一种压低用辅弓动态矫治力矩预测模型建立方法与流程

本发明涉及一种压低用辅弓矫治力矩预测模型建立方法，属于正畸治疗技术领域。

背景技术：

深覆颌是口腔临床上较为常见的一种错颌畸形的具体形式，通常会对患者咬合关系产生较大影响，压低用辅弓是临床上针对高角型深覆颌病例的常用弓形，其中成型正畸弓丝的形状是影响正畸力矩的决定因素。在传统的诊断过程中，各矫治阶段所使用正畸弓丝产生的矫治力矩大小、矫治效果的预测多根据正畸医生的经验进行判断，虽然这种依靠正畸医师经验的传统正畸治疗手段在大多数患者的治疗中能发挥一定的作用，但正畸力矩缺乏量化标准，治疗结果完全依赖于医生水平，易对患者造成伤害并导致治疗效率的降低。

基托蜡具有质地较软，韧性好，加热变软不粘手等物理特性，在口腔临床应用中可基于患者牙齿数据制成蜡制颌堤，将蜡制颌堤浸入水浴箱可以将正畸矫治过程大大缩短，区别与其他刚性牙齿模型，将蜡制颌堤浸入恒温水浴环境中能够观察到牙齿随正畸弓丝的移动情况，实现正畸矫治过程中牙齿与牙周组织间相互作用这一动态过程的模拟，从而对矫治方案进行修正。

虽然目前蜡制颌堤的应用能够在一定程度上提升矫治方案的合理性，但在应用基托蜡模拟正畸治疗的过程中，正畸弓丝形状与牙齿所受动态矫治力之间的关系并未确立，缺乏相应的量化标准，正畸医生仍旧无法通过该模拟过程预测在正畸弓丝影响下患者受矫治力的大小，因此建立基于蜡制颌堤的压低用辅弓动态矫治力矩预测模型，对压低用辅弓动态矫治力矩值进行参数化表达，对于开展口腔数字化诊疗，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性具有十分重要的意义。

技术实现要素：

针对上述问题，本发明要解决的技术问题是提供一种压低用辅弓动态矫治力矩预测模型建立方法，对牙齿所受压低用辅弓动态矫治力矩进行参数化表达。

上述目的主要通过以下方案实现：

本发明的一种压低用辅弓矫治力矩预测模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程为：

1)分析压低用辅弓的结构特征和加载特征；

2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；

3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；

4)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

5)建立压低用辅弓动态矫治力矩预测模型。

作为优选，所述的步骤1)中，由压低用辅弓的结构特性可知，在压低用辅弓对牙齿进行矫治时，矫治力矩由侧面观圆弧及前面观圆弧释放，压低用辅弓的侧面观圆弧在弓丝的两侧相互对称，因此只对一侧的侧面观圆弧进行分析；侧面观圆弧的顶部开隙为lt，侧面竖直臂高度为hd，底部开隙为lb，正畸力由临床上安装压低用辅弓产生弹性形变后产生。

作为优选，所述的步骤2)中，侧面观圆弧在加载时符合棱柱杆横向屈曲的力学特性，在此情形下，侧面观圆弧屈曲时将产生一沿弓丝的反力s0，定义底部开隙所在直线为x轴，定义面向压低用辅弓前面观圆弧在左侧、顶部开隙在上、底部开隙在下时，过底部开隙左端点垂直于底部开隙的直线为y轴，一竖直向下的反力f0，侧面观圆弧微分方程为：

式中，e为压低用辅弓所使用弯制材料的弹性模量，i为弓丝截面对正畸弓丝中心轴的惯性矩，对于圆丝i＝πd⁴/64，d为圆丝直径，对于矩形丝i＝c1c2³/12，c2为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c1为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，侧面观圆弧的挠度曲线微分方程的通解为：

式中，p1为求解侧面观圆弧微分方程式引入的计算因子，为了确定常数c1和c2以及未知反力s0，端点条件为：

将式(2)的y值代入，由端点条件可得：

由式(3)中三个表达式整理可得用以计算临界载荷的超越方程式为：

tanp1lt＝p1lt(5)

求解式(5)，解得p1lt的最小值为p1lt＝4.493，于是，可得反力s0的表达式为：

作为优选，所述的步骤3)中，压低用辅弓的加力单元主要为侧面观圆弧，侧面观圆弧形变后产生的反力s0引起前面观圆弧形变，进而推动切牙，进而达到矫治切牙整平牙弓的目的，前面观圆弧起止点间的长度为l，前面观圆弧在压低用辅弓的两侧对称，因此前面观圆弧受大小相等而方向相反的两个压缩力，该压缩力即是侧面观圆弧形变后产生的反力s0，前面观圆弧产生形变后作用于牙齿的矫治力为q，前面观圆弧的挠度曲线微分方程为：

定义以前面观方向为基准，前面观圆弧右端点至左端点为x轴正方向，定义过前面观圆弧右端点垂直前面观圆弧向上方向为y轴正方向，c值为前面观圆弧右端点至fdi标记法第21号牙齿托槽左端点间的距离，运用记号p2，

运用式(8)中的表达式可将式(7)中两表达式改写为：

由于压低用辅弓的两端挠度为零，因此得出c31＝0，c33＝-c34tanp2l，根据作用于牙齿的矫治力q作用点的连续条件可求得其余两个积分常数，使式(7)中两式得出同样的挠度和同样的斜率；

解得代入式(9)中并将其微分，可得，

整理可得作用于牙齿的矫治力q的表达式为：

将代入式(11)中，则作用于牙齿上的矫治力q表达为：

作为优选，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

作为优选，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由压低用辅弓、树脂牙齿模型、正畸托槽、基托蜡颌堤组成。

作为优选，所述的步骤4)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为vt时，vt为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的re的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数re＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力fd可用式(13)计算：

式中，v0为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，a为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，a＝1×d1，d1为圆柱体的直径，cd为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数re和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度vt＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力fk，惯性力fk的数值等于圆柱体的排蜡质量m0与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量mw沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力fl可表示为：

令mw＝cmm0，则式(16)可表示为：

式中，cm为附加质量系数，cm为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力fl和拖曳力fd的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρvt²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量e＝ρe+ρvt²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，cp为无量纲压强系数，φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t0。在初始瞬间将它放置于温度为t∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(19)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度代入式(18)中整理得到：

对式(22)等式两边对t积分整理得到：

式中，t为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(24)代入式(23)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(26)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

作为优选，所述步骤5)中，在作用于牙齿上的矫治力q作用下压低用辅弓动态矫治力矩m为：

式中，l1为作用于牙齿上的矫治力q作用点与旋转中心o间的距离。

本发明的有益效果为：

1、采用参数化的建模方法，能够更直观地反映出各影响因素对压低用辅弓矫治力矩的影响效果，便于医师对弯制的压低用辅弓进行调整，以获得适合的矫治力矩。

2、通过分析临床上压低用辅弓压低切牙的作用过程，在建立矫治力矩预测模型时将压低用辅弓划分为前面观圆弧和侧面观圆弧两部分，通过分模块建模的方法提升建立模型的精确性。

3、本方法适用于基托蜡制颌堤，相较于基于传统刚性颌堤得出的预测模型，本方法能够体现真实正畸过程中牙齿相对移动及正畸弓丝力衰减现象对矫治力的影响，所以本方法算得的矫治力能够体现真实正畸过程中的动态特性，在矫治力矩预测方面本方法的精确度更高。

附图说明

为了易于说明，本发明由下述的具体实施及附图作以详细描述。

图1为本发明压低用辅弓动态矫治力矩建立流程图；

图2为本发明压低用辅弓侧面观圆弧结构示意图；

图3为本发明压低用辅弓前面观圆弧结构主视图示意图；

图4为本发明压低用辅弓前面观圆弧结构俯视图示意图；

图5为本发明压低用辅弓动态矫治力矩作用过程示意图。

图中：1-压低用辅弓；1-1-前面观圆弧；1-2-侧面观圆弧；1-3-顶部开隙；1-4-底部开隙；2-树脂牙齿模型；3-正畸托槽；4-基托蜡颌堤。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面通过附图中示出的具体实施例来描述本发明。但是应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

如图1、图2、图3、图4、图5所示，具体实施方式采用以下技术方案：本发明的一种压低用辅弓动态矫治力矩预测模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程为：

1)分析压低用辅弓的结构特征和加载特征；

2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；

3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；

4)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

5)建立压低用辅弓动态矫治力矩预测模型。

进一步地，所述的步骤1)中，由压低用辅弓1的结构特性可知，在压低用辅弓1对牙齿进行矫治时，矫治力矩由侧面观圆弧1-2及前面观圆弧1-1释放，压低用辅弓1的侧面观圆弧1-2在弓丝的两侧相互对称，因此只对一侧的侧面观圆弧1-2进行分析；侧面观圆弧的顶部开隙为lt，侧面竖直臂高度为hd，底部开隙为lb，正畸力由临床上安装压低用辅弓1产生弹性形变后产生。

进一步地，所述的步骤2)中，侧面观圆弧1-2在加载时符合棱柱杆横向屈曲的力学特性，在此情形下，侧面观圆弧1-2屈曲时将产生一沿弓丝的反力s0，定义底部开隙1-4所在直线为x轴，定义面向压低用辅弓1前面观圆弧1-1在左侧、顶部开隙1-3在上、底部开隙1-4在下时，过底部开隙1-4左端点垂直于底部开隙1-4的直线为y轴，一竖直向下的反力f0，侧面观圆弧微分方程为：

式中，e为压低用辅弓所使用弯制材料的弹性模量，i为弓丝截面对正畸弓丝中心轴的惯性矩，对于圆丝i＝πd⁴/64，d为圆丝直径，对于矩形丝i＝c1c2³/12，c2为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c1为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，侧面观圆弧的挠度曲线微分方程的通解为：

式中，p1为求解侧面观圆弧微分方程式引入的计算因子，为了确定常数c1和c2以及未知反力s0，端点条件为：

将式(2)的y值代入，由端点条件可得：

由式(3)中三个表达式整理可得用以计算临界载荷的超越方程式为：

tanp1lt＝p1lt(5)

求解式(5)，解得p1lt的最小值为p1lt＝4.493，于是，可得反力s0的表达式为：

进一步地，所述的步骤3)中，压低用辅弓1的加力单元主要为侧面观圆弧1-2，侧面观圆弧1-2形变后产生的反力s0引起前面观圆弧1-1形变，进而推动切牙，进而达到矫治切牙整平牙弓的目的，前面观圆弧1-1起止点间的长度为l，前面观圆弧1-1在压低用辅弓1的两侧对称，因此前面观圆弧1-1受大小相等而方向相反的两个压缩力，该压缩力即是侧面观圆弧1-2形变后产生的反力s0，前面观圆弧1-1产生形变后作用于牙齿的矫治力为q，前面观圆弧1-1的挠度曲线微分方程为：

定义以前面观方向为基准，前面观圆弧1-1右端点至左端点为x轴正方向，定义过前面观圆弧1-1右端点垂直前面观圆弧1-1向上方向为y轴正方向，c值为前面观圆弧右端点至fdi标记法第21号牙齿托槽左端点间的距离，运用记号p2，

运用式(8)中的表达式可将式(7)中两表达式改写为：

由于压低用辅弓1的两端挠度为零，因此得出c31＝0，c33＝-c34tanp2l，根据作用于牙齿的矫治力q作用点的连续条件可求得其余两个积分常数，使式(7)中两式得出同样的挠度和同样的斜率；

解得代入式(9)中并将其微分，可得，

整理可得作用于牙齿的矫治力q的表达式为：

进一步地，将式中代入式(11)中，作用于牙齿上的作用力即q可由下式表达，

进一步地，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

进一步地，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由压低用辅弓1、树脂牙齿模型2、正畸托槽3、基托蜡颌堤4组成。

进一步地，所述的步骤4)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为vt时，vt为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的re的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数re＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力fd可用式(13)计算：

式中，v0为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，a为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，a＝1×d1，d1为圆柱体的直径，cd为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数re和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度vt＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力fk，惯性力fk的数值等于圆柱体的排蜡质量m0与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量mw沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力fl可表示为：

令mw＝cmm0，则式(16)可表示为：

式中，cm为附加质量系数，cm为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力fl和拖曳力fd的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρvt²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量e＝ρe+ρvt²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，cp为无量纲压强系数，φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t0。在初始瞬间将它放置于温度为t∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(19)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度代入式(18)中整理得到：

对式(22)等式两边对t积分整理得到：

式中，t为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(24)代入式(23)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(26)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

进一步地，所述的步骤5)中，在作用于牙齿上的矫治力q作用下压低用辅弓动态矫治力矩m为：

式中，l1为作用于牙齿上的矫治力q作用点与旋转中心o间的距离。

进一步地，在应用所述一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤预测压低用辅弓矫治效果时，首先将正畸托槽粘贴在树脂牙齿模型的外表面上，将压低用辅弓固定在正畸托槽上，此时，将蜡制颌堤与压低用辅弓同时浸入75℃恒温水浴的环境中，2min后取出，观察水浴前后牙齿位置即可清楚地了解压低用辅弓作用下牙齿移动的情况，应用本方法提出的一种压低用辅弓动态矫治力矩预测模型可以通过压低用辅弓的形状参数计算产生动态矫治力矩的大小，依据牙齿移动的情况，通过本模型计算并调整压低用辅弓的形状参数获得最佳的治疗效果，进而辅助正畸医生制定更合理的矫治方案。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。