使用电极瞬态模型估计电池状态的制作方法

引言

本发明涉及使用可充电电池组的电气系统。本发明的各个方面涉及电池组的平衡单元电压的实时估计，以及使用电压来估计电池组的荷电状态(soc)或功率状态(sop)。正如此项技术中常用的，术语“荷电状态”是指电池能量，通常表示为百分比，相对于完全充电的电池组的相应soc，仍然可用于电池的各种单元中。“功率状态”描述了在预定的最大使用持续时间(例如，2s或10s)之后电池组的剩余功率容量。监视电池状态使能够在充电或放电操作期间进行最佳控制和功率流决策。因此，电气化车辆、动力装置和其它电气化系统受益于电池管理系统的使用，电池管理系统能够更好地跟踪在实际状态测量之间电池组的内部状态或状态的演变。本发明有助于支持此类应用。

电池单元包括正极与负极。在现有技术中，此类单元通常由渗透有液体电解质的多孔材料制成。例如，在示例锂离子电池单元的充电过程中，锂原子扩散到发生电化学反应的正极表面。此电化学反应产生带正电荷的锂离子，随后锂离子通过正电极孔隙中的电解质溶液迁移，穿过防止正电极与负电极之间直接接触的分离器，随后迁移到负电极的孔隙中。锂离子最终到达负电极表面，随后离子在负电极表面进行第二次电化学反应。锂离子随后扩散到负电极材料中。

在电池单元的放电期间，上述反应的方向与锂离子流动的方向相反。上述示例锂物质可以由其它适用的化学物质代替，且对于一些电池构造，两个电极中仅有一个可能是多孔的。所公开的方法是有用的，在不考虑用于构造电池单元的特定化学物质的情况下，只要至少电极的一个是多孔。

控制化学物质流动的物理化学过程的性质是，通过给定电极，每个物质的浓度不一定是均匀的。此不均匀性导致电极材料中各个点处的局部soc的差异。特别地，电极前部的局部soc，也就是说最接近分隔器区域，可能与同一电极背面的局部soc不同，也就是说最接近集电器，从而产生前到后soc差距。

处于开路状态的电池单元，给定足够的时间，就会稳定到被称为单元开路电压(ocv)的平衡电压。理想地，给定电池单元的ocv对于每个soc都是唯一的，与电池单元在切换到开路状态之前是否正在充电或放电无关，并且也与电池电流的大小无关。ocv随着电池单元soc的增加而单调增加，因此ocv与soc之间的关系是可逆的。也就是说，在x是分数soc的情况下，即，0≤x≤1，且vo代表ocv，非线性ocv曲线由vo＝u(x)函数界定，所述函数可逆为x＝u^-1(vo)。因此，一旦给定的电池单元已经足够长地静止且准确地测量其ocv，就可以粗略地估计soc。在混合动力电动或电池电动车辆中，电池状态估计(bse)逻辑可能参考此ocv曲线以实时估计soc。或者，可以使用称为库仑计数的方法从t＝0处的初始socx(0)跟踪soc，即其中cap是电池单元的容量且i(τ)是电池电流。bse逻辑可以平衡基于电压的估计与基于库仑的估计以产生复合估计。由于库仑计数本质上是开环的且存在积分误差的累积，因此基于电压的估计用作重要的闭环检查。由于电路电阻和电压瞬态的存在以及电池单元本身内发生的电荷转移物理，使得上述ocv曲线与实时状态估计问题的判定精确度变得复杂，所有这些都可能结合起来使现有的soc/sop估计技术在某些条件下不是最优的。

技术实现要素：

本发明公开一种电池状态估计(bse)方法，用于与具有多单元电池组的电气系统一起使用。虽然锂离子化学被描述为示例电池化学物质，但是教示并不限于锂离子电池，而是具有至少一个在上述方式中多孔的电极的电池配置。作为公开方法的一部分，控制器被编程为执行体现本方法的指令，从而通过建模或基于传感器的测量来判定各种电池单元的电池电压。根据此类估计，控制器得出电池组的荷电状态(soc)和可能的功率状态(sop)。

石墨被广泛用作锂离子电池负极中的活性材料。本方法特别适用于此材料，因为石墨电极的ocv曲线具有几个几乎平坦的区域，通常称为平顶，在平顶之间具有相对尖锐的过渡。在这些过渡附近，电极的局部soc的微小差异，例如前到后soc差异，可能对端子电压具有显着的(尽管是瞬态的)影响。如果未正确考虑瞬态电压效应，那么可能导致不准确的实时bse。因此，电池单元的soc的离散/单层容量估计可能导致不太准确的实时bse。本方法旨在通过仔细考虑此类瞬态效应来帮助改良此类状态估计。

每个电极具有相应的开路电压(ocv)曲线，其可以相对于共同参考(通常是纯锂)进行实验测量。在单元终端观察到的ocv是单元的两个半单元ocv之间的差异。局部soc的差异，例如前到后soc差异，可能导致电极中不同点处的不同ocv。电池终端所测得的电压受此类局部电压的影响。如果允许电池单元在开路处停留，那么锂(在锂离子实施例中)将通过在电极的固体材料内的扩散和通过上述过程从高浓度区域移向低浓度区域移动，锂从较高局部soc的区域向下插入，通过孔隙中的电解质迁移，且插入到较低局部soc的区域中。这导致在终端处测量的电压的瞬变。当整个电极的局部soc平衡到一个均匀的大容量soc时，端子电压稳定到单元ocv。因此，在给定端子电压测量值的情况下，为了更准确地实时估计大容量soc，需要对测量电压进行补偿以消除瞬态影响。本方法有利于消除此类影响。

特别地，本策略中使用的控制器使用多孔电极瞬态(pet)模型作为集合模型组的一部分来解决此类瞬态效应的潜在问题。pet配置成模拟在充电或放电期间在电池单元中发生的低频瞬态电压效应。pet模型考虑给定电极(例如负电极)的多个离散“层”处的电荷分布。在一些实施例中可以使用最少三个所述离散层，在其它实施例中多达七到十个所述离散层就足够了，因此与本方法相关的额外计算负担是最小的。根据需要，可以通过pet模型对更多或更少的离散层进行建模，以提供所需的计算负载性能权衡。

特别地，控制器通过将电压调节加到ocv值来补偿通过电极深度的soc分布的上述差异，所述调节由pet模型预测。pet模型可以体现为由多个ocv元件组成的传输线/等效电路，每个ocv元件可以与其自身校准/预定的电荷转移电阻串联，且通过有效孔电阻与其相邻元件并联，两个电阻值都与温度有关。另一种方法是将离散的偏微分方程(pde)瞬态模型应用到同一末端。

在一示例实施例中，电气系统包含具有多个电池单元、传感器和上述控制器的电池组，后者配置以执行本方法。传感器输出表示电池背面的实际状态的测量状态信号，电池组的实际状态包含多个电池单元中的每一个的相应实际电池电压、电流和温度。响应于测量的状态信号，控制器产生电池组的估计荷电状态(soc)，且其后响应于估计的soc实时控制电气系统的操作状态。

多个ocv元件可以在控制器的存储器位置中表示为等效电路模型。所述等效电路模型可包括对电极离散层的每个所需数量(n)的校准电荷转移电阻和校准有效孔隙电阻。这里，n等于多个ocv元件的数量，例如，在非限制性实施例中，n≥3。在其它实施例中可以使用n的其它值，例如，n≥5。如一般熟悉此技术的人员所理解的，电荷转移电阻和孔隙电阻是与温度有关的值。

多个ocv元件可以替代地在控制器的存储器位置中表示为表示连续soc分布θe(t，z)的一组偏微分方程(pde)，其中t是时间且z是电极的无量纲深度。

在一些实施例中，电池单元可以是锂离子电池单元，和/或电极可以是负电极。

控制器可以基于估计电压与实际电压之间的差异，例如使用卡尔曼滤波器或其变体，定期更新pet模型，和pet模型是其组成部分的集合模型组。

电气系统可以与显示装置通信，控制器配置以通过显示装置显示soc。

在一些实施例中，控制器可以使用估计状态的时间历史来得出电池组的数值健康状态，且还输出指示数值健康状态的信号。

电机可以耦接到负载，使得在放电模式中，电机用作牵引电动机为负载供电。同样地，当电机是电动发电机单元时，电机可以作为发电机运行以从负载汲取电力，例如，在再生制动模式下。在一些实施例中，负载是机动车辆的一组驱动轮。

以上概要不旨在表示本发明的每个可能的实施例或每个方面。相反，上述概要旨在例证本文所公开的一些新的方面和特征。当结合附图和所附权利要求书时，从以下对代表性实施例和用于实现本发明的模式的实施方式中，本发明的上述特征和优点以及其它特征和优点将是显而易见的。

附图说明

图1是具有电气系统的示例车辆的示意图，电气系统包含电池组和控制器，控制器配置成在车辆的总体控制中使用pet模型来估计电池组的状态。

图2是根据本方法可以实时估计其状态的示例电池单元的示意图。

图3是图1的电池组和控制器的示意性逻辑流程图。

图4是可以用作本方法一部分的等效电路的示意性电路图。

图5是使用本方法估计电荷和功率状态的示意性控制图。

图6是可以用作可能实施例中的方法的一部分的等效电路图。

本发明易于受到修改和替代形式的影响，具有代表性的实施例通过示例的方式在图式中显示，且在下文中详细描述。本发明的创造性方面不限于所公开的特定形式。相反，本发明旨在涵盖属于所附权利要求书所界定的本发明范围内的修改、等效物、组合和替代物。

具体实施方式

参照图式，其中相似的参考标号表示相似的组件，图1描述具有一组通过电气系统12供电的驱动轮11的示例车辆10。流入或流出电气系统12的功率由控制器(c)50(例如，电池系统管理器或其它控制装置)管理，控制器50通过一组输出信号(箭头cco)调节电气系统12的操作。车辆10可以可选地装配为混合动力电动车或电池电动车，其中电气系统12最终产生推进扭矩且将推进扭矩传递到驱动轮11。虽然在下文中将车辆10描述为可以受益于本教示的一种示例类型的高能系统，但是可以设想除了所示的机动车10之外的车辆，例如飞机、船舶或轨道车辆，以及固定或移动动力装置、平台、机器人等，但不限于此。

电气系统12包含具有多个电池单元14的相对高压的电池组(bhv)13。图1中，四个这样的电池单元14标记为c1、c2、c3和c4用于形成电池组13的电池单元14的实际数量和电压水平是应用特定的，因此取决于电池组13供电的特定系统或系统的能量需求。电池组13的实施例可包含锂离子、镍金属氢化物或其它合适的电池化学物质。电气系统12还可包括一个或多个电机15，例如牵引发动机或电动发电机单元，其直接或通过中间齿轮装置和驱动轴耦接车轮11，电源反相器模块，用于将来自电池组13的直流电源反相为多相电压，所述多相电压适用于给电机15等的绕组通电。因此，在一实施例中，电机扭矩(箭头tm)可传递到驱动轮11。或者，当电机15作为发电机运行时，当操作状态是电池组13的充电状态时，电机15可以从负载(在这种情况下是车轮11)汲取电力。

图1中的控制器50可用作使用电池状态估计(bse)技术的电池管理子系统的一部分。也就是说，图1所示的控制器50可以作为电池管理系统的一部分或作为一个单独的设备体现，具有一个或多个低压数字计算机，包含处理器(p)(如微处理器或中央处理单元)和只读存储器、随机存取存储器和可编程只读存储器等形式的存储器(m)、速时钟、模数转换和数模转换电路、输入/输出电路和装置以及适当的信号调理和缓冲电路。控制器50可作为其指定控制功能的一部分，具有监测和控制电池组13的温度、荷电状态、电压和其它性能特征的任务。

作为用于估计电池组13的当前状态的计算机可执行方法100的一部分，控制器50可以模拟或接收来自每个传感器16的单独电池电压测量值(箭头vc)，还可以测量电池温度(箭头t)和电流(箭头i)。在执行方法100时，控制器50使用估计状态，特别是电池电压，包含电池组13的至少一个荷电状态(soc)和一个功率状态(sop)，得出当前电池状态。控制器50在具有一个或两个多孔电极瞬态(pet)模型58的集合模型组61(参见图5)的协助下实现，后者在电池组13的充电或放电期间产生低频瞬态电压效应。每个pet模型58最终判定电荷如何通过每个电池单元14的给定负电极或正电极的深度不均匀地变化。随后，基于改良包含pet模型58的集合模型组61的准确度，实时调整使用此类基于温度的电压估计的soc估计结果。

参照图2，根据代表性配置，电池组13通常由电池单元阵列14组成。虽然下文描述锂离子电池14，但所公开的概念可能同样适用于其它电存储架构，包含那些使用镍金属氢化物(nimh)电池、锂聚合物电池或其它类型的高能电池。如图所示，每个电池单元14是多层结构，具有外壳，在图2的底部由一个信封状袋62表示，信封状袋62通常具有平的、矩形的主要面向侧面64和66。相应侧面64和66可以由铝板或箔或其它合适的材料形成，且涂覆有聚合物绝缘材料。侧面64和66通过例如焊接或压接等方式连接，以封闭导电正锂离子的液体电解质(示意性地展示在68处)。从侧面64和66的纵向边缘向外延伸的相应是负极(-)和正极(+)片70和72，用于在袋62的内部体积内与相应负极(-)和正极(+)电极(阳极74与阴极76)进行电气连接。

所述袋62经塑造形状和设定大小以含有一组重复单元的锂离子电池组件，单个单元或电池单元14通常由阳极74与阴极76形式的电极组成，并且在阳极74、阴极76和所述袋62的侧面64和66之间交错一系列多孔隔板78。阳极74与阴极76可操作地连接到袋62上并与电解质组合物68电化学接触，使得离子在充电或放电期间可在其间转移。在一锂离子实施例中，阴极76由能够在电池充电操作期间提供锂离子，以及在电池放电操作期间合并锂离子的材料制成。例如，阴极76可包含金属氧化物锂、磷酸盐或硅酸盐。隔板78可由多孔聚烯烃膜组成，例如，孔隙度约为35％至65％，厚度大致为25-30微米。例如，可以通过添加涂覆在多孔膜表面上的非导电陶瓷颗粒(例如，二氧化硅)来修改隔板78。

可以使用参考电极80，但对于所公开的方法100的功能来说是不必要。相反，方法100可能依赖于如本文所述的跨两个半电池上的端子电压的建模。当参考电极80可用时，可以对两个半电池执行bse，并应用pet模型两次(每半电池一次)。对于方法100范围内的可选感测目的，形成有参考电极80的传感器16a可以插入到阳极74与阴极76之间，且与电解质组合物68电化学接触。参考电极80可用作独立测量阳极74与阴极76的电压的第三电极。参考电极组合件80可由支撑电气触头84、电气轨道86和电气引线88的隔板82制成。专用隔板82由电绝缘多孔聚合物材料(例如，聚乙烯或聚丙烯)或两者的组合制成。薄的多孔隔板82可以插入到阳极与阴极74与76平行面之间的面对面非接触关系中，含锂离子的电解质溶液68渗透且填充孔隙并接触隔板82的表面。可选的夹套分离器(未展示)可安置穿过且覆盖隔板82的一侧或两侧，例如，有助于确保与阳极与阴极74与76无直接物理接触。

在所示的实例中，支撑片87可从延长的隔板82的横向边缘横向突出，电气触头84沉积在支撑片87上或以其它方式固定到支撑片87上。电气轨道86将电气引线88电连接到电气触头84。参考电极组合件80可使用沉积在支撑隔板82上且连接到电气引线88的嵌入电极90来制造。在所示的组合件配置中，可沉积非导电颗粒以形成非常薄的氧化铝层94，所述氧化铝层沉积在嵌入电极90上且覆盖所述嵌入电极90，从而形成电气轨道86。此氧化铝层94(可能只有几个原子厚)有助于稳定参考电极组合80，例如延长寿命。

在多层堆叠中，多个参考电极组合件80可以插入整个堆叠中的若干位置以用于冗余。在此类情况下，用于各种参考电极组合件80的支撑片75可以互相连接用于单个读数，因为可以预期它们都具有相同(或几乎相同)的电压。此外，通过提供多个独立操作的参考电极，如果一个参考连接失败，那么信号可能对剩余的参考连接保持有效。

如上所述，用于估计soc的两种可用技术包含(1)库仑计数(积分电流)和(2)电压查找。对于库仑计数：

其中，soc(t0)是初始荷电状态值(通常在充满电后soc＝100％)。测量电流的误差(t)可能导致soc中的误差累积(例如，自上次完全充电以来的时间段越长且部分充电的数量越大，可能累积的误差越大)。电池容量的不确定性(cap)也可能导致库仑计数错误。随着容量在电池寿命期间趋于降低，此不确定性会随着时间的推移而增加。使用电压查找技术估计soc的替代技术可以依赖于以下事实：当电池组13完全静止时，平衡电压/ocv唯一地指示soc。除了或代替此类方法外，本方法100可用于通过阳极74或阴极76的深度处理电荷变化来改良状态估计的准确性，现在将参照其余的图式详细阐述。

图3是用于整个电池状态估计(bse)过程的组件和控制块的示意流程图。应理解，soc和sop的知识对于正确和精确的电池管理是非常需要的。改良的bse精确度意味着操作可能更接近于已既定的电池极限，因此在soc范围的顶部附近可以更快地完成充电。在较低的soc下操作以改良范围的能力也是可能的，在寿命与性能之间改良权衡。

为提供此类益处，bse逻辑块20编程在图1中所示的控制器50的逻辑中，控制输入从电池组13馈入bse逻辑块20，包含上文提到的电池电压(vc)。bse逻辑块20可位于控制器50或单独的计算机装置中。图1中所示的车辆10的驱动器21(参见图3)发出由控制器50处理的驱动请求。作为响应，控制器50向电池组13输出电力指令(箭头pcmd)，例如，通过电池管理系统(bms)和推进系统逻辑块22，根据操作模式对电池组13充电或放电。在所示的实例中，例如，电池组13将电力(箭头pwr)传递到车辆10的传动系统24(例如电机)。

同时，bse逻辑块20根据本方法100估计soc、sop和可能的其它状态，参考图4到6，详情如下。估计电压与最终估计的soc可用于做出各种控制决策，包含基于电池组13的数字健康状态(soh)、剩余电能范围等的控制决策。可选距离显示器25可以使用来自bse逻辑块20的估计soc来通知驱动器21剩余电荷，这与如何使用燃油表展示燃油箱中剩余燃油油位的方式不同。soc和sop反馈回到控制器50中，且用于在所述控制器中选择动力系操作模式。

关于bse逻辑块20，执行各种处理与例程来估计soc与sop。举例来说，具有相关硬件的测量块26(包含图2中所示的90)测量电池组13的电流、电压和温度(分别为i、vc和t)，在一个或多个位置(例如每个电池单元14内)。随后，使用图5的模型组61来模拟本文所述的电池单元14的电极74和/或76(参见图2)的瞬态动力学。模拟的瞬态动力学可以用于得出瞬态sop和稳态soc，如上所述，瞬态sop和稳态soc反馈回到控制器50且可能通过距离显示器25显示给驱动器21。调整块27可以修改或调整现有的集体模型组61，以更紧密地匹配由传感器16定期测量的电池组13的实际行为，电池组13的长期数字健康状态可能作为另一输出产生，例如，耗尽电池组13的值在0到1之间，用于校准/新变体。

图4描绘使用可选的卡尔曼滤波器块57进一步解释图3的bse逻辑块20的某些功能的高级示意图。对于特定的电池电流(i)，控制器50可以使用电池组的真实状态u与传感器16来判定电池组13的电压(v)与温度(t)。从真实状态(u)的知识开始，可以使用集合模型组61(包含pet模型58)来估计“提前”状态矢量其中术语“提前”意味着新状态比当前状态提前一个时间步。可从测量的电压(v)中减去预测电压且将差值(δv)用作模型组61的反馈项来校正模型61。

卡尔曼滤波器方法或其变体可以使用增益矩阵k，其中k取决于状态矢量和其协方差，以及取决于测量不确定性。状态矢量包含局部荷电状态、电阻电容对电压和电路参数。因此，卡尔曼滤波器块57配置以更新满状态矢量即：如图所示，通过相应的测量更新块59。随后，可将估计的soc和sop输出至控制器50或电池管理系统(bms)逻辑或其硬件组件，以便对图1中所示的电气系统12采取进一步的控制措施。

图5描绘电池电压(vc)的示例电路模型，所述电路模型说明pet模型58相对于图3中示意性展示的集合模型组61内的操作与放置。在开路状态下，开路电池电压u(θ)具有将开路电池电压与荷电状态(θ)相关联的非线性曲线。此适用于电池组13在开路状态下静止一段时间，即，无电流(i)流入电池组13，足以达到平衡的情况。因此，开路电池电压是电池组13的实际能量的指示。

一旦ocv判定，损耗就将视为是开路/滞后模型54的一部分。其中一损耗是由于滞后偏移引起的，在图5中标记为其中例如，可以使用普通微分方程来判定例如，取决于电池电流(i)的符号。实际上，滞后被建模用于充电和放电两种操作模式。来自模型54的ocv与滞后和pet模型58的输出因此共同捕获低频效应。本文所用的简化的pet模型58忽略了若干高频现象，例如嵌入到固体颗粒中的锂的扩散、锂离子在图2的电解质溶液68中的扩散、双层电容等。由于pet模型58意欲捕获低频瞬态电压行为，因此认为如本文所述的粗略离散化是可接受的。

还在图5的电路描绘中考虑一过电位电阻电容电路模型56，其可表示为如下：

roi+v1+...+vn，

在此处，可能具有非线性特性的高频电阻ro与多个电阻(r)-电容(c)对(例如，r1c1...rncn)串联，以共同表示可能进一步影响ocv的附加损耗。用于在电阻电容电路模型中实现电阻电容对的示例性方法公开于美国专利申请号14/171,334中，且以us2015/0219726a1向lenz等人发表，其以全文引用的方式并入。可以通过此类方法或其它合适的方法捕获高频行为。

pet模型58用于考虑锂离子插入或抽取多孔电极(例如图2的阳极74或阴极76)的影响，所述多孔电极取决于锂离子在有源电极颗粒之间的孔隙中通过电解质68的移动。电极的前表面(即，最靠近图2中相应分隔层78靠近阳极74或阴极76的前表面)，相对于位于更远处的表面或层，相对快速地响应施加的电流。因此，锂穿透电极后表面(即最靠近集电器的表面)需要更长的时间。pet模型58解释所得到的不均匀荷电状态，且可以应用于给定电池单元14的电极74和/或76中的任一个或两个。由于石墨的高非线性ocv曲线响应，对于目前生产的离子电池来说，当应用于负极(即阳极74)时特别有用。

pet模型58可以表示为等效电路，或者是偏微分方程系统。现在将依次讨论这两种方法。

等效电路：等效电路表示是电极(e)内电荷转移的离散模型，例如图2的阳极74或阴极76。全电池ocv是给定电池单元13的两个电极(正极与负极)的ocv的总和：

u(θ)＝upos(θpos)+uneg(θneg)

每个正(pos)与负(neg)电极具有其自己的起始荷电状态(θ)与容量(ce)。在整体上，每个电极看到与完整的电池单元13相同的电池电流。然而，在电极的每层(k)处，电流(i)分为两种成分：为所述层充电的插层电流，和将锂传递到下一层的孔隙电流。

如将了解，还存在与电池电流(i)的每种成分相关联的电阻，即，与温度相关的电荷转移电阻(r)，其描述对电荷转移到颗粒中的电阻，以及作为对电极孔隙中向下移动锂离子的电阻的温度相关的有效孔隙电阻(r)，即，电解质材料68、孔径等功能。随着离散化层n的数量接近无穷大，等效电路解决方案接近下面描述的偏微分方程(pde)系统的解。

如图6所示的此类等效电路，其中ve是瞬态电压。因此，在插入图3的完整模型之前，可以减去平衡值ue(θe)。离散化层(n)的数量还可以调整。虽然更多层导致更接近相关的pde系统，但还需要额外的计算资源。在非限定性示例性实施例中，5≤n≤7用于最佳性能权衡，尽管在其它实施例中可以使用更多或更少的层。

在给定总电流i的情况下，可以通过求解三对角线性系统来计算插层电流ik，k＝1，...，n：

(r+r)i1-ri2＝u2-u1+ri，

-rik-1+(2r+r)ik-rik+1＝uk-1-2uk+uk+1，k＝2，...，n-1，

-rin-1+(r+r)in＝un-1-un。

实际荷电状态的时间导数，即可以表示为：在n层电极(e)的情况下，那么θe，1，θe，2，...θe，n表示层1、2、...、n中的每一个的独立荷电状态。此方法中的层1是靠近隔板78(图2)的层，且层2至n逐渐地从层1移动到电极(e)的深度。

pde模型：在另一方法中，多孔电极(e)的偏微分方程(pde)模型具有连续的荷电分布状态θe(t，z)，其中t表示时间，且z是穿过电极的无量纲深度。因此，在电池单元13的集电器处z＝0且在电极与隔板层之间的界面处z＝1，例如，在图2的隔板层78与阳极74之间。同样，电极孔隙中的电解质68中的电压表示为v(t，z)。用于pet模型58的控制pde系统是，对于t＞0且0≤z≤1：

可以选择等效电路模型的温度相关参数r和r以及pde模型的温度相关参数α和β，使得等效电路模型的解决方案作为离散化层n的数量接近无穷大接近pde模型的解。此类值(r)和(r)可得出为：

用于离散pde系统以近似其解决方案的其它方法还可以在本发明的范围内使用，且因此用作方法100的一部分。如此项技术中所理解的，示例性方法包含有限差分、有限元件和有限体积。其中，有限体积法可能是特别有益的，因为其可以配制成保存电荷(即保存上面提到的库仑计数)。应注意，pde系统需要：

为了离散化，控制器50可以将z的域划分为n个间隔：

0＝z0＜z1＜...＜zn-1＜zn＝1。

随后，控制器50可将每个间隔的平均充电状态界定为：

此后，平均值的时间导数满足以下方程：

上述方程右侧展示的导数可通过近似v(t，z)的方法获得，以满足其二阶pde与边界条件。一种可能性是二次样条(具有连续一阶导数的分段二次连续曲线)，其可以在两个边界条件与每个间隔内部的一个点(通常是中心点)处满足pde。体现为上述一个或两个电极(负电极和/或正电极)的离散化模型(采用等效电路/传输线变化或作为pde系统的离散化)，pet模型58的使用，使得pde系统给出：

或

如上文所述，图4的卡尔曼滤波器的每次迭代中，方法100“前进”一个时间步。如上文所述，图4的卡尔曼滤波器的每次迭代中，方法100“前进”一个时间步。由于ocv函数的非线性特性，即u(θ)，通常不能获得精确的解。有多种近似时间步的方法，例如使用前向欧拉(显式时间步长)，后向欧拉(隐式时间步长)和曲柄尼科尔森方法。应了解，前向欧拉可以表示为后向欧拉可以表示为类似地，曲柄尼科尔森公式可表示为这三种方法的准确性，计算复杂性和稳定性各不相同。然而，图3的bse逻辑块20中典型的时间步数为100ms，其小于支配多孔电极响应的时间尺度。因此，对于所公开的目的，此类示例方法是有效的，因此，可以使用上述的方法100更准确地说明电极内的荷电分布状态，相对于有效地将电极视为均匀层的方法。相反，对各层的差异进行建模，并在校准的控制回路中更新模型，例如每50-100ms更新一次，根据需要可在策略中添加额外层，以进一步改良bse结果。

应了解，在执行相应的控制动作时，本教示可以有利地扩展到图1的车辆10。也就是说，在根据荷电状态和/或功率状态估计电池状态后，图1的控制器50可以通过图3的距离显示器25显示剩余的电范围，如上所述。或者，控制器50可以控制电池组13的操作，例如通过基于估计的电池状态启动电池组13的充电或放电。图3中所示的可选控制操作还包含产生指示电池组13的当前健康状况或剩余使用寿命的数字健康状态(soh)。例如，当数字健康状态指示电池组13退化时，控制器50可记录一个诊断代码，触发电池组13的更换和/或将电池组13的使用限制为关键模式，例如默认的“跛行回家”模式，提供足够的推进力以到达适当的维护位置。鉴于本发明，所属领域的一般技术人员可能容易理解这些和其它可能的控制措施与伴随益处。虽然已经详细描述一些最佳模式与其它实施例，但存在各种替代设计和实施例，用于实践所附权利要求书中定义的本教示。所属领域的技术人员将认识到，可以在不脱离本发明范围的情况下对所公开的实施例进行修改。此外，本概念明确地包含所描述的元件与特征的组合与子组合。详细描述和图式对本教示进行支持与描述，本教示的范围仅由权利要求书界定。