本发明涉及核工程中子输运过程数值模拟领域，具体涉及一种计算中子输运离散节块法中任意阶勒让德多项式展开系数的方法。
背景技术：
：核反应堆是一种实现可控自持中子裂变反应过程的装置。中子裂变反应是中子与可裂变物质原子核发生裂变反应生成裂变碎片、新中子及光子等，同时释放出能量的过程。这些能量可被人们利用，这便是核电站的原理。然而由于自持链式裂变反应的复杂性，及核裂变反应直接及裂变碎片间接释放的中子、光子具有强烈的生物杀伤性，对自持链式裂变反应的数值模拟在核工程领域广泛发展。另一方面，人们往往要知道中子、光子在介质中的分布情况，如核电厂房辐射探测，材料辐照研究，这往往也需要对中子、光子行为的数值模拟。中子输运理论是目前为止最精确地描述中子在介质中的反应、输运迁移过程及最终分布的理论。中子输运理论在数学上可表达为一个关于中子通量分布(简称中子通量)的复杂微积分方程。其中中子通量分布是描述中子在时间、空间、飞行方向及能量不同维度上分布的变量。由于该方程的复杂性，目前数学是无法精确求解的。随着计算机技术的广泛发展和应用，人们通过数值方法近似求解该方程。然而由于其复杂性及计算机发展水平的制约，人们还未能完美地将求解精度和效率优化至工业界可接受的范围内。经调研，中子输运离散节块法是一种精度和效率相对较高的求解中子输运方程的数值方法。经过AhmedBadruzzaman改进的三维中子输运离散节块方法在保证同样精度的前提下具有更高的效率。该方法的具体过程见文献《AnEfficientAlgorithmforNodal-TransportSolutionsinMultidimensionalGeometry》(以下简称文献)。该方法求解无时间变量的稳态的中子输运方程；通过变量离散，将空间离散成多个网格，这里称每个网格为一个节块，在节块内部，再进一步将空间变量使用勒让德多项式展开，得到对应不同勒让德多项式阶数的通量矩；对飞行方向使用离散纵标法离散，即用空间上多个离散的方向代表连续的空间飞行方向；并将能量变量分成多段，每段为一能群，称之为多能群近似。通过这些数值近似，最终将中子通量分布表达成随不同维度变化的离散变量。通过数值方法求解出这些离散变量的值，便近似求解了中子输运方程。值得注意的是，这些离散变量的离散程度和求解的精度密切相关。比如对于空间变量来说，节块划分的越密越精确，节块内部勒让德多项式的展开阶数越高越精确。对中子输运方程离散化后，经过特殊的推导变形，可获得如下如下形式的三个关键系数：Fxn=Δx2μ2n+12exp(-ΣtΔx2μ)∫-11Pn(x)exp(ΣtΔx2μx)dx---(1)]]>Gxk=exp(-ΣtΔx2μ)∫-11Pk(x)exp(-ΣtΔx2μx)dx---(2)]]>Gxkn=Δx2μ2n+12∫-11Pk(x)exp(-ΣtΔx2μx)[∫-1xPn(x′)exp(ΣtΔx2μx′)dx′]dx---(3)]]>其中，Fxn、Gxk和Gxkn的下标x表示该系数和笛卡尔坐标系中的x方向有关，k和n为非负整数，分别表示节块中中子通量和中子源的勒让德多项式展开阶数，简称展开阶数；括号中的x'和x都表示沿笛卡尔坐标系中x方向的位置变量，单位为cm，为了在积分中区分对x'做了上标；Δx表示节块沿x方向的尺寸cm，exp表示自然指数函数，μ为中子飞行方向与x轴的角度余弦值，该式中μ限于正值，Σt为该节块的中子总反应截面，代表反应概率，单位cm-1，Pn(x)为关于x的n阶勒让德多项式，Pk(x)为关于x的k阶勒让德多项式，Pn(x')为关于x'的n阶勒让德多项式，勒让德多项式具有如下形式：P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=3x2-12,P3(x)=5x3-3x2,...---(4)]]>易验证对于阶数不超过2阶的勒让德多项式满足下面(5)式的递推关系式，更高阶的勒让德多项式则不具有该性质。dPn(x)dx=(2n-1)Pn-1(x),n≤2---(5)]]>文献中利用该递推关系式，给出了只适用于2阶以下的系数递推关系式：Fxn=2n+12Σt{[1+(-1)n+1exp(-ΣtΔxμ)]Pn(1)-4μΔxFn-1}---(6)]]>Fx0=12Σt[1-exp(-ΣtΔxμ)]]]>(7)]]>Gxk=2μΔx22k+1(-1)kFk---(8)]]>Gkn=1Σt[δkn+(-1)k+n+1(2n+12k+1)2μΔxFk]-(2n+1)2μΣtΔx(Gk,n-1+Gk,n-3+...)---(9)]]>Gx00=1Σt(1-G0)---(10)]]>Gx01=-32Σt[21-exp(-ΣtΔxμ)-2μΣtΔx-1]---(11)]]>Gx01=-13G01---(12)]]>节块内空间变量的展开阶数影响数值求解的精度和效率，通常越高的展开阶数意味着节块尺寸可以取得越大，从而在获得相同精度的前提下提高数值求解的效率。文献中这一计算系数的方法限制了节块内空间变量展开阶数，从而限制了该数值方法的精度和效率。技术实现要素：为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种计算中子输运离散节块法中任意阶勒让德多项式展开系数(源系数、通量系数和耦合系数)的方法，该方法打破了原中子输运离散节块法在计算反应堆中子通量密度分布时精度和效率受展开阶数的限制。为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案：一种计算中子输运离散节块法中任意阶系数的方法，主要内容包括：1.形式简化：通过引入中间系数将复杂的源系数、通量系数和耦合系数进行形式简化；2.积分变换：根据勒让德多项式的性质，将源系数、通量系数和耦合系数中的n阶勒让德多项式拆分成n个一般多项式，从而将源系数、通量系数和耦合系数中出现的指数函数和勒让德多项式乘积的积分(简称原始积分)转化为指数函数和一般多项式乘积的积分(简称中间积分)；3.解析求解：通过数学方法解析地推导出中间积分的精确表达式和递推关系式，这些精确表达式和递推关系式中不包含复杂积分运算，易于计算机编程实现，将计算机精确求解的中间积分值代入积分变换后的源系数、通量系数和耦合系数的表达式，结合作为已知条件的中间系数值，获得任意阶源系数、通量系数和耦合系数的精确值。下面具体给出获得中子输运离散节块法中任意阶系数的方法：第一步，通过引入中间系数，对中子输运离散节块法中的三个关键系数即源系数、通量系数和耦合系数的形式进行简化：重写原中子输运离散节块法中的三个关键系数，即源系数Fxn、通量系数Gxk和耦合系数Gxkn如下，Fxn=Δx2μ2n+12exp(-ΣtΔx2μ)∫-11Pn(x)exp(ΣtΔx2μx)dx---(13)]]>Gxk=exp(-ΣtΔx2μ)∫-11Pk(x)exp(-ΣtΔx2μx)dx---(14)]]>Gxkn=Δx2μ2n+12∫-11Pk(x)exp(-ΣtΔx2μx)[∫-1xPn(x′)exp(ΣtΔx2μx′)dx′]dx---(15)]]>其中，Fxn、Gxk和Gxkn的下标x表示该系数和笛卡尔坐标系中的x方向有关，k和n为非负整数，分别表示节块中中子通量和中子源的勒让德多项式展开阶数，简称展开阶数；括号中的x'和x都表示沿笛卡尔坐标系中x方向的位置变量，单位为cm，为了在积分中区分对x'做了上标；Δx表示节块沿x方向的尺寸cm，exp表示自然指数函数，μ为中子飞行方向与x轴的角度余弦值，该式中μ限于正值，Σt为该节块的中子总反应截面，代表反应概率，单位cm-1，Pn(x)为关于x的n阶勒让德多项式，Pk(x)为关于x的k阶勒让德多项式，Pn(x')为关于x'的n阶勒让德多项式；为了简化源系数、通量系数和耦合系数，引入如下的中间系数b、a和c：b=Δx2|μ|---(16)]]>a＝Σtb(17)c＝e-a(18)其中e为自然指数，将(16)、(17)和(18)式分别代入(13)、(14)和(15)式得到如下形式的源系数、通量系数和耦合系数：Fxn=bc(n+0.5)∫-11Pn(x)eaxdx---(19)]]>Gxn=c∫-11Pn(x)e-axdx---(20)]]>Gxkn=b(n+0.5)∫-11Pk(x)e-ax[∫-1xPn(x′)eax′dx′]dx---(21)]]>在应用中子输运离散节块法求解反应堆中子通量时，中间系数b、a和c当做已知值，源系数、通量系数和耦合系数是勒让德多项式展开阶数n和k的函数，然而函数关系(19)、(20)和(21)式中含有勒让德多项式和指数函数的积分，直接数值求解是耗时和不精确的，下面的步骤采用积分变换和解析求解的思想获得精确的任意阶源系数、通量系数和耦合系数值；第二步，将勒让德多项式拆分为多项式求和的形式，将源系数、通量系数和耦合系数中出现的指数函数和勒让德多项式乘积的积分简称原始积分，转化为指数函数和一般多项式乘积的积分简称中间积分：将勒让德多项式写成如下多项式求和的形式：Pn(x)=Σn′=0npn′-nxn′---(22)]]>其中pn'-n为n阶勒让德多项式的第n'次幂项的系数，如p0-0＝1、p0-1＝0、p1-1＝1等。将(22)式代入(19)、(20)和(21)式中，得到源系数、通量系数和耦合系数中间积分的关系式：Fxn=bc(n+0.5)Σn′=0npn′-nIn′a---(23)]]>Gxk=cΣk′=0kpk′-kIk′-a---(24)]]>Gxkn=b(n+0.5)Σn′=0nΣk′=0kpn′-npk′-kJk′n′---(25)]]>其中中间积分形式如下：In′a=∫-11xn′eaxdx---(26)]]>Ik′-a=∫-11xk′e-axdx---(27)]]>Jk′n′=∫-11xk′e-ax(∫-1xx′n′eax′dx′)dx---(28)]]>第三步，通过分部积分和数学归纳法获得中间积分的解析表达式，从而获得任意阶源系数、通量系数和耦合系数的解析表达式：(23)-(28)式已将求任意阶系数的关键转化为求形如和Jkn的指数函数和任意阶多项式积分；通过数学上的分部积分法及数学归纳法，得到如下形式的任意阶中间积分解析表达式：Ina=(-1)n+1eaΣl=0n(-1)l+1an-l+1n!l!+(-1)n+1e-aΣl=0n1an-l+1n!l!,a>0---(29)]]>Ina={2,n=00,n>0,a=0---(30)]]>In-a=(-1)nIna---(31)]]>Jkn=(-1)n+1Σl=0n(-1)l+1an-l+1n!l!1-(-1)l+k+1l+k+1+(-1)n+1e-aIk-aΣl=0n1an-l+1n!l!,a>0---(32)]]>Jkn={4,k+n=00,k+n>0,a=0---(33)]]>并且得到如下的递推关系式：I0a=(ea-e-a)/a,a>0---(34)]]>Ina=-naIn-1a+(ea+(-1)n+1e-a)/a,a>0---(35)]]>Jk0=[1-(-1)k+1k+1-e-aIk-a]/a,a>0---(36)]]>Jkn=-naIk(n-1)+[1-(-1)n+k+1n+k+1+(-1)n+1e-aIk-a]/a,a>0---(37)]]>(29)-(33)式为中间积分的解析表达式，对于任意的勒让德多项式展开阶数n和k，能够方便地通过计算机编程求得这些中间积分；将求得的中间积分的值代入经积分变换的源系数、通量系数和耦合系数的表达式(23)、(24)和(25)式中，便获得任意阶源系数、通量系数和耦合系数的计算值，注意(30)、(31)式给出了a＝0的特殊情况，这对应于中子总反应截面Σt为零的情况，这使得中子输运离散节块法在理论上能够处理带真空材料的中子输运问题，如带真空空洞反应堆中子分布计算、反应堆外围中子分布计算。上述中子输运离散节块法任意阶系数的计算方法已经通过计算机程序实现，证明了其正确性和有效性，与现有技术相比，本发明有如下突出优点：1.打破了传统中子输运离散节块法对节块内空间变量勒让德多项式展开阶数的限制，可以通过解析的方法精确获得任意高阶展开系数，使得节块尺寸可以取得更大，从而在反应堆中子通量分布计算时同时获得较高的精度和效率；2.给出了零中子反应截面情况的特殊中子输运离散节块法展开系数表达式，使得中子输运离散节块法可以用来计算带真空区域反应堆或反应堆外围通量分布。具体实施方式下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细说明：本发明方法基于中子输运离散节块法，为了得到中子输运问题中任意阶中子输运离散节块法任意阶展开系数，在中子输运离散节块法的框架下，通过计算机编程将前面的步骤代码实现。编程中用到的最基本的关系式是(23)、(24)和(25)式，观察这三个关系式可知，一方面要获得中间系数a、b和c；另一方面需要获得形如和Jkn的指数函数和任意阶多项式乘积的积分。中间系数a、b、c和节块的尺寸Δx，中子飞行方向与坐标轴的角度余弦值μ，以及节块的中子总反应截面Σt有关，这些量根据具体待计算问题的性质并结合网格划分和离散角度划分获得，求解时可当做已知值；形如和Jkn的任意阶积分通过前面给出的积分表达式或递推关系式获得。由于递推关系式在计算高阶系数时用到已经计算好的低阶系数的值，可以减少计算量，在实践应用中使用递推关系式，具体计算时源展开阶数N和通量展开阶数K的值为给定值(方便讨论期间，这里假设N＝K)，对于中间系数a＝0的情况，直接利用(30)和(33)式计算积分值；对于中间系数a＞0的情况，使用(34)-(37)式递推计算积分值：首先使用(34)式计算然后使用(35)式逐步递推计算然后使用关系式(31)计算然后使用(36)式计算Jk0(k＝1,2,...,K)，最后利用(37)式计算Jkn(k＝1,2,...,K；n＝1,2,...,N)，将这些计算好的各阶中间系数存储备用。最后使用(23)、(24)和(25)式组合中间系数和中间积分，获得最终的任意阶(源展开阶数N和通量展开阶数K可取任意非负整数)源系数，通量系数和耦合系数的值。当前第1页1 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