一种电磁轴承柔性转子不同位系统滑模振动主动控制方法与流程

本发明涉及了一种振动主动控制方法，具体是涉及到一种电磁轴承柔性转子不同位系统滑模振动主动控制方法。

背景技术：

在电磁轴承柔性转子系统中，由于电磁干扰导致电磁轴承与位移传感器在轴向上无法安装在同一位置，这种现象称为电磁轴承与位移传感器不同位。当电磁轴承与位移传感器同位时，转子的各阶模态振型在电磁轴承和位移传感器的位置之间不存在振型节点，从电磁力输入到位移传感器输出的传递函数的零极点是交错出现的，且相频特性曲线在0°到-180°之间，此时采用任何正相位补偿器都能够使控制系统稳定。当电磁轴承与位移传感器不同位时，转子的某阶模态振型可能在电磁轴承和位移传感器位置之间存在振型节点，传递函数(从电磁力输入到位移传感器输出)的极点不会发生变化，零点会随着位移传感器的位置而变化，从初始的零极点交错到某些临界转速区的零极点不再保持交错，此时控制系统在右半平面会出现非最小相位零点，从而导致控制系统出现不稳定，使控制变得困难。

国内外学者提出了很多方法用于降低不同位的影响，这些方法大概可以分成两类。一类是直接将不同位导致的非最小相位系统作为控制对象，通过采用补偿器、增加零极点对、正位置反馈等方法将控制系统右半平面的非最小相位零点拉到左半平面上，再结合不同的主控制器使控制系统保持稳定，这类方法包括带补偿器的平动/锥动模态解耦控制方法、模态分离结合最优阻尼方法、正位置反馈控制方法、阻尼补偿结合鲁棒控制方法等。但是，在第一类方法中电磁力仍来自位移传感器处位移信号的反馈而非电磁轴承处位移信号，故并未从根本上解决不同位问题。为了从根本上有效降低不同位的影响，第二类方法利用控制系统已知参数来估计电磁轴承处的位移，这些方法包括位移传感器平均方法、虚拟同位方法等。其中位移传感器平均方法是将两个位于电磁轴承两侧等间距的位移传感器输出的平均值作为电磁轴承处位移的估计值，这显然需要较多的位移传感器才能实现。虚拟同位方法则是利用状态观测器重构电磁轴承处的位移信号。目前在虚拟同位方法上采用的仍为传统分散pid控制器，对多输入多输出的柔性转子系统中出现的模型参数摄动等的鲁棒性较差，难以满足更高的控制要求。

因此，需要提出一种既能够降低不同位的影响，又能够提高控制系统性能的振动主动控制方法，使电磁轴承柔性转子系统安全通过临界转速区。

技术实现要素：

本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种电磁轴承柔性转子不同位系统滑模振动主动控制方法，该方法主要用于解决电磁轴承和位移传感器不同位问题和柔性转子在全转速区的振动主动控制问题。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于线性二次型的电磁轴承柔性转子不同位系统滑模振动主动控制方法，该方法包括以下步骤：

(1)根据电磁轴承柔性转子系统的转子材料、尺寸以及位移传感器、电磁轴承的安装位置等物理参数，建立有限元模型，通过引入线性化电磁力得到电磁轴承柔性转子系统模型，并对转子系统模型进行模态降阶，并表示为状态空间方程；具体过程如下：

(1.1)在有限元模型基础上引入线性化电磁力，得到电磁轴承柔性转子系统模型，并进行模态降阶，转子系统模型在模态坐标中表示为

其中，mm、km、dm、gm分别为模态质量矩阵、模态刚度矩阵、模态阻尼矩阵和模态陀螺矩阵。kxm及kim分别为模态坐标下电磁轴承的位移刚度系数矩阵和电流刚度系数矩阵。fum为模态坐标下不平衡力向量，ω为转速，qm为模态坐标下的转子位移向量，i为控制电流向量。

(1.2)将模态坐标下的电磁轴承柔性转子系统模型表示成状态空间形式

其中，

xm为状态向量，am、bm、cm分别为控制系统的状态矩阵、控制输入矩阵和输出矩阵，em为不平衡力输入矩阵，cs为电磁轴承柔性转子系统中表示位移传感器安装位置的系数矩阵，tm为模态转换矩阵，ym为位移传感器输出的位移信号。

(2)设计位移重构系统，位移重构系统包括电磁轴承柔性转子系统模型和状态观测器，状态观测器用于估计电磁轴承处的位移；具体如下：

(2.1)利用位移传感器输出的位移信号ym、状态矩阵am、控制输入矩阵bm、输出矩阵cm和不平衡力输入矩阵em构成状态观测器

其中，为xm的状态观测向量，l为状态观测器的增益矩阵。bf为电磁轴承柔性转子系统中表示电磁轴承安装位置的矩阵。

(2.2)基于线性二次型方法求解增益矩阵l，采用的代价函数为

其中，qo及ro分别为权重矩阵，都是对角且正定的矩阵，为计算方便，可以取对应维度的单位矩阵。通过求解代价函数的最小值得到最优增益矩阵l。

(2.3)模态坐标下的电磁轴承柔性转子动力学模型与状态观测器共同构成位移重构系统，可以用状态空间方法表示为

其中，

(3)基于多输入多输出的滑模控制器，计算滑模控制律，滑模控制器的输入为状态观测器估计电磁轴承处的位移，输出为控制电流向量；具体过程如下：

(3.1)滑模控制器的滑模面方程如下

其中，s为滑模系数矩阵，采用转换矩阵方法求解。

(3.2)采用趋近律的方法求解滑模控制器的控制律。取趋近律为

其中，ε和k均为对角正数矩阵。

将滑模面方程代入趋近律中，可得到滑模控制律为

(4)滑模控制器输出的控制电流向量在电磁轴承处产生电磁力，通过改变控制电流大小改变电磁力的大小，从而实现对柔性转子系统全转速区的振动主动控制。

进一步地，所述步骤(1)中，根据有限元方法，得到电磁轴承柔性转子系统的动力学模型为

其中，m、d、g、k分别为质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵和刚度矩阵。ω为转速，fmag为电磁力向量，fu为不平衡力向量。q为转子的广义位移向量，定义为

q＝[x1θy1…xnθyny1-θx1…yn-θxn]^t

其中，xj和yj分别为转子在第j个节点处的平动位移，θyj和θxj分别为转子在第j个节点处绕x轴和y轴的偏转角。

在电磁轴承柔性转子系统的动力学模型中引入线性化的电磁力

fmag＝kii+kxq

其中，ki为电磁轴承的电流刚度系数矩阵，i为电磁轴承的控制电流向量，kx为电磁轴承的位移刚度系数矩阵。

恒速时第j个节点处的不平衡力表示为

其中，mj为不平衡质量，ej为偏心距，进而最终的电磁轴承柔性转子系统的动力学模型为

通过以下关系式对电磁轴承柔性转子系统的动力学模型进行模态降阶，得到模态坐标中的转子系统模型；

tm为模态转换矩阵，tm＝[φ1φ2…φr]，φr为转子系统的特征向量，r表示转子系统模型所包含的振动模态数量。

进一步地，所述步骤(2)中，对状态观测器进行观测误差分析，引入误差向量为

观测误差的微分方程为

根据线性系统理论中的对偶定理，矩阵对(am,cm)可观，则与之对偶的矩阵对(am^t,cm^t)可控，通过线性二次型方法求解增益矩阵l，使得(am^t-cm^tl^t)的特征值都在复平面的左半平面。又因为(am-lcm)与(am^t-cm^tl^t)有相同的特征值，所以观测误差在有限时间内以指数规律趋于零，保证了状态观测器的稳定性。

进一步地，所述步骤(3)中的转换矩阵方法具体为：

对模态坐标下的电磁轴承柔性转子系统的状态空间方程，经过转换矩阵t的非奇异线性变换，可以表示成以下降阶形式

其中，

已知矩阵对是可控的，所以存在矩阵k0使得的特征值可任意配置。同样地，采用线性二次型方法求解矩阵k0，从而保证降阶形式的电磁轴承柔性转子系统是渐进稳定的。因此，可得到滑模控制器的滑模系数矩阵

s＝[k0i]t

本发明的有益效果是：对电磁轴承柔性转子电磁轴承和位移传感器不同位问题，设计的位移重构系统可以快速观测电磁轴承处的位移信号，有效地降低不同位的影响。并通过多输入多输出滑模控制器得到良好的控制性能和鲁棒性，而且在柔性转子系统加速运行时，滑模控制器能够有效地抑制柔性转子在一阶弯曲临界转速附近的振动，实现过临界振动主动控制。

附图说明

图1为电磁轴承柔性转子结构示意图；

图2为位移重构系统框图；

图3(a)为位移重构系统的观测曲线；

图3(b)为位移重构系统的误差曲线；

图4为位移重构系统的滑模控制框图；

图5为实施例中的对称电磁轴承柔性转子系统结构图；

图6为实施例中的滑模控制系统不平衡响应曲线；

图7为实施例中的滑模控制鲁棒性曲线；

图8为实施例中的加速运行时的振动响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式作进一步详细说明。

本发明提出一种基于线性二次型的电磁轴承柔性转子不同位系统滑模振动主动控制方法，具体步骤包括：

(1)如图1所示，根据电磁轴承柔性转子系统的转子材料、尺寸以及位移传感器、电磁轴承的安装位置等物理参数，对电磁轴承柔性转子系统进行建模；首先，根据有限元方法建立了电磁轴承柔性转子系统的有限元模型，引入线性化电磁力后应用模态降阶方法，给出了电磁轴承柔性转子系统模型的状态空间方程。具体实施步骤如下：

(1.1)考虑电磁力和不平衡激励，如图1所示的电磁轴承柔性转子系统的动力学模型表示为

其中，m、d、g、k分别为质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵和刚度矩阵。ω为转速，fmag为电磁力向量，fu为不平衡力向量。q为转子的广义位移向量，定义为

q＝[x1θy1…xnθyny1-θx1…yn-θxn]^t(2)

其中，xj和yj分别为转子在第j个节点处的平动位移，θyj和θxj分别为转子在第j个节点处绕x轴和y轴的偏转角。

(1.2)电磁力是控制电流i和位移q的非线性函数，线性化后的电磁力向量表示为

fmag＝kii+kxq(3)

其中，ki为电磁轴承的电流刚度系数矩阵，i为电磁轴承的控制电流向量，kx为电磁轴承的位移刚度系数矩阵。

如果在转子第j个节点处(通常为刚性圆盘处)存在不平衡质量mj，偏心距为ej，恒速时第j个节点处的不平衡力可以表示为

将线性化电磁力模型代入，电磁轴承柔性转子系统的动力学模型表示为

(1.3)步骤(1.2)中的电磁轴承柔性转子系统的模型阶次过高，不利于控制系统状态观测器和控制器的设计。因此需要对转子系统模型进行模态降阶，当只考虑转子的前r阶模态，转子系统模型在模态坐标中表示为

其中，

tm为模态转换矩阵，tm＝[φ1φ2…φr]，φr为转子系统的特征向量，r表示转子系统模型所包含的振动模态数量。mm、km、dm、gm分别为r×r维模态质量矩阵、模态刚度矩阵、模态阻尼矩阵和模态陀螺矩阵。kxm及kim分别为模态坐标下电磁轴承的位移刚度系数矩阵和电流刚度系数矩阵。fum为模态坐标下不平衡力向量。

(1.4)将模态坐标下的电磁轴承柔性转子系统模型写成状态空间形式

其中，

xm为状态向量，am、bm、cm分别为控制系统的状态矩阵、控制输入矩阵和输出矩阵，em为不平衡力输入矩阵，cs为电磁轴承柔性转子系统中表示位移传感器安装位置的系数矩阵，tm为模态转换矩阵，ym为位移传感器输出的位移信号。

基于上述过程建立了电磁轴承柔性转子系统状态空间模型，验证了模型的正确性。

(2)如图2所示，设计基于状态观测器的位移重构系统，为了解决电磁轴承与位移传感器轴向不同位问题，用位移传感器处的位移通过状态观测器来重构电磁轴承处位移，状态观测器增益的求解保证了观测误差在有限时间内趋向于零；位移重构系统主要包括状态观测器和电磁轴承柔性转子模型两部分。其中，状态观测器的增益矩阵采用线性二次型方法求解。

(2.1)对于状态空间形式的电磁轴承柔性转子系统模型，因为矩阵对(am,cm)满足可观性条件，则可以设计状态观测器来估计电磁轴承处的位移，利用位移传感器输出的位移信号ym、状态矩阵am、控制输入矩阵bm、输出矩阵cm和不平衡力输入矩阵em构成状态观测器

其中，为xm的状态观测向量，l为状态观测器的增益矩阵。bf为电磁轴承柔性转子系统中表示电磁轴承安装位置的矩阵。

引入误差向量

观测误差的微分方程为

根据线性系统理论中的对偶定理，矩阵对(am,cm)可观，则与之对偶的矩阵对(am^t,cm^t)可控。由状态反馈极点配置定理知(am^t-cm^tl^t)的特征值可任意配置，所以可以通过极点配置方法或者线性二次型方法求解增益矩阵l，使得(am^t-cm^tl^t)的特征值都在复平面的左半平面。又因为(am-lcm)与(am^t-cm^tl^t)有相同的特征值，所以式(10)中的观测误差可以在有限时间内以指数规律趋于零，保证了状态观测器的稳定性。引入的状态观测器增益矩阵l实质上为反馈校正环节，通过校正状态观测器的观测误差使其趋于零。

(2.2)设计状态观测器的关键在于求解增益矩阵l，本发明基于线性二次型方法，求解最优增益矩阵l，采用的代价函数为

其中，qo及ro分别为权重矩阵，都是对角且正定的矩阵，为计算方便，可以取对应维度的单位矩阵。通过求解代价函数的最小值可以得到最优增益矩阵l。

(2.3)模态坐标下的电磁轴承柔性转子动力学模型与状态观测器共同构成位移重构系统，可以用状态空间方法表示为

其中，

在步骤(1)的基础上搭建了状态观测器模型，采用pid控制器时得到位移重构系统的观测曲线如图3(a)所示，误差曲线如图3(b)所示，由转子动力学方程计算得到的电磁轴承处位移信号和状态观测器估计电磁轴承处的位移信号对比和放大图可知，两条曲线很好地吻合且没有相位滞后，观测误差较小(10^-13m量级)。pid控制下的仿真结果验证了位移重构系统的有效性。

(3)如图4所示，为了提高控制系统的鲁棒性，基于多输入多输出的滑模控制器，计算滑模控制律。采用矩阵转换方法设计了滑模面方程，采用趋近律方法设计了控制律，从而得到控制电流的表达式。

(3.1)采用转换矩阵方法设计滑模控制器的滑模面方程

其中，s为滑模系数矩阵。

位移重构系统中的状态观测器方程，经过转换矩阵t的非奇异线性变换，可以写成以下降阶形式

其中，

已知式矩阵对是可控的，所以存在矩阵k0使得的特征值可任意配置。同样地，采用线性二次型方法求解矩阵k0，从而保证降阶形式的电磁轴承柔性转子系统是渐进稳定的。至此可以得到滑模控制器的滑模系数矩阵

s＝[k0i]t(15)

(3.2)采用趋近律的方法设计滑模控制器的控制律，取趋近律为

其中，ε和k均为对角正数矩阵。

对式(b13)求导，并与式(b16)联立，可得到控制电流为

(4)滑模控制器输出的控制电流向量在电磁轴承处产生电磁力，通过改变控制电流大小改变电磁力的大小，从而实现对柔性转子系统全转速区的振动主动控制。

在步骤(1)、(2)的基础上采用滑模控制器替代pid控制器，如图5所示，为对称电磁轴承柔性转子系统。电磁轴承柔性转子系统运行在定转速下(ω＝1800rpm)，假设四个刚性圆盘上有相同大小和相位的不平衡质量，得到如图6所示的不同位移刚度系数下滑模控制系统的不平衡响应曲线，位移刚度系数kx从初始值2×10⁶n/m减小到0n/m。图6中的不平衡响应均在1s左右达到稳定状态，最大振动幅值为2.5×10^-4m。

本发明以不同位移刚度系数下滑模控制系统不平衡响应的不变性为例来反映滑模控制系统的鲁棒性。将不同位移刚度系数下的振动位移数据分别与初始位移刚度系数下的振动位移数据作差，如图7所示，表示为不同位移刚度下的不平衡响应与初始位移刚度下的不平衡响应的偏离程度，由图7可知该差值远小于1×10^-8m。结果表明不同位移刚度下的不平衡响应保持不变，验证了滑模控制系统的鲁棒性。

进一步验证滑模控制器在全转速范围的性能，取加速度a为10rpm/s，转子上8个节点处的振动响应曲线如图8所示。整个转子在1800rpm附近出现振动峰值，其中节点1和节点8的振幅最大，约为1.1×10^-4m，节点4和5位置处的振幅最小，约为3.3×10^-5m。仿真结果表明滑模控制系统能够有效地抑制柔性转子的振动，使其在加速运行过程中以较小的振动安全地通过一阶弯曲临界转速。

尽管以上结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但本发明并不局限于上述的具体实施方案和应用领域。本领域的任何技术人员，在不脱离本发明权利要求所保护的范围内，可做多种形式的更改和润饰，这些均属于本发明保护之列。