一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法与流程

本发明属于反振荡控制领域，涉及一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法。

背景技术：

近年来，分数阶微积分作为整数阶微积分的延伸，在电子工程、机器人学、生物工程、信号处理等领域引起了学术界的广泛关注。它具有鲁棒能力、设计自由度和瞬态性能等潜在的优越性，能够准确描述实际工程对象和工艺过程，被广泛应用于控制系统。微机电系统(mems)谐振器由于具有传感器、微阀、开关和滤波器等广泛的应用而受到广泛关注。mems谐振器具有平行板强迫、中平面和挤压膜阻尼等高的非线性特性。这些特性可能导致混沌振荡，这是不受欢迎的，并可能导致不良反应。同时，由于外部环境的变化和制造缺陷的存在，需要面临诸如特征参数的波动、机械耦合和危险噪声等新的挑战。随着分数阶微积分在工程中的普及和系统性能的高质量要求，分数阶拱型mems谐振器的反振荡自适应控制等开放性问题亟待解决。

为了稳定混沌系统的不稳定周期轨道，ott、grebogi和yorke等首先提出了ogy方法。之后，针对整数阶系统的同步和混沌控制问题，研究学者提出了自适应控制、反步控制、滑模控制、h∞控制和收缩理论等许多实现系统稳定的有效方法。不足的是，这些方法仅限于没有驱动特性的整数阶系统，能否直接应用于拱形mems谐振器还有待进一步研究。利用分数阶微积分理论对混沌系统进行了更精确的建模。长期以来，分数阶混沌系统如蔡氏电路、rssler系统、lü系统和范德波尔杜芬系统在分数阶微积分领域都有报道，但没有涉及激励约束。在实际工程中，包括输入死区和饱和在内的激励特性是不可避免的。忽略此特性会导致系统不稳定或性能恶化。

一些研究人员讨论了具有侧壁电极的2d扭转mems微镜二阶滑模控制方案，该控制器由等效控制和开关控制组成，以解决模型的不确定性和外部干扰。萨拉夫等将带通smc技术应用于mems谐振器和谐振频率传感器的驱动模式。但与smc相关的固有抖动不能完全被抑制。同时，这些研究者并没有致力于mems系统中的分数阶微积分和驱动特性问题。反步控制是分数阶非线性系统控制器设计的有效工具之一。丁等在分阶反演框架下解决了参数未知、具有附加扰动的相称分数阶非线性系统的伪状态镇定问题。das和yadav通过反步法研究了分数阶t系统和lorenz混沌系统的混沌控制和函数投影同步问题。魏等针对非线性分数阶系统，提出了一种基于自适应反步的输出反馈控制方法。这些方法严重依赖于精确的系统建模，不能处理动态模型中未知的非线性函数。随着系统除数的增加，与反步相关的“系统爆炸”现象将会发生。

技术实现要素：

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法，该方法包括以下步骤：

s1：利用galerkin分解方法，建立具有未知激励特性的分数阶拱型mems谐振器的动力学模型；

s2：设计自适应控制器。

进一步，所述步骤s1具体为：

利用galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型mems谐振器的动力学模型写成

其中变量定义为：

表示比率，是无量纲的时间变量，表示阻尼系数，表示拉伸参数，是电压参数，表示频率，h＝h0/g0表示初始上升值，是常数，x1＝q(t)表示位移，表示速度，α表示分数阶，c表示分数微积分领域中caputo定义的符号，m(u)表示未知激励特性，表示长度坐标，表示第一个归一化模态，表示挠度，表示无量纲量，表示时间，表示常数，u表示实际控制输入，kc1＞0；l为长度，a为横截面积；b为宽度，cv为粘滞阻尼系数，d为厚度，为杨氏模量，iy为转动惯量，ρ为质量密度，ω0为谐波负载频率，εa0为真空介电常数，vdc为直流电压，vac为交流电压，w0为拱形位移，ω0为激励频率；

在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性m(u)，其表示为

其中和η表示界限，a1(t)和a2(t)表示时变函数，l1和l2表示死区特征函数，和表示正的未知断点；

由于a1(t)和a2(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征

m(u)＝s(u)+d(u)(3)

和

其中w表示设计参数，d(u)表示逼近误差且有|d(u)|＝m(u)-s(u)≤γ，γ表示正定未知常数；

根据中值定理，对于光滑函数s(u)，有

定义和得到s(0)＝0，则(3)被改写为m(u)＝pu+d(u)(6)

a1(t)和a2(t)表示时变函数，能够反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况；这种滑函数只需要激励特性的上下界；作为逼近系数w不同的值导致对m(u)的不同逼近结果；

系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，α＝0.98，β＝119.9883和ω0＝0.4706；在变步长start/trbdf2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅来揭示分数阶拱形mems谐振器的混沌振荡；瞬态混沌出现在像α＝1.0和0.95这样的分数阶值处；然后拱形mems谐振器在α＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态；

定义1：分数导数中f(t)的caputo定义表达为

其中表示伽玛函数，n和f⁽ⁿ)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；

引理1：对于连续函数和下面的等式成立

其中0＜α＜1；

利用引理1和关系式得到：

其中

引理2：分数阶系统且0＜α＜1，将变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为

其中表示加权函数，表示系统的真实状态；

定义2：如果函数n(η)满足以下属性

它被称为nussbaum函数；

nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具；引入以下与nussbaum函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析；

引理3：假设v(·)和η(·)是在[0∞)且有v(τ)≥0的光滑函数，n(·)是nussbaum函数，下面的不等式成立

其中c0＞0，g(t)是非零常数，表示合适的常数，则v(t)，η(t)和是有界的；

假设1：参考轨迹xd及其n阶导数是已知和有界的；同时，状态变量x1(t)和x2(t)可测量；

针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型mems谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x1(t)微小误差地跟随参考轨迹xd，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制。

进一步，所述步骤s2具体为：

chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择

ti+1(x)＝2xti(x)-ti-1(x),t0(x)＝1(14)

其中x∈r和t1(x)被定义为x，2x，2x-1或2x+1；

对于[x1,…,xm]^t∈r^m，chebyshev多项式的一种加强形式被构建为ξ(x)＝[1,t1(x1),…,tn(x1),…,t1)xm),…,tn)xm)](15)

其中ti)xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示chebyshev多项式，ξ(x)表示chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数；

对于紧集上任意给定的未知连续函数f(x)，基于chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有

其中φ(t)是光滑的权向量；

存在chebyshev神经网络

其中ε(x)＞0是逼近误差，ωφ和dx分别表示φ(t)和x的适当边界紧集；设最优参数φ^*等同于其中φ^*称为人工量；当时有

为促进快速在线计算，采取如下变换来减少chebyshev神经网络权向量个数

其中关系式存立，是λi(t)的估计值，bi是一个小的正常数；

借助杨氏不等式，导出chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换；

步骤1：定义第一个中间变量

其中跟踪误差e1(t)定义为e1(t)＝x1(t)-xd(t)，σ1表示正设计参数；如果z1(t)→0，那么e1(t)→0和

选择第二个具有跟踪误差的中间变量e2(t)＝x2(t)-α2(t)，其中σ2＞0是一个设计参数，α2(t)表示虚拟控制；在caputo分数阶微积分的定义中推导出z1(t)的导数

虚拟控制选择为

其中k1＞0代表控制增益；

基于引理1，得出下列连续频率分布模型：

考虑李雅普诺夫稳定性准则

其中

对v1(t)求时间导数

步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则

其中h2＞0，

对z2(t)微分得到

其中

f2(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b11等系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难；不同的外部激励对拱形mems谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能；为解决这些问题，使用chebyshev神经网络

实际上，由于计算复杂不能直接求出为解决这个问题，设计基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制α2(t)的分数阶导数

其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z2,2与相等，r2＞0，ci＞0,i＝1,2和di＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有t是正数的关系式

把(27)和(28)代入(26)，得到

容易导出利用引理1，进一步推导出连续频率分布模型

取(25)的时间导数

其中

利用nussbaum函数构造以下控制输入

其中k21＞0和k22＞0是控制增益，具有更新律

其中g2是正数；

更新律和控制律代入(31)，求得

定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形mems谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除包含混沌行为和非对称死区在内的振荡；

证明：定义整个李亚普诺夫候选函数

由得

其中

定义上式简化为

对上式两边同时乘得到

定义对上式进行积分

z1(t)，z2(t)和属于紧集

因此，闭环系统中的所有信号都是有界的；进一步证明

至此，完成定理1的证明。

本发明的有益效果在于：

1)针对caputo分数阶微积分领域中的不确定动力学和扰动问题，提出了一种更新的单权值chebyshev神经网络。它能够促进快速在线计算，降低对动力学控制方程的要求。利用nussbaum函数解决由驱动特性引起的控制方向不确定问题，较好地避免了控制输入在非对称死区阈值内的振动。

2)设计了一种基于双曲正弦函数的跟踪微分器，克服了传统反步技术中的“项爆炸”问题。与一阶滤波器和一般跟踪微分器相比，虚拟控制微分项的估计精度更高。

3)利用基于连续频率分布模型的自适应反步法的原理，提出结合跟踪微分器、神经网络和nussbaum函数的反振荡自适应控制方案迫使系统状态以极小的误差逼近参考信号。同时，对于分数阶拱型mems谐振器，在非对称死区阈值以内的实际控制中实现了谐振频率附近的防振目的，降低了控制器振动。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为拱形mems谐振器的原理图；

图2为受非对称非光滑饱和非线性影响的驱动特性；

图3为不同分数阶下的相图；(a)为1.0；(b)为0.95；(c)为0.9；(d)为0.75；

图4为不同激励振幅下的相图；(a)为0.01；(b)为0.02；(c)为0.1；(d)为0.21；

图5为位置跟踪；

图6为速度跟踪；

图7为驱动特性前后的控制输入；

图8为在不同的激励幅值下的nussbaum函数；

图9为不同激励振幅下的中间变量；(a)为不同激励振幅下的中间变量zi(t),i＝1；(b)为不同激励振幅下的中间变量zi(t),i＝2；

图10为在不同激励振幅和分数阶下的控制输入；(a)为在不同激励振幅下的控制输入；(b)为在不同分数阶下的控制输入；

图11为在不同的激励幅值和分数阶下更新单权值；(a)为在不同的激励幅值下更新单权值；(b)为在不同的分数阶下更新单权值；

图12为在不同激励幅值和分数阶下的相图；(a)为在不同激励幅值下的相图；(b)为在不同分数阶下的相图；

图13为不同的分数阶值下的中间变量；

图14为在不同的激励幅值和分数阶下的跟踪状态z2,2；(a)为对不同激励幅值的反振荡性能；(b)为对不同分数阶的反振荡性能；

图15为不同方案下的控制输入；

图16为跟踪微分器在不同方案下的状态z2,2；

图17为不同方案下的第二中间变量。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

1.问题提出与数学基础

拱形mems谐振器由直流(dc)、交流电(ac)、底电极、双夹持拱形锐化微梁、两个锚和集成运算放大器组成。显然，这种拱形mems谐振器的基本谐振频率高于固定梁或悬臂梁。图1展示了静电驱动的拱形mems谐振器的原理图。当间隙距离为g0且平行于x轴放置的底电极工作时，静电驱动执行。具有物理尺寸的量表示为利用galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型mems谐振器的动力学模型写成

其中变量定义为

表示比率，是无量纲的时间变量，表示阻尼系数，表示拉伸参数，是电压参数，表示频率，h＝h0/g0表示初始上升值，是常数，x1＝q(t)表示位移，表示速度，α表示分数阶，c表示分数微积分领域中caputo定义的符号，m(u)表示未知激励特性，表示长度坐标，表示第一个归一化模态，表示挠度，表示无量纲量，表示时间，表示常数，u表示实际控制输入，kc1＞0。

拱形mems谐振器的其余参数符号在表1中给出。

表1系统参数的表示

在工程实践中，驱动特性是不可避免的。它的出现会引起不精确或系统不稳定性。在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性m(u)，其表示为

其中和η表示界限，a1(t)和a2(t)表示时变函数，l1和l2表示死区特征函数，和表示正的未知断点。

图2表示驱动特性的结构。由于a1(t)和a2(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，使得控制器的设计非常困难。针对这一问题，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征

m(u)＝s(u)+d(u)(3)

和

其中w表示设计参数，d(u)表示逼近误差且有|d(u)|＝m(u)-s(u)≤γ，γ表示正定未知常数。

根据中值定理，对于光滑函数s(u)，有

定义和得到s(0)＝0，则(3)被改写为m(u)＝pu+d(u)(6)

备注1：a1(t)和a2(t)表示时变函数，它们能够有效地反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况。这种滑函数只需要激励特性的上下界。作为逼近系数w不同的值可以导致对m(u)的不同逼近结果，这样更适合于实际系统。

图3为不同分数阶下的相图；(a)为1.0；(b)为0.95；(c)为0.9；(d)为0.75；图4为不同激励振幅下的相图；(a)为0.01；(b)为0.02；(c)为0.1；(d)为0.21；系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，α＝0.98，β＝119.9883和ω0＝0.4706。在变步长start/trbdf2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅等物理情况来揭示分数阶拱形mems谐振器的混沌振荡。在所有情况下，分数阶拱形mems谐振器都呈现出具有混沌瞬态的不稳定吸引子。在图3中，瞬态混沌出现在像α＝1.0和0.95这样的分数阶值处。然后拱形mems谐振器在α＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态。图4表明激励幅值变化引起不同的混沌运动。由于混沌振荡具有随机性和不可预测性的特点，如果不采取措施克服必然会降低系统的性能。

定义1：分数导数中f(t)的caputo定义可以表达为

其中表示伽玛函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数。

引理1：对于连续函数和下面的等式成立

其中0＜α＜1。

利用引理1和关系式可以得到：

其中

引理2：分数阶系统且0＜α＜1，将变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为

其中表示加权函数，表示系统的真实状态。

定义2：如果函数n(η)满足以下属性

它被称为nussbaum函数。

nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具。引入以下与nussbaum函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析。

引理3：假设v(·)和η(·)是在[0∞)且有v(τ)≥0的光滑函数，n(·)是nussbaum函数，下面的不等式成立

其中c0＞0，g(t)是非零常数，表示合适的常数，则v(t)，η(t)和是有界的。

假设1：参考轨迹xd及其n阶导数是已知和有界的。同时，状态变量x1(t)和x2(t)可可测量。

本发明的控制目标是针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型mems谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x1(t)可以微小误差地跟随参考轨迹xd，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制。

2.自适应控制器设计

chebyshev神经网络具有强大的函数学习和逼近能力，广泛应用于非线性系统的控制和建模。它被用来处理未知函数。chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择

ti+1(x)＝2xti(x)-ti-1(x),t0(x)＝1(14)

其中x∈r和t1(x)通常被定义为x，2x，2x-1或2x+1。

对于[x1,…,xm]^t∈r^m，chebyshev多项式的一种加强形式被构建为

ξ(x)＝[1,t1(x1),…,tn(x1),…,t1(xm),…,tn(xm)](15)

其中ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示chebyshev多项式，ξ(x)表示chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数。

对于紧集上任意给定的未知连续函数f(x)，可以基于chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有

其中φ(t)是光滑的权向量。

存在chebyshev神经网络

其中ε(x)＞0是逼近误差，ωφ和dx分别表示φ(t)和x的适当边界紧集。设最优参数φ^*等同于其中φ^*称为人工量。当时有

为了促进快速在线计算，采取如下变换来减少chebyshev神经网络权向量个数

其中关系式存立，是λi(t)的估计值，bi是一个小的正常数。

备注2：借助于杨氏不等式，导出了chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换。这种转换可以加快在线求解的速度，降低难度，因为它只需要一个权值。

步骤1：定义第一个中间变量

其中跟踪误差e1(t)定义为e1(t)＝x1(t)-xd(t)，σ1表示正设计参数。如果z1(t)→0，那么e1(t)→0和

选择第二个具有跟踪误差的中间变量e2(t)＝x2(t)-α2(t)，其中σ2＞0是一个设计参数，α2(t)表示虚拟控制。在caputo分数阶微积分的定义中推导出z1(t)的导数

虚拟控制选择为

其中k1＞0代表控制增益。

基于引理1，得出下列连续频率分布模型：

考虑李雅普诺夫稳定性准则

其中

对v1(t)求时间导数

步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则

其中h2＞0，

对z2(t)微分得到

其中

显然，f2(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b11等系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难。此外，不同的外部激励对拱形mems谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能。为了解决这些问题，使用chebyshev神经网络

实际上，由于计算复杂不能直接求出为了解决这个问题，设计了基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制α2(t)的分数阶导数

其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z2,2与相等，r2＞0，ci＞0,i＝1,2和di＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有t是正数的关系式

备注3：

1)与传统的反步算法相比，本发明提出的基于双曲正弦函数的跟踪微分器能够解决复杂度增长问题。同时，它能够解决与动态表面控制相关的一阶滤波器精度差的问题，并且适用于具有任意输入信号αi(t)的系统。

2)概括分数阶跟踪微分器参数在实际应用中的调节规则。(a)r2、c1和d1直接决定了收敛速度和精度，但过大的c1和d1会引起过冲量。(b)c2和d2也影响收敛速度和精度，然而，太小的c2和d2会导致不希望的超调。

把(27)和(28)代入(26)，得到

容易导出利用引理1，可以进一步推导出连续频率分布模型

取(25)的时间导数

其中

利用nussbaum函数构造了以下控制输入

其中k21＞0和k22＞0是控制增益，具有更新律

其中g2是正数。

更新律和控制律代入(31)，求得

定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形mems谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除了包含混沌行为和非对称死区在内的振荡。

证明：定义整个李亚普诺夫候选函数

由可得

其中

定义上式可简化为

对上式两边同时乘得到

定义对上式进行积分

z1(t)，z2(t)和属于紧集

因此，闭环系统中的所有信号都是有界的。特别地，它可以进一步证明

到目前为止，定理1的证明已经完成。

3.结果分析

通过仿真实验分析来验正所提方案的有效性。选择时变参考轨迹为xd＝0.16sin(2.5t)。为了处理激励特性未知符号的问题，选择nussbaum函数来满足相应的性质。为了克服抖动现象，这里用arctan(10)代替sign()。基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器的参数选择为r2＝9、c1＝12、c2＝0.2、d1＝2和d2＝6。

为了便于控制器设计，引入光滑函数s(u)来近似逼近未知的驱动特性，其函数参数为η＝-0.1和w＝0.2。选择控制器参数为k1＝12、k21＝20、k22＝20、h2＝8、b2＝0.2、g2＝2、σ1＝0.3和σ2＝0.3。所有变量的初始值设置为零。此外，采用单层chebyshev神经网络，并设计了chebyshev多项式基函数为

图5为位置跟踪；图6为速度跟踪；图5-6揭示蓝色实线和红色虚线在很短的时间内完全重叠。仿真结果表明，该方案具有较高的跟踪精度和较快的收敛速度。

图7描述了分数阶拱形mems谐振器在由饱和与死区特性构成未知驱动特性下的控制输入。值得注意的是，该控制器在非对称死区阈值内能有效地避免控制输入的振荡。

在不采取措施的情况下，驱动特性的方向不定会引起控制器性能的恶化。图8揭示nussbaum函数的三条曲线在不同的激励幅值下保持一致。可以得出，驱动特性方向不定的问题在这里得到了很好的解决。图9展示了在不同激励幅值下具有积分项的中间变量zi(t),i＝1,2。所有曲线重叠并收敛到零的邻域，同时验证了所提出方案具有良好的参数摄动能力。图9(a)为不同激励振幅下的中间变量zi(t),i＝1；图9(b)为不同激励振幅下的中间变量zi(t),i＝2；

考虑了激励特性、混沌振荡、模型不确定性等更为苛刻的条件，尽管由于模型的不确定性，系统的激励幅值和分数阶不同，但图10说明实际控制中没有出现非对称死区阈值内的振动现象。此外，即使整个系统面临苛刻的条件，控制输入也实现了无颤振。图10为在不同激励振幅和分数阶下的控制输入；(a)为在不同激励振幅下的控制输入；(b)为在不同分数阶下的控制输入；

图11为在不同的激励幅值和分数阶下更新单权值；(a)为在不同的激励幅值下更新单权值；(b)为在不同的分数阶下更新单权值；chebyshev神经网络的更新单权值直接影响高阶非线性函数的逼近性能。分数阶微积分具有动态建模和非线性控制能力，能够更准确地描述系统的动态特性。然而分数阶值会引起混沌振荡和控制器颤振。图11说明了混沌振荡和控制器颤振在这里得到了很好的解决。

图12为在不同激励幅值和分数阶下的相图；(a)为在不同激励幅值下的相图；(b)为在不同分数阶下的相图；与图3-4相比，图12揭示分数阶拱形mems谐振器切换到一个规则的运动状态，并且固有的混沌振荡被完全抑制。图13的结果说明中间变量曲线对分数阶的变化不敏感。

图14为在不同的激励幅值和分数阶下的跟踪状态z2,2；(a)为对不同激励幅值的反振荡性能；(b)为对不同分数阶的反振荡性能；双曲正弦函数被认为是跟踪微分器的理想选择。因为当·接近0时，sinh(·)变成线性，而当·远离0时，sinh(·)变成非线性。一方面，该非线性特性可以快速收敛，线性特性可以消除抖振。另一方面，直接求取经过复杂计算的是非常困难的。图14表明该跟踪微分器具有优良的跟踪函数逼近性能和对不同激励幅值和分数阶的反振荡性能。

为了进一步说明使用基于双曲正弦函数的跟踪微分器(hsf)方案的优越性，这里引入跟踪微分器(ntd)和基于滑模的跟踪微分器(smtd)两种方案作对比。

图15说明smtd在0.5秒内具有最小的颤振，并且三个方案的控制输入在0.5秒后基本相等。然而，图16-17表明由于最小的抖动和振幅，所发明的方案(蓝线)明显优于ntd(红色虚线)和smtd(绿色虚线)。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。