一种基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法与流程

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法。

背景技术：

混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌的控制与同步问题是非线性科学领域备受关注的研究课题。三阶严反馈混沌(例如genesio-tesi混沌和arneodo混沌)只需要单一的控制输入就能实现轨迹跟踪控制，在保密通信方面具有广泛的应用前景。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。滑模控制分为趋近模态和滑动模态，采用线性滑模面的普通滑模控制器只在滑动模态具有鲁棒性，在趋近模态没有鲁棒性。采用全局滑模面的全局滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，具有比普通滑模控制器更好的鲁棒性。通过在滑模面中引入积分项得到的积分滑模控制器，能够抑制系统的稳态误差和增强系统的鲁棒性，并已经应用于机械臂和永磁同步电机控制器的设计。通过将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计全局积分滑模面，并采用全局积分滑模面设计全局积分滑模控制器，能够充分发挥两种方法的优点，提高系统的响应速度，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。因此，设计全局积分滑模控制器进行三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制非常必要。

技术实现要素：

基于以上的技术问题，本发明提供一种基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，设计全局积分滑模控制器，采用单一的全局积分滑模控制器进行不同初始状态三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

所述一种基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，包括以下步骤：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

所述三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，x1，x2和x3为系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3]^t，f1(x)为连续函数。

对于三阶严反馈混沌系统公式(1)，带有建模不确定和外部干扰信号的受控系统，状态方程如下：

其中，△f1(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间，u为控制输入。建模不确定△f1(x)和外部干扰信号d(t)均有界，即|△f1(x)|≤d1，|d(t)|≤d2，且d1≥0，d2≥0。

三阶严反馈混沌系统状态变量x1的期望轨迹为xd，且xd具有三阶导数。三阶严反馈混沌系统状态变量x2的期望轨迹为状态变量x3的期望轨迹为三阶严反馈混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为：

公式(3)对时间t进行求导，并将公式(2)带入可以得到轨迹跟踪误差系统为：

其中e1，e2和e3为轨迹跟踪误差系统状态变量；

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，所述全局积分滑模面为：

其中，λ为常数，且λ>0，μ1为中间自适应参数，ζ为常数，且ζ>0，因此μ1≥0且当t→∞时，μ1→0。由于s(0)＝0，且当t→∞时，ei→0和s→0，p(t)是为了实现全局积分滑模控制设计的函数。函数p(t)必须满足下面的三个条件：

1)

2)当t→∞时，p(t)→0；

3)p(t)具有一阶导数。

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt(6)

其中，β为常数，且β>0。对函数p(t)进行求导，可以得到：

在全局积分滑模控制器的设计中，自适应指数趋近律设计为：

其中，k1和k2为常数，且k1≥0，k2≥d1+d2。

步骤3：根据轨迹跟踪误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

根据公式(4)、公式(5)和公式(8)，设计的全局积分滑模控制器为：

在式(9)的全局积分滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制器不连续，出现抖振现象。为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。最终所述全局积分滑模控制器为：

其中，符号函数sgn(s)的表达式为饱和函数sat(s)的表达式为其中，δ为常数，且δ>0。

通过lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，lyapunov函数为：

其中，s是式(5)中定义的全局积分滑模面。对公式(11)进行求导，并将公式(5)和公式(4)带入可以得到：

然后将公式(9)带入到公式(12)，化简后可以得到：

通过lyapunov稳定性理论证明了由公式(4)和公式(9)组成的闭环系统是稳定的，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，即单一的全局积分滑模控制器能够实现不同初始状态三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

有益技术效果：

提出将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计全局积分滑模面，并采用全局积分滑模面设计全局积分滑模控制器，能够充分发挥两种方法的优点：全局积分滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，同时能够抑制系统的稳态误差和增强系统的鲁棒性。全局积分滑模控制器用于三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，能够提高轨迹跟踪的速度，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明的总体结构示意图；

图2为本发明具体实施例1中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图3为本发明具体实施例1中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图4为本发明具体实施例1中轨迹跟踪误差的响应曲线；

图5为本发明具体实施例2中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图6为本发明具体实施例2中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图7为本发明具体实施例2中轨迹跟踪误差的响应曲线；

图8为本发明基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，根据带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，利用全局积分滑模面和自适应指数趋近律设计全局积分滑模控制器，单一的全局积分滑模控制器进行轨迹跟踪误差系统的控制，形成闭环系统，该闭环控制系统三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

为了更加直观的显示本发明提出的基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用matlab/simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶runge-kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为7s。

具体实施例1：

具体流程如图8所示：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

三阶严反馈混沌系统为多涡卷jerk混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的多涡卷jerk混沌系统，状态方程为：

其中，f1(x)＝-x1-x2-0.6x3+sgn(x1)+sgn(x1+2)+sgn(x1-2)，建模不确定△f1(x)设定为△f1(x)＝0.6sin(x2)sin(x3)，由于|△f1(x)|≤d1，则d1＝0.6，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.6cos(2t)，由于|d(t)|≤d2，则d2＝0.6。多涡卷jerk混沌系统的初始状态设定为x1(0)＝1，x2(0)＝1，x3(0)＝0.8。

多涡卷jerk混沌系统状态变量x1的期望轨迹为xd＝sin(ωt)，状态变量x2的期望轨迹为状态变量x3的期望轨迹为期望轨迹的初始状态分别为xd(0)＝0，在期望轨迹中，参数设定为ω＝1.7。

多涡卷jerk混沌系统状态变量和期望轨迹的轨迹跟踪误差为公式(3)：

多涡卷jerk混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差系统为公式(4)：

其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差系统状态变量；

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，全局积分滑模面为公式(5)：

其中，参数设定为λ＝3.2，参数设定为ζ＝0.2。

函数p(t)采用公式(6)：

p(t)＝p(0)e^-βt(6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为k1＝2，k2＝d1+d2＝1.2。

步骤3：根据轨迹跟踪误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制。

全局积分滑模控制器采用公式(10)：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为参数设定为δ＝0.001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数sgn(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。图3是采用饱和函数sat(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图4是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在3s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，设计全局积分滑模控制器公式(10)对轨迹跟踪误差系统公式(5)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制，即对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性，轨迹跟踪的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

具体流程如图8所示：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；

三阶严反馈混沌系统为genesio-tesi混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的genesio-tesi混沌系统，状态方程为：

其中，f1(x)＝-6x1-2.92x2-1.2x3+x1²，建模不确定△f1(x)设定为△f1(x)＝0.6sin(x1)cos(x2)，由于|△f1(x)|≤d1，则d1＝0.6，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.4cos(3t)，由于|d(t)|≤d2，则d2＝0.4。genesio-tesi混沌系统的初始状态设定为x1(0)＝1，x2(0)＝1，x3(0)＝0.8。

genesio-tesi混沌系统状态变量x1的期望轨迹为xd＝sin(ωt)，状态变量x2的期望轨迹为状态变量x3的期望轨迹为期望轨迹的初始状态分别为xd(0)＝0，在期望轨迹中，参数设定为ω＝2。

genesio-tesi混沌系统状态变量和期望轨迹的轨迹跟踪误差为公式(3)：

genesio-tesi混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差系统为公式(4)：

其中，e1，e2和e3为轨迹跟踪误差系统状态变量；

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

全局积分滑模面为公式(5)：

其中，参数设定为λ＝3，参数设定为ζ＝0.1。

函数p(t)采用公式(6)：

p(t)＝p(0)e^-βt(6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为k1＝2，k2＝d1+d2＝1。

步骤3：根据轨迹跟踪误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制。

全局积分滑模控制器采用公式(10)：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为参数设定为δ＝0.001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图5是采用符号函数sgn(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。图6是采用饱和函数sat(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。在图5中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图6中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图7是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在2.8s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，设计全局积分滑模控制器公式(10)对轨迹跟踪误差系统公式(5)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制，即对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性，轨迹跟踪的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。