一种自主水下直升机自适应神经网络轨迹跟踪方法

1.本发明属于水下直升机轨迹跟踪技术领域，具体涉及一种自主水下直升机自适应神经网络轨迹跟踪方法。


背景技术：

2.新时期的自主水下航行器(auv)必须适应不断变化的作业环境和生产方式带来的挑战。科学研究和应用不再满足于使用auv进行局部观测或寻找特定目标，而是对深海、极地甚至岩石圈和大气相互作用的综合分析。传统auv多为鱼雷型，低速机动性较差，无法有效全面满足海底移动观测网络、海底资源勘探、海底数据与能源对接、海底等深线水面巡航等超机动任务。为了克服这一障碍，浙江大学的研究人员开发了一种新型auv，称为自主水下直升机(auh)，它具有卓越的机动性，并且可以在“海底至海底”模式下工作。
3.auh的外形类似于圆盘，其独特的形状搭配四个垂直推进器和四个水平推进器使其符合超机动性的要求。与传统的auv相比，它具备了全周转向、定点悬停和精确着陆和自由起降的功能。auh的水下工作模式下如图1所示。由于auh的快速迭代和改进，其多样的形式和功能对水下定位、导航和自动控制提出了更高的要求。轨迹跟踪作为auh控制系统的重要组成部分，也是auv领域的研究热点之一。海洋环境的复杂性导致auv必然会遇到海流扰动，并可能产生推进器故障。此外，基于商业流体计算软件或实验测量的auv流体动力学模型也会产生不可避免的建模不确定性，进而对控制系统不利。作为一种独特的auv，auh在设计其轨迹跟踪控制策略时同样必须考虑上述因素的影响。
4.auv轨迹跟踪控制领域常用的算法主要涉及pid控制、模糊控制、滑模控制、自适应控制等多种形式。以下将简述该领域近几年提出的控制方案，例如：现有技术中，文献[patre b m,londhe p s,waghmare l m,et al.disturbance estimator based non-singular fast fuzzy terminal sliding mode control of an autonomous underwater vehicle[j].ocean engineering,2018,159:372-387]设计了一种具有扰动估计的非奇异快速模糊终端滑模控制器，实现跟踪误差的有限时间收敛和鲁棒控制，不确定项的观测值被用于补偿模型不确定性和外部扰动。文献[liang x,qu x,hou y,et al.three-dimensional trajectory tracking control of an underactuated autonomous underwater vehicle based on ocean current observer[j].international journal of advanced robotic systems,2018,15(5):1729881418806811]提出了一种基于运动学模型的海流观测器来估计未知的海流扰动，并将该估计集成到auv的运动学和动力学方程中，实现了未知海流干扰下欠驱动auv的三维轨迹跟踪控制。公开号为cn105843224a的专利申请文件提供基于神经动态模型反步法的auv水平面路径跟踪控制方法，引进了神经动态模型理论，该模型具有输入输出平滑的特性；将反步法设计过程中出现的虚拟控制量流经神经动态模型，从而避免对虚拟控制量的复杂求导运算。文献[chen j w,zhu h,zhang l,et al.research on fuzzy control of path tracking for underwater vehicle based on genetic algorithm optimization[j].ocean engineering,2018,156:217-223]提出
了一种基于视线法的auv轨迹跟踪方法，模糊控制器经过遗传算法的优化后可有效的跟踪期望轨迹，并具有较强的鲁棒性对抗外部扰动。公开号cn108427414a的专利申请文件提出一种自主水下航行器水平面自适应轨迹跟踪控制方法，利用高增益状态观测器的方法估计auv的速度和角速度，使用径向基函数(radial basis function，rbf)神经网络的高精度逼近功能补偿模型参数不确定项和外部干扰项，将auv轨迹跟踪问题经坐标变换转换为极坐标系下跟踪问题。
[0005]
上述文献针对auv轨迹跟踪问题，提出了多种控制策略，取得了良好的效果，并且使轨迹跟踪系统具有一定程度的稳定性与鲁棒性。但是，上述策略对海流扰动、建模不确定性和推进器故障等影响控制精度的因素没有考虑或是考虑的不全面。同时，由于auh特殊的工作需求，包括大规模部署、高精度轨迹跟踪以及部署于海底等，不仅需要令轨迹跟踪控制系统获得较高的稳态精度，还需要严格控制动态响应，避免碰撞海床与其他auh。


技术实现要素：

[0006]
本发明提出了一种基于预设性能方法的控制策略，用于解决auh在海流扰动、建模不确定性、推进器故障等干扰因素下的轨迹跟踪问题。为了应对auh速度与角速度状态量不可测的情况，设计了一种全阶自适应状态观测器(lso)，并且在观测器中引入了径向基函数神经网络(rbfnn)用于处理系统总不确定性产生的影响，同时借助反步法建立了变换误差和观测速度值之间的关系，提供了预设性能方法在输出反馈控制中的一种应用形式。本发明采用如下技术方案：
[0007]
一种自主水下直升机自适应神经网络轨迹跟踪方法，包括：
[0008]
1)构建auh的动力学模型，采用推力分配矩阵形式表示推进器的故障影响，生成以控制系统的状态变量表示的auh的动力学方程；
[0009]
2)建立改进的性能函数，并构造误差变换；
[0010]
3)设计状态观测器估计轨迹跟踪控制策略所需的状态信息，并引入径向基函数神经网络逼近系统集总不确定性；
[0011]
4)根据所述状态观测器构建auh的轨迹跟踪控制器。
[0012]
优选的，所述步骤1)中auh的动力学模型为：
[0013][0014][0015]
式中：m为质量惯性矩阵，η＝[η
x
,ηy,ηz,η
φ
,η
θ
,η
ψ
]
t
为惯性坐标系下的auh六自由度位置与姿态向量，v＝[vu,vv,vw,v
p
,vq,vr]
t
为运动坐标系下的auh速度与角速度向量，j表示联系惯性坐标系与运动坐标系的转换矩阵，c(v)矩阵代表auh的科氏力和向心力部分，d(v)矩阵代表auh的水动力阻尼部分，g
η
矩阵表示auh重力和浮力产生的力和力矩，τ表示auh推进器输出的控制力和力矩。
[0016]
所述auh的推进器的故障影响采用推力分配矩阵形式表示，定义为δb；实际的控制力与力矩表示为：
[0017]
τ+δτ＝(b
0-kb)u＝(b0+δb)u
[0018]
式中：b0代表auh推力分配矩阵的标称值，b为auh的推力分配矩阵，u代表auh推进器的控制输出，k是一个对角矩阵，其元素k
ii
∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，其中1代
表故障程度最高，推进器完全失效；
[0019]
auh的动力学模型可改写为：
[0020][0021]
式中：m
η
＝mj-1
，c
aη
＝ca(vr)j-1
，d
η
＝d(vr)j-1
，下标0表示标称值；f表示系统的总不确定度，其表达式如下：
[0022][0023]
式中：表示海流扰动造成的影响；δ表示不确定值。
[0024]
进一步地，在所述步骤1)中，令表示控制系统的状态变量，则auh的动力学方程可以改用状态变量表示：
[0025][0026]
式中：h＝[i
n 0]。
[0027]
本发明设计了一种新型的有限时间性能函数，不仅可以显式设定系统的稳定终端时间，而且使设计者能直观地通过调整参数来改变系统动态过程的收敛速率。优选的，所述步骤2)中，建立有限时间形式的性能函数约束跟踪轨迹，
[0028][0029]
其中0＜k2＜1；ρ0和ρ
∞
分别是性能函数在初始和结束时刻的值；tf代表性能函数达到结束时刻的值所需的时间，可以根据实际需要人为调整；
[0030]
令zi(t)＝ei(t)/ρi(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差εi(t)：
[0031][0032]
当变换误差εi(t)位于区间(-∞,+∞)时，zi(t)满足-1＜zi(t)＜1。
[0033]
在步骤3)中，引入rbfnn来逼近包括了海流扰动、建模不确定性和推进器故障的系统集总不确定性f；在区间ω上，rbfnn对系统集总不确定性f的估计值可以表述为：
[0034]
f＝w
*t
h(xn)+μ
[0035]
式中：为神经网络输入向量，h(xn)＝[h1(xn),h2(xn),...,hj(xn),...hm(xn)]
t
∈rm，m为网络隐层节点数；hj(xn)通常采用高斯基函数的形式表示：
[0036]
[0037]
式中：cj为网络中第j个节点的中心向量，cj＝[c
j1
,c
j2
,
…
,c
jq
]
t
,bj＞0为节点j的基宽值。是网络的理想权值阵，μ∈rn为逼近误差，且满足||μ||≤μ
*
,μ
*
为未知的正常数。对于权值矩阵w∈rm×n，定义为：
[0038][0039]
所述步骤3)的状态观测器为：
[0040][0041]
式中：分别代表状态变量和输出变量的观测值，l1和l2∈rn为待设计的对角增益矩阵，代表系统集总不确定性f的估计值，神经网络的输入xn可以被表示为将观测器改写为更紧凑的形式：
[0042][0043]
其中a，c，h的定义与等式(7)中相同，l＝[l1,l2]
t
；令代表状态观测误差，则有：
[0044][0045]
式中：
[0046]
优选的，所述步骤4)包括：
[0047]
首先，定义误差变量e1＝[e
11
,e
12
,...,e
16
]
t
和e2[0048]
e1＝x
1-xd[0049][0050]
式中：xd＝ηd代表auh期望的轨迹，α1表示待设计的虚拟控制变量；通过步骤2)中的性能函数与误差变换，可以得到变换误差εi；对变换误差εi求导，则可得：
[0051][0052]
式中：令ε＝[ε1,ε2,ε3,ε4,ε5,ε6]
t
，r＝diag[r1,r2,r3,r4,r5,r6]，v＝diag[v1,v2,v3,v4,v5,v6]，进一步得到：
[0053][0054]
选择合适的增益矩阵l，k1，k2和参数β满足：
[0055][0056][0057][0058][0059]
则观测误差xe，变换误差ε，误差e2以及权重估计误差均有界。
[0060]
本技术中，轨迹跟踪控制器为：
[0061][0062][0063]
式中：b0代表auh推力分配矩阵的标称值，c
rbη0
为auh科氏力和向心力标称矩阵中刚体的部分，c
aη0
为auh科氏力和向心力标称矩阵中附加质量的部分，d
η0
为标称的水动力阻尼矩阵，g
η0
表示标称的auh重力和浮力产生的力和力矩，x
e1
为关于auh位置信息的观测误差，代表由误差和系统状态等组成的已知项，h为高斯基函数，k2是增益矩阵，β是常数。
[0064]
相较于现有技术，本发明使用的预设性能控制方法在处理有约束的控制问题时，通过性能函数与误差变换以及对无约束系统的控制可以实现原始系统的收敛速度、超调以及跟踪误差满足预先设定的性能。这使其在严格约束问题上控制性能优异，并逐渐向各个领域推广应用。
附图说明
[0065]
图1为auh的推进器配置图；
[0066]
图2为推进器早期故障下auh轨迹跟踪误差曲线(平动自由度)；
[0067]
图3为推进器早期故障下auh轨迹跟踪误差曲线(转动自由度)；
[0068]
图4为推进器间歇故障下auh轨迹跟踪误差曲线(平动自由度)；
[0069]
图5为推进器间歇故障下auh轨迹跟踪误差曲线(转动自由度)。
具体实施方式
[0070]
在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明并不限于下面公开的具体实施例的限制。
[0071]
本实施例方法的相关关键技术：
[0072]
惯性坐标系：原点可选在海面的某一点，三轴正向分别指向正北方向，正东方向和指向地心。
[0073]
运动坐标系：原点取在auh的重心处，三轴正向分别指向前进方向，右侧摇摆方向
和下沉方向。
[0074]
auh的非线性运动学方程可参考fossen大纲六自由度非线性动力学模型：
[0075][0076][0077]
式中：m为质量惯性矩阵，η＝[η
x
,ηy,ηz,η
φ
,η
θ
,η
ψ
]
t
表示auh在惯性坐标系下的六自由度位置与姿态，v＝[vu,vv,vw,v
p
,vq,vr]
t
表示auh在运动坐标系下的速度与角速度，j是惯性坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵，c(v)为auh的科氏力和向心力矩阵，d(v)为auh的水动力阻尼矩阵，g
η
为auh重力和浮力产生的力和力矩向量，τ为auh推进系统产生的控制力和力矩。
[0078]
预设性能控制：是一种将原始的“约束”系统利用误差变换映射为等效的“无约束”系统，并通过控制“无约束”系统的稳定性从而使原系统的收敛速度、超调以及跟踪误差获得预先设定的性能的方法。
[0079]
全阶自适应状态观测器：是一种基于模型参考自适应思想，通过选取合适的反馈增益系数来估算系统中未知状态的观测器。
[0080]
径向基函数神经网络：是一种由输入层、一层非线性隐层(径向基层)和线性输出层组成的，利用径向基函数和权值的学习更新，可应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类处理系统建模和控制等领域的前馈神经网络。
[0081]
本实施例的参数定义：
[0082]
η＝[η
x
,ηy,ηz,η
φ
,η
θ
,η
ψ
]
t
为惯性坐标系下auh的六自由度位置与姿态值；j表示惯性坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；v＝[vu,vv,vw,v
p
,vq,vr]
t
表示运动坐标系下auh的速度与角速度量；m为auh的质量惯性矩阵；c(v)为auh的科氏力和向心力矩阵；d(v)为auh的水动力阻尼矩阵；g
η
为auh重力和浮力产生的力和力矩向量；τ为auh推进系统产生的控制力和力矩；b为auh的推力分配矩阵；b0为auh推力分配矩阵的标称值；为auh推力分配矩阵标称值中恒定的部分；为auh推力分配矩阵标称值中符号未知的矩阵；u为auh推进器的控制输出。
[0083]
本实施例中自主水下直升机自适应神经网络轨迹跟踪方法，包括以下步骤:
[0084]
本发明的核心为考虑海流扰动，建模不确定性和推进器故障因素，设计一种轨迹跟踪控制器使auh能稳定跟踪期望轨迹ηd，同时跟踪误差e＝η-ηd的稳态及动态响应符合预先设定的性能。
[0085]
步骤一：auh的动力学模型变换。
[0086]
auh的推进器的故障影响可以采用推力分配矩阵形式表示，定义为δb。因此，实际的控制力与力矩可以改写为τ+δτ：
[0087]
τ+δτ＝(b
0-kb)u＝(b0+δb)u
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(3)
[0088]
式中：b0代表auh推力分配矩阵的标称值，b为auh的推力分配矩阵，u代表auh推进器的控制输出，k是一个对角矩阵，其元素k
ii
∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，其中1代表故障程度最高，推进器完全失效。因此，等式(2)可改写为：
[0089]
[0090]
式中：m
η
＝mj-1
，c
aη
＝ca(vr)j-1
，d
η
＝d(vr)j-1
，下标0表示标称值；f表示系统的总不确定度，其表达式如下：
[0091][0092]
式中：表示海流扰动造成的影响；δ表示不确定值。
[0093]
令代表控制系统的状态变量，则auh的动力学方程可通过状态变量以如下形式表示：
[0094][0095]
将(6)改写为紧凑形式：
[0096][0097]
式中：h＝[i
n 0]。
[0098]
步骤二：性能函数与误差变换。
[0099]
预设性能控制方案的目标是使auh的六个自由度轨迹都受到性能函数的约束。正如以下不等式所表达的那样。
[0100]-ρi(t)＜ei(t)＜ρi(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0101]
式中：ei(t)＝x
i-x
di
＝η
i-η
di
，x
di
＝η
di
定义了第i个自由度下的期望轨迹，ei(t)表示实际轨迹与第i个自由度的期望值的偏差。如果误差变量ei(t)的初始值满足-ρi(0)＜ei(0)＜ρi(0)，则auh的六自由度轨迹向量被严格限制在性能边界
±
ρi(t)内。因此，理想的系统误差响应可以通过构造一个适当的性能函数来获得。
[0102]
本发明设计了一种有限时间形式的新型性能函数，可以表示为：
[0103][0104]
其中0＜k2＜1。ρ0和ρ
∞
分别是性能函数在初始和结束时刻的值。tf代表性能函数达到结束时刻的值所需的时间，可以根据实际需要人为调整。
[0105]
令zi(t)＝ei(t)/ρi(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差εi(t)：
[0106][0107]
式(10)说明，当变换误差εi(t)位于区间(-∞,+∞时，zi(t)满足-1＜zi(t)＜1，即变换误差εi(t)有界时，不等式(8)也同时被满足，当变换误差是有界的。在这一点上，控制
目标可以被等效地描述为设计控制器，使变换误差有界。值得注意的是，转换误差的边界并不影响误差变量的响应。
[0108]
通过等式(7)可知，当变换误差εi(t)在区间(-∞,+∞)内，则zi(t)满足-1＜zi(t)＜1，即变换误差εi(t)有界时，不等式(9)也同时被满足。此时，控制目标可等价表示为设计控制器u使得变换误差εi(t)有界。注意到误差变量ei(t)的响应不能受到变换误差εi(t)的边界造成的影响。
[0109]
步骤三：引入神经网络观测系统。
[0110]
本发明引入rbfnn来逼近包括了海流扰动、建模不确定性和推进器故障的系统集总不确定性f。在区间ω上，rbfnn对系统集总不确定性f的估计值可以表述为：
[0111]
f＝w
*t
h(xn)+μ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11)
[0112]
式中：为神经网络输入向量，h(xn)＝[h1(xn),h2(xn),...,hj(xn),...hm(xn)]
t
∈rm，m为网络隐层节点数。hj(xn)通常采用高斯基函数的形式，有：
[0113][0114]
式中：cj为网络中第j个节点的中心向量，cj＝[c
j1
,c
j2
,...,c
jq
]
t
,bj＞0为节点j的基宽值。是网络的理想权值阵，μ∈rn为逼近误差，且满足||μ||≤μ
*
,μ
*
为未知的正常数。对于权值矩阵w∈rm×n，理想矩阵w
*
定义为：
[0115][0116]
步骤四：设计全阶自适应状态观测器。
[0117]
位置与姿态向量η及其一阶导数是设计auh的轨迹跟踪控制策略时所需的状态信息。然而，海洋环境的复杂性导致了位置和姿态向量的一阶导数很难被直接测量。因此，本发明引入观测器技术来估计此变量。由于auh的控制策略设计包括外部扰动和不确定因素，在lso观测器中加入了rbfnn，用于逼近这些不确定因素。针对系统(6)，rbfnn状态观测器设计如下。
[0118][0119]
式中：分别代表状态变量和输出变量的观测值，l1和l2∈rn为待设计的对角增益矩阵，代表系统集总不确定性f的估计值，神经网络的输入xn可以被表示为将观测器改写为更紧凑的形式：
[0120][0121]
其中a，c，h的定义与等式(7)中相同，l＝[l1,l2]
t
。令代表状态观测误差，
则有：
[0122][0123]
式中：
[0124]
步骤五：设计预设性能轨迹跟踪控制器。
[0125]
在此步骤中，本发明基于反步法和预设性能方法以及前述的rbfnn状态观测器(15)构建auh的轨迹跟踪控制器。
[0126]
首先，定义误差变量e1＝[e
11
,e
12
,...,e
16
]
t
和e2[0127][0128]
式中：xd＝ηd代表auh期望的轨迹，α1表示待设计的虚拟控制变量。通过步骤二中的性能函数与误差变换，可以得到等式(10)中的变换误差εi。对变换误差εi求导，则可得：
[0129][0130]
式中：令ε＝[ε1,ε2,ε3,ε4,ε5,ε6]
t
，r＝diag[r1,r2,r3,r4,r5,r6]，v＝diag[v1,v2,v3,v4,v5,v6]，可以进一步得到：
[0131][0132]
当我们选择合适的增益矩阵l，k1，k2和参数β满足：
[0133][0134]
则观测误差xe，变换误差ε，误差e2以及权重估计误差均有界(σ1，σ2，σ3，σ4均为正常数)。此时auh的六自由度轨迹跟踪误差都被严格限制在了由性能函数定义的边界内，即控制系统获得了期望的动态性能及稳态响应。
[0135]
本实施例中的原理如下：
[0136]
uh的动力学模型：
[0137]
auh的非线性运动学方程可参考fossen大纲六自由度非线性动力学模型：
[0138][0139][0140]
式中：j为惯性坐标系和运动坐标系间的转换矩阵，m为质量惯性矩阵，η＝[η
x
,ηy,ηz,η
φ
,η
θ
,η
ψ
]
t
为auh在惯性坐标系下的六自由度位置与姿态，v＝[vu,vv,vw,v
p
,vq,vr]
t
为auh
在运动坐标系下的速度与角速度，c(v)表示auh的科氏力和向心力矩阵，d(v)表示auh的水动力阻尼项，g
η
为auh重力和浮力产生的力和力矩，τ为auh推进器产生的控制力与力矩。
[0141]
采用推力分配矩阵形式表示auh推进系统故障的影响，定义为δb。故实际的控制力与力矩可以改写为τ+δτ：
[0142]
τ+δτ＝(b
0-kb)u＝(b0+δb)u
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(3)
[0143]
式中：b0代表auh推力分配矩阵的标称值，b为auh的推力分配矩阵，u代表auh推进器的控制输出，k是一个元素为k
ii
∈[0,1]的对角矩阵，代表推进器故障程度，其中1代表故障程度最高，推进器完全失效。因此，等式(2)可改写为：
[0144][0145]
式中：m
η
＝mj-1
，c
aη
＝ca(vr)j-1
，d
η
＝d(vr)j-1
，下标0表示标称值；f表示系统的总不确定度，其表达式如下：
[0146][0147]
式中：表示海流扰动造成的影响；δ表示不确定值。
[0148]
令代表控制系统的状态变量，则auh的动力学方程可通过状态变量以如下形式表示：
[0149][0150]
将(6)改写为紧凑形式：
[0151][0152]
式中：h＝[i
n 0]。
[0153]
本发明的核心是：设计控制器u使auh在存在海流扰动、建模不确定性与推进器故障的情况下，其位置与姿态量η仍然能够稳定跟踪期望值ηd，并使跟踪误差e＝η-ηd的稳态及动态响应符合预先设定的性能。为了实现该目标，需要结合下述合理假设条件：
[0154]
假设1：系统的集总不确定度有界，即||d||≤χ,其中，χ为未知正常数。
[0155]
假设2：auh的实际的位置与姿态角η可测。
[0156]
假设3：期望的位置与姿态角ηd与其一阶、二阶导数均已知而且有界。
[0157]
能函数与误差变换构造：
[0158]
定义1：若一种平滑的函数ρ(t):r
+
→
r满足单调递减且的条件，则这种函数可被定义为一种性能函数。
[0159]
一种常见的性能函数如下所示：
[0160]
ρ(t)＝(ρ
0-ρ
∞
)exp(-kt)+ρ
∞
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0161]
式中：ρ0、ρ
∞
和k为预先给定的正常数。auh运动轨迹的六个自由度分别被性能函数(8)约束，如下不等式所示：
[0162]-ρi(t)＜ei(t)＜ρi(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0163]
式中：ei(t)＝x
i-x
di
＝η
i-η
di
，x
di
＝η
di
表示第i个自由度下期望的运动轨迹，ei(t)为第i个自由度下实际运动轨迹与期望值之间的偏差。若误差变量ei(t)的初始值满足-ρi(0)＜ei(0)＜ρi(0)，则auh的六自由度轨迹η被严格限制在性能边界
±
ρi(t)内。此外，参数ki限制了跟踪误差的最小收敛速率，而ρ
i∞
给定了允许的稳态跟踪误差的上界。因此，通过设计适当的性能函数ρi(t)即可获得期望的系统误差响应。
[0164]
定义2：在定义1的基础上，若一种平滑的函数ρ(t)在任意t≥tf满足ρ(t)＝ρ
tf
，其中ρ
tf
为一个任意小的常数，tf是是可以人为设定的时间，则ρ(t)可以称为有限时间性能函数(ftpf)。
[0165]
根据定义2与有限时间理论，设计了一种具有有限时间形式的改进性能函数，其定义如下所示：
[0166][0167]
式中：0＜k2＜1，ρ0和ρ
∞
分别为性能函数在初始时刻和终点时刻的值，tf代表性能函数到达终点时刻的值所需的时间，可根据实际需要人为调整。为了确保(10)符合性能函数的定义，且具有上述功能，需要验证所设计的改进性能函数满足单调递减条件，且所代表的系统符合有限时间收敛的标准形式。
[0168]
证明：考虑lyapunov备选函数，表达式如下所示：
[0169][0170]
式中：e
ρ
＝ρ(t)-ρ
∞
。在t≤tf时，基于性能函数表达式(10)，我们对v
ρ
求导，可得：
[0171][0172]
式中：由于0＜k2＜1，故此外，当e
ρ
≠0时，因此，基于有限时间理论，e
ρ
将在有限时间内收敛至零域。
[0173]
令则式(12)可改写为如下形式：
[0174][0175]
对(13)两边积分，得：
[0176][0177]
其中μ1μ2＝4，代入式(14)得：
[0178][0179]
根据性能函数的定义，当e
ρ
＝0时应有t＝tf，此时x
ρ
(t)＝x
ρ
(tf)＝0。整理等式(15)，有：
[0180][0181]
因此，得出结论ρ(tf)＝ρ
∞
。与常用的指数形式的性能函数(8)相比，本发明所设计的改进性能函数(10)具有以下明显特点：
[0182]
(1)可以显式设定系统的稳定终端时间tf，对设计者更加直观。
[0183]
(2)对于一个给定的稳态收敛时间tf，可以通过调整参数k1和k2来改变系统动态过程的收敛速率，使对动态响应的调节更加灵活。
[0184]
令zi(t)＝ei(t)/ρi(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差εi(t)：
[0185][0186]
通过等式(17)可知，当变换误差εi(t)在区间(-∞,+∞)内，则zi(t)满足-1＜zi(t)＜1，即变换误差εi(t)有界时，不等式(9)也同时被满足。此时，控制目标可等价表示为设计控制器u使得变换误差εi(t)有界。注意到误差变量ei(t)的响应不能受到变换误差εi(t)的边界造成的影响。
[0187]
神经网络逼近系统：
[0188]
本发明引入径向基函数神经网络(rbfnn)逼近由海流扰动、建模不确定性和推进器故障组成的系统集总不确定性f。在区间ω上，系统集总不确定性f的rbfnn估计值可以表述为：
[0189]
f＝w
*t
h(xn)+μ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(18)
[0190]
式中：为径向基函数神经网络的输入向量，h(xn)＝[h1(xn),h2(xn),...,hj(xn),...hm(xn)]
t
∈rm，m代表网络隐层节点的个数。hj(xn)以高斯基函数形式表示为：
[0191][0192]
式中：cj为网络中第j个节点的中心向量，cj＝[c
j1
,c
j2
,...,c
jq
]
t
,bj＞0为节点j的基宽值。是网络的理想权值阵，μ∈rn为逼近误差，且满足||μ||≤μ
*
,μ
*
为未知的正常数。同时，w
*
对于w∈rm×n定义为如下形式：
[0193][0194]
假设4：存在理想的权重矩阵w
*
使得||μ||≤μ
*
当式中μ
*
为未知的正常数。
[0195]
状态观测器设计：
[0196]
设计auh轨迹跟踪控制策略时，固定坐标系中的位置和姿态向量η及其一阶导数是必需的状态信息。然而，由于海洋环境复杂，难以直接测量。因此，本发明引入了一种观测器来估计该变量。由于auh的控制策略设计包括外部扰动和不确定性，将rbfnn融入lso观测器中以逼近外部扰动和不确定性。对于系统(6)，设计如下rbfnn状态观测器：
[0197][0198]
式中：分别代表状态变量和输出变量的观测值，l1和l2∈rn为待设计的对角增益矩阵，代表系统集总不确定性f的估计值，神经网络的输入xn可以被表示为将观测器写成一种更紧凑的形式：
[0199][0200]
其中a，c，h的定义与等式(7)中相同，l＝[l1,l2]
t
；令代表状态观测误差，我们可得：
[0201][0202]
式中：
[0203]
考虑auh动力学系统(7)与rbfnn状态观测器(21)估计系统状态变量x，当观测器增益矩阵l满足下式：
[0204]
λ
min
(q)-σ1＞0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(24)
[0205]
式中：q＝-(a-lh)＞0，σ1＞0，且权重估计矩阵是有界的，则观测误差xe将会收敛至初始值的邻域内。
[0206]
证明：考虑lyapunov备选函数，表达式如下所示：
[0207][0208]
对v0求导并代入式(23)，可得：
[0209][0210]
依据假设4与高斯函数的特性可得||h(xn)||≤1，对任意给定的常数σ1＞0，有下列不等式成立：
[0211][0212]
可得：
[0213][0214]
因为有界，故观测误差xe会收敛到集合：
[0215][0216]
根据rbfnn的特征，权重估计矩阵在t
→
∞时会等于理想权重矩阵因此有
[0217][0218]
预设性能轨迹跟踪控制器设计：
[0219]
基于前述的rbfnn状态观测器(22)、反步法和预设性能方法，构建auh的轨迹跟踪控制器。
[0220]
首先，定义误差变量e1＝[e
11
,e
12
,...,e
16
]
t
和e2：
[0221][0222]
式中：xd＝ηd为auh期望轨迹，α1是待设计的虚拟控制变量。通过前述的性能函数与误差变换，可以得到等式(17)中的变换误差εi。对变换误差εi求导，得：
[0223][0224]
式中：令ε＝[ε1,ε2,ε3,ε4,ε5,ε6]
t
，r＝diag[r1,r2,r3,r4,
r5,r6]，v＝diag[v1,v2,v3,v4,v5,v6]，可得：
[0225][0226]
下述步骤给出具体的分析与推导过程。
[0227]
step 1：选择lyapunov备选函数，如下所示：
[0228][0229]
式中：p＝r-1
，求取v1关于时间的导数并代入等式(33)，可得：
[0230][0231]
设计虚拟控制变量α1：
[0232][0233]
式中：k1是正定的增益矩阵。将式(36)代入式(35)，可得：
[0234][0235]
应用young不等式：
[0236][0237]
式中：σ2是一个正常数。将式(28)和(38)代入式(37)，可得：
[0238][0239]
式中：代表了最大的正定特征值。
[0240]
step 2：为了进一步证明，定义新的lyapunov函数v2。
[0241][0242]
计算v2关于时间的一阶导数，
[0243][0244]
式中：γ＝diag[τ1,τ2,...,τn]为增益矩阵。注意到：
[0245][0246]
式中：代表已知项。auh的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律可以设计如下：
[0247][0248][0249]
式中：k2是增益矩阵，β是常数。将式(43)和(42)代入式(41)，可得：
[0250][0251]
与式(38)相似，可得：
[0252][0253]
式中：σ3，σ4为正常数。将式(38)和(46)代入式(45)，可进一步得到：
[0254][0255]
当选择合适的增益矩阵l，k1，k2和参数β满足：
[0256][0257]
则观测误差xe，变换误差ε，误差e2以及权重估计误差均有界，且分别收敛于如下集合：
[0258][0259]
结合前述性能函数与误差变换的定义，可知auh的六自由度轨迹跟踪误差都被严格限制在了由性能函数定义的边界内，即控制系统获得了期望的动态性能及稳态响应。总结上述推导证明过程，给出如下定理：
[0260]
针对auh的动力学模型(7)，在假设1-4的条件下，将固定坐标系中的位置与姿态量η通过误差变换与性能函数转化为ε。当状态观测器、虚拟控制变量和控制器分别设计为式(22)、(36)和(43)，且选取合适增益l，k1，k2，β满足不等式(48)时，相应的变换误差ε一致最终有界，且跟踪误差ei将被限制在预设性能边界内。
[0261]
仿真实施例
[0262]
为了证明本发明所提出的轨迹跟踪控制方法的有效性，在数值模拟中引入了一个全驱动的auh。auh的推进器布置如图1所示，其中8个推进器为同一类型，独立工作，输出正反两个方向的推力。
[0263]
auh的初始状态信息、水动力系数和惯性系数分别如表1-3所示。
[0264]
表1 auh的初始信息
[0265][0266]
表2 auh的水动力系数
[0267][0268]
表3 auh的惯性系数
[0269][0270]
本发明假设在auh执行轨迹跟踪范围内，海流方向与惯性坐标系下与x轴正方向相同，流速表达式如下:
[0271][0272]
同时，本发明将建模不确定性量化处理，令模型标称值的20％作为建模误差并入扰动的一部分。
[0273]
为了验证所设计的控制器对推进器故障造成的影响具有一定鲁棒性，引入两种常见的推进器故障形式用于仿真分析，包括推进器早期故障和间歇故障，其各自表达形式如下：
[0274]
[0275][0276]
在每一个自由度下将期望的auh的控制性能设计为：(1)稳态跟踪误差不超过0.01；(2)最大收敛时间不超过20s；(3)系统响应无超调。据此可以确定性能函数ρi(t)和δi的取值，如表4所示。
[0277]
表4性能函数的参数值
[0278][0279]
选取auh的状态观测器(21)，轨迹跟踪控制器(43)和自适应律(44)的增益分别如下所示：l1＝diag[50；50；50；50；50；50]、l2＝[800；800；800；800；800；800]、k1＝[0.1；0.1；0.1；0.1；0.1；0.1]、k2＝[1；1；1；1；1；1]。rbfnn的隐藏层节点数为m＝7，高斯基函数的基宽bj＝50，中心c如下所示：
[0280][0281]
在综合考虑建模不确定性、海流扰动、推进器输出饱和推进器故障对auh的影响下，采用本发明所提出的预设性能轨迹跟踪控制器(43)、状态观测器(21)和自适应律(44)，令auh的期望轨迹基于等式η
d2
＝[2sin(0.1t)；2cos(0.1t)-2；-0.5144t；0；0；0]，得到的仿真结果如图2-图5所示。
[0282]
从图2-图5可以看出，在期望的跟踪轨迹为螺旋线时，本发明所提出的预设性能控
制器可以使轨迹跟踪误差保持在由性能函数预先设定的边界内，并在规定的时间内收敛到预设的稳态控制精度。结合推进器故障的作业工况分析，在控制时间t小于20s的推进器早期故障情况下，所设计的控制算法使auh迅速逼近预设的轨迹，实现了预期的控制目标。
[0283]
以上所述仅为本发明的较佳实施举例，并不用于限制本发明，凡在本发明精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。