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[0066] 其中，M12为坐标系S i到坐标系S 2的坐标变换矩阵，If12=MirM2/'式（18)为啮 合方程，根据齿轮啮合原理，啮合方程可以表示为：
[0068] 其中，Nf为在固定坐标系Sf中的单位法向量，f/2)为共辄齿廓在接触点处的相对 速度，他们的方程表达式为：
[0071] 把式（19)、（20)带入啮合方程式（18)并进行化简得到：
[0076] 第一个解与式（14)相同，验证了内齿轮齿顶齿廓与外齿轮的齿顶齿 廓曲线是共辄的；
[0077] 第二个解提供了与内齿轮齿顶齿廓共辄的外齿轮的齿根齿廓曲 线。将式（24)带入式（15)得到与内齿轮齿顶齿廓共辄的外齿轮齿根齿 廓曲线的方程表达式为：
[0078] CN 105134907 A 说明书 7/13 页
[0079] 内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：
[0081] 则该啮合线是一段半径为R-R2的圆弧，参数Θ (〇〈 θ〈 Θ _)，则该啮合线在节点处 与设计的圆弧啮合线相切。
[0082] 同样，与外齿轮齿顶齿廓曲线共辄的内齿轮齿根齿廓曲线方程表达式为：
[0084] 外齿轮齿顶齿廓与内齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：
[0086] 图3所示，PP。是设计的连接齿顶圆交点和节圆交点的圆弧啮合线，内齿轮齿顶齿 廓Fa2与外齿轮齿顶齿廓F ai在啮合线PP。上啮合，P 〇P'为内齿轮齿顶齿廓Fa2与外齿轮 齿根齿廓Γη的啮合线，P。?"为内齿轮齿根齿廓rf2与外齿轮齿顶齿廓Γ al的啮合线，当内 齿轮的齿根齿廓1\2与外齿轮齿顶齿廓啮合Γ al在P#"上啮合时，内齿轮的齿顶齿廓ra2与外齿轮的齿顶齿廓r al也在啮合线PP。上啮合，为避免两点同时啮合，需要对内齿轮齿根 齿廓rf2进行修形。
[0087] 内齿轮齿根齿廓修形是在rf2S础上进行修形，如图4所示，设T(xf2，y f2)是内齿 轮齿根齿廓曲线rf2上一点，它到内齿轮中心〇2的连线与坐标轴Yf的夹角为δ，则有关系 式：
[0089] 则对于内齿轮齿根齿廓曲线1\2上的节点P。有δ =〇,设点T绕内齿轮中心0 2 逆时针旋转一个角度到点Τ'，Τ'到内齿轮中心02的连线与坐标轴Y f的夹角δ '（ δ )是关 于S的单调递增连续函数，且δ'（〇) =〇,则由Τ'形成的齿根齿廓曲线r'f2是连续的并 且在节点Pd与齿顶齿廓曲线r a2相切，为简单起见，可以取s'（δ) = δ/2。
[0090] 步骤四、设计内外齿轮齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线
[0091] 确定轮齿齿根齿廓曲线在端点Τ。处的切向t，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线Γ f在 端点相切的圆弧过渡曲线T(jTf。，如图5所示。
[0092] 下面具体举例说明：
[0093] 以齿数zl = 35, z2 = 53，m = 4的内啮合齿轮为例，简要说明本方法的实施方式。 其他参数为 hal = 4mm，hf I = 5mm，ha2 = 4mm，hf2 = 5mm〇
[0094] 步骤一、设计的圆弧啮合线为连接外齿轮和内齿轮齿顶圆交点和节圆交点的一段 圆弧，根据几何原理得到圆弧的半径为R = 84. 7273mm，弧度Θ _= 〇. 6932rad，其方程表 达式为：
[0096] 其中，参数Θ的取值范围为〇彡Θ彡0.6932。
[0097] 外齿轮和内齿轮的节圆半径为R1= z iXm/2, R2= z 2Xm/2,根据推导得到圆弧啮 合线上的点与共辄齿廓曲线上接触点之间的对应关系：
[0100] 其中，式（31)、（32)说明当外齿轮和内齿轮共辄齿廓从初始位置分别转动％、A 弧度，将在设计的圆弧啮合线上的点（xf，yf)啮合。
[0101] 步骤二、内齿轮和外齿轮齿顶齿廓曲线的构造
[0102] 根据式（15)和（16)，内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线方程为，
[0105] 其中，Θ的取值范围为〇< Θ < 0.6932。上面的齿形点如表1所示。
[0106] 表1外齿轮齿顶齿廓的齿形点
[0107]
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[0113] 内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：
[0115] 与外齿轮齿顶齿廓曲线共辄的内齿轮齿根齿廓曲线方程表达式为：
[0117] 其中，Θ的取值范围为〇彡Θ彡0.6932。内齿轮齿根齿廓上的点T(xf2，yf2)到 内齿轮中心〇2的连线与坐标轴Yf的夹角为δ :
[0119] 点T到内齿轮中心O2的距离r。为：
[0121] 当点T绕内齿轮中心O2旋转一个角度到点Τ'，此时点Τ'和内齿轮中心O2的连线 与坐标轴Xf形成的夹角为S'，δ'是δ的单调递增连续函数：
[0122] δ ^ (δ) = 5δ2 (40)
[0123] 则修形后内齿轮齿根齿廓曲线表示为：
[0125] 修行后的内齿轮齿根齿廓将不与外齿轮齿顶齿廓啮合。得到的外齿轮齿根齿廓齿 形点如表2所示，内齿轮齿根齿廓修形前后的齿形点如表3所示。
[0126] 表3外齿轮齿根齿廓齿形点
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[0131] 步骤四、设计轮齿齿根与齿根圆之间的过渡曲线
[0132] 外齿轮齿根齿廓曲线的端点为Tiq (0. 3180, -66. 4937)，在端点T1。的切线方 向t，外齿轮的齿根圆中心O1O), 0)，半径rfl= 65mm，通过几何求解，得到在点T i。切线 方向为t = (0. 1349,0.9909)且与外齿轮齿根圆外切于点Tfl的一段圆弧T10Tfl的中心 O10 (2. 0653,-66. 7315)，半径r1Q= I. 7634mm，T i。和外齿轮中心0 4勺连线与坐标轴Π 的夹 角（Kin= I. 5335rad，T fl和外齿轮中心0丨的连线与坐标轴Xl的夹角Φ "_= 3. 0063rad， 则外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：
[0134] 内齿轮齿根齿廓曲线的端点为T2。(-1. 092, -109. 7977)，在端点T2。的切线方向 t，外齿轮的齿根圆中心O2(0, 0)，半径rf2= 111mm，通过几何求解，得到在点T 2。切线方 向为t = (-0.3896,-0.9210)且与内齿轮齿根圆内切于点Tf2的一段圆弧T20T f2的中心 02。(-2.8503，-109.0541)，半径巧。=1.9087臟，1'2。和内齿轮中心0 2的连线与坐标轴乂2的夹 角（Kin= -I. 5969rad，Tf2和内齿轮中心02的连线与坐标轴X2的夹角Φ max= -0· 4002rad， 则内齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：
[0136] 外齿轮和内齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线上的点如表5所示。
[0137] 表5外齿轮和内齿轮过渡曲线齿形点
[0139] 得到的外齿轮和内齿轮轮齿如图6和图7所不，图6为外齿轮和内齿轮单齿形 状，分别由齿顶圆、齿顶齿廓、齿根齿廓、过渡圆弧曲线及齿根圆组成，其中外齿轮齿顶齿廓 与内齿轮吃顶齿廓啮合，其啮合线为设计的圆弧PP。，外齿轮齿根齿廓和内齿轮齿顶齿轮啮 合，啮合线为圆弧PcP"，如图7所示外齿轮和内齿轮整体齿形及啮合线。
[0140] 本发明未详细阐述部分属于本领域的公知技术。
[0141] 以上所述，仅为本发明部分【具体实施方式】，但本发明的保护范围并不局限于此，任 何熟悉本领域的人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在 本发明的保护范围之内。
【主权项】
1. 一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法把 一段连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点和节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，通 过平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共辄齿廓曲线之间对应关系的共辄方程； 根据共辄方程，构造满足圆弧啮合线的共辄齿廓曲线，该共辄齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓 曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；利用共辄原理构造与齿顶齿廓曲线共辄的齿根齿廓，并对内 齿轮齿根齿廓进行修形；设计轮齿齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线，该方法具体步骤如 下： 步骤一、选择连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设 计啮合线，根据平面啮合原理，建立内啮合齿轮传动的共辄方程，该方程反应了啮合线上的 点与内啮合齿轮共辄齿廓曲线上共辄点之间的对应关系； 步骤二、构造满足设计圆弧啮合线的内外齿轮共辄齿顶齿廓曲线，把啮合线方程带入 共辄方程，得到圆弧啮合线与共辄齿廓曲线的对应关系式，通过坐标变换和计算，得到满足 圆弧啮合线的共辄齿廓曲线，因为圆弧啮合线位于齿顶圆和节圆之间，只有齿顶齿廓参与 啮合，因此得到的共辄齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线； 步骤三、构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线，已知内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线 和他们之间相对运动关系，根据共辄原理，分别构造与内齿轮齿顶齿廓曲线共辄的外齿轮 的齿根齿廓曲线和与外齿轮齿顶齿廓共辄的内齿轮齿根齿廓；当内齿轮的齿顶齿廓和齿根 齿廓同时与外齿轮的齿顶齿廓啮合，将发生两点同时接触，对内齿轮齿根齿廓进行修形，避 免齿廓的啮合过程中两点接触； 步骤四、设计内外齿轮轮齿齿根与齿根圆之间的过渡曲线，确定轮齿齿根齿廓曲线在 端点处的切向，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线在端点相切的圆弧过渡曲线。
【专利摘要】本发明公开了一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，该方法设计的啮合线为一段连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点和节圆交点的圆弧，通过平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系的共轭方程；构造满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，该共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；利用共轭原理构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓，并对内齿轮齿根齿廓进行修形；设计轮齿齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线。本发明具有重合度大的优点，与渐开线齿形相比重合度大2倍以上，多个轮齿参与啮合，承载能力强，动态冲击小，同时相对滑动率低，润滑条件好；不会产生齿廓干涉的问题，齿轮参数设计更加自由。
【IPC分类】F16H55/08, F16H55/17
【公开号】CN105134907
【申请号】CN201510471206
【发明人】王延忠, 李圆, 吴向宇, 赵鹏坤
【申请人】北京航空航天大学
【公开日】2015年12月9日
【申请日】2015年8月4日