一种有限时间积分滑模末制导律的制作方法

本发明涉及一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导方法，属于制导控制技术领域。

背景技术：

随着科学技术的不断进步，现代及未来战争中的目标威胁向着高速、大机动方向发展。这对制导律的设计提出了新的挑战，要求制导能够快速响应，保证有限时间收敛。另外，为了彻底摧毁目标，以直接碰撞为要求的动能杀伤技术成为了研究的热点，这对制导精度提出了更高的要求。

滑模控制对满足匹配条件的有界不确定性和干扰具有良好的鲁棒性。另外，滑模控制算法具有结构简单、易于实施和快速响应等优点。因此，滑模控制在导弹制导设计中获得了极为广泛的应用。为了实现全局滑模，保证制导系统在整个响应过程中的鲁棒性，积分滑模也被应用于导弹制导律的设计。考虑到实际的末制导过程十分有限且十分短暂，能够实现有限时间收敛的终端滑模控制在导弹制导设计得到了应用。然而，上述研究均是基于一阶滑模控制展开的，无法避免地会引起抖振现象，影响实际应用。为了克服抖振问题，高阶滑模控制，尤其是以super-twisting算法为代表的二阶滑模控制在导弹制导设计中得到了应用。通常情况，一阶滑模控制要求扰动的上界已知，高阶滑模控制要求扰动的各阶导数的上界已知。然而在实际中，这些信息往往难以获得，为了保证鲁棒性和有限时间收敛特性，往往需要选择较大的设计参数，会产生保守性。会解决此问题，同时进一步弱化抖振现象，扰动观测器被引入用于实时估计扰动信息，在制导设计中主要是估计目标的机动信息。综合积分滑模、super-twisting算法和扰动观测器的优点，结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器设计导弹末制导律十分有必要。

技术实现要素：

本发明针对现有技术的不足，结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器，提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律。

本发明是这样实现的：

一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，具体步骤如下：

步骤一、三维的目标-导弹相对运动方程

建立在视线球面坐标系下的三维的目标-导弹相对运动的动力学方程，可以表示为如下的二阶非线性微分方程：

式中，r，φ和θ分别表示目标-导弹相对距离，视线倾角和视线偏角；和分别表示目标-导弹的径向相对速度，纵向平面内的切向相对速度和侧向平面内的切向相对速度；[atratθatφ]^t和[amramθamφ]^t分别表示目标和导弹的加速度矢量。其中和分别表示相对时间的一阶导数，atr和amr分别表示目标和导弹的径向加速度，atθ和amθ分别表示目标和导弹在侧向平面内的切向加速度，atφ和amφ分别表示目标和导弹在纵向平面内的切向加速度。

制导的主要目标是通过控制导弹的切向加速度amθ和amφ使视线保持稳定，从而使导弹准平行接近目标并对目标实施拦截。稳定视线可以通过零化目标-导弹切向相对速度vθ和vφ来实现。自然地，零化切向相对速度vθ和vφ就是制导律设计的目标。一旦目标-导弹接近速度vr由负值变为正值，制导过程结束。此时，目标与导弹之间的相对距离称为脱靶量。综上，在整个末制导过程中，有

是数学符号，意思是“对于任意的”；“t”表示时间；r(0)表示初始时刻，亦即零时刻目标-导弹的相对距离。

考虑到制导律设计的目标，选择vθ和vφ作为制导系统状态。令x1＝[x11x12]^t、x11＝vθ、x12＝vφ、u1＝amθ和u2＝amφ，则有

其中

步骤二、制导律设计

定义积分类型的滑模面为

式中，k＝const.＞0，α＝const.∈(0,1)，τ表示积分变量，这里被积函数中省略了积分变量，完整形式为通常为了书写简便，可以省略被积函数中的积分变量；k是设计参数，是一个正常数；x11(0)表示状态变量x11的初始值，以即零时刻的值；sgn(.)表示符号函数。

求s1和s2相对时间的导数，并代入式(5),可得

基于super-twisting算法，将制导律设计为

式中，sgn(·)表示符号函数；α1和α2表示控制增益。

在实际制导过程中，目标加速度atθ和atφ通常无法预先获知。为此，将设计super-twisting扰动观测器实时估计atθ和atφ。为了设计观测器，将atθ和atφ视作扩展状态。令x21＝atθ和x22＝atφ，可以得到如下的扩展系统：

基于扩展系统(9)，估计atθ和atφ的super-twisting观测器可以分别设计为

式中，和分别表示x11、x21、x12和x22的估计值。明显地，和分别是atθ和atφ的估计。

对于制导律(8)，应用和分别替代atθ和atφ，得到易于实施的制导律为

在制导律(12)的作用下，闭环制导系统是有限时间收敛的。有限时间收敛的定义如下：

定义1:考虑系统其中f(x,t)是连续函数，且f(0,t)＝0。若存在连续正定函数v(x,t)以及实数ρ＞0和0＜η＜1使得那么原点是系统的全局有限时间稳定平衡点，收敛时间满足ts≤v^1-η(x0,0)/[ρ(1-η)].

步骤三、稳定性分析

定义super-twisting观测器(10)和(11)的估计误差为和将制导律(12)代入式(7)中，得

应用坐标转换

滑模动态特性(13)可以转化为

另外，结合式(9)～(11)，观测器(10)和(11)估计误差动态特性可以分别表示为

给出如下假设：假设1：且假设2：且定义如下矢量：

xi＝[|si|^1/2sgn(si)yi]^t,ei＝[|e1i|^1/2sgn(e1i)e2i]^t,i＝1,2(17)

考虑式(15)和(16)，求上述矢量相对时间的导数，可得

其中

另外，

考虑lyapunov候选函数

其中

另外，

明显地，若α2＞0且β2i＞0，则pxi和pei是正定对称矩阵。那么，vxi，vei以及v(xi,ei)是正定的且径向无界的函数。因此，有

式中，λmin(·)和λmax(·)分别表示最小和最大特征值；||·||2表示欧几里得范数。

沿着动态系统(18)和(19)，求v(xi,ei)相对时间的导数，根据young不等式以及假设1和假设2，可得

其中c＝[10].

令

进而，

若选择α1、α2、β1i和β2i使得对称矩阵qxi和qei是正定的，那么

由于可以得到|si|^1/2≤||xi||2，|e1i|^1/2≤||ei||2。那么，

另外，由式(24)可得

结合上述不等式，式(30)可以进一步转化为

式中，γx＝min{γxi,i＝1,2}，γe＝min{γei,i＝1,2}，γ＝min{γx,γe}.

根据定义1，由式(32)可得si、yi、e1i和e2i，i＝1,2将在有限时间内收敛至零，收敛时间满足t1≤v^1/2(xi(0),ei(0))/γ。结合式(15)可知，当si＝0且yi＝0，有根据式(6)，等价于

考虑lyapunov候选函数其沿着系统(33)，相对时间的导数为

根据定义1，由式(34)可得x1i将在有限时间t2i＝|x1i(0)|^1-α/[k(1-α)]之内收敛至零。最终，切向相对速度vθ和vφ将在有限时间t＝t1+max{t2i,i＝1,2}之内收敛至零。

本发明的有益效果为：结合积分滑模、super-twisting算法和有限时间扰动观测器，提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律。其能够保证有限时间收敛，消弱抖振现象，能够较好地估计目标机动加速度，且具有较高的制导精度。其能够用于拦截无人机、弹道导弹等高速大机动目标，具有广泛的应用前景。

附图说明

图1为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的切向相对速度对比图：a)俯仰通道切向相对速度对比图；b)偏航通道切向相对速度对比图；

图2为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的制导指令对比图：a)俯仰通道制导指令对比图；b)偏航通道制导指令对比图；

图3为本发明实施例反无人机情形下目标侧向加速度的估计图；

图4为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的切向相对速度对比图：a)俯仰通道切向相对速度对比图；b)偏航通道切向相对速度对比图；

图5为本发明实施例反无人机情形下不同制导律的制导指令对比图：a)俯仰通道制导指令对比图；b)偏航通道制导指令对比图；

图6为本发明实施例反无人机情形下目标加速度的估计图：a)目标法向加速度的估计图；b)目标侧向加速度的估计图。

具体实施方式

本发明提出一种基于super-twisting算法的有限时间积分滑模末制导律，主要包括三维制导方程的建立、目标机动加速度观测器设计、有限时间积分滑模末制导律设计及其稳定性分析。本发明的具体实施方式如下：

1)假设导弹采用主动式的雷达导引头，其能够提供目标-导弹相对距离信息r及其变化率视线角信息φ和θ，以及视线角速率信息和

2)由导引头的输出信息，计算目标-导弹相对接近速度分量vr，vφ和vθ。以此作为目标加速度观测器(10)和(11)的输入，获得目标机动加速度的估计值和

3)将目标机动加速度的估计值及导引头的输出信息代入公式(12)中获取实时的制导指令u1和u2。

实施例1

拦截无人机。拦截导弹的初始位置为(100，1，15)km，初始速度为1600m/s，初始的弹道倾角和弹道偏角分别为-15°和-17°。目标的初始位置为(120，5，12)km，初始速度为900m/s，初始弹道倾角和弹道偏角分别为-2°和180°。目标仅在偏航通道实施atθ＝-8g,t≥3s形式的阶跃机动。

实施例2

拦截弹道导弹。拦截导弹的初始位置为(45，1，6)km，初始速度为1700m/s，初始的弹道倾角和弹道偏角分别为10.5°和-18.5°。目标的初始位置为(75，5，20)km，初始速度为900m/s，初始弹道倾角和弹道偏角分别为-40°和180°。弹道导弹实施螺旋机动，为atφ＝acos(πt/3)g和atθ＝asin(πt/3)g，其中幅值a随海拔高度变化而变化，如表1所示。

表1目标机动幅值a

在上述两个实施例中，对提出的基于super-twisting算法的有限时间积分滑模制导律(sosmg)与经典的自适应滑模制导律(asmg)进行对比分析，以验证sosmg的性能。

从图1和图4中可以看出，提出的sosmg能够保证切向相对速度在有限时间内收敛至零，而asmg则不具有有限时间收敛特性；

从图2和图5中可以看出，在sosmg的导引下，随着切向相对速度的收敛，拦截导弹的过载能够较好地跟踪目标机动过载的变化，而asmg对目标机动过载的跟踪效果相对较差；

从图3和图6中可以看出，所设计目标机动观测器具有较好地性能，能够保证目标机动过载的估计值在有限时间内收敛至其真实值。

尽管这里参照本发明的解释性实施例对本发明进行了描述，上述实施例仅为本发明较佳的实施方式，本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。