具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法与流程

本发明涉及半导体器件模拟方法，具体涉及一种具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法。

背景技术：

发生在不同能带间的非局域量子隧穿是化合物半导体器件非常广泛的一种物理效应，常见于多种半导体器件，比如多结太阳电池、隧穿场效应晶体管等。如何准确模拟这一物理现象是半导体器件物理和数值数学始终关心的内容，通常的做法是把点对点隧穿电流密度转换成各种连续性方程的产生复合项。比较常用是的是Kane局域模型(E.O.Kane,"Zener tunneling in semiconductors",J.Phys.Chem.Solids,vol.12,pp.181-188,1959)，在这一模型里，能带间非局域量子隧穿被处理成只与局部电场强度相关的量，采用这处理方式的是软件有CROSSLIGHT。Hurkx等进一步加入了缺陷辅助隧穿增强效应，将该效应以载流子寿命衰减系数的形式表示出来(G.A.M.Hurkx,D.B.M.Klaassen and M.P.G.Knuvers,"Anew recombination model for device simulation including tunneling",IEEE Trans.Electron Devices,vol.39,no.2,pp.331-338,1992)，采用该模型的软件有wxAMPS。Silvaco、Synopsys等商用软件采用了所谓的非局域量子隧穿模型(Ieong MK,Solomon PM,Laux SE,Wong HSP,Chidambarrao D.Comparison of raised and Schottky source/drain MOSFETs using a novel tunneling contact model.International Electron Devices Meeting SanFransisco,California,USA,1998,733–736.)，该模型采用量子力学中载流子隧穿的方式来处理隧穿，一边的载流子具有一定的几率隧穿通过材料带隙所构成的势垒到另外一边，隧穿电流大小还取决于两边载流子的分布情况，这样非局域随船所引起的电流密度分布在空间不同的点,该模型已应用于多结太阳电池中(M.Hermle,G.Letay,”Numerical simulation of tunnel diodes for multi‐junction solar cells”,Progress in Photovoltaics Research and Applications Vol.16,No.5,pp.409-418,2008)。

然而上述非局域模型在处理的时候依然把点对点隧穿电流当作载流子连续性方程中的点产生复合项来处理，并没有考虑两边总体隧穿电流的守恒性，即从一边量子隧穿到另外一边的电流密度应该是相等的。例如实践中发现上述非局域模型两边的电流密度会相差一倍之大，这给器件结构数值分析带来一定的误差。

技术实现要素：

本发明提供一种具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法，消除，非守恒所带来的模拟误差与不确定性，提高求解效率。

为实现上述目的，本发明提供一种具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法，其特点是，该方法包含：

S1、离散半导体器件物理区域，利用偏微分方程数值方法，如有限体积法、有限差分法和有限元法等，离散半导体微分方程和边界条件生成以所求解物理变量的结点值增量为变量的线性方程组；

S2、处理非局域量子隧穿，确定公共能量区间定义第一边和第二边；第一边确定在公共能量区间内所对应的离散结点非局域量子隧穿的点对点隧穿电流密度及积分能量单元；第二边的载流子准费米能级采用电流离散所对应的插值方法获得；

S3、插值所产生的点对点隧穿电流密度及能量积分体积进行权重分配；

S4、线性方程组的系数矩阵分为通常微分方程离散所引起的主矩阵和具有电流守恒特性的非局域量子隧穿所引起的附加系数矩阵并存储；

S5、采用高斯消元法求解非线性方程组。

上述S1包含：

离散半导体器件物理区域，利用偏微分方程数值方法，如有限体积法、有限差分法和有限元法等，离散半导体微分方程和边界条件生成以所求解物理变量的结点值增量为变量的线性方程组；

上述S2中，非局域量子隧穿的数值模型对于结点I、能量积分体积为dE的电子、网格点i处非局域量子隧穿所产生的电流密度如式(1)：

其中，N是带边态密度，νth是载流子热速率，T(E)是能量为E的载流子的隧穿几率，是能量为Ei的两边载流子准费米势，与准费米能级存在的关系。

上述S2中，处理非局域量子隧穿时，首先定义第一边和第二边，确定能够发生非局域量子隧穿的公共能量区间。

上述S2中，第一边确定在公共能量区间内所对应的离散结点非局域量子隧穿的点对点电流密度及积分能量单元。

上述S2中，第二边的载流子准费米能级采用电流密度离散所对应的插值方法获得，然后将对离散结点系数的修正及其导数部分加在系数矩阵所对应的相关点值上；

其中，以空穴得到的电流密度离散如式(2)：

式(2)中，0和1标志离散方向上的某个网格线段上的第一边与第二边结点，μ是空穴迁移率，N是空穴带边态密度，φp，Ev和V分别是空穴的准费米势、价带边能量和静电势，h是线段长度，χp是Fermi-Dirac统计分布与Bose-Einstein统计分布比值；

变换公式(2)得到的某个网格单元内某点发生量子隧穿的准费米势与隧穿能量的关联关系如式(3)：

上述S3中，第二边根据第一边点对点隧穿电流密度及能量积分体积与第二边结点能量积分体积的重叠程度进行权重分配，将分配后的第一边能量积分体积及其导数加到系数矩阵第二边相关结点值上。

上述主矩阵具有三对角的形式，采取行带宽为2*kl+ku+1的列存储形式。

上述附加系数矩阵存储包含：

定义一个由整数变量和实数变量所组成的复合变量来储存附加关联矩阵元的位置与数值；

定义一个由该复合数据组成的不固定长度的行向量来储存附加关联矩阵所产生的除主矩阵元外的每行附加变量；

对于固定边i结点的编码增加方向的能量积分体积，如果含有多个另外一边能量积分体积，第二边结点k与等能插值结点对存在关联，若则在和两列下引入位于对角元下面的附加矩阵元，行号从到k；若结点k与或相等，主矩阵覆盖了附加关联矩阵，附加关联矩阵只储存主矩阵所不储存的元素，对于上双列关联形式，附加关联矩阵只储存附加两列矩阵元数值及其列指数；

对于固定边i结点的编码降低方向的能量积分体积，如果含有多个另外一边能量积分体积，第一边结点k与等能插值结点对存在关联，若则在和两列上引入位于对角矩阵元上面的附加矩阵元，行号从k到若结点k与或相等，主矩阵覆盖了附加关联矩阵，附加关联矩阵只储存主矩阵所不储存的元素，对于上双列关联形式，附加关联矩阵除了储存附加两列矩阵元数值及其列指数，还储存了从到k的矩阵元位置，并初始化为0。

上述S5包含：

假设当前列指数是i；

判断第i列对角线矩阵元以下是否存在比对角矩阵元绝对值大的矩阵元；

若是则将该行与第i行交换，然后计算第i列高斯矢量，为该列对角线矩阵元以下矩阵元除以列选主元以后的对角矩阵元组成的列向量，如式(4)：

消元过程为每个矩阵元减去矩阵元所在的行所对应的高斯向量元素与高斯矢量所对应行的列元素的乘积，如式(5)：

本发明具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法和现有技术相比，其优点在于，本发明所提出的方法能够保证非局域量子隧穿电流的守恒性，满足量子力学上关于载流子隧穿在整个空间都是守恒的要求，从而消除了非守恒所带来的模拟误差与不确定性；

本发明所提出的方法利用主矩阵与辅助关联矩阵相结合的方法能够快速求解非线性方程组线性化得到的系数线性方程组，提高了求解效率。

附图说明

图1为本发明具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法的流程图；

图2为半导体器件模拟的流程图；

图3为结点变量离散几何关系图；

图4为非局域量子隧穿示意图；

图5为隧穿两边结点分布在能量上的对应关系示意图；

图6为固定边i结点的编码增加方向的示意图；

图7为固定边i结点的编码降低方向的示意图；

图8为实施例二的结构示意图；

图9为实施例三的结构示意图。

具体实施方式

以下结合附图，进一步说明本发明的具体实施例。

如图1所示，本发明公开了一种具有电流守恒特性的能带间非局域量子隧穿模拟方法的实施例一，该方法具体包含以下步骤：

S1、离散半导体器件物理区域，利用偏微分方程数值方法，如有限体积法、有限差分法和有限元法等，离散半导体微分方程和边界条件生成以所求解物理变量的结点值增量为变量的线性方程组。

如图2所示，通常半导体器件模拟的流程包含：首先根据器件结构的几何形状进行网格生成。其次在网格点上依据偏微分方程离散方法将泊松方程、电子和空穴连续性方程离散成以结点变量为参数的非线性方程组，离散方法通常有有限差分、有限体积以及有限元等，连续性方程中的产生复合项通常假设在某一微小离散区间上为常数。

如图3所示，这里以有限体积法为例，当然不限于有限体积法。假设结点i上的函数值为fi，定义属于结点i的空间积分体积为从左边区间中点到右边区间中点的区间，这段区间几何体积为xVol＝0.5*(h1+h2)。同时定义属于结点i的能量积分体积为从左边区间中点能带值与右边区间中点能带值的差，其值为EVol＝0.5*(Ei+1-Ei-1)。如果假设在该区间上的f都用fi来近似，则这段区间内对整体的贡献为xVol*fi。以结点变量为参数的非线性方程组通常以迭代的方法求解，基本过程是通过适当级数展开以结点变量增量为系数的线性方程组，线性方程组的求解通常有直接消元法和迭代求解，线性方程组通常具有一些特殊的结构，比如三对角或块三对角，能够借助一些快速求解算法比如列选主元的高斯消元法等。根据得到的变量增量继续修改结点变量值，直到结点变量增量或者非线性方程组函数值满足一定要求为止。之后进行结果输出及后续处理。

S2、处理非局域量子隧穿，确定公共能量区间定义第一边和第二边；第一边确定在公共能量区间内所对应的离散结点非局域量子隧穿的点对点隧穿电流密度及积分能量单元；第二边的载流子准费米能级采用电流离散所对应的插值方法获得。

S2.1、处理非局域量子隧穿，首先定义第一边和第二边，确定能够发生非局域量子隧穿的公共能量区间。

非局域量子隧穿的数值模型对于结点I、能量积分体积为dE的电子、网格点i处非局域量子隧穿所产生的电流密度如式(1)：

其中，N是带边态密度，νth是载流子热速率，T(E)是能量为E的载流子的隧穿几率，是能量为Ei的两边载流子准费米势，与准费米能级存在的关系。由于电流密度是关于载流子能量的积分函数，根据上面我们的描述，也可以转换成空间积分函数的形式。

如图4所示，为非局域量子隧穿示意图，底部的线表示材料两边网格点的分布。非局域量子隧穿的基本物理过程，同时还标志了发射量子隧穿的两边网格点分布情况，从图3可以看出，如果以第一边(左边)离散结点为固定点，由于两边离散结点在能量未必重合，实际操作中这一点也不可能做到，因为载流子能量也是需要求解的变量之一，但是可以肯定地是对于发生隧穿的某一边的每个结点i(对应隧穿能量Eqt)，结点i的能量落在另外一边以和位端点的网格单元内，即在另外一边都存在等能插值结点对因此就需要插值获得第二边(右边)等能量点载流子的准费米势。

S2.2、第一边确定在公共能量区间内所对应的离散结点非局域量子隧穿的点对点电流密度及积分能量单元。

S2.3、第二边的载流子准费米能级采用电流密度离散所对应的插值方法获得，然后将对离散结点系数的修正及其导数部分加在系数矩阵所对应的相关点值上。

本发明提出了一种根据电流密度离散方式获得等能量点载流子准费米能级的插值方法，该方法通过变换载流子电流密度方程的离散格式得到。通常电流密度在两个结点之间采用认为是固定或者线性变化的假设，同时也认为带边值是线性变化的，这就是Sharfetter-Gummel离散机制，以空穴得到的电流密度离散如式(2)：

式(2)中，0和1标志离散方向上的某个网格线段上的第一边与第二边结点，μ是空穴迁移率，N是空穴带边态密度，φp，Ev和V分别是空穴的准费米势、价带边能量和静电势，h是线段长度，χp是Fermi-Dirac统计分布与Bose-Einstein统计分布比值。

如果电流密度采用Sharfetter-Gummel离散机制，实际上就确立了载流子准费米势的变化关系，通过变换公式(2)得到的某个网格单元内(两边网格点位0和1)某点发生量子隧穿的准费米势与隧穿能量的关联关系如式(3)：

从公式(3)可以看出，载流子准费米势既不是恒定的也不是线性变化，而是呈现一种与网格端点值差别相关的分布。

S3、插值所产生的点对点隧穿电流密度及能量积分体积进行权重分配。第二边根据第一边点对点隧穿电流密度及能量积分体积与第二边结点能量积分体积的重叠程度进行权重分配，将分配后的第一边能量积分体积及其导数加到系数矩阵第二边相关结点值上。

本发明提出了一种具有电流守恒特性的点对点隧穿电流与能量积分体积的权重分配方法。为了确保两边隧穿电流密度相等，需要ΣiJ[Ei]EVoli＝ΣkJ[Ek]EVolk，要满足上式，只能固定一边点对点隧穿电流密度及能量积分体积，根据两边结点能量积分体积的重叠程度进行在另外一边进行权重分配。

如图5所示，如果固定左边隧穿电流密度，存在一种情况，右边多个结点的能量积分体积落在了左边一个结点的能量积分体积内，即J[Ei]EVoli与右边多个结点EVolk重叠，这样右边每个k结点分配到的左边i结点隧穿电流密度的权重为J[Ei]EVoli∩EVolk。根据前面叙述，左边结点i点对点隧穿电流密度J[Ei]含有右边插值点的载流子准费米势，这样右边结点k与结点就发生了关联。

S4、线性方程组的系数矩阵分为通常微分方程离散所引起的主矩阵和具有电流守恒特性的非局域量子隧穿所引起的附加系数矩阵并存储。

系数矩阵的存储分成两部分，一部分为通常微分方程离散所引起的，称为主矩阵，通常具有三对角的形式，另外一部分为具有电流守恒特性的非局域量子隧穿所引起的，称为附加系数矩阵，通常具有行形式或列形式，但不同时兼有这两种形式，为了提高速度，系数矩阵的求解采用修正的带有列选元的高斯消元法。

主矩阵存储：由于能带间非局域量子隧穿一般只发生在很小器件区域内，大部分线性方程组系数矩阵只是通常载流子连续性微分方程离散所引起的主矩阵，具有三对角的形式，采取行带宽为2*kl+ku+1的列存储形式，方便采用列选主元的高斯消元法。

附加系数矩阵存储：

定义一个由整数变量和实数变量所组成的复合变量来储存附加关联矩阵元的位置与数值。

定义一个由该复合数据组成的不固定长度的行向量来储存附加关联矩阵所产生的除主矩阵元外的每行附加变量。

对于存在于上三角与下三角的关联矩阵根据列选主元的高斯消元法基本原则采取相对不同的储存方式。

如图6所示，对于固定边i结点的编码增加方向的能量积分体积，如果含有多个另外一边能量积分体积，第二边结点k与等能插值结点对存在关联，若则在和两列下引入位于对角元下面的附加矩阵元，行号从到k；若结点k与或相等，主矩阵覆盖了附加关联矩阵，附加关联矩阵只储存主矩阵所不储存的元素，对于上双列关联形式，附加关联矩阵只储存附加两列矩阵元数值及其列指数；

如图7所示，对于固定边i结点的编码降低方向的能量积分体积，如果含有多个另外一边能量积分体积，第一边结点k与等能插值结点对存在关联，若则在和两列上引入位于对角矩阵元上面的附加矩阵元，行号从k到若结点k与或相等，主矩阵覆盖了附加关联矩阵，附加关联矩阵只储存主矩阵所不储存的元素，对于上双列关联形式，附加关联矩阵除了储存附加两列矩阵元数值及其列指数，还储存了从到k的矩阵元位置，并初始化为0。

考虑到左边结点能量积分体积的不重叠性，附加关联矩阵元只能具有行形式或列形式，但不能同时兼有这两种形式。

S5、采用高斯消元法求解线性方程组。

本发明公开了一种求解系数矩阵的高斯消元法，该方法结合主矩阵与附加矩阵，采用列选主元的方式，快速求解系数方程，节省了直接采用迭代算法的计算次数。根据列选主元的高斯消元法基本操作流程：

假设当前列指数是i。

判断第i列对角线矩阵元以下是否存在比对角矩阵元绝对值大的矩阵元；

若是则将该行与第i行交换，然后计算第i列高斯矢量，为该列对角线矩阵元以下矩阵元除以列选主元以后的对角矩阵元组成的列向量，如式(4)：

消元过程为每个矩阵元减去矩阵元所在的行所对应的高斯向量元素与高斯矢量所对应行的列元素的乘积，如式(5)：

根据上述思想，本实施例的具体做法如下：

a)、对于上双列关联形式，无论列选主元还是消元过程，都不会产生额外附加矩阵元，本发明方法针对此情形直接交换与消元；

b)、对于下双列关联形式，无论列选主元还是消元过程，都会产生额外附加矩阵元，本发明方法针对此情形先是生成行指数为到k+kl列指数到k且每个矩阵元为S4中所声明的复合数据的子矩阵，在该子矩阵内直接交换与消元；

本发明通过固定一边点对点隧穿电流及能量积分单元获得左边与右边量子隧穿电流的守恒，满足量子力学隧穿的要求。本方法可以应用在含有隧穿结的器件数值分析，诸如多结高效太阳电池、电子电力功率器件等。

如图8所示，为本发明的实施例二，以GaInP/GaAs双结太阳电池为例，其包括GaAs缓冲层81，AlGaAs背场82，GaAs有源层83，AlInP窗口层84，GaInP n++掺杂层85，AlGaAs p++掺杂层86，AlGaInP背场87，GaInP有源层88，AlGaInP窗口层89，GaAs帽子层810。该结构采用低压金属有机物化学气相沉积设备在n型GaAs衬底上生长，带间非局域量子隧穿发生在GaInP n++掺杂层85与AlGaAs p++掺杂层86之间，实践证明隧穿特性直接制约整个器件性能，准确的模拟隧穿特性可以显著的指导实际器件设计与研制。

如图9所示，为本发明的实施例三，以隧穿场效应晶体管(TFET)为例，其包括缓冲层91，n型掺杂层92，n++掺杂层93，p++掺杂层94。该结构通过离子注入或外延生长的方法制备，带间非局域量子隧穿发生在p++掺杂层94与n++掺杂层93之间。准确地模拟隧穿特性能够对实际器件结构设计与研制起到指导作用

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。