一种计算中子输运离散节块法中任意阶系数的方法与流程

技术特征：

1.一种计算中子输运离散节块法中任意阶系数的方法，其特征在于：包括如下步骤：

第一步，通过引入中间系数，对中子输运离散节块法中的三个关键系数即源系数、通量系数和耦合系数的形式进行简化：

重写原中子输运离散节块法中的三个关键系数，即源系数F_xn、通量系数G_xk和耦合系数G_xkn如下，

$F_{xn}=\frac{\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}\frac{2n+1}{2}\exp \left(\frac{-{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}\right)\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_n\left(x\right)\exp \left(\frac{{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}x\right)dx---\left(13\right)$

$G_{xk}=\exp \left(\frac{-{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}\right)\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_k\left(x\right)\exp (-\frac{{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}x)dx---\left(14\right)$

$G_{xkn}=\frac{\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}\frac{2n+1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_k\left(x\right)\exp (-\frac{{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}x)\[\underset{-1}{\overset{x}{\∫}}{P}_n\left(x^{\′}\right)\exp \left(\frac{{\Σ}_t\mathrm{\Δ}x}{2\mathrm{\μ}}{x}^{\′}\right){\mathrm{dx}}^{\′}\]dx---\left(15\right)$

其中，F_xn、G_xk和G_xkn的下标x表示该系数和笛卡尔坐标系中的x方向有关，k和n为非负整数，分别表示节块中中子通量和中子源的勒让德多项式展开阶数，简称展开阶数；括号中的x'和x都表示沿笛卡尔坐标系中x方向的位置变量，单位为cm，为了在积分中区分对x'做了上标；Δx表示节块沿x方向的尺寸cm，exp表示自然指数函数，μ为中子飞行方向与x轴的角度余弦值，该式中μ限于正值，Σ_t为该节块的中子总反应截面，代表反应概率，单位cm^-1，P_n(x)为关于x的n阶勒让德多项式，P_k(x)为关于x的k阶勒让德多项式，P_n(x')为关于x'的n阶勒让德多项式；

为了简化源系数、通量系数和耦合系数，引入如下的中间系数b、a和c：

$b=\frac{\mathrm{\Δ}x}{2\left|\mathrm{\μ}\right|}---\left(16\right)$

a＝Σ_tb (17)

c＝e^-a (18)

其中e为自然指数，

将(16)、(17)和(18)式分别代入(13)、(14)和(15)式得到如下形式的源系数、通量系数和耦合系数：

$F_{xn}=bc(n+0.5)\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_n\left(x\right)e^{ax}dx---\left(19\right)$

$G_{xn}=c\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_n\left(x\right)e^{-ax}dx---\left(20\right)$

$G_{xkn}=b(n+0.5)\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{P}_k\left(x\right)e^{-ax}\[\underset{-1}{\overset{x}{\∫}}{P}_n\left(x^{\′}\right)e^{{\mathrm{ax}}^{\′}}{\mathrm{dx}}^{\′}\]dx---\left(21\right)$

在应用中子输运离散节块法求解反应堆中子通量时，中间系数b、a和c当作已知值，源系数、通量系数和耦合系数是勒让德多项式展开阶数n和k的函数，然而函数关系(19)、(20)和(21)式中含有勒让德多项式和指数函数的积分，直接数值求解是耗时和不精确的，下面的步骤采用积分变换和解析求解的思想获得精确的任意阶源系数、通量系数和耦合系数值；

第二步，将勒让德多项式拆分为多项式求和的形式，将源系数、通量系数和耦合系数中出现的指数函数和勒让德多项式乘积的积分简称原始积分，转化为指数函数和一般多项式乘积的积分简称中间积分：

将勒让德多项式写成如下多项式求和的形式：

$P_n\left(x\right)=\underset{n^{\′}=0}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{n^{\′}-n}{x}^{n^{\′}}---\left(22\right)$

其中p_n'-n为n阶勒让德多项式的第n'次幂项的系数，

将(22)式代入(19)、(20)和(21)式中，得到源系数、通量系数和耦合系数中间积分的关系式：

$F_{xn}=bc(n+0.5)\underset{n^{\′}=0}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{n^{\′}-n}{I}_{n^{\′}}^a---\left(23\right)$

$G_{xk}=c\underset{k^{\′}=0}{\overset{k}{\Σ}}{p}_{k^{\′}-k}{I}_{k^{\′}}^{-a}---\left(24\right)$

$G_{xkn}=b(n+0.5)\underset{n=0}{\overset{n}{\Σ}}\underset{k=0}{\overset{k}{\Σ}}{p}_{n^{\′}-n}{p}_{k^{\′}-k}{J}_{k^{\′}{n}^{\′}}---\left(25\right)$

其中中间积分形式如下：

$I_{n^{\′}}^a=\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{x}^{n^{\′}}{e}^{ax}dx---\left(26\right)$

$I_{k^{\′}}^{-a}=\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{x}^{k^{\′}}{e}^{-ax}dx---\left(27\right)$

$J_{k^{\′}{n}^{\′}}=\underset{-1}{\overset{1}{\∫}}{x}^{k^{\′}}{e}^{-ax}\left(\underset{-1}{\overset{x}{\∫}}{x}^{\′n^{\′}}{e}^{{\mathrm{ax}}^{\′}}{\mathrm{dx}}^{\′}\right)dx---\left(28\right)$

第三步，通过分部积分和数学归纳法获得中间积分的解析表达式，从而获得任意阶源系数、通量系数和耦合系数的解析表达式：

(23)-(28)式已将求任意阶系数的关键转化为求形如和J_kn的指数函数和任意阶多项式积分；通过数学上的分部积分法及数学归纳法，得到如下形式的任意阶中间积分解析表达式：

$I_n^a={(-1)}^{n+1}{e}^a\underset{l=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{(-1)}^{l+1}}{a^{n-l+1}}\frac{n!}{l!}+{(-1)}^{n+1}{e}^{-a}\underset{l=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{a^{n-l+1}}\frac{n!}{l!},a\>0---\left(29\right)$

$I_n^a=\left\{\begin{array}{cc}2,& n=0\\ 0,& n\>0\end{array}\right.,a=0---\left(30\right)$

$I_n^{-a}={(-1)}^n{I}_n^a---\left(31\right)$

$J_{kn}={(-1)}^{n+1}\underset{l=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{(-1)}^{l+1}}{a^{n-l+1}}\frac{n!}{l!}\frac{1-{(-1)}^{l+k+1}}{l+k+1}+{(-1)}^{n+1}{e}^{-a}{I}_k^{-a}\underset{l=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{a^{n-l+1}}\frac{n!}{l!},a\>0---\left(32\right)$

$J_{kn}=\left\{\begin{array}{cc}4,& k+n=0\\ 0,& k+n\>0\end{array}\right.,a=0---\left(33\right)$

并且得到如下的递推关系式：

$I_0^a=(e^a-e^{-a})/a,a\>0---\left(34\right)$

$I_n^a=-\frac{n}{a}{I}_{n-1}^a+(e^a+{\left(-1\right)}^{n+1}{e}^{-a})/a,a\>0---\left(35\right)$

$J_{k0}=\[\frac{1-{(-1)}^{k+1}}{k+1}-e^{-a}{I}_k^{-a}\]/a,a\>0---\left(36\right)$

$J_{kn}=-\frac{n}{a}{I}_{k(n-1)}+\[\frac{1-{(-1)}^{n+k+1}}{n+k+1}+{(-1)}^{n+1}{e}^{-a}{I}_k^{-a}\]/a,a\>0---\left(37\right)$

(29)-(33)式为中间积分的解析表达式，对于任意的勒让德多项式展开阶数n和k，能够方便地通过计算机编程求得这些中间积分；将求得的中间积分的值代入经积分变换的源系数、通量系数和耦合系数的表达式(23)、(24)和(25)式中，便获得任意阶源系数、通量系数和耦合系数的计算值，

注意(30)、(31)式给出了a＝0的特殊情况，这对应于中子总反应截面Σ_t为零的情况，这使得中子输运离散节块法在理论上能够处理带真空材料的中子输运问题。