一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法与流程

本发明属于机械工程领域，具体涉及一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法。

背景技术：

传热问题在工程中普遍存在，尤其是在航空航天领域，如何提高结构在高温环境中的可靠性，已成为飞行器设计的一个主要方面。而这类问题的前提和关键就是首先确定系统温度场的分布规律。实际工程中，由于制造工艺的限制、测量的误差以及环境的变化，不确定因素无处不在。对复杂传热系统而言，即使很小的不确定因素，通过各子系统之间的传播和扩散，也可能会对最终的温度响应产生明显的扰动。系统的复杂性导致物理问题数学表述上的困难，往往不得不做出简化，这就使得传统基于确定性模型的传热数值计算方法不够准确。

随机建模及数值计算方法在不确定分析领域发挥了重要作用，但用随机理论求解问题时，事先需要大量的试验信息确定模型输入参数的概率分布规律。在实际工程中，获取充足的试验数据往往代价昂贵。如此一来，信息的缺乏使得概率模型不能真实描述客观实际，这在一定程度上限制了随机模型的应用。如何通过有限的数据信息来客观反映系统的不确定特征，成为许多学者亟待解决的问题。区间模型，只需要知道不确定变量的上下界即可，在不确定建模方面体现了很好的方便性和经济性。目前，将区间理论与有限元计算方法相结合衍生出来的区间有限元法在不确定结构的静、动力特性分析方面已经取得了不少研究成果，但对具有区间参数的传热问题分析的文献却十分少见。另外，传统区间分析方法因区间运算所引起的区间扩张问题还比较严重，计算精度还亟待提高；基于全网格配点理论的谱分析方法计算耗费会随着不确定空间维数的扩张而急剧增加。因此，如何建立准确高效的区间分析方法对不确定传热问题进行数值求解，是目前学术领域的一个研究热点，对于弥补现有传热数值计算方法的不足，具有重要的工程应用价值。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题为：克服现有技术在热对流扩散问题求解中存在的不足，充分考虑传热系统中输入参数的区间不确定性，基于多项式逼近理论和稀疏网格配点技术，提出了一种有效求解区间热对流扩散问题的数值计算方法，可系统化解决含有区间不确定参数的传热模型温度场预测问题，在保证计算精度的同时，进一步提高了配点法的计算效率。

本发明为解决上述技术问题采用的技术方案为：一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法，包括以下步骤：

步骤一：引入区间变量对传热系统中输入参数的不确定性进行表征；

步骤二：利用步骤一中引入的区间变量，建立热对流扩散问题的区间控制方程；

步骤三：利用正交多项式对步骤二区间控制方程中涉及的温度响应进行逼近，得到区间温度响应的近似表达式；

步骤四：根据张量积法则和Smolyak公式(斯莫利亚克)，建立稀疏网格配点集合；

步骤五：利用现有程序或软件计算步骤四配点集合中所有配点处的温度响应，建立关于步骤三温度响应近似表达式中展开系数的线性方程组，并采用最小二乘法对此线性方程组进行求解，得到展开系数的一组值；

步骤六：将步骤五中得到的展开系数的一组值代回到步骤三温度响应的近似表达式中，基于函数的光滑性，确定此近似表达式的极值点，进而得到区间温度响应的上下界。

其中，所述步骤三中利用正交多项式对温度响应进行近似表示，多项式的类型和截断阶数并不是固定不变的，根据变量分布类型和逼近精度要求进行选取，对于均匀分布的区间变量而言，一般选取勒让德正交多项式，另外截断阶数越高，逼近精度就越高。

其中，所述步骤四中稀疏网格配点集合的建立并不是固定不变的，根据计算耗费和计算精度的要求来选取配点水平，配点水平越高，计算精度就越高，而计算耗费就越大。

上述各步骤具体包括以下过程：

步骤一：引入n个区间变量对传热系统中输入参数的不确定性进行表征，并记为向量的形式其中上标I是区间符号，αi和表示区间变量的下界和上界，和称作区间变量的中点和半径，为标准区间变量

步骤二：利用步骤一中引入的区间变量，建立热对流扩散问题的区间控制方程：

其中x表示物理坐标，T表示温度响应，ρ,c,k分别表示材料的密度、比热容和热传导系数，u为传热流体的流动速度，Q表示系统的热源强度。

步骤三：根据变量分布特点，选用合适的正交多项式对步骤二区间控制方程中的温度响应T(x,α^I)进行逼近，得到区间温度响应的近似表达式：

其中Φi(α^I)为事先选定的正交多项式基底，wi(x)为对应的展开系数，i＝(i1,i2,...,in)表示多维指标，且满足|i|＝i1+i2+...+in，N为多项式的截断阶数。上述近似表达式中展开项的个数可用变量数n和截断阶数N表示为

步骤四：根据张量积法则和Smolyak公式，建立稀疏网格配点集合。首先，设定整体配点水平k，令L＝k+n，根据张量积法则和Smolyak公式构造n维空间的稀疏网格配点集合Θ：

其中ij j＝1,2,...,n表示第j维空间(对应着第j个区间变量)的配点水平，表示第j个一维区间变量对应配点水平ij的所有配点组成的集合，其配点数量和配点位置分别为：

其次，用M表示上述稀疏网格配点集合中的配点数量，因此Θ可记为的形式，用来表示n维空间所有的配点其中上标node表示配点。

步骤五：利用现有程序或软件计算步骤四配点集合中所有配点处的温度响应，建立关于步骤三温度响应近似表达式中展开系数的线性方程组，并采用最小二乘法对此线性方程组进行求解，得到展开系数的一组值。首先，步骤二中所建立的区间控制方程在配点处可改写为：

利用现有程序或软件对上述方程进行求解，可以得到所有配点处的温度响应

其次，基于步骤三中区间温度响应近似表达式，可以建立关于所有展开系数wi(x)的线性方程组：

其中|i|≤N 1≤j≤M表示多项式基底函数Φi(α^I)在配点处的取值。

然后，利用最小二乘法求解上述线性方程组，得到展开系数wi(x)的一组值。

步骤六：将步骤五中计算得到的展开系数wi(x)的一组值代回到步骤三温度响应的近似表达式中，利用多项式函数TN(x,α^I)的光滑性，确定其极值点，进而得到TN(x,α^I)的最小值min TN(x,α^I)和最大值max TN(x,α^I)，最终近似得到区间温度响应T(x,α^I)的下界T(x,α^I)和上界

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)与传统的传热数值计算方法相比，所提出的区间分析方法充分考虑传热系统输入参数的不确定性，计算结果对温度场分析具有更重要的指导意义。

(2)利用正交多项式对温度响应进行近似表示，可有效提高逼近精度。同时，利用多项式函数的光滑性，可快速确定其极值点，进而得到温度响应的上下界。

(3)利用Smolyak公式对配点网格进行改进，可有效减少配点数量，提高了配点法的计算效率。

(4)本发明操作简单，实施方便，在保证计算精度的同时，有效降低了传统抽样方法的计算耗费。

附图说明

图1为本发明的一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法流程图；

图2为本发明的空气冷却系统模型示意图；

图3为流管中心线沿z轴区间温度响应示意图；

图4为圆柱外侧沿z轴区间温度响应示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

本发明适用于含有区间不确定参数的热对流扩散问题的温度场预测。本发明实施方式以某空气冷却系统模型为例，具体说明所述的一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法。另外，此空气冷却系统模型的区间温度响应数值计算方法可以推广到其他含有区间不确定参数的热对流扩散问题温度场预测中。

一种基于稀疏网格配点理论的区间热对流扩散问题求解方法的计算过程如图1所示，引入区间变量表征传热系统中的输入不确定性，进而建立热对流扩散问题的区间控制方程，利用正交多项式对区间温度响应进行近似表示，同时根据张量积法则和Smolyak公式，构造稀疏网格配点集合，利用现有程序或软件计算所有配点处的温度响应，并采用最小二乘法求得温度响应近似表达式中的展开系数，最后基于多项式函数的光滑性计算区间温度响应的上下界。可分为如下几个步骤进行：

步骤一：考虑图2所示的高为100cm的圆柱形空气冷却系统，中间有直径为10cm的圆孔通过冷却空气。沿z轴方向，在流管中心线上选定编号为1～3的三个点，在圆柱外侧选定编号为4～6的三个点作为温度场的观测点。由于制造工艺的限制、测量的误差以及环境的变化，此传热模型的部分参数含有一定的不确定性，引入区间变量对其进行表征，其中空气的密度ρ^I＝[1.3,1.5]kg/m³，比热容c^I＝[900,1100]J/(kg·℃)，热传导系数k^I＝[0.0242,0.0282]W/(m·℃)，空气的流动速度u^I＝[4.6,5.4]m/s，入口处7的空气温度另外，在阴影部分所示的固体结构8中有容积热产生，热源强度为Q＝50000×sin(ω)W/m³,其中参数ω在区间[1.5,2.5]内变化。将上述六个区间变量表示为向量形式其中上标I是区间符号，αi和表示区间变量的下界和上界，和称作区间变量的中点和半径，为标准区间变量

步骤二：利用步骤一中引入的区间变量，建立热对流扩散问题的区间控制方程：

其中x,y,z表示三个空间方向上的物理坐标，T表示温度响应，ρ,c,k分别表示空气的密度、比热容和热传导系数，u为空气的流动速度，Q表示系统的热源强度。

步骤三：根据区间变量均匀分布的特点，选用勒让德正交多项式对步骤二区间控制方程中的温度响应T(x,y,z,α^I)进行逼近，截断阶数设定为N＝3，得到区间温度响应的近似表达式：

其中Φi(α^I)为事先选定的勒让德正交多项式基底，wi(x,y,z)为对应的展开系数，i＝(i1,i2,...,i6)表示多维指标，且满足|i|＝i1+i2+...+i6。此时上述近似表达式中展开项的个数为

步骤四：根据张量积法则和Smolyak公式，建立稀疏网格配点集合。首先，设定整体配点水平k＝2，令L＝k+n＝8，根据张量积法则和Smolyak公式构造此六维空间的稀疏网格配点集合Θ：

其中ij j＝1,2,...,6表示第j个区间变量的配点水平，表示第j个一维区间变量对应配点水平ij的所有配点组成的集合，其配点数量和配点位置分别为：

上述稀疏网格配点集合中的配点数量为M＝85，因此将Θ记为的形式，用来表示六维空间所有的配点其中上标node表示配点。

步骤五：利用现有程序或软件计算步骤四配点集合中所有配点处的温度响应，建立关于步骤三温度响应近似表达式中展开系数的线性方程组，并采用最小二乘法对此线性方程组进行求解，得到展开系数的一组值。首先，步骤二中所建立的区间控制方程在配点处可改写为：

利用软件Nastran中的有限元程序对上述方程进行求解，可以得到所有配点处的温度响应

其次，基于步骤三中区间温度响应近似表达式，建立关于所有展开系数wi(x,y,z)的线性方程组：

其中|i|≤31≤j≤85表示多项式基底函数Φi(α^I)在配点处的取值。

然后，利用最小二乘法求解上述线性方程组，得到展开系数wi(x,y,z)的一组值。

步骤六：将步骤五中计算得到的展开系数wi(x,y,z)的一组值代回到步骤三温度响应的近似表达式中，利用多项式函数TN(x,y,z,α^I)的光滑性，确定其极值点，进而得到TN(x,y,z,α^I)的最小值minTN(x,y,z,α^I)和最大值maxTN(x,y,z,α^I)，最终近似得到区间温度响应T(x,y,z,α^I)的下界T(x，y，z，α^I)和上界

六个观测点处温度响应的计算结果如表1所示。与样本数为10⁶的传统蒙特卡洛抽样方法对比可以看出，本发明方法的计算误差小于1％，计算精度完全满足工程需求。另外，从样本数量上看，本发明方法的样本数仅为85，计算耗费远远小于蒙特卡洛方法。

表1观测点处区间温度响应上下界

除了上述六个观测点外，沿z轴方向，流管中心线和圆柱外侧区间温度响应如图3和图4所示，横坐标表示沿z轴方向的空间位置，纵坐标表示空间位置处的温度值，实线和虚线分别表示蒙特卡洛抽样方法和本发明方法计算得到的结果。可以看出，本发明方法计算得到的温度响应上下界曲线与传统蒙特卡洛抽样得到的参考值吻合程度很好，计算结果真实可信。用本发明方法可以解决含有区间不确定输入参数的热对流扩散问题，计算精度高，计算耗费少，此功能是一般商用软件所不能实现的。

以上所述的仅为本发明的较佳实施例而已，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内所作的局部改动、等同替换、改进等均应包含在本发明的保护范围之内。