一种最优积分滑模控制方法
【技术领域】
[0001] 本发明设及一种积分滑模控制方法，尤其设及一种最优积分滑模控制方法，属于 控制技术领域。
【背景技术】
[0002] 最优控制作为现代控制理论的一个重要分支，取得了巨大发展。该控制方法利用 寻优策略，得到满足特定性能指标的控制量，能够获取期望系统动态，有效地改善了系统的 响应特性。针对线性系统，基于二次型性能指标的最优控制算法研究已经得到了充分的发 展，积累了丰富的理论基础与设计经验。但是针对非线性系统，由于系统形式的复杂性，对 于一般的二次型性能指标优化问题，无法通过代数方法获取最优问题解析解，同时，难W直 接采用求解HJB来进行控制器设计。
[0003]因此，针对非线性系统的次优控制策略得到了极大的发展。1962年，Pearson率先 提出了基于状态相关黎卡提方程（State-Dependent I^iccati Equation, SDRE)的次优控制 策略，较之线性系统LQR控制方法，SDRE控制方法在牺牲一定的最优性的前提下，将优化策 略扩展至非线性系统，将简单的线性化算法应用于复杂非线性系统中，降低了控制器的实 现代价，获得了较高的控制品质。SDRE控制算法中，系统状态矩阵与性能指标矩阵均可包 含状态量与时间，给控制律的设计带来了极大灵活性，通过设计状态相关加权矩阵，实现权 重矩阵在线调整，有效地改善了系统的响应特性，获取所需的控制性能。同时状态依赖系数 (SDC)参数化不具有唯一性，增加了控制器的设计自由度。该方法不仅能够充分保留系统非 线性，同时大大简化了非线性HJB方程的求解。
[0004] SDRE控制作为最优控制的一种拓展延伸，是一种基于准确的数学模型的控制算 法。当系统中存在参数不确定性或外部干扰时，系统状态将很有可能偏离最优控制下的期 望轨线。滑模控制作为一种新型变结构控制策略，设计简单，同时能够大大提高系统在匹配 干扰下的鲁椿性。采用积分滑模与SDRE控制相结合，将SDRE控制律作为标称控制律，实现 了对具有强不确定性系统的鲁椿控制器设计。该种方法在很大程度上，结合了两种控制器 的优势，在确保控制性能次优的前提下减小了系统对外部扰动及系统不确定性的敏感性。
[0005] 常规无限时间状态相关黎卡提方程（SDR巧控制方法只能保证系统状态实现渐进 收敛，无法实现系统状态有限时间收敛；同时无法有效折衷系统响应时间与超调量之间的 矛盾。因此需要设计控制器，具有如下特征；（1)能够确保系统误差在有限时间内收敛；似 有效折衷系统响应速度与超调量之间的矛盾，获得快速、小超调量的响应特性；（3)对于外 部扰动W及系统不确定性具有较好的鲁椿性。
【发明内容】
[0006] 本发明公开的一种最优积分滑模控制方法要，求解决的技术问题是通过改进基于 状态相关黎卡提方程（ISDRE)，实现系统状态有限时间收敛，有效折衷系统响应时间与超调 量之间的矛盾，此外将改进基于状态相关黎卡提方程（ISDR巧与积分滑模相结合进一步提 高系统的鲁椿性。
[0007] 本发明的目的是通过下述技术方案实现：
[0008] 本发明公开的一种最优积分滑模控制方法，包括如下步骤：
[0009] 步骤1，建立二阶非线性系统的动态模型。所述的二阶非线性系统的动态模型如公 式（1):
[0010]
(1)
[0011] 式中；X= [x^X2]t为系统的状态向量，f(x)和g(x)声0为关于X的光滑非线性 函数，U G Ri为系统控制量。
[0012] 对此非线性系统进行扩展线性化，得到状态相关系数SDC(state-dependent coefficient)形式如公式（2):
[001 引 i = \-，/ ).、- + 公(.、-，/)" (2)
[0014] 其中 f(X,t) = A(x, t)x，B(x, t) = g(x, t)。
[0015] 步骤2,通过改进基于状态相关黎卡提方程（ISDRE)，实现系统状态有限时间收 敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。
[0016] 步骤2. 1，根据改进基于状态相关黎卡提方程（ISDR巧计算标称控制量U*。
[0017] 根据实际控制要求给定最优性能指标J如公式（3):
[0018]
(3)
[0019] 其中，Qi(x, t), 〇2片t)为二维矩阵，Qi(x, t)为半正定的状态加权矩阵，〇2片t)为 半正定的状态导数加权矩阵，R(x，t)为正定的一维控制加权矩阵。t。为初始时刻。
[0020] 通过最优性能指标J公式（3)计算标称控制量U喷公式（4);
[0021 ] u*=-出(X,t)tq](X,t) B(X,t) +R(X,t) ] -1 出(X,t)tq](X,t) A(X,t) +RT(X,t) P(X,t)] X(4)
[0022] 其中，A(x，t)，B(x，t)通过二阶非线性系统的动态模型定义， Qi(x，t)，Q2(x，t)，R(x，t)根据实际控制要求给定的性能指标参数。二维矩阵P(x)由如下 代数黎卡提方程（5)所确定：
[0023] P(X,t) A(X,t) +AT(X,t) P(X,t) + 怕1(X,t) +AT(X,t) 〇2(X，t) A(X,t))
[0024] - (P(X,t) B(X,t) + 炬T(X,t) 〇2(X，t) A(X,t)) T)化(X,t) (5)
[00巧]+RT (X, t) 〇2 (X，t) B (X, t)) -1 他(X, t) 〇2 (X，t) A (X, t) +RT (X, t) P (X, t)) = 0
[0026] 步骤2. 2,给出状态加权矩阵Qi和状态导数加权矩阵Q2,实现系统状态有限时间收 敛，解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。
[0027] 状态加权矩阵Qi对状态X变化进行约束。为实现状态X有限时间收敛，给出状态 加权矩阵Qi如公式化），状态加权矩阵Q1需为半正定矩阵，为简化设计，令状态加权矩阵Q1 为具有如下形式的对角阵：
[0028]
(6)
[002引式中：
I其中td为设定的期望收敛时间。在实际应用过 程中，由于物理能力的限制，q的取值无法增至无限大，因此对上述q的取值进行调整：[0030]
(7)
[003U 其中A t为一较小的正实数，N。为一较大的正实数，且满足=1^。
[0032] 状态导数加权矩阵Q,对状态量导数进行约束。在误差较大时，减小状态导数加权 矩阵Q2的值，降低对状态导数的约束，加快状态量收敛速度，在误差较小时，增大状态导数 加权矩阵化的值，对状态变化速率进行约束，令状态变量平缓变化，降低超调量。给出的状 态导数加权矩阵Q2形式可解决有效折衷系统响应时间与超调量之间的矛盾。状态导数加 权矩阵化如公式巧）；
[0033]
(8)
[0034] 式中；mw，叫￡R+，R+决定了参数q2i〇q)，Q22(X2)的变化速率。
[00巧]步骤3,将改进基于状态相关黎卡提方程（ISDR巧与积分滑模相结合进一步提高 系统在扰动下的鲁椿性。
[0036] 含有扰动的二阶系统如公式巧）所示：
[00；37]文二'4(-v，/U +公(―、-，〇" +<i(-V，〇(9)
[0038] 其中；d(x，t)代表了包含模型不确定性W及外部干扰的聚合扰动项， 假设该聚合扰动满足匹配条件且有界，即存在函数乃X，/) W及正数A dmJ吏得： d(X，〇| = |公批，如知成么Adma为IcKx'dl的上界。
[0039] 步骤3. 1，给出积分滑模面S如公式（10):
[0040] s = C[x(t)+z] (10)
[00川其中Z为引入的辅助滑模变量，如公式（11)
[0042] -'
(11)
[004引式中；S，ZG r，C G R"%滑模面的增益矩阵，C由正常数构成，C的选择应保证 CB(x, t)可逆。赋初值，令z0= x(0)，则有s(0) = 0。由于初值s(0) = 0,公式（10)-公式 (11)所示的积分滑模面S可保证系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性 和外部扰动具有全局鲁椿性。
[0044] 步骤3. 2,给出最优积分滑模控制量U，由标称控制量及积分滑模切换项U dk 组成，形式如公式（12)所示：
[0045] u = u*+u"s (12)
[0046] 其中u巧/步骤2得到的标称控制量，主要决定了系统的响应动态。
[0047] Udk由步骤3. 1给出的积分滑模面S确定，主要抵消外部干扰与参数摄动对系统状 态响应的不良影响，其形式如公式（13)所示：