专利名称：Rlc互连线和传输线模型的状态空间直接方法及其模型简化的制作方法
技术领域：
本发明涉及RLC互联线和传输线，快速和精确地生成他们时间域的状态空间模型，及其特征和演化的仿真，以及对其各种模型简化的实现方法。
为了叙述简化，下面将“互连线和(或者)传输线”简称为“互连线”。
二.发明的
背景技术：
当今大规模集成电路已变得更大，带有更多、更小的晶体管。随着集成度和速度的迅速提高，集成电路的互连线已成为今天大规模集成电路设计性能的一个主要的限制因素。互连线的时延已成为当今深亚微米大规模集成电路时延的主要部分。随着技术的不断精细，特别是芯片速度的不断提高，互连线时延的影响正变得更加严重。高速和深亚微米大规模集成电路技术的进展要求芯片互连线和封装线用分布电路建模[“Applied Introductory Circuit Analysis for Electrical and Computer Engineering”，M.Reed and R.Rohrer，Prentice Hall，Upper Saddle River，NJ，USA，1999]。最终导致大规模的RLC和RC线性电路的分析。另一方面在传输线领域，众所周知传输线应该用分布电路建模，也导致大规模的RLC和RC线性电路。而当芯片速度和信号传输速度快速提高时，互连线的电感特性必须被考虑。在电路设计中，互连线的快速而精确地建模既是必要的也是困难的。电路性能的快速而精确的仿真是重要的，特别是对超大规模集成电路，其中一个芯片上有上百万个电路元件。集成系统规模增加引起了互连线建模复杂性的激增。按照实际设计的需求，在合理的时间内对电路性能和特征进行评估就必须努力简化互连线电路的阶数。为了恰当地设计复杂的电路，就需要精确的特征化互连线的性能和信号的瞬变。而在大规模集成电路中一条互连线结构通常是一条单线，树或网络。但是一条单线是一个树和一个网络的基本元素。因此对一条单线的互连线特征化过程是根本的和重要的。当今模型简化有各种方法，如Elmore时延模型，渐进波形评估(AWE)的时间分析，PVL(用Lanczos方法的Padé近似)，Klyrov空间的分解，基于Klyrov-Arnoldi的降价模型，BTM(平衡截断方法)，和均匀长度[分割]阶数(ELO)模型。但是为了得到一个好的简化模型，几乎所有状态空间的模型简化方法都需要从一个精确的状态空间高阶模型出发，例如Klyrov空间方法，BTM，ELO，PVL和基于Arnoldi方法需要互连线状态空间系统矩阵A和输入矩阵B。另一方面，在频率域中通过传递函数的模型简化方法也需要从上述的精确的状态空间模型或者精确的传递函数模型出发。例如Elmore方法，AWE和ELO方法。用状态空间方程和传递函数描述的原始精确模型是重要的，这不仅是各种模型简化方法的精确起点的基础，而且是检验各种模型简化方法近似性能的比较的基础。注意到当今的各种方法为了得到一个精确的状态空间模型简化出发点是需要非常高的计算复杂度，即使不计模型简化技术本身的计算复杂度。RLC互连线可用下述的基于KCL(克希霍夫电流定律)或KVL(克希霍夫电压定律)的矩阵微分方程描述Gx(t)+CLCdx(t)dt=bu(t)---(1)]]>其中G和CLC是参数矩阵，有关于互连线的电阻，电容和电感参数，以及线，树和网络的结构，u(t)是输入源，x(t)是结点电压，电感电流或结点电压导数组成的向量。RLC互连线的状态空间模型{A，B，C，D}是x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t),---(2)]]>其中状态变量x(t)∈R2n，输入变量u(t)∈R，输出变量y(t)∈R，阶数2n是电路(单线，树或网络)中电容和电感的个数。很明显的，要从方程(1)得到状态空间模型中的矩阵A和矩阵B，必需计算矩阵CLC的逆以及逆矩阵CLC-1与矩阵G和向量b的乘积，或者相应的矩阵分解和乘法。众所周知，仅是矩阵求逆的计算复杂度是O(n2)~O(n3)，取决于矩阵的结构和求逆算法，而n×n矩阵乘积的计算复杂度通常也O(n3)。对非常高阶的矩阵，由于矩阵的坏条件数，矩阵求逆运算导致奇异性问题，也就是产生另一个计算困难问题。对一个分布模型，2n应该尽可能地大，另一方面在一个典型的大网络中阶数可高达成千上万。为了避免这个困难，通常取一个适当小的或中等大小的阶数和运用均匀长度分割带有参数正比于其长度的方法来求分布RLC互连线的原始基础。但是这显然带来了相当的原始误差。常规有限的阶数或极点数是不能恰当地来评估欠阻尼的RLC互连线的结点的瞬态响应，而它需要一个非常高阶的模型来精确地描述瞬态响应。但是高精度的信号瞬态估计是需要的，不仅是对于大规模集成电路的临界性能模态和网络分析，而且是对精确地予报开关中的可能危险。不断提高的性能要求迫使降低在最坏情况设计中的安全裕量，也需要一个更精确的时延预报。因此确切的原始高阶模型是非常重要的，不仅是对作为所有模型简化方法的起点，而且是对作为所有简化了的模型的评估标准。其中，一条互连线确切的原始模型是根本重要的，因为它是互连线的一个基本结构，而且是一个基本元素用于构成互连线的一个树型结构和一个网络结构。但是，由于原始互连线模型的巨大阶数，一个重要的困难的方面是怎样找到一个方法在一个合理的和低成本的计算时间内求得其原始模型。当进而考虑不确定性时，研究互连线的大规模集成电路性能的鲁棒性时也需要一个彻底仔细的互连线知识，也就是其精确的模型。寻找分布的线性模型的方法通常是从s-域运用Kirchhoff定律和代数方程的方法或者从时间域运用Kirchhoff定律和微分方程的方法。但是在各种传统方法中，这肯定要遇到计算非常高维数矩阵的逆。例如106×106矩阵，所以希望有一新的状态空间模型的直接闭合解和有效的传递函数递推算法对RLC分布互连线，以求大大地减少计算复杂度。进而开发基于这些模型上的仿真来描述瞬态响应在严格的或相当高的精度上。注意到至今还没有简单的和精确的RLC互连线状态空间模型的闭合式，以便用此直接方法求得状态空间模型。总之，目前的各种传统方法缺乏一种快速的有效的方法来求得RLC分布互连线的确切的原始的高阶状态空间模型和传递函数。
三.
发明内容
由上所见，明显地需求一个能以有效的计算方式精确地反映原始模型各鲒点的瞬态响应的RLC互连线电路模型及其分析方法和系统。
本发明的主要目的构思是为RLC互连线提供一种系统方法，以有效的闭合式来建立严格精确的时域的状态空间模型。
本发明进而提供所述的精确模型作为评估运用各种现存和由此发展的模型简化或近似方法的RLC互连线的瞬态响应。
本发明的进而提供一种方法，系统和基础运用上述的严格精确的模型与各种模型简化方法来寻找RLC互连线的一种简单模型简化或者优化的模型简化。
本发明进而以有效的计算方法提供上述的系统方法。
本发明提供的上述系统方法有数值计算稳定性和极点稳定性以及物理的可综合性。
简而言之，本发明的主要目的是通过所述的时域的状态空间闭合式来提供RLC互连线的严格精确的2n阶模型及其模型简化和优化的简单算法。
为了达到上述和其它的目的，本发明是提供计算有效的方法，计算复杂度为O(n2)乘法。对于均匀分布的RLC互连线，所述的状态空间模型的闭合式的计算复杂度仅仅是O(1)，仅仅为一固定常数。本发明确保低阶模型的稳定性，相对AWE等等其他方法而言，这可是一个有用的特征。
建立原始的2n阶模型的系统如下分布电路的阶数如一般的假定取为2n。于是，RLC互连线，如图1所示有n段，i＝1，…，n，每段有一分布电阻Ri和分布电感Li连接二个邻接的结点，和一分布电容Ci从结点到地，输入端连接一源电压vin(t)，于是输出端有一电压vo(t)。下标是桉序从终端到输入端，不同于一般的从输入端到输出端。结点i和结点电压vi(t)也如此编号，i＝1，…，n。在以后发展传递函数的递推算法时，此处理方式的长处就会显示出来。一般互连线有一个源电阻月Rs，一个负载电阻R0和一个负载电容C0，此时其源电压记为vin(t)＝vs(t)。称此为电路模型1，如图1所示。
考虑电路模型1，取状态变量向量x(t)，输入变量u(t)和输出变量y(t)，分别为x(t)＝[vT(t) vT(t)]T，v(t)＝[vn(t)，vn-1(t)，…，v1(t)]T，u(t)＝vin(t)，y(t)＝vo(t)＝v1(t)， (3)其中状态变量x(t)∈R2n，输入变量u(t)∈R，输出变量y(t)∈R或者为多输出，所考虑的分布互连线电路。其图1所示分布RLC电路的状态空间模型{A，B，C，D}为x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)---(4)]]>A=0IA21A22,---(5)]]>
B=0B1,B1=1CnLn0...0,]]>C＝[J 0]，J＝
,D＝0 (8)其中A∈R2n×2n，A21∈Rn×n，A22∈Rn×n，B∈R1×2n，B1∈R1×n，C∈R2n×1，J∈Rn×1，和D∈R。
这是图1模型1的2n阶分布互连线的严格的状态空间模型的一个闭合式，其中通常n＞＞1。但是这闭合式对任意n＞1成立。
对特殊情况n＝1，上述模型退化，将在后述章节叙述。它常与模型简化有关，而分布互连线特征是由一个非常高的2n阶所表征。
建立状态空间模型的方法如下 方法SS1(状态空间模型1)(i)设置阶数2n.
(ii)设置状态矩阵A如(5)A11＝0，n×n零矩阵； (9)A12＝I，n×n单位矩阵；(10)A21如(6)，(11)A22如(7)，然后置 (12)A=A11A12A21A22---(13)]]>(iii)置输入矩阵B，2n×1列矩阵如(8)
(a)bi＝0，i＝1，…，2n，然后(b)bn+1＝1/CnLn(14)(iv)置输出矩阵C为1×2n行矩阵如(8)(a)ci＝0，i＝1，…，2n，然后(b)cj＝1，j∈I[1，n]；通常j＝n， (15)其中第n-j+1个结点为所选输出结点。
(v)置直接输出标量矩阵D＝0。
(vi)于是模型1的状态空间模型{A，B，C，D}已建立，停。
另一种描述电路系统的常用模型是其传递函数。它建立了S域(频率域)中从输入信号向量到输出信号向量的关系。图1中的分布RLC互连线电路模型1的传递函数是由本发明的状态空间模型通过MATLAB的指令ss2tf求得。
图2中模型是没有源和负载影响的分布互连线本身，可看作图1中模型1的特殊情况，通过置源电值和负载电容为0，和负载电阻为无穷大，Rs＝0，C0＝0，和1/R0＝0。 (16) 图1中的另外一个特殊情况是均匀的互连线如图3中的Ri＝R，Ci＝C和Li＝L，i＝1，…，n。(17)其与互连线的寄生参数的关系为R＝Rt/n，C＝Ct/n和L＝Lt/n(18)其中寄生电阻Rt，寄生电容Ct，和寄生电感Lt是互连线的“总”电阻，“总”电容，和“总”电感。这儿用带引号的“总”是因为实际上这是分布的，不是总的。
另外一个特殊情况是图3中的均匀互连线不带有源和负载元件如图4所示。因此，这也是图2为均匀分布的一个特殊情况如(17)和(18)。
相应的时域和频域分析能容易地通过所导得的状态空间闭合式执行MATLAB的step和bode命令。
考虑互连线的模型简化，这儿提出一个易综合和可实现的2m阶上述推导所得的模型，带有最优参数使得定义的最优模型简化的性能指标最小。这也常倾向于用均匀分布的2m阶模型为了简化模型的简单性。上述的状态空间闭合式被用于寻找最优简化模型的参数。因为简化模型有如图1-4相同结构，所以运用图1-4中的相应低阶2m阶RLC互连线来综合，有显见的可综合性。
本发明的闭合式可进一步用于对2m阶寄生RLC互连线作均匀长度段的简化模型的近似分析。我们称此2m阶寄生模型为均匀长度阶(ELO)简化模型。所以，本发明的方法和算法可用于评估ELO简化模型。
本发明中的一个优选的方式是RLC互连线本身的模型简化不包含其源和负载部分的任何畸曲变化。然后将此简化模型连接到其实际的源和负载部分。于是这简化模型不受各种源和负载部分的影响并能与其连接。
本发明的各种形式能包括本发明中任意部分发明和任意目前的有关RLC互连线和传输线的建模和分析的已知方法相结合，或者和任意目前已知方法的组合相结合。
四.
全部附图如下 图1示带有源电阻和负载电阻和电容的广义任意RLC互连线或传输线(模型1) 图2示任意广义RLC互连线或传输线本身(模型2) 图3示一个带有源电阻和负载电阻和电容的均匀分布的RLC互连线或传输线(模型3) 图4示均匀分布的RLC互连线或传输线本身(模型4) 图5示一个图4模型4的RLC互连线例子A的200阶原始模型的阶跃瞬态响应。
图6示一个图4RLC互连线例子的200阶原始模型的Bode图，由状态空间模型求得。
图7示一个图4RLC互连线例子的2阶(n＝1)ELO(均匀长度阶)的简化模型的阶跃瞬态响应。
图8示一个图4RLC互连线例子的2阶(n＝1)ELO的简化模型的Bode图，由状态空间模型求得。
图9示一个图4RLC互连线例子的4阶(n＝2)的ELO模型的阶跃瞬态响应。
图10示一个图4RLC互连线例子的4阶(n＝2)的ELO模型的Bode图，由状态空间模型求得。
图11示一个图4RLC互连线例子的20阶(n＝10)的ELO模型的阶跃瞬态响应。
图12示一个图4RLC互连线例子的20阶(n＝10)的ELO模型的Bode图，由状态空间模型求得。
图13示一个图3RLC互连线例子的阶跃瞬态响应。
图14示一个图3RLC互连线例子的Bode图，由状态空间模型求得。
图15示一个图3RLC互连线例子原始模型及其1阶和2阶的BTM模型的阶跃瞬态响应。
图16示一个图3RLC互连线例子原始模型及其1阶和10阶的BTM模型的Bode图。
五.
具体实施例方式本发明的优选的实施方式将在此详细叙述。
第A节叙述寻找RLC互连线的状态空间模型参数的方法如所述的闭合式。B节讨论从状态空间模型求得传递函数模型。C节讨论那些互连线的模型简化。D节阐述利用性能评估决定简化模型的近似。E节讨论所述方法的稳定性和复杂度特征。最后第F节给出实验结果。
A.状态空间模型的直接计算A.1.模型1-带源和负载 一个优选的方式是模型1如图1所示和前面所简述的状态空间模型(4)通过闭合式如(5)-(8)可有下述方式产生A=0IA21A22,---(19)]]>
B=0B1,]]>B1=1CnLn0...0T,]]>C＝[J 0]，J＝
，D＝0 (22) 这里子系统矩阵A21有3条对角线元素上对角线，对角线，下对角线及其最后一列向量。其第i行，i＝2，…，n-2，有元素Cn-i+1和Ln-i+1，并且其3条对角线元素的行和等于0，i＝2，…，n-2。其第n-1行和等于1R0C2(R1L1-R2L2).]]>其最后一列向量元素都有负载电阻R0。第1行有元素Cn，Ln，Ln-1，Rn，Rn-1，和源电阻Rs。其最后一行有元素C1，L1，R1和负载电阻R0和电容C0，其行和为-R1R0(C1+C0)L1.]]>其对角线元素是负的，为a21ii=-1Cn-i+1(1Ln-i+1+1Ln-i),i=1,···,n-1,a21nn=-1(C1+C0)L1(R1R0+1),n≥2---(23)]]>其上对角线元素是正的，为a21i,i+1=1Cn-i+1Ln-i,i=1,···,n-2,n>2,a21n-1,n=1C2L1+1R0C2(R1L1-R2L2)---(24)]]>其下对角线元素是正的，为a21i,i-1=1Cn-i+1Ln-i+1,i=2,···,n-1]]>，和a21n,n-1=1(C1+C0)L1,n≥2.---(25)]]>矩阵A21的所有其他元素都为0。
子系统矩阵A22是上三角矩阵。它的元素是有关于电阻Ri与其同一段电感Li的比例值，一电容Ci与一电容Cj的比例值。其最后一行有元素L1，R1，C1负载电阻R0和电容C0。第1行有元素Rn+Rs，Ln和Ln-1。其第i行有元素Rn-i+1，Rn-i，Ln-i+1，Ln-iand Cn-i+1 for i＝1，…，n-1。其第i列有元素Cn-i+1，i＝2，…，n。这些特征反映了分布互连线的结构与其元素下标序列的关系。
输入矩阵B仅有一个非另元素在第(n+1)行
bn+1＝1/CnLn，(26)输出矩阵C的行只有一个非另元素1cn＝1， (27)直接输出矩阵D为0。所以，这个状态空间模型的计算复杂度仅为O(n2)乘法。
如果需要第i个结点的电压，就令输出矩阵C其第i位元素为1，其余元素为0，C＝
，而其系统矩阵A，输入矩阵B和直接输出矩阵D，各自均不变在(19)-(22)中。于是这状态空间模型可以表示和检测任意结点的电压，只需调整其相应的输出矩阵C。
方程式(19)-(22)是图1中2n阶分布互连线模型1的严格的状态空间模型的一个闭合式，这儿通常n＞＞1。但是这闭合式对任意n＞1都是有效的。其通常相应的方法和算法是如上一章的方法SS1所示。
当n＝1，上述模型退化为A21=-R0+R1+Rs(C1+C0)L1R0=-1C1L1·1+(R1/R0)+(Rs/R0)1+C0/C1,A22=-R1+RsL1-1(C1+C0)R0---(28)]]>B=01(C1+C0)L1T,]]>C＝[1 0](29)这常常是有关于阶数2的简化模型，而RLC分布互连线的特征是要非常高的2n阶来表征。
A.2.模型2-不带源和负载部分 本节是提供产生模型2的状态空间模型的闭合式方法。图2所示模型2为互连线本身，没有来自各种不同源和负载的影响和摄动(扭曲)。这种情况是非常重要的，因为它描述了一个分布RLC互连线的传播延迟特征而没有负载阻抗和源阻抗的扭曲。其状态空间模型的闭合式如下A=0IA21A22---(30)]]>
B＝
T，C＝
，D＝0，n≥1。(33) 当n＝1时，其状态空间模型是A21=-1C1L1,]]>A22=-R1L1,]]>B=01C1L1T,]]>B1=1C1L1,]]>C＝[1 0]，D＝0。
(34) 由此可见，闭合式公式(30)-(33)对n＝1也是有效的，如果取矩阵A21和A22的右下角元，B矩阵中子矩阵B1的顶元，C矩阵中第一块的最右面元作为降阶形式。
相似于前述的方法，一个求得模型的方法和计算算法如下 方法SS2i)置阶数2n。
ii)置矩阵A如(30)，A11＝0，n×n零矩阵； (35)A12＝I，n×n单位矩阵；(36)A21如(31)， (37)A22如(32)，然而置 (38)A=A11A12A21A22---(39)]]>iii)置输入矩阵B，2n×1列矩阵如(33)(a)bi＝0，i＝1，…，2n，然而(b)bn+1=1CnLn---(40)]]>iv)置输出矩阵C，1×2n行矩阵如(a)ci＝0，i＝1，…，2n，然而(b)cj＝1，j∈I[1，n]；(通常j＝n)，(41)为了选结点n-j+1作为输出结点；v)置直接输出矩阵D＝0；vi)停 通过闭合式(30)-(33)就为模型2建立了状态空间模型{A，B，C，D}。
A.3.模型3-均匀分布，带源和负载 本节提供建立图3中的模型3的均匀的RLC互连线带有源和负载的严格状态空间模型的方法如下A=0IA21A22---(42)]]>
B=0B1T=00...01CL0...0T]]>C＝
，D＝0，n＞1.(45) 对特殊情况n＝1，上述模型退化为A21=R0+R+Rs(C+C0)LR0=-1CL·1+(R/R0)+(Rs/R0)1+C0/C,A22=-R(1+Rs/R)L-1C(1+C0/C)R0---(46)]]>B=01CL(1+C0/C)T,]]>C＝[1 0]，D＝0.(47) 闭合式显示了源和负载在模型3中的影响是通过比例因子Rs/R，R/R0和C0/C。当这些比例因子非常小时，它们可以分别忽略不计。模型3的一个极端的特例是模型4，它删去闭合式中所有这些因子。
应当指出和特别强调的是上述的闭合式只包含固定的非常有限次数的乘法和除法，对任意高的阶数n(n＞＞1)。其计算复杂度是固定的小于O(n)，仅为O(1)！ 获得模型的方法和计算的算法是相似于前述的如下。
方法SS3i)置阶数2n。
ii)置系统矩阵A如(42)如n＝1，置A21如(46)，(48)A22如(46)，然而置 (49)A=01A21A22;]]>置 (50)B=01CL(1+C0/C)T,]]>C＝[1 0]和D＝0 (51)停。
如果n＞1，转下步。
iii)置A11＝0，n×n零矩阵， (52)A12＝I，n×n单位矩阵， (53)A21如(43)，(54)A22如(44)，然而置 (55)A=A11A12A21A22---(56)]]>iv)置输入矩阵B，2n×1列向量如(45)
(a)bi＝0，i＝1，…，2n，然而(b)bn+1＝1/CL (57)v)置输出矩阵C，1×2n行向量如(a)ci＝0，i＝1，…，2n，然而(b)cj＝1，j∈l[1，n]；(通常j＝n)， (58)为了选结点n-j+1作为输出结点.
vi)置直接输出矩阵D＝0。
vii)停。
于是对模型3通过{A，B，C，D}上述闭合式(42)-(45)建立了状态空间的模型3。
A.4.模型4-均匀分布，不带源和负载 本节给出产生均匀分布的互连线本身的状态空间模型的方法。图4给出了模型4的电路。其没有各种源和负载的任意扭曲。其状态空间模型的闭合式如下。
A=0IA21A22---(59)]]> A22=-RL·In×n---(61)]]>B=0B1T=00...01CL0...0T,]]>C＝
，D＝0，n≥1.(62) 当n＝1的特殊情况，上述模型退化为A21=-1CL,]]>A22=-RL,]]>B=01CLT,]]>C＝[1 0]，D＝0。
(63)由此可见，闭合式公式(59)-(62)对n＝1也是有效的。
应当强调指出上述闭合式仅仅只需2次乘法和2次除法对无论任意大的n(n＞＞1)。这表明计算复杂度是一常数4，也就是O(1)！ 产生均匀互连线和传输线模型的方法和算法与上述相似如下。. 方法SS4i)置阶数2n。
ii)置系统矩阵A如(59)如果n＝1，置A21＝-1/CL如(63)， (64)A22＝-R/L如(63)，然而置(65)A=01A21A22,]]>置 (66)B＝
T，C＝[1 0]，D＝0如(63) (67)停。
如果n＞1，转下一步。
iii)置A11＝0，n×n零矩阵； (68)A12＝1，n×n单位矩阵； (69)A21如(60)，(70)A22如(61)，然而置 (71)A=A11A12A21A22---(72)]]>iv)置输出矩阵B，2n×1列向量如(62)(a)bi＝0，i＝1，…，2n，然而(b)bn+1＝1/CL (73)v)置输出矩阵C，1×2n行向量如(a)ci＝0，i＝1，…，2n，然而(b)cj＝1，j∈I[1，n]；(通常j＝n)， (74)为了选结点n-j+1作为输出结点.
vi)置直接输出矩阵D＝0。
vii)停。
于是通过所述的模型4的闭合式(59)-(62)建立了其状态空间模型{A，B，C，D}。
B.由状态空间模型求传递函数模型 本节是阐述怎样运用上面所发展的概念由状态空间模型来求RLC互连线到其任一输出结点的传递函数。考虑图1-4中的一般的分布RLC互连线和传输线。
由于状态空间模型已由闭合式求得，于是通过MATLAB指令ss2tf即可容易地求得互连线由输入到其任一输出结点的传递函数Tn(s)。由于状态空间模型是精确的，于是传递函数也是相当精确的。
C.模型简化和近似的阶数 已经阐明了怎样通过上述精确的闭合式求得严格的状态空间模型的方法和进一步求得相当精确的传递函数方法。但是计算这些严格的模型对典型的大分布互连线的阶数是高达上千。在实践中，没有必要计算如此高阶的RLC互连线，因为瞬态行为能够用低阶模型精确地表征，例如，用少数主导极点(通常几十个极点)。现在上述所快速产生的精确的状态空间模型和传递函数模型提供了模型简化或者模型截断，以及进一步比较的基础和出发点。例如，平衡截断法(BTM)能够运用于上述状态空间模型作模型简化。另外所得的传递函数可用于通过频率域的模型简化方法，如AWE，Pade近似和其他有关方法。通过对原始模型性能的比较，按照所需近似性能，例如精度和频率范围，可决定简化模型的近似阶数。
上述模型对于揭示ELO简化模型和原始高阶模型之间的关系是非常有效的。其方法如下。
考虑一个2n阶均匀分布的RLC互连线的电路如图4所示，其总长度电阻Rt，总长度电感Lt，和总长度电容Ct，如(18)所示。其原始2n阶均匀分布模型是如(59)-(63)所示。其2m阶ELO模型{Aem，Bem，Cem，D}是Aem=0IAem21Aem22---(75)]]>
Bem=0Bem1T=1r2CL00...010...0T,]]>Cem＝
，D＝0，n≥1(77)其中Aem∈R2m×2m，Aem21∈Rm×m，Aem22∈Rm×m，Bem∈R2m×1，Cem∈R1×2m，而R，L和C是原始2n阶模型的参数，其阶数简化的比例是r＝n/m。 (78) 本发明的方法可运用于图3一带源和负载的均匀分布的RLC互连线的电路。其2n阶原始模型是(42)-(45)。然后，其2m阶ELO状态空间模型{Aem，Bem，Cem，D}是Aem=0IAem21Aem22---(79)]]> Bem=0Bem1T=1r2CL00...010...0T,]]>Cem＝
，D＝0，n＞1(82)其中Aem∈R2m×2m，Aem21∈Rm×m，Aem22∈Rm×m，Bem∈R2m×1，Cem∈R1×2m，而R，C和L是原始2n阶模型的参数。模型简化比是r＝n/m。
上述方法揭示了ELO带源和负载的模型取决于其分布参数和外部参数的参数比R/Rs，R/R0，C/C0，(Rt/Rs，Rt/R0，Ct/C0)和阶数简化比r。有二种外部参数的极端情况一种是没有外部参数即只有互连线本身，不含任何畸曲，另一种是含起主导作用的大的外部参数。一个通常情况是间于这二极端情况之间。但是对互连线本身的简化模型可用于连接各种的外部源和负载参数。
D.确定瞬态响应和Bode图 进而，上述的原始模型和简化模型可用于确定和研究瞬态响应和Bode图(频率响应)，即他们的时域性能和频域性能。例如用一些简单的MATLAB指令step(A，B，C，D)或step(n，d)作时域阶跃响应，bode(n，d)和bode(A，B，C，D)作频域Bode图。这些性能图和数据也可方便地比较原始模型和其简化模型。
E.计算复杂度和稳定性特征 上述发明的新方法的RLC互连线状态空间模型的计算复杂度是O(n2)，n是RLC节数，阶数是2n，远小于传统方法的复杂度O(nk)，k＞2或k＞3。这儿需强调的是这儿所说的计算复杂度是基于乘除法的次数。而传统方法有时仅基于通过元件径路的次数。对此当然是线性的。所以这儿的计算复杂度更严格，更精确。这儿的复杂度O(n2)是因为新的状态空间模型的闭合式方法避免了矩阵求逆或矩阵分解和矩阵乘法。
但是，对均匀分布的RLC互连线，所说的状态空间模型的闭合式计算复杂度仅是一个固定的常数，即O(1)。而互连线和传输线，树和网络常常是由均匀分布的次互连线和次传输线构成。于是，这新发明的状态空间模型方法计算复杂度用于树或网络将是这些树和网络的指数乘以O(1)，这将是远小于O(n)，其中n是总树或网络的阶数。
这些方法导致了2n阶分布RLC互连线和传输线系统的严格精确的模型。所以，这些方法保证所导出的模型的稳定性。而且其数值计算也是稳定，这是对任意阶的模型。这些方法也能与数据的比例尺法和其他技术相结合。
本发明方法是特别有效于互连线阻抗分布特性的建模，由于其如此简单的状态空间模型计算和如此容易地求得互连线由输入到其任一输出结点的传递函数模型，再加上其高精度。
F.实验结果 所述的状态空间模型的闭合式对于时域的仿真是非常有用。特别是对于时域常用的试验和评估的阶跃响应。如果一个系统是用传递函数描述，它常将首先转换成时域的状态空间以求阶跃响应。但是，传递函数是对频域仿真和评估十分有用，特别是作频域评估分析常用的Bode图。如果一个系统是用状态空间模型描述的，它将首先转换成频域的传递函数以求Bode图。
所述的方法现在将用于计算两均匀分布RLC互连线的阶跃输入的瞬态响应和频率响应的Bode图。例子1是互连线和传输线本身，而例子2是互连线带源和负载。然后，所得的原始模型的阶跃响应和Bode图将和其BTM和ELO简化模型的相应的阶跃响应和Bode图分别比较。
例1考虑一均匀分布的RLC互连线模型4，0.01cm长，分布特征数据电阻5.5kΩ/m和电容94.2pF/m。一个200阶模型作为原始模型其有R＝5.5·10-3Ω和C＝9.42·10-5pF，其电感值由材料中的光速和电容值求得为L＝2.831·10-13H。
例2考虑相同于例1中的均匀分布RLC互连线，但带有一源电阻Rs＝500Ω，负载电阻R0＝1MΩ和负载电容C0＝1pF如图3所示。这儿，这些外部参数比起分布参数R，L和C是主导的。
例1A应用方法SS4于例1的模型4，其200阶的原始状态空间模型S＝{A，B，C，D}是 A22=-1.9435·1010·I100×100,A=0IA21A22,]]>B＝
T＝
T，C＝
and D＝0。
其传递函数可以由递推方法求得。但是由于分布参数非常小，可以结合比例尺法使用。
图5显示了200阶原始模型阶跃响应，由所述的状态空间模型的闭合式求得。
图6显示了200阶原始Bode图，由所述的状态空间模型方法求得。
Bode图既可以从上述的状态空间模型求得，也可用MATLAB指令ss2tf从上述的状态空间模型得其传递函数再求得，或者从其另一发明递推方法得到的传递函数求得。但是来自其另一发明递推算法的传递函数所作的Bode最精确。原始模型显示了当频率高于一定范围时，频率增加时Bode图有增加的衰减。但简化模型当频率高于某一频率时其Bode图曲线不能跟随这一特性，我们称此频率为模型近似的失真(或分离)频率。但是求时域阶跃响应时，状态空间模型最方便和最精确。
例1B实验数据包括例1中原始模型和2，4，和20阶ELO简化模型。ELO简化模型即是2m阶模型4带有R，L，和C成比例于其片段长度。ELO模型是用上述发明的方法得到。
图7显示了其2阶(n＝1)ELO模型阶跃响应，由所述的状态空间模型的闭合式求得。
图8显示了其2阶(n＝1)ELO模型的Bode图，由所述的状态空间模型方法求得。
图9显示了其4阶(n＝2)ELO模型阶跃响应，由所述的状态空间模型的闭合式求得。
图10显示了其4阶(n＝2)ELO模型的Bode图，由所述的状态空间模型方法求得。
图11显示了其20阶(n＝10)ELO模型阶跃响应，由所述的状态空间模型的闭合式求得。
图12显示了其20阶(n＝10)ELO模型的Bode图，由所述的状态空间模型方法求得。
这些仿真说明了低阶的ELO简化模型不能很好地代表原始的均匀分布的RLC互连线。
所以从时域响应来看一高阶的ELO模型是需要的，对一个足够好的近似于200阶原始模型。很明显也很自然，ELO模型的阶数越高，其近似越好。
例2A应用所说的方法于例2中的模型3，其200阶原始模型S为A=0IA21A22,]]> B＝
T＝
T，C＝
图13显示了一个上述原始模型但C0＝0的阶跃响应，由所述的状态空间模型的闭合式求得，以便显示一些RLC互连线的特殊的特性。
图14显示了这个原始模型但C0＝0的Bode图，由所述的状态空间模型方法求得。
例2B考虑例2A中的均匀分布RLC连线但C0＝0，200阶的原始模型，并考虑A3和B3节的方法产生的其BTM简化模型。
图15显示了这个原始模型及其1阶和2阶BTM模型的阶跃响应。其中最陡的曲线是原始模型的曲线，底下的曲线是2阶BTM模型的曲线，最高的曲线是1阶BTM模型的曲线。
图16显示了这个原始模型及其1阶和10阶BTM模型的Bode图。其中最多峰的曲线是原始模型的曲线，次多峰的曲线是10阶BTM模型的曲线，平直的曲线是1阶BTM模型的曲线。
这些低阶的BTM模型简化的误差是显而已见的大。这也说明所述的新方法和技术对建模和模型简化以及模型比较是非常有用的和有效的。
由此可见，综上所述，本发明的方法是有用的，稳定的，精确的，另一方面它们又是容易的，简单的，有效的，具有低计算复杂度以及低计算时耗。
权利要求
1.一种生成RLC互连线或传输线的时间域状态空间模型的方法，用于仿真，性能分析，模型简化，或电路设计，该方法有下述步骤(a)置状态空间模型阶数为一偶数2n；(b)置所说互连线或传输线模型为n节串联，共有一源端和n个结点，其中n个结点为一个终端和n-1个中间结点，每节有一电阻和一电感相串联，并有一电容从其下端结点连接到地；(c)分配n节的电阻Ri，电感Li和电容Ci参数值，i＝1，…，n；(d)取n个结点电压及其导数为所说的时间域状态空间模型的状态变量向量，源电压为输入变量，取某一结点为输出端，其电压为输出变量；其特征是(e)构造2n×2n维系统矩阵A，有4个n×n维子矩阵A11，A12，A21，A22构成，为A=A11A12A21A22,]]>其中子矩阵A11为零矩阵，子矩阵A12为单位矩阵I，子矩阵A21的对角线，上对角线和下对角线元素由所说的电感和电容值组成，子矩阵A22为一三角矩阵，其非另的元素由所说的电阻，电感和电容值组成；(f)构造2n×1维输入矩阵B，其有一非另元素是由直接连接源端的一节的电感和电容值组成；(g)构造输出矩阵C，有一1×2n维行向量仅有一非另元素对应于所选的输出结点电压；(h)构造一为0的直接输出矩阵D；(i)形成所说的时间域状态空间模型{A，B，C，D}由所说的矩阵A，B，C，D组成；由此所说的状态向量遵循一微分方程称为系统方程x·(t)=Ax(t)+Bu(t),]]>输出变量遵循一代数方程称为输出方程y(t)＝Cx(t)+Du(t)，其中x(t)为状态向量，u(t)为输入源电压，y(t)为输出向量含输出端电压，所说的方法提供了一个闭合式直接建立其时域状态空间模型，同时非常显著地减少了计算复杂度。
2.根据权利要求1所说的方法，其进一步的特征是(a)第i节及其结点i，电阻Ri，电感Li和电容Ci的编号由终端起向源端方向顺序编号；(b)状态变量向量记为x(t)=vn(t)···v1(t)v·n(t)···v·1(t)T,]]>其中vi(t)为结点i的电压，i＝1，…，n；(c)所说的子矩阵A21为 所说的子矩阵A22为 (d)所说的输入矩阵B为B＝
T(e)所说的输出矩阵C的行向量非另元为1在n+1`-k位对应于第k结点的电压，1≤k≤n。
3.根据权利要求1所说的方法，其特征是进一步包括下述步骤(a)所说互连线或传输线带有源电阻Rs，负载电阻R0和负载电容C0，其中源电阻串联在源端，负载电阻和电容并联连接终端和地；(b)置所说的子矩阵A21有一列元素由负载电阻R0，电容Ci，电感Li，电阻Ri，i＝1，…，n，组成，其中有一个元素进一步带有源电阻Rs，及另一个元素进一步带有负载电容C0，有一个非主对角线元进一步带有C0；(c)置所说的子矩阵A22有一非零行元素带有Rs，有一非零列元素带有C0，其中有一个元素带有R0；由此所建立的状态空间模型适用于带有源电阻，负载电阻和电容的互连线或传输线的合成模型。
4.权利要求1所述的方法，其特征进一步包括下述步骤(a)建立一个低阶的2m阶m＜n的状态空间模型运用权利要求1的方法通过用m替换n；(b)设置一模型简化性能误差判据对于2m阶模型偏离原始2n阶模型；(c)求得2m阶模型中电阻，电感和电容的优化参数使得所说的性能误差判据极小；(d)建立一个新的2m阶状态空间模型带有求得的优化参数；由此方法提供了一个优化的2m阶的状态空间简化模型对于原始的高阶2n阶模型，这个简化模型还保证是稳定的和可综合的。
5.权利要求1所述的方法，其特征进一步包括(a)所分配的n节的电阻，电感和电容参数值可采用比例尺，方便建模，仿真，分析或设计；(b)一个相似变换由一个非奇异的矩阵T作用在模型{A，B，C，D}上，得模型{T-1AT，T-1B，CT，D}及其状态变量向量Tx(t)；(c)基于所建立的状态空间模型作模型仿真或模型简化或模型分析用于RLC互连线或传输线电路分析或设计。
6.运用权利要求1所述方法所编制的软件
7.运用权利要求1所述方法所制造的硬件。
8.一种建立均匀的RLC互连线或传输线的时间域状态空间模型的方法，用于仿真，性能分析，模型简化或电路设计，该方法有下述步骤(a)置状态空间模型阶数为一偶数2n；(b)置所述互连线或传输线模型为n节串联，有一源端和n个结点，其中结点包括一个终端和中间n-1个结点，每节均匀相等有一电阻和一电感相串联，并有一电容从其下端结点连接到地；(c)分配一组相同的均匀的电阻R，电感L和电容C的参数值给每一节；(d)取n个结点的电压及其导数为所说的时间域状态空间模型的状态变量向量，源电压为输入变量，取某一结点为输出端，其电压为输出变量；其特征是(e)构造2n×2n维系统矩阵A有4个n×n维子矩阵A11，A12，A21，和A22构成，为A=A11A12A21A22,]]>其中子矩阵A11为0矩阵，子矩阵A12为单位矩阵I，子矩阵A21的对角线，上对角线和下对角线元素由所说的电感值L和电容值C组成，子矩阵A22为非零对角线元素由电阻值R和电感值L组成；(f)构造2n×1维输入矩阵B，有一非零元素由电感值L和电容值C组成；(g)构造输出矩阵C，有一1×2n维行向量仅有一非零元素对应于所选的输出结点电压；(h)构造一为0的直接输出矩阵D；(i)形成时间域状态空间模型{A，B，C，D}由所说的矩阵A，B，C，D组成；由此所说的状态向量遵循一微分方程称为系统方程x·(t)=Ax(t)+Bu(t),]]>输出变量遵循一代数方程称为输出方程y(t)＝Cx(t)+Du(t)，其中x(t)为所说的状态向量，u(t)为源电压，y(t)为输出向量含输出端电压，所说的方法提供了一个闭合式直接建立其时域的状态空间模型，极大地减少了计算复杂度，仅为O(1)。
9.根据权利要求8所述的方法，其进一步的特征是(a)第i节，及其结点i的编号由终端起向源端方向顺序编号；(b)状态变量向量记为x(t)=vn(t)···v1(t)v·n(t)···v·1(t)T,]]>其中vi(t)为结点i的电压，i＝1，…，n；(c)所说的子矩阵A21为 (d)所说的子矩阵A22为一对角阵A22=-RL·In×n;]]>(e)所说的输入矩阵B为B＝
T；(f)所说的输出矩阵C的行向量非零元为1在n+1-k位对应于第k结点的电压，1≤k≤n；由此显见所说方法的计算复杂度为O(1)，所说的方法提供进一步仿真，模型简化，核正，性能分析，优化或电路设计的基础。
10.根据权利8所述的方法，其特征是进一步包括下述步骤(a)安置每节和其结点的编号i由终端起向源端方向顺序编号，i＝1，…，n；(b)状态变量向量记为x(t)=vn(t)···v1(t)v·n(t)···v·1(t)T,]]>其中vi(t)为结点i的电压，i＝1，…，n；(c)所说的互连线或传输线带有源电阻Rs，负载电阻R0和负载电容C0，其中源电阻串接在源端，负载电阻和电容并联连接在终端和地；(d)所说的子矩阵A21为 n＞2，或A21=1CL-21-RsR011+C0/C-R+R0R0(1+C0/C),]]>n＝2；(e)所说的子矩阵A22为 n＞2，或A22=-R+RsL-Rs(1+C0/C)L0-RL-1R0(C1+C0),]]>n＝2；(f)所说的输入矩阵B为B＝
T；(g)所说的输出矩阵C的行向量非零元为1在n+1-k位，对应于第k结点的电压，1≤k≤n；由此显见本方法计算复杂度低至O(1)，提供进一步仿真，模型简化，核正，性能分析，优化或者电路设计的基础。
11.根据权利要求8所述的方法，其特征进一步包括下述步骤(a)建立一个低阶的2m阶m＜n的状态空间模型，运用权利要求8的方法，但其中n改为m；(b)设置一模型简化性能误差判据对于2m阶模型偏离原始2n阶模型。(c)求得一组最优的电阻，电感和电容3个参数使得所说的判据极小；(d)建立一个新的2m阶均匀分布的互连线或传输线的状态空间模型带有求得的优化参数；由此方法提供了一个优化的2m阶状态空间简化模型，这个简化模型保证是稳定的和可综合的。
12.运用权利要求8所述方法所编制的软件
13.运用权利要求8所述方法所制造的硬件。
全文摘要
本发明提供了一组严格精确的有效的闭合式的方法用于建立RLC分布互连线和传输线2n阶时域状态空间模型。其中RLC部件可以是均匀分布的或各种不同值。互连线和传输线可以是其本身或带有其源和负载部分。主要特征包括状态空间模型{A，B，C，D}的闭合式的简单性和精确性，不需要矩阵求逆或矩阵分解和矩阵乘法。状态空间模型的乘除法的计算复杂度大幅度地降为O(n
文档编号G06F17/50GK1808449SQ20051007826
公开日2006年7月26日 申请日期2005年6月8日 优先权日2005年1月18日
发明者王胜国 申请人:王胜国