中的点。可以表明，由于这种组合，π(τ，v)是酉变换。二维变换系{π(v)：v∈v}定义了线性变换π：c(v)→hom(h，h)，对于每个f∈c(v)，由下式给出：

π(f)＝∫v∈vf(v)π(v)dv，(3.6)

其中π的范围是从h到它自身的线性变换的向量空间，我们通过hom(h，h)来表示。换言之，映射π在延迟多普勒平面上取一函数，并将其发送到由延迟多普勒变换的加权叠加给出的线性变换，其中权重由该函数的值指定。该映射π被称为海森堡表示。我们不用证明的一个基本事实是：该映射π基本上是向量空间的同构。因此其承认了逆变换π^-1：hom(h，h)→c(v)，该逆变换被称为魏格纳变换。魏格纳变换由下式给出，对于每个a∈hom(h，h)和v∈v：

π^-1(a)(v)＝tr(π(v)^ha).(3.7)

海森堡表示和魏格纳变换应被认为是在延迟多普勒平面上的函数与信号空间上的线性变换之间进行转换的“坐标变换”(其可以用矩阵表示)。总而言之，线性变换a∈hom(h，h)承认唯一展开作为延迟多普勒变换的叠加。该展开中的系数由函数a＝π^-1(a)给出。该函数a被认为是变换a的延迟多普勒冲击响应。海森堡形式化将时不变线性系统的经典框架一般化到时变线性系统。注意，在前者中，时不变线性变换承认唯一展开作为时间延迟的叠加，并且该展开中的系数构成经典的冲击响应。

3.2.1模糊度函数。一般线性变换的魏格纳变换的公式(公式(3.7))相当抽象。幸运的是，对于特定类型的线性变换，魏格纳变换采用更加显式的形式。假设我们得到了单位范数||g||＝1的波形g∈h。令pg表示在跨度为g的一维子空间上的正交投影，对于每个pg由下式给出：

命题。pg的魏格纳变换承认以下公式，对于每个v∈v：

π^-1(pg)(v)＝<π(v)g，g>，(3.9)

表示ag＝π^-1(pg)并将此函数称为g的模糊度函数。我们有：

π(ag)＝pg.(3.10)

上述公式意味着ag是算子pg的延迟多普勒展开中的系数，这是模糊度函数的海森堡表示。

3.2.2交叉模糊度函数。交叉模糊度函数是将模糊度函数一般化到两个波形g1，g2∈h的情况，其中g1被假定为单位范数的。令表示h上的以下秩1线性变换，对于每个

命题。的魏格纳变换承认以下公式，对于每个v∈v：

表示并将此函数称为g1和g2的交叉模糊度函数。我们有：

因此，根据海森堡表示，交叉模糊度函数是算子的延迟多普勒展开中的系数。

3.3海森堡互换特性

海森堡表示的主要特性是它在h上的线性变换的组合的运算和v上的函数的卷积运算的扭曲版本之间互换。为了定义扭曲卷积运算，我们考虑如下形式β：v×v→v：

β(v，v′)＝vτ′，(3.14)

其中v′＝(τ′，v′)且v′＝(τ′，v′)。对于每个v，v′∈v，该形式β满足“极化”条件：

β(v，v′)-β(v′，v)＝ω(v，v′)，(3.15)

给定一对函数f，g∈c(v)，它们的扭曲卷积由以下规则定义：

可以看出，通过乘性因子ψ(β(v1，v2))，扭曲卷积运算不同于通常的卷积运算(式(1.2))。由于这个因子，与常规卷积相比，扭曲卷积是不可交换的运算。这种不可交换性是时间和频率结构所固有的。海森堡互换特性由下面的定理规定。

定理3.1(海森堡互换特性)。对于每个f，g∈c(v)，我们有：

下面的示例对于理解本节中呈现的结构背后的动机是关键的。简而言之，它解释了为什么公式(3.16)中的扭曲对于时间延迟和多普勒频移运算之间的交换关系中的相位有贡献，请参见公式(3.4)。

示例3.2我们在具体情况下验证公式(3.17)。令v＝(τ，v)和v′＝(τ′，v′)。考虑增量函数δv和δv′。一方面，我们有：

π(δv)＝lτmv，

π(δv′)＝lτ′mv′，

并因此：

另一方面：

δv*tδv′＝ψ(β(v，v′))δv*δv′(3.19)

＝ψ(vτ′)δv+v′.

因此：

π(δv*tδv′)＝ψ(vτ′)π(v+v′).(3.20)

因此我们证实：

3.4基本信道公式

我们通过制定关于以下结构的基本公式，来对本节进行总结：

1.交叉模糊度函数。

2.模糊度函数。

3.信道变换。

4.扭曲卷积。

该基本公式对于将在下一部分中讨论的二维信道模型是关键的。令g∈h为单位范数的波形。令h∈c(v)。我们用h表示信道变换：

h＝π(h).(3.21)

定理3.3(基本信道公式)。以下公式成立：

ag，h(g)＝h*tag.(3.22)

换句话说，基本公式(3.22)认为，g与h(g)的交叉模糊度函数是h与g的模糊度函数的扭曲卷积。

4.连续otfs收发机

在本节中，我们描述otfs收发机的连续变体。

4.1设置

连续otfs收发机的定义假定以下数据：

1.通信栅格。欠采样栅格：

其中，对于一些μ≥1，vol(λ)＝μ。

2.生成器波形。单位范数的波形：

g∈h，

对于每个非零元素λ∈λ^×，满足正交性条件ag(λ)＝0。

3.2d滤波器。窗函数：

w∈c(λ).

我们注意到，通常，2d滤波器的沿着延迟维度和多普勒维度的支集分别由通信分组的延迟和带宽限制而定界。

示例4.1通信栅格的典型示例是标准通信栅格：

2d滤波器的典型示例是：

其中m，n∈n^≥1并且t∈r。参数t称为符号时间。实数nμt和m/t分别是通信分组的延迟和带宽。注意，频谱窗的更复杂设计将涉及到以牺牲频谱效率为代价的边界周围的一定程度的锥度。最后，在μ＝1(临界采样)情况下，正交波形的简单示例是：

g＝1[0，t].

4.1.1一般化的设置。通过假设对于每个λ∈λ^×由满足以下交叉正交条件的发射波形gt∈h和接收波形gr∈h组成的对(而不是单个正交波形g)，可以略微将该设置一般化：

使用gr≠gt的对的权衡是以接收机处较低的有效snr为代价而在每个波形的形状设计上获得更多的自由。为了简单起见，下面我们将只考虑gr＝gt时的情况，其中应理解所有结果可以容易地扩展到更一般的情况。

4.2连续otfs调制映射。令z^⊥表示与通信栅格相倒易的栅格λ^⊥相关的环面。连续otfs调制映射是线性变换m：c(z^⊥)→h，由下式给出，对于每个x∈c(z^⊥)：

粗略地说，连续otfs调制是海森堡表示与离散辛傅立叶(逆)变换的组合。在这方面，它结合了延迟多普勒平面的两个固有结构。公式(4.2)可以更显式地写为：

其中

图27示出了otfs调制映射的示例性结构。注意，图27包括由与专门设计的函数α∈c(z^⊥)进行卷积而给出的附加扩展变换。这种卷积的效果是将每个信息符号的能量均匀地沿着环面z^⊥扩展，从而实现仅取决于信息向量x的总能量的发射波形的平衡功率轮廓。

4.3连续otfs解调映射

连续otfs解调映射是由以下给出的线性变换d：h→c(z^⊥)，对于每个

粗略地说，连续otfs解调映射是离散辛傅立叶变换与魏格纳变换的组合。对于每个和u∈z^⊥，公式(4.4)可以更显式地写成：

4.4二维信道模型

在描述用于otfs收发机的二维信道模型的技术细节之前，我们将以简化的术语提供概述。首先考虑在时间(或频率)的标准一维物理坐标中，无线信道是在发射信号上引入失真的多径移动反射物的组合。这种失真是由于时间延迟和多普勒频移的叠加造成的。这种一般的失真在标准物理坐标中表现为衰落的非平稳符号间干扰模式。相反，当转换成otfs调制环面的坐标时，该失真变为静态二维局部isi失真。这是otfs收发机的一个新颖和有特点的属性。在下面我们提供了这个特性的严格推导。为此，我们首先考虑已经是时间延迟和多普勒频移的组合的最简单多径信道h：h→h。在我们的术语中，对于一些v0＝(τ0，v0)∈v，这个信道由下式给出：

此外，我们假设向量v0满足||v0||＝diam(λ)，其中栅格的直径根据定义是其维诺(voronoi)区域的半径。换句话说，我们假设向量相比于栅格的维度是小的。注意，这个假设适用于无线应用中的大多数相关场景。我们继续推导调制等效信道的结构。令q：v→c为由下式给出的二次指数函数，对于每个v∈v：

q(v)＝ψ(-β(v，v))，(4.7)

命题4.2调制等效信道是周期性卷积y＝heqv*x，其中冲击响应heqv∈c(z^⊥)由下式给出：

也就是说，公式(4.8)表明，调制等效信道是与的周期性模糊版本的周期性卷积，其中模糊脉冲是由离散脉冲|w|²的辛傅立叶变换给出。这种模糊导致分辨率损失，这是由于滤波器w施加的频谱截断造成的。因此，随着窗大小的增加(相当于更长的延迟和更宽的带宽)，分辨率会提高。假定公式(4.8)的有效性，对于任何函数h∈c(v)，可以直接推导出一般无线信道的调制等效性：

h＝π(h)，(4.9)

其中我们假定h的支集比栅格λ的直径小得多。一般的二维信道模型由下面的定理公式表示。

定理(二维信道模型)。调制等效信道是与冲击响应heqv∈c(z^⊥)的周期性卷积y＝heqv*x，其中冲击响应由下式给出：

换言之，调制等效信道是与q·h的周期性模糊版本的周期性卷积，其中模糊脉冲由离散脉冲|w|²的离散辛傅立叶变换给出。

4.4.1二维信道模型的推导。我们继续推导公式(4.8)。令x∈c(z^⊥)。令表示发射信号。我们有：

其中令表示接收信号。我们有：

其中第三个公式遵循映射π的海森堡特性(定理3.1)。经解调的向量由下式给出：

我们现在逐项评估(4.13)的右侧。应用基本信道公式(定理3.3)，我们得到：

考虑到限制我们有以下命题。

命题。我们有

其中对于每个v∈v，

结合公式(4.13)和(4.15)，我们得到：

这对二维信道模型的推导进行了总结。

4.5显式的解释

我们通过根据经典dsp运算解释连续otfs调制映射来总结本节。我们在计算中使用示例1.1的标准通信栅格λ＝λt，μ。回想连续调制映射的定义，对于每个x∈c(z^⊥)：

其中公式(4.17)可以更显式地写成：

其中：

波形φk被称为第k调制块。

4.5.1频域解释。令g表示g的傅立叶变换。公式(4.19)可以解释为将加权序列wkxk馈送到均匀滤波器组中，其中每个子载波的形状由滤波器g确定。参见图28。

4.5.2时域解释。令wk和xk分别表示离散波形wk和xk的离散傅里叶逆变换。两个波形都是周期性的，周期为t。我们有：

φk∝(wk*xk)·g，

其中*代表周期性卷积。波形xk可以用信息向量x表示如下：

换言之，xk(t)沿着多普勒维度与x的离散傅里叶逆变换的第k个分量成比例。

5有限otfs收发机

在本节中，我们描述otfs收发机的有限变体。该变体是通过均匀采样从前述的连续变体中获得的。

5.1设置

有限otfs收发机的定义假设如下：

1.通信栅格。欠采样栅格：

其中对于一些μ≥1，vol(λ)＝μ。

2.通信子栅格。子栅格：

3.生成器波形。单位范数的波形：

g∈h，

对于每个λ∈λ^×满足正交条件ag(λ)＝0。

4.二维滤波器。窗函数：

w∈c(λ).

注意，2d滤波器的支集通常与子栅格的配置兼容，如下面的示例所证明的。

示例5.1通信栅格和子栅格的标准嵌套对是：

其中m，n∈n^≥1和t∈r是被称为符号时间的参数。实数nμt和m/t分别是通信分组的延迟和带宽。典型的兼容2d滤波器是：

频谱窗的更复杂设计可能涉及例如以牺牲频谱效率为代价的边界周围的某种程度的锥度。最后，在μ＝1的情况下，正交波形的简单示例是：

g＝1[0，t].

5.2有限otfs调制映射

令为倒易嵌套对。令为有限倒易环面。有限otfs调制映射是线性变换对于每个信息向量定义为：

公式(5.1)可以更显式地写成：

其中

5.3有限otfs解调映射

有限otfs解调映射是由以下给出的线性变换对于每个

对于每个和公式(5.2)可以更显式地写成：

回想一下归一化系数c＝vol(λ)。

5.4有限二维信道模型

令h＝π(h)为信道变换，其中假设h∈c(v)具有与通信栅格的维度相比小的支集。回想二次指数：

q(v)＝ψ(-β(v，v)).

定理5.2(有限2d信道模型)。有限调制等效信道是与脉冲响应的循环卷积y＝heqv，f*x，其中脉冲响应由下式给出：

图18证明了这个定理的陈述。条形图1810表示发射信息向量x。条形图1820表示接收信息向量y。条形图1830表示实现有限调制等效信道的2d冲击响应。接收向量通过与2d冲击响应的2d循环卷积而与发射向量相关。最后，我们从公式(5.3)中看到，有限冲击响应heqv，f是有限子环面上对连续冲击响应heqv的采样。

5.5显式解释

我们通过根据经典dsp运算解释有限otfs调制映射来对本节进行总结。我们在计算中使用了示例5.1的嵌套对回想一下有限调制映射的定义，对于每个

其中公式(5.4)可以更显式地写成：

其中：

该波形φk被称为第k调制块。

5.5.1频域解释。令g表示g的傅立叶变换。公式(5.6)可以解释为将序列wkxk馈送到均匀滤波器组中，其中每个子载波的形状由滤波器g确定。

5.5.2时域解释。令wk和xk分别表示离散波形wk和xk的离散傅里叶逆变换。两个波形都是周期性的，周期为t。我们有：

其中*代表周期性卷积。波形xk可以用信息向量x表示为：

换言之，xk与沿着多普勒维度的有限傅立叶逆变换成比例。

使用汤姆林森-哈拉希玛(tomlinson-harashima)预编码的otfs

如上所述，otfs系统确定通信信道的特性并且对不久的将来的信道预测的能力提供了各种优点。例如，该信道信息可以由otfs接收机获取，并被提供给发射机以改善通信质量。在otfs接收机包括判决反馈均衡器的情况下，该接收机被配置为测量信道，计算滤波系数并且提取所接收的数据。一旦已计算出这些系数，它们就可以被用作发射机处的预滤波或预编码的基础，因为信道测量允许对在不久的将来(例如，在1或2ms内)的信道行为的预测。这使得类似的发射机系数能够在发射机中的判决反馈结构中被计算且被使用。

如下面进一步详细描述的，在一个实施例中，本公开涉及汤姆林森-哈拉希玛预编码(thp)方法，其包括对通信信道的二维模型进行估计，其中通信信道的二维模型是时延和频移的函数。thp方法包括使用一个或多个处理器和通信信道的二维模型，来确定一组发射预编码滤波器值，其中该组发射预编码值可以对应于汤姆林森-哈拉希玛预编码值。在一个实施例中，thp方法在混合延迟-时间域中执行，该混合延迟-时间域通过多普勒维度上的fft与延迟-多普勒域相关。为了使发射信号能量和大信号峰值最小化，将混合域中的已知扰动添加到要被预编码的输入用户符号。thp方法还包括使用该组发射预编码滤波器值，从被扰动的输入数据流生成预编码的输入数据。然后，基于预编码的输入数据和通信信道的二维模型，来提供调制信号。

所提出的thp方法的一个动机是：通常优选在发射机(例如，在接入点或基站)处执行均衡，以便使得能够简化远程无线终端的设计。具体地，传统接收机可以采用判决反馈均衡器(dfe)，以便均衡符号间干扰。thp的特征可以在于：将dfe的反馈部分从接收机转移到发射机。由于信号在发射机内是完全已知的，因此相对于在接收机处的对于通常未知的信号执行dfe的情况，发射机中的预均衡可以减少误差的传播。

还可以通过使用迫零预编码，在发射机处执行预均衡。然而，使用迫零预编码器可能导致下面描述的不希望的“能量问题”。幸运的是，已经发现本背景下的汤姆林森-哈拉希玛预编码器的实施方式解决了这种能量问题，并且可以在otfs通信系统中有效地被使用。为了清楚地呈现，将首先在单载波调制和siso信道的背景下，描述迫零预编码和汤姆林森-哈拉希玛预编码。然后将提供对这样的预编码在otfs中的有利使用的讨论。

迫零(zf)预编码器

数学设置

延迟域中的信道公式：

y＝h*x+w

其中，

xqam的向量

平均qam能量：1

qam数量：n

噪声方差(variance)：n0

zf解

频域中的信道公式：

y＝hx+w

由具有zf预编码器的发射机发射的信号可以表征为：

xzf＝h^-1x

远程无线接收机处的接收信号可表示为：

yzf＝x+w

如上所述，zf系统中存在“能量问题”，因为在这样的系统中存在以下与能量相关的约束：

归一化

为了实现必要的归一化，以下被发射：

zfp输出snr

zf预编码器发射：

λxzf＝λh^-1x

并且远程无线接收机接收：

λx+w

dfe输出snr

●使用shami-laroia近似。

dfe和zfp的比较

该比较是我们从算术平均-几何平均值(am-gm)不等式中得知的，具体地：

鉴于am-gm比率可以表征为测量“平坦度”，dfe和zfp之间的间隙(gap)取决于逆(inverse)信道h^-1的频率响应的“平坦度”。首先考虑图32a和32b，其分别示出了示例性的短的且相对“平坦”的信道的频率响应和倒频率响应(inversefrequencyresponse)，其中：

作为第二示例，图33a和33b分别示出了示例性中等信道的频率响应和倒频率响应，其中：

最后，图34a和34b分别示出了相对较长信道的频率响应和倒频率响应，其中：

因此，相对于采用了dfe的snr，与zf预编码相关联的snr倾向于作为信道长度的函数而降级(degrade)。

汤姆林森-哈拉希玛预编码的概述和性能表征

与zf预编码相比，在常规系统中使用thp的一个缺点是：如果要实现最佳预编码，则必须发生从接收机到thp配置的发射机的、完全或接近完全信道矩阵反馈。遗憾的是，这会带来很大的开销并降低容量。此外，在传统通信系统中产生的一维信道估计不是平稳的，因此鉴于接收机和发射机之间的传播延迟，由接收机产生的信道估计将仅对发射机具有有限的用途。相比，二维延迟多普勒otfs信道估计通常是平稳的，相比于传统信道估计可以更紧凑地被表示。

如上所述，配置有zf预编码器的发射机发射：

h^-1x

相比之下，配置有汤姆林森-哈拉希玛(th)预编码器的发射机发射：

h^-1(x+v)

在这种情况下，远程接收机接收：

x+v+w

th扰动向量

期望||h^-1(x+v)||²是小的，并且x+v+w→x是容易被确定的。

粗略栅格

参考图35a，假设qam星座350被包含在粗略栅格的限定区域[-p，，p]×i[-p，p]中，使得：

粗略扰动向量

回想一下，x是qam的n维向量。

采用可能的扰动向量为：

在远程接收机处解码

参考图35b，由远程接收机执行的解码操作可以表示为x+v+w→x。

编码

通过以下计算，来实现发射机处的编码：

ldq分解

x→h*x，其相当于：

x→ldqx，其中l是单位下三角矩阵，d是对角矩阵，q是酉矩阵，并且在shami-laroia近似下：

经由反馈的最小化

发射机处的反馈解

参考图36，在发射机处执行的反馈操作满足：

||l^-1x+l^-1v^*||∞≤p，

其中m(·)表示模运算符，其舍入到p的最接近的奇数倍。

thp能量

thp输出snr

配置有thp的发射机被配置为发射：

然后，远程接收机接收：

因此，表征用thp均衡的传输的snr可表示为：

总之，使用zfp会在am/gm不等式所描述的程度上使性能降级。thp的使用将栅格检测问题转移到发射机，同时仍然实现与在接收机中使用dfe相关联的性能。

使汤姆林森-哈拉希玛预编码适应otfs

在一个方面，本公开描述了一种用于在混合延迟-时间域中在otfs通信系统内采用thp的处理。如下所述，在一个实施例中，延迟-时间域通过多普勒维度上的fft运算与延迟-多普勒域相关。在操作中，针对每个固定时间，计算延迟上的th预编码矩阵或预编码器。然后可以采用水平fft，以在用户符号已被扰动向量扰动之后将th预编码器应用于这种符号。

在一个实施例中，汤姆林森-哈拉希玛预编码可以在类似于例如图10的otfs收发机1000这样的otfs收发机中实现。在该实施例中，预均衡器1010可以包括下文所述类型的汤姆林森-哈拉希玛预编码器。

符号和公式

延迟多普勒域中的信道公式：y＝h*x+w

xqam的向量

平均qam能量：1

延迟维度：nv

多普勒维度：nh

噪声方差：n0

zf解

频域中的信道公式：y＝hx+w

发射机发射：xzf＝h^-1x

接收机接收：yzf＝x+w

扰动向量

为了降低发射能量，使用与以上关于涉及单载波(sc)调制的示例所描述的相同的技术，即，使用粗略扰动向量。在这种情况下，发射机发射h^-1(x+v^*)，其中

混合延迟-时间域

在一个实施例中，在混合延迟-时间域中执行thp，该混合延迟-时间域通过在多普勒维度上取fft而与延迟-多普勒域相关：

令f表示延迟-多普勒域中的函数，通过在延迟-时间域中提供相同的函数：

混合信道作用

在混合延迟-时间域中，信道对发射信号的作用可以通过在延迟上的卷积和在时间上的乘积来表征。具体地，假设那么，对于所有的τ＝1、2，...，nv和t＝1，2，...，nh：

混合域中的扰动向量

考虑被用来在混合域中找到最优扰动向量的目标函数：

ldq分解

其相当于：

其中，lt是单位下三角形矩阵，dt是对角矩阵，qt是酉矩阵，并且在shami-laroia近似下：

经由反馈的最小化

反馈滤波器

在示例性实施例中，在每个时间处定义的滤波器被用来定义表示为l^-1的单个滤波器，其中，对于所有的t＝1，2，...，nh：

图37中描绘了示例性滤波器框图。

总之，本公开包括对otfs系统的均衡技术的实施例的描述。这些实施例包括在混合延迟-时间域中执行otfs符号的汤姆林森-哈拉希玛预编码。在一个实施例中，对于每个固定时间，在延迟上计算汤姆林森-哈拉希玛预编码器。然后使用水平fft，应用所得到的汤姆林森-哈拉希玛预编码器。

使用2d信道估计的比特加载

在一个实施例中，本公开涉及一种方法，该方法包括估计通信信道的二维模型，其中通信信道的二维模型是时延和频移的函数。该方法还包括基于通信信道的二维模型，对多个可用ofdm子载波内包含的一组ofdm子载波进行选择。然后，基于输入数据流，自适应地调制所选择的ofdm子载波。

传播及提取几何平均值

在诸如lte之类的传统ofdm系统中，子载波倾向于聚合到资源块中，其中所述资源块共同占用非常有限的带宽。在一个方面，ofdm系统被修改为代替地使用广泛分离的音调(tone)。这是出于以下的动机：即希望获得关于前向误差校正功能的相对均匀的误差模式、统计和分布。这使得fec能够相对良好地执行。相反地，在误差分布不均匀的情况下，对特定信道、多普勒条件和其他因素的灵敏度增加。换句话说，可以使用更稀疏且更均匀分布的网格，以便误差模式和误差分布可以遵循信道的多样性。

相应地，在一个方面，本公开涉及一种方法，该方法包括估计通信信道的二维模型，其中通信信道的二维模型是时延和频移的函数。该方法还包括基于期望的分布，在多个可用ofdm子载波内随机地或伪随机地选择一组ofdm子载波。然后基于输入数据流，对所选择的ofdm子载波进行调制。

连续干扰消除

在另一方面，本发明涉及一种通信设备，包括天线和接收机，该接收机被配置为：

从天线接收与时频平面中的各个位置相关联的多个导频信号，其中多个导频信号是从相应的多个发射天线元件被发射的；

接收由多个发射天线元件所发射的信号能量；

基于多个导频信号，测量多个发射天线元件与天线之间的多个二维时频耦合信道；以及

对于信号能量，基于多个二维时频耦合信道执行连续干扰消除。

虽然以上已经描述了各种实施例，但应该理解，它们仅作为示例呈现，而不是限制。它们并非旨在穷举或将权利要求限制于所公开的确切形式。事实上，鉴于上述教导，许多修改和变化是可能的。选择和描述实施例是为了最好地解释所描述的系统和方法的原理及其实际应用，因此它们使得本领域的其他技术人员能够最好地利用所描述的系统和方法以及具有各种修改的适于实现特定用途的各种实施例。

在上述方法指示某些事件按某一顺序发生的情况下，某些事件的排序可以被修改。另外，某些事件如果可能的话可以在并行过程中同时执行，以及如上所述顺序执行。虽然不同设备中的各种模块被示出为位于设备的处理器中，但是它们也可以被定位/存储在设备的存储器中(例如，软件模块)，并且可以由处理器存取和执行。因此，说明书旨在涵盖落入所附权利要求的精神和范围内的所公开实施例的所有这些修改和变化。

为了解释的目的，前面的描述使用特定的术语来提供对要求保护的系统和方法的透彻理解。然而，对于本领域技术人员显而易见的是，为了实践本文描述的系统和方法不需要具体细节。因此，为了说明和描述的目的呈现了对所描述的系统和方法的具体实施例的前述描述。它们并非旨在穷举或将权利要求限制于所公开的确切形式；显然，鉴于上述教导，许多修改和变化是可能的。选择和描述实施例是为了最好地解释所描述的系统和方法的原理及其实际应用，因此它们使得本领域的其他技术人员能够最好地利用所描述的系统和方法以及具有各种修改的适于实现特定用途的各种实施例。其旨在用以下权利要求及其等同物限定本文描述的系统和方法的范围。

本文概述的各种方法或处理可被编码为可在采用各种操作系统或平台中的任何一个的一个或多个处理器上执行的软件。此外，可以使用多种合适的编程语言和/或编程或脚本工具中的任何一种编写这样的软件，并且还可以编译为在框架或虚拟机上执行的可执行机器语言代码或中间代码。

计算机代码的示例包括但不限于微代码或微指令，诸如由编译器产生的机器指令、用于产生web服务的代码以及由计算机使用解释器执行的包含更高级别指令的文件。例如，可以使用命令式编程语言(例如，c，fortran等)、函数式编程语言(haskell，erlang等)、逻辑编程语言(例如prolog)、面向对象的编程语言(例如，java，c++等)或其他合适的编程语言和/或开发工具。计算机代码的其他示例包括但不限于控制信号、加密代码和压缩代码。

在这方面，各种发明构思可以实现为编码有一个或多个程序的计算机可读存储介质(或多个计算机可读存储介质)(例如，计算机存储器、一个或多个软盘、光盘、光碟盘、磁带、闪存存储器、现场可编程门阵列或其他半导体器件中的电路配置、或其他非瞬态介质或有形计算机存储介质)，其中一个或多个程序在一个或多个计算机或其他处理器上执行时实现上面讨论的本发明的各种实施例。计算机可读介质或媒体可以是可移动的，使得其上存储的一个或多个程序可以被加载到一个或多个不同的计算机或其他处理器中，以实现如上所述的本发明的各个方面。

术语“程序”或“软件”在本文中以一般意义使用，以指代可用于对计算机或其他处理器编程以实现如上所述的实施例的各种方面的任何类型的计算机代码或一组计算机可执行指令。另外，应该理解，根据一个方面，当执行本发明的方法时所执行的一个或多个计算机程序不需要驻留在单个计算机或处理器上，而是可以以模块化方式分布于多个不同的计算机或处理器来实现本发明的各个方面。

计算机可执行指令可以有许多形式，例如由一个或多个计算机或其他设备执行的程序模块。通常，程序模块包括执行特定任务或实现特定抽象数据类型的例程、程序、对象、分量、数据结构等。通常，程序模块的功能可以根据需要在各种实施例中组合或分配。

此外，数据结构可以以任何合适的形式存储在计算机可读介质中。为了简化说明，可以示出数据结构具有通过数据结构中的位置而相关的字段。这种关系同样可以通过为用于字段的存储装置分配计算机可读介质中的传递字段间的关系的位置来实现。然而，可以使用任何合适的机制来建立数据结构的字段中的信息之间的关系，包括通过使用建立数据元素之间关系的指针、标签或其他机制。

此外，各种发明构思可以被实现为已提供了示例的一个或多个方法。作为该方法的一部分所执行的动作可以以任何适当的方式进行排序。因此，可以构造其中以不同于所示的顺序执行动作的实施例，其可以包括同时执行一些动作，即使在说明性实施例中示出为顺序的动作。

如本文所定义和使用的所有定义应理解为在字典定义、通过引用并入的文献中的定义和/或所定义的术语的普通含义中进行控制。

如本文中在说明书和权利要求书中使用的不定冠词“一”和“一个”，除非明确地相反指示，应理解为意指“至少一个”。

如本文在说明书和权利要求书中使用的短语“和/或”应理解为意指如此结合的元素的“任一个或二者”，即在一些情况下并且联合存在而在其他情况下独立存在。用“和/或”列出的多个元素应该以相同的方式解释，即如此联合的元素中的“一个或多个”。除了由“和/或”语句明确标识的元素之外，其他元素可以可选地存在，不管与具体标识的那些元素相关还是不相关。因此，作为非限制性示例，当与诸如“包括”的开放式语言结合使用时，对“a和/或b”的引用在一个实施例中可以仅指代a(可选地包括除了b以外的元素)；在另一个实施例中，仅限于b(可选地包括除a以外的元素)；在又一个实施例中，限于a和b二者(可选地包括其他元素)；等等。

如在本说明书和权利要求书中所使用的，“或”应当被理解为具有与以上定义的“和/或”相同的含义。例如，当分离列表中的项目时，“或”或者“和/或”应被解释为包含性的，即包含至少一个元素，但也包括多个元素或元素列表中的多于一个元素，以及可选的其他未列出项目。只有清楚地表明相反的术语，例如“仅一个”或“恰好一个”，或者当在权利要求中使用时，“由...组成”将指包括多个元素或元素列表中的恰好一个元素。一般而言，在此使用的术语“或”应当仅被解释为在排他性项目之前指示排他性替代(即“一个或另一个，但不是两个”)，诸如“任一”、“之一”、“只有一个”或者“正好是其中之一”、“基本上由...组成”，当其用于权利要求中时，应具有在专利法领域中使用的普通含义。

如本文中在说明书和权利要求书中所使用的，关于一个或多个元素的列表的短语“至少一个”应该理解为意指从元素列表中的任何一个或多个中选择的至少一个元素，但不一定包括元素列表内具体列出的每个和每一个元素中的至少一个，并且不排除元素列表中的元素的任何组合。该定义还允许除了在短语“至少一个”所指的元素列表内具体标识的元素之外，元素还可以可选地存在，不管与具体标识的那些元素相关还是不相关。因此，作为非限制性示例，“a和b中的至少一个”(或者等同地，“a或b中的至少一个”，或者等效地“a和/或b中的至少一个”)可以在一个实施例中指代至少一个(可选地包括多于一个)a、不存在b(并且可选地包括除了b之外的元素)；在另一个实施例中，指代至少一个(可选地包括多于一个)b，不存在a(并且可选地包括除了a之外的元素)；在又一个实施例中，指代至少一个(可选地包括多于一个)a和至少一个(可选地包括多于一个)b(并且可选地包括其他元素)；等等。

在权利要求以及以上说明书中，诸如“包含”，“包含”，“携带”，“具有”，“包含”，“涉及”，“保留”，“组成”等所有过渡性短语应被理解为是开放式的，即意味着包括但不限于。如美国专利局专利审查程序手册第2111.03节所规定，只有过渡短语“由......组成”和“基本上由...组成”应分别是封闭式或半封闭式过渡性短语。