一种指数信号的去噪方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及信号的去噪方法，尤其是涉及一种指数信号的去噪方法。
【背景技术】
[0002] 在许多实际应用中，如核磁共振波谱、雷达目标定位，我们感兴趣的目标信号 可以建模成在频域（相对时域）上若干谱峰的线性叠加，而采集得到的时域（相对 频域）信号可以表示成一系列指数函数的叠加。由于受到硬件、物理条件的限制，实 际采样得到的数据往往受到噪声污染，因此无法辨别部分微小信号。对于一般信号， 通常采用重复采样的方式得到更高信噪比的信号：通过重复采样得到多个信号，然后 叠加信号并平均。而对于一些特殊信号，比如核磁共振波谱的时域信号，Cadz 〇w(Y. Y. Lin and L.P. Hwang, ^NMR Signal Enhancement Based on Matrix Property Mappings，"Journal of Magnetic Resonance，Series A, vol. 103, pp. 109-114, 1993.) 提出一种典型的去噪方法，但这种方法不能保证得到的解为全局最优解。本发明 利用指数信号经过构建汉克尔矩阵的线性算子作用后所具有的低秩特性（X.Qu，M. Mayzelj J. -F. Caij Z. Chen,and V. Y. Orekhov,Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction, Angewandte Chemie International Edition, vol. 54, pp. 852-854, 2015.)，并通过构建基于汉克尔矩阵核范数的拉格朗日凸优化求解模型，对信 号进行去噪。
【发明内容】
[0003] 本发明的目的在于提供效果优良、易于操作的一种指数信号的去噪方法。
[0004] 本发明包括以下步骤：
[0005] 1)对指数信号构建汉克尔矩阵，具体方法如下：
[0006] 将指数信号记做X = [X (I)，X (2)，…，X (N)]，长度记做N，其中
，C]和z ,为复数，J为正整数，η为指数的阶次，通过线性算子 R，将向量X构建成汉克尔矩阵：
[0007]
(1)
[0008] 式⑴中的Q，P是R的两个参数，决定了矩阵Rx的大小；
[0009] 2)测量噪声标准差，具体方法如下：采样信号y含有噪声，在采到的信号中取信噪 比较低的一段信号，测量其标准差作为噪声标准差σ ;
[0010] 3)采用步骤1)中构建汉克尔矩阵的方法，建立一种基于汉克尔矩阵核范数最小 的拉格朗日最优化模型：
[0011]
(2)
[0012] 式（2)中的X为期望的去噪后的信号，y为受噪声污染的采样信号，I I · I L为矩 阵的核范数（nuclear norm)，也就是矩阵奇异值之和，I I · I |2为向量的二范数，λ是一个 正则化参数，R为构建汉克尔矩阵的线性算子，R的作用是将信号X转为成公式（1)中的汉 克尔矩阵；
[0013] 4)使用步骤2)中测量得到的噪声标准差〇,设置参数
，其中 c e (〇, 1]；
[0014] 5)求解基于汉克尔矩阵核范数最小的拉格朗日最优化模型，具体方法如下：
[0015] 求解公式⑵中最优化问题，采用交替乘子法，引入中间变量H = Rx和拉格朗日 乘子D，根据下式迭代更新变量：
[0016] (3)
[0017] (4)
[0018]
[0019] 其中X〇i)，H00，D0i^示变量X，H，D在第k次迭代时的值；E表示单位阵；符号"T" 表示求矩阵的共辄转置；符号"-1"表示求矩阵的逆；
I表示奇异值收缩算 子(J. F. Caij E. J. Candesj and Z. ff. Shenj singular value thresholding algorithm for matrix completion，''SIAM Journal on Optimization, vol. 20, pp. 1956-1982, 2010.) (X. Quj M. Mayzelj J. -F. Caij Z. Chen, and V. Y. Orekhov, Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,Angewandte Chemie International Edition, vol. 54, pp. 852-854, 2015.);参数β (取值大于0)和τ (取值大于〇)是两个大于〇的参数；迭代 停止准则设定为达到最大迭代次数或X在相邻两次迭代中的误差I |χ〇?+1)-χ〇?)| |2小于设置 的阈值ε (取值大于0);当达到迭代停止准则时，迭代停止，输出去噪后的信号X ;
[0020] 6)数据后处理，具体方法是对去噪后的指数信号进行傅立叶变换得到频谱。
[0021] 本发明不仅速度快，精度高，同时可根据测量的噪声方差设定参数。在实际应用 中，比如核磁共振波谱的时间域信号，符合这种指数特征的信号，则可以通过采用这种最优 化模型实现信号的去噪，从而达到降低采样时间，提高谱图分辨率的目的。本发明实现了效 果优良且易于操作的一种指数信号的去噪方法。
【附图说明】
[0022] 图1是本发明方法去噪后得到的一维核磁共振频谱信号。
[0023] 图2是无噪的一维核磁共振频谱信号。
[0024] 图3是加噪后的一维核磁共振频谱信号。
【具体实施方式】
[0025] 本具体实施例对一维核磁共振波谱信号去噪的模拟实验，长度为N = 1024,具体 步骤如下：
[0026] 1)对指数信号构建汉克尔矩阵：根据公式（1)构建成汉克尔矩阵，设Q = 512, P = 513〇
[0027] 2)测量噪声标准差σ :取信号末端100个数据点，计算其标准差σ = 0.0655。
[0028] 3)建立一种指数信号的去噪方法：建立一种基于汉克尔矩阵核范数最小的拉格 朗日最优化模型：
[0029]
.(2):
[0030] 式（2)中X为待恢复的指数信号，y为带噪的时域信号，I I · I 为矩阵的核范数， 也就是矩阵奇异值之和，11 · 112为向量的二范数，λ是一个权衡常数，R为根据磁共振波 谱的时间域信号构建汉克尔矩阵的线性算子，如下所示：
[0031]
(6)
[0032] 4)设置参数λ :使用步骤2)中测量得到的噪声标准差σ，计算
，其中 c = 0. 2。
[0033] 5)求解基于汉克尔矩阵核范数最小的拉格朗日最优化模型：求解公式（2)中最 优化问题，采用交替乘子法，引入中间变量H = Rx和拉格朗日乘子D，根据下式迭代更新变 量：
[0034] (3)
[0035] (4)
[0036]
[0037] 其中X〇i)，，D0i^示变量X，H，D在第k次迭代时的值；E表示单位阵；符号"Τ" 表示求矩阵的共辄转置；符号"-1"表示求矩阵的逆；
I表示奇异值收缩算 子；参数β = τ =1。迭代停止准则设定为达到最大迭代次数1000或X在相邻两次迭代 中的误差I |χ_-χ〇?)Ι |2小于设置的阈值ε = 10 8。当达到迭代停止准则时，迭代停止，输 出去噪后的信号X。
[0038] 6)数据后处理：对去噪后的时域信号进行傅立叶变换得到谱图，如图1所示。作为 参考，对原始未加噪的信号和加噪后的信号分别做傅立叶变换得到谱图，如图2和3所示。
【主权项】
1. 一种指数信号的去噪方法，其特征在于包括以下步骤： 1) 对指数信号构建汉克尔矩阵； 2) 测量噪声标准差； 3) 采用步骤1)中构建汉克尔矩阵的方法，建立一种基于汉克尔矩阵核范数最小的拉 格朗日最优化模型：式（2)中的X为期望的去噪后的信号，y为受噪声污染的采样信号，I I ? I 为矩阵的 核范数（nuclear norm)，也就是矩阵奇异值之和，I I ? I |2为向量的二范数，A是一个正则 化参数，R为构建汉克尔矩阵的线性算子，R的作用是将信号X转为成公式（1)中的汉克尔 矩阵； 4) 使用步骤2)中测量得到的噪声标准差。，其中c G (〇, 1]; 5) 求解基于汉克尔矩阵核范数最小的拉格朗日最优化模型； 6) 数据后处理，得到频谱。2. 如权利要求1所述一种指数信号的去噪方法，其特征在于在步骤1)中，所述对指数 信号构建汉克尔矩阵的具体方法如下： 将指数信号记做X = [X (I)，X (2)，…，X (N)]，长度记做N，其中c#P z ,为复数，J为正整数，n为指数的阶次，通过线性算子 R，将向量X构建成汉克尔矩阵：式⑴中的Q，P是R的两个参数，决定了矩阵Rx的大小。3. 如权利要求1所述一种指数信号的去噪方法，其特征在于在步骤2)中，所述测量噪 声标准差的具体方法为：采样信号y含有噪声，在采到的信号中取信噪比较低的一段信号， 测量其标准差作为噪声标准差〇。4. 如权利要求1所述一种指数信号的去噪方法，其特征在于在步骤5)中，所述求解基 于汉克尔矩阵核范数最小的拉格朗日最优化模型的具体方法如下： 求解步骤3)中公式（2)中最优化问题，采用交替乘子法，引入中间变量H = Rx和拉格 朗日乘子D，根据下式迭代更新变量：D(k+i)= D(k「T (Rx(k)-H(k)) (5) 其中口^表示变量x，H，D在第k次迭代时的值；E表示单位阵；符号"T"表示 求矩阵的共辄转置；符号"-1"表示求矩阵的逆；表示奇异值收缩算子；参 数0和T是两个大于O的参数；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或X在相邻两次 迭代中的误差I |X〇i+1)-X〇i)| |2小于设置的阈值e，e取值大于0;当达到迭代停止准则时， 迭代停止，输出去噪后的信号X。
【专利摘要】一种指数信号的去噪方法，涉及信号的去噪方法。提供效果优良、易于操作的一种指数信号的去噪方法。对指数信号进行建模：将指数信号按设定的顺序填充在一个汉克尔矩阵当中，建立汉克尔矩阵低秩重建模型，最后通过求解这个模型对信号进行去噪。不仅速度快，精度高，同时可根据测量的噪声方差设定参数。在实际应用中，比如核磁共振波谱的时间域信号，符合这种指数特征的信号，则可以通过采用这种最优化模型实现信号的去噪，从而达到降低采样时间，提高谱图分辨率的目的。实现了效果优良且易于操作的一种指数信号的去噪方法。
【IPC分类】G01R33/28, G01R33/46
【公开号】CN105137373
【申请号】CN201510438400
【发明人】屈小波, 叶婧, 郭迪, 陈忠
【申请人】厦门大学
【公开日】2015年12月9日
【申请日】2015年7月23日