分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法及装置

1.本发明涉及传染病模型的非线性动力学领域，具体涉及一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法及装置。


背景技术：

2.经过多年的研究和摸索，人们研究出很多防治传染病的方法。传染病的研究方法大抵分为四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。针对传染病进行大规模的实验相对不现实，也比较困难，所以进行深入性的理论性研究就显得十分有必要。传染病动力学是进行理论性定量研究的一种重要方法。数学模型在传染病动力学研究中起着极其重要的作用。利用动力学的方法建立数学模型可以来研究某种传染病在某一地区是否会蔓延持续下去而成为本地区的“地方病”或者这种传染病最终会消失。运用传染病动力学知识分析系统平衡点的存在性、局部以及全局的稳定性、是否发生分岔等等，数学分析的结果能提供许多强有力的理论基础和概念，用数学模型发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。根据以上分析，针对不同的传染病，建立适当的数学模型进行理论分析是十分必要的。使用数学模型研究疾病在人群中的传播动态从而制定相应的防控策略并分析其效能，在传染病学研究中正发挥着越来越重要的作用，也是传染病传播规律研究热点。随着多学科进一步交叉融合发展，传染病动力学建模研究呈现出一些新的趋向，这些理论分析可以揭示疾病的流行规律，通过分析原因，寻求最优策略来控制传染病的流行。
3.因此，有必要建立一种合适的传染病数学模型，并进行理论分析，以研究传染病的流行规律，进而采取最优的控制策略。
4.上述内容仅用于辅助理解本发明的技术方案，并不代表承认上述内容是现有技术。


技术实现要素：

5.本发明所要解决的技术问题主要在于建立一个合适的传染病数学模型并分析其动力学行为，为疾病预防提供理论基础。
6.为了实现上述目的，本发明提供了一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法及装置。
7.根据本发明的一个方面，提供了一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法，包括以下步骤：
8.建立分数阶传染病模型；
9.对所述分数阶传染病模型进行离散化处理，得到分数阶离散化传染病模型，所述分数阶离散化传染病模型的时间步长参数为h；
10.计算得到所述分数阶离散化传染病模型的平衡点，所述平衡点包括无病平衡点和地方病平衡点；
11.将所述时间步长参数h和分数阶阶数作为分岔参数，分析所述无病平衡点的稳定
性与分岔条件以及所述地方病平衡点的稳定性与分岔条件，得到所述分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析结果。
12.进一步地，所述分数阶传染病模型的数学表达式为：
[0013][0014]
其中，d
α
表示求α阶微分，α表示分数阶阶数，0《α《1，t》0表示时间，易感者数量记为s(t)，表明在t时刻免疫力低下虽未受到传染病感染但极易被感染的个体数目，感染者数量记为i(t)，表明在t时刻受到传染病感染且极易感染给其他个体的数目，β表示双线性发生率，μ+γ表示人口死亡率，μ表示传染病的预测死亡率，γ表示由于外因导致的额外死亡率，λ表示人口出生率。
[0015]
进一步地，所述分数阶离散化传染病模型的数学表达式为：
[0016][0017]
其中，x表示将连续的时间t分成x等分，时间步长参数h(h＝t/x)是指前后两相邻个时间点之间的差值，n表示有限差分的次数，s
n+1
(x)表示进行n次有限差分得到的易感者数量，i
n+1
(x)表示进行n次有限差分得到的感染者数量，sn(x)表示进行n-1次有限差分得到的易感者数量，in(x)表示进行n-1次有限差分得到的感染者数量，表示gamma函数。
[0018]
进一步地，在所述计算分数阶离散化传染病模型的平衡点的过程中，还包括：
[0019]
计算所述分数阶离散化传染病模型的基本再生数
[0020]
根据所述基本再生数判断所述无病平衡点和所述地方病平衡点存在的条件，具体为：
[0021]
当时，所述分数阶离散化传染病模型仅存在一个无病平衡点；
[0022]
当时，所述分数阶离散化传染病模型除存在一个无病平衡点外，还存在一个地方病平衡点。
[0023]
进一步地，所述无病平衡点为所述地方病平衡点为
[0024]
进一步地，所述分析无病平衡点的稳定性与分岔条件的步骤，具体包括：
[0025]
计算得到无病平衡点的雅各布矩阵为
[0026][0027]
则j(e0)的两个根为
[0028][0029]
且满足0＜α≤1；
[0030]
令|λ1|＝1，|λ2|＝1得到临界时间步长参数值
[0031]
即当时，无病平衡点e0的参数值至少有四种不同的拓扑类型：
[0032]
(1)若h满足则无病平衡点为结点，是局部渐进稳定的；
[0033]
(2)若h满足则无病平衡点为源点，是不稳定的；
[0034]
(3)若h满足或则无病平衡点为鞍点，是不稳定的；
[0035]
(4)若或则无病平衡点为非双曲点。
[0036]
进一步地，所述分析地方病平衡点的稳定性与分岔条件的步骤，具体包括：
[0037]
计算得到地方病平衡点的雅各布矩阵
[0038][0039]
令特征方程为letf(λ)＝λ
2-trλ+det，设λ1和λ2是特征方程的两个根，计算得到
[0040][0041][0042]
特征方程的两个根分别为
[0043][0044]
其中
[0068][0069]
当时间步长参数h在h2附近的邻域取值时，且参数满足(α,h,β,λ,μ,γ)∈ω3，地方病平衡点发生次级霍普分岔。
[0070]
根据本发明的另一方面，提供了一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析装置，包括以下单元：
[0071]
模型建立单元，用于建立分数阶传染病模型；
[0072]
离散化单元，用于对所述分数阶传染病模型进行离散化处理，得到分数阶离散化传染病模型，所述分数阶离散化传染病模型的时间步长参数为h；
[0073]
计算单元，用于计算得到所述分数阶离散化传染病模型的平衡点，所述平衡点包括无病平衡点和地方病平衡点；
[0074]
稳定性分析单元，用于将所述步长参数h和分数阶阶数作为分岔参数，分析所述无病平衡点的稳定性与分岔条件以及所述地方病平衡点的稳定性与分岔条件，得到所述分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析结果。
[0075]
本发明提供的技术方案具有以下有益效果：
[0076]
建立了一种分数阶离散化传染病模型，并对其进行稳定性分析与分岔分析，首先建立分数阶传染病模型；对分数阶传染病模型进行离散化处理，得到分数阶离散化传染病模型，计算得到分数阶离散化传染病模型的平衡点，包括无病平衡点和地方病平衡点；通过定理计算得到其临界时间步长参数在一定范围内变化对稳定性的影响，当h小于临界值时地方病平衡点趋于稳定；当h大于临界值时地方病平衡点处发生周期倍增分岔(翻转分岔)，并且随着h在范围内增加其周期轨道也逐步出现；当h继续增加时系统趋于混沌。当保持时间步长参数固定不变，研究分数阶阶数对易感者和感染者数目的影响，令分数阶阶数在一定范围内增大：当分数阶阶数小于临界值时地方病平衡点是稳定的，当分数阶阶数增加到达临界值时地方病平衡点失去了其稳定性，此时在地方病平衡点处产生了极限环；当继续增加时系统趋于混沌，最后用数值模拟验证推论的正确性，通过数学模型揭示疾病的流行规律，通过分析原因寻求最优策略来控制传染病的流行。
附图说明
[0077]
下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：
[0078]
图1为本发明一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法的流程图；
[0079]
图2为本发明当α＝0.99时易感人数周期倍增分岔图；
[0080]
图3为本发明当α＝0.99时感染人数周期倍增分岔图；
[0081]
图4为本发明当h＝2.5时的2周期轨道相图；
[0082]
图5为本发明当h＝2.8时的8周期轨道相图；
[0083]
图6为本发明当h＝2.82时的16周期轨道相图；
[0084]
图7为本发明当h＝2.95时的混沌相图；
[0085]
图8为本发明当α＝0.82时分岔图；
[0086]
图9为本发明当α＝0.8266时分岔图；
[0087]
图10为本发明当α＝0.8266时产生的极限环；
[0088]
图11为本发明当α＝0.913时平衡点失稳混沌相图；
[0089]
图12为本发明一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析装置的结构图。
具体实施方式
[0090]
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地描述。
[0091]
应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
[0092]
分数阶模型是经典的整数阶模型的推广，将其引入到传染病模型中,是有益且值得尝试的。运用传染病动力学知识分析系统平衡点的存在性、局部以及全局的稳定性、是否发生分岔。数学分析的结果能提供许多强有力的理论基础和概念，用数学模型发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。
[0093]
首先建立一个连续时间传染病模型，通过后向差分法将模型离散化。然后计算出模型的无病平衡点和地方病平衡点以及基本再生数。
[0094]
判断当分数阶阶数不变时，随着时间步长参数的变化地方病平衡点的稳定性与分岔条件，以及当时间步长参数固定不变时，随着分数阶阶数的变化地方病平衡点的稳定性与分岔条件。
[0095]
在研究系统的稳定性时首先证明了给定初始条件下的模型的任何解都是正的，并最终是有界的。若无病平衡点是局部渐近稳定的，这种疾病就不会爆发。对于地方病平衡点建立了条件来保证局部的稳定性，并给出了分岔存在的条件。最终用数值模拟来验证猜想。
[0096]
参照图1，图1为本发明一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法的流程图。本实施例中，提供的一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析方法，包括以下步骤：
[0097]
步骤s1、建立分数阶传染病模型：
[0098]
给定整数阶传染病模型为
[0099][0100]
其中，易感者数量记为s(t)，表明在t时刻免疫力低下虽未受到传染病感染但极易被感染的个体数目。感染者数量记为i(t)，表明在t时刻受到传染病感染且极易感染给其他个体的数目。其中β是双线性发生率，μ+γ指人口死亡率，μ是传染病的预测死亡率，γ是由于外因导致的额外死亡率，人口出生率为λ。
[0101]
随着分数阶微分方程的快速发展，分数阶微分模型可以很好地描述物质的记忆和遗传物质，而记忆和遗传物质存在于大部分的生物系统中，还可以克服整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好等缺陷。
[0102]
因此，本实施例中，将整数阶传染病模型转化为分数阶整数阶传染病模型
[0103][0104]
其中α表示分数阶阶数，0《α《1，t》0。
[0105]
步骤s2、对分数阶传染病模型进行离散化处理，得到分数阶离散化传染病模型，时
间步长参数为h：
[0106]
利用有限差分方程将分数阶传染病模型离散化，将方程(2)右边近似dax(t)＝f(x(t)),t＞0,α∈(0,1)，假设s(0)＝s0,i(0)＝i0是系统的初始条件。将系统整个过程离散为x个细小的过程，即将连续的时间分成x等分，离散过后时间步长参数h(h＝t/x)是指前后两个时间点之间的差值，也就是每一个小等分的时间长短,则方程的离散化由下式给出。
[0107][0108]
当t∈[0,h),t/h∈[0,1)时，有
[0109][0110][0111]
当t∈[h,2h),t/h∈[1,2]时，有
[0112][0113][0114]
当t∈[nh,(n+1)h)时，将上述过程迭代n次得到分数阶离散化传染病模型
[0115][0116]
步骤s3、计算得到分数阶离散化传染病模型的平衡点，包括无病平衡点和地方病平衡点：
[0117]
将i(t)＝0时代入方程(2)，得到无病平衡点令方程(2)左端为0，计算得到地方病平衡点为
[0118]
在流行病学中有一个重要的概基本再生数表示在发病初期，把一个病人放进易感人群内，该病人在平均患病期内所传染的新病人数目。显然，作为区分疾病流行与否的
阈值，其实际涵义是十分明显的。当时，即一个病人在平均患病期内传染的新病人的数目小于1，此时模型仅存在一个全局渐近稳定的无病平衡点，疾病最终会逐步消亡；当＞1时，即一个病人在平均患病期内传染的新病人的数目大于1，此时模型除存在无病平衡点外还存在一个地方病平衡点，疾病将始终存在，从而形成地方病。系统的感染矩阵为f＝βs0，系统的再生矩阵为v＝μ+γ。
[0119]
基本再生数等于再生矩阵(fv-1
)谱半径，此分数阶离散化传染病模型的基本再生数为
[0120][0121]
此时分数阶离散化传染病模型的地方病平衡点可以表示成
[0122]
取分数阶离散化传染病模型中一个固定点e
*
(s
*
，i
*
)，分数阶离散化传染病模型的雅各布矩阵为
[0123][0124]
步骤s4、将步长参数h和分数阶阶数作为分岔参数，分析无病平衡点的稳定性与分岔条件以及地方病平衡点的稳定性与分岔条件，得到分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析结果。
[0125]
步骤s4.1、无病平衡点的稳定性
[0126]
结论1若则无病平衡点e0的参数值至少有四种不同的拓扑类型
[0127]
(1)若时间步长参数h满足则无病平衡点为结点。
[0128]
(2)若h满足则无病平衡点为源点。
[0129]
(3)若h满足或则无病平衡点为鞍点。
[0130]
(4)若或则无病平衡点为非双曲点。
[0131]
证明将带入式(9)得到无病平衡点的雅各布矩阵为
[0132]
[0133]
则j(e0)的两个根为
[0134][0135]
且满足0＜α≤1；
[0136]
为了研究系统不动点的稳定性使用了如下引理
[0137]
引理1设λ1和λ2是矩阵j(m)的两个根，有如下定义:
[0138]
(1)若|λ1|《1和|λ2|《1，则m(x
*
,y
*
)的平衡点是局部渐近稳定的(结点)
[0139]
(2)若|λ1|》1和|λ2|》1，则m(x
*
,y
*
)的平衡点是不稳定的(源点)。
[0140]
(3)若|λ1|《1和|λ2|》1(或|λ1|》1和|λ2|《1)，则m(x
*
,y
*
)的平衡点是不稳定的(鞍点)。
[0141]
(4)若|λ1|＝1或|λ2|＝1，则m(x
*
,y
*
)的平衡点称为非双曲型。
[0142]
将两个特征根的值带入|λ1|＝1，|λ2|＝1得到临界时间步长参数值|＝1得到临界时间步长参数值
[0143]
即证当时，无病平衡点e0的参数值满足以下条件
[0144]
(1)若时间步长参数h满足则无病平衡点为结点，是局部渐进稳定的。
[0145]
(2)若h满足则无病平衡点为源点，是不稳定的。
[0146]
(3)若h满足或则无病平衡点为鞍点，是不稳定的。
[0147]
(4)若或则无病平衡点为非双曲点。
[0148]
步骤s4.1、地方病平衡点的稳定性
[0149]
结论2当时，有
[0150]
1、当以下任一条件满足时，地方病平衡点e1是渐进稳定的(结点)
[0151]
δ≥0且h＜h≤h1；δ＜0且0＜h＜h2。
[0152]
2、当以下任一条件满足时，地方病平衡点e1是不稳定的(源点)
[0153]
δ≥0且h＞h3；δ＜0且h＞h2。
[0154]
3、当δ＜0且h＝h2时，地方病平衡点e1是不稳定的(鞍点)。
[0155]
4、当以下任一条件成立时，地方病平衡点e1为非双曲点
[0156]
δ≥0且h＝h1或h3；δ＜0且h＝h2。
[0157]
证明将e1带入式(9)得到地方病平衡点的雅各布矩阵
[0158][0159]
令特征方程为letf(λ)＝λ
2-trλ+det，设λ1和λ2是特征方程的两个根，计算得到
[0160][0161]
方程的两个特征值为
[0162][0163]
其中
[0164][0165]
引理2令特征方程为letf(λ)＝λ
2-trλ+det，设λ1和λ2是特征方程的两个根，设f(1)》0，则有
[0166]
1、|λ1|《1和|λ2|《1当且仅当f(
–
1)》0和det《1；
[0167]
2、|λ1|《1和|λ2|》1或(|λ1|》1和|λ2|《1)当且仅当f(
–
1)《0；
[0168]
3、|λ1|》1和|λ2|》1当且仅当f(
–
1)》0和det》1；
[0169]
4、λ1＝
–
1和λ2≠1当且仅当f(
–
1)＝0且tr≠0,2；
[0170]
5、λ1和λ2是复数，且|λ1|＝|λ2|当且仅当tr
2-4det＜0且det＝1。
[0171]
引理2中，由式(12)计算det＝1，得到临界值h2。并将特征方程的两个特征根式(13)带入引理2中|λ1|＝1，|λ2|＝1，计算得出时间步长参数的临界值h1和h3。
[0172][0173]
将式(14)代入式(15)分母得到
[0174][0175]
即证当时有
[0176]
1、当以下任一条件满足时e1是渐进稳定的(结点)
[0177]
δ≥0且h＜h≤h1；δ＜0且0＜h＜h2。
[0178]
2、当h满足条件之一时e1是不稳定的(源点)
[0179]
δ≥0且h＞h3；δ＜0且h＞h2。
[0180]
3、当δ＜0且h＝h2时，e1是不稳定的(鞍点)。
[0181]
4、当以下任一条件满足时，e1是非双曲点。
[0182]
δ≥0且h＝h1或h3；δ＜0且h＝h2。
[0183]
定义ω1、ω2、ω3为变量h分别取一定值时模型参数数集，上述结论可表述为
[0184]
(α,h,β,λ,μ,γ)∈ω1∪ω2[0185][0186][0187]
当变量h在h1附近的邻域取值，且系统参数满足(α,h,β,λ,μ,r)∈ω1；或者变量h在h3附近的邻域取值，且系统参数满足(α,h,β,λ,μ,γ)∈ω2，e1平衡点发生翻转分岔。
[0188]
(α,h,β,λ,μ,γ)∈ω3[0189][0190]
当变量h在h2附近的邻域取值，且系统参数满足(α,h,β,λ,μ,γ)∈ω3，e1平衡点发生次级霍普分岔。
[0191]
步骤s5、数值模拟
[0192]
在本实施例中，通过matlab软件进行模拟仿真，并绘制得到仿真图。
[0193]
令系统参数取值为(α,h,β,λ,μ,γ)＝(0.99,2.305,0.09,3.5,0.145,0.12)∈ω1，首先选取h为变量，初始条件(s0,i0)＝(3.7,7.8)，取α＝0.99，当h《2.305时e1是渐进稳定的。
[0194]
参考图2和图3，当h＝2.305时发生翻转分岔失去了稳定性，当h∈(2.305,2.83)时周期轨道在范围内随着h的增加而出现；参考图4-图7，当h＝2.5时2周期轨道出现；当h＝2.75时4周期轨道出现；当h＝2.8时8周期轨道出现；当h＝2.82时16周期轨道出现；当h＝2.9时12周期轨道出现；当h＝2.95时系统趋于混沌。
[0195]
令系统参数取值为(α,h,β,λ,μ,γ)＝(0.826,8.1,0.1,1.5,0.2,0.3)∈ω3，时间步长参数h取固定值h＝8.1，此时取初始条件(s0,i0)＝(5.1,0.9)，选取变量为α，参考图8-图11，由仿真图形观察得到其取值范围为0.8≤α≤0.99，此时发生了次级霍普分岔，当α《
0.826时，e1是稳定的，并且在α＝0.826时失去了稳定性。当分数阶阶数在(0.826，0.87)范围内增加时，极限环出现，当α在取值范围内进一步增加时产生了混沌。
[0196]
本发明主要基于非线性动力学知识建立了离散化分数阶传染病模型，进一步进行了稳定性与分岔分析，首先将整数阶传染病模型通过卡普托定理等转换为分数阶传染病模型，然后用欧拉后向差分法将其离散化得到最终模型表达式。再计算其无病平衡点、地方病平衡点、基本再生数等流行病学专业概念来判断其局部和全局稳定性。通过定理计算得到其临界时间步长参数在一定范围内变化对稳定性的影响，当h小于临界值时地方病平衡点趋于稳定；当h大于临界值时地方病平衡点处发生周期倍增分岔(翻转分岔)，并且随着h在范围内增加其周期轨道也逐步出现；当h继续增加时系统趋于混沌。当保持时间步长参数固定不变，研究分数阶阶数对易感者和感染者数目的影响，令分数阶阶数在一定范围内增大：当分数阶阶数小于临界值时地方病平衡点是稳定的，当分数阶阶数增加到达临界值时地方病平衡点失去了其稳定性，此时在地方病平衡点处产生了极限环；当继续增加时系统趋于混沌。
[0197]
由此可以得出结论，离散时间模型是从分数时间系统集成模型的离散化中获得的。离散化过程提供关键项，如h(时间步长参数)和α(分数阶阶数)，然后改变这些变量以描述模型的动态行为。当h和α变化时，模型表现出几个复杂的动力学行为，包括次级霍普分岔和翻转分岔，研究表明分数阶离散传染病模型展示了丰富的动态特性。
[0198]
作为可选地实施方式，本发明还提供了一种分数阶离散化传染病模型的稳定性与分岔分析装置，参考图12，该装置包括：
[0199]
模型建立单元1，用于建立分数阶传染病模型；
[0200]
离散化单元2，用于对所述分数阶传染病模型进行离散化处理，得到分数阶离散化传染病模型，所述分数阶离散化传染病模型的时间步长参数为h；
[0201]
计算单元3，用于计算得到所述分数阶离散化传染病模型的平衡点，所述平衡点包括无病平衡点和地方病平衡点；
[0202]
稳定性分析单元4，用于将所述步长参数h和分数阶阶数作为分岔参数，分析所述无病平衡点的稳定性与分岔条件以及所述地方病平衡点的稳定性与分岔条件，得到所述分数阶离散化传染病模型的稳定性分析结果。
[0203]
需要说明的是，在本文中，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个
……”
限定的要素，并不排除在包括该要素的过程、方法、物品或者系统中还存在另外的相同要素。
[0204]
上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。在列举了若干装置的单元权利要求中，这些装置中的若干个可以是通过同一个硬件项来具体体现。词语第一、第二、以及第三等的使用不表示任何顺序，可将这些词语解释为标识。
[0205]
以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。