一种基于小波有限元模型的一维声子晶体梁结构带隙设计方法与流程

本发明属声学功能材料结构设计领域，具体涉及一种基于小波有限元模型的一维声子晶体梁结构带隙设计方法。

背景技术：

声子晶体作为一种具有弹性波带隙的新型声学功能材料，区别与传统的晶体概念。且其具有的材料的周期变化，展现了与传统周期结构不同的研究内容，从而丰富了周期结构的研究。纵观声子晶体的研究现状，关于声子晶体结构带隙设计方面的研究尚待研究，究其原因，主要是声子晶体结构设计涉及到大规模的数值计算，缺乏高效计算模型。

在声子晶体梁结构带隙设计中，带隙特性计算是最关键的，将直接决定研究的正确性和有效性。目前声子晶体梁结构带隙计算方法主要有平面波展开法、多重散射法等。平面波展开法是声子晶体研究中最常用的算法之一，适用于各维声子晶体频率带隙计算。但是当材料构成差异很大时，计算收敛很慢，耗费大量时间，而且其结果也不精确。多重散射法可用于二维和三维声子晶体的带隙特性计算。但该方法存在一定的局限，主要解决二维圆柱和三维球状散射体构成的声子晶体，且不能对一维声子晶体进行带隙计算。

虽然上述有些算法已经得到了大量应用，但都有其优缺点，并不能准确计算所有的声子晶体，还面临着诸如收敛性差、稳定性不足、计算时间要求长等问题，这制约了声子晶体梁结构带隙设计，并应用于工程实践。

小波有限元法是一种新近发展起来的数值分析方法，利用小波多分辨的特性，可以获得用于结构分析的多种基函数，针对求解问题的精度要求，采用不同的基函数，然而对如何实现声子晶体梁结构带隙特性计算，进而构建一维声子晶体梁结构带隙设计的小波有限元模型，尚无涉及。

技术实现要素：

为了克服以上的技术不足，本发明提供一种智能可追溯式调节杯座。

本发明提供一种基于小波有限元模型的一维声子晶体梁结构带隙设计方法，其包括以下步骤：

一、通过将区间B样条小波与有限元法相结合，建立一维声子晶体梁带隙特性计算模型；

二、采用一中所构造的计算模型，并在频域内，结合单胞技术和周期边界条件获得声子晶体的带隙特性

三、为获得满足特定频带要求的带隙特性，通过不断计算调整一维声子晶体梁结构尺寸，在固定晶格常数的前提下，通过获得最佳填充率，确定散射体几何尺寸关系，最终完成一维声子晶体梁结构带隙设计，获得一维声子晶体梁结构尺寸。

一中、首先采用区间B样条小波，获得任意尺度j的m阶B样条尺度函数

并得到相应的小波函数

根据梁理论，从梁单元势能出发，通过变分原理，获得一维声子晶体梁带隙特性计算模型：

其中，ω为角频率，与分别表示系统刚度矩阵与质量矩阵。

二中，包括以下步骤：

首先将单胞节点分成三类，即左边界节点、右边界节点和内部节点，则获得变化后的一维声子晶体梁带隙特性计算模型如下：

并从中获得

v_R＝e^ikav_L，

F_R＝-e^ikaF_L，

其次将波矢k作为横坐标x、特征频率为纵坐标y，当具体波矢k＝[k_x k_y]，k_x k_y为波数，当其在第一Brillouin边界取值时，就可得到声子晶体板结构带隙特性，可用简约波矢M、Γ、X做为横坐标，用频率作为纵坐标描述。

本发明的有益效果：本发明由于将区间B样条小波(B-spline wavelet on the interval，BSWI)与有限元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统有限元的多项式插值，进而建立一维声子晶体梁带隙特性计算模型。结合单胞技术和周期边界条件PBCs(Periodic Boundary Conditions)就能计算声子晶体的带隙特性。具有下列区别于传统有限元求解方法的显著优势：

1)BSWI结合传统有限元的多功能性与B样条函数的优良逼近性进行结构分析，在声子晶体梁结构带隙计算过程中，用精确的BSWI尺度函数代替传统的多项式插值来形成形状函数，进而构成单元，因此，可以方便计算出刚度与质量矩阵。由于B样条尺度函数进行的是分段插值且具有很好的连续性，这使得BSWI小波有限元较传统有限元法具有更好的高性能(快速、稳定性、收敛)，确保带隙设计时候计算的准确性；

2)本发明结合ω(k)技术将复杂的波矢问题转化为纯粹的实频域内来解决，并通过动力凝聚将频散曲线简化为三次多项式特征值问题；

3)通过构建一维声子晶体梁结构带隙设计的小波有限元模型，不断调整声子晶体梁结构尺寸，可准确地获得所需要的带隙特性，通过不断计算调整声子晶体梁结构尺寸，最终完成声子晶体梁结构带隙设计，获得声子晶体梁结构尺寸。带隙特性，最终完成声子晶体梁结构带隙设计。

附图说明

图1是本发明的2n个BSWI4_j单元的求解域。

图2是本发明的小波有限元法计算的带隙特性和传统有限元法的计算结果。

图3是本发明的2个(图中三角形)和4个、8个、16个BSWI4₃梁单元(因结果完全一致，故均用实线表示)的带隙特性。

图4是本发明的填充率为f＝48％时带隙特性。

图5是本发明的各组元材料的弹性常数的表格。

具体实施方式

下面结合附图对本发明实施例作进一步说明：

如图所示，本发明提供一种基于小波有限元模型的一维声子晶体梁结构带隙设计方法，其包括以下步骤：

一、通过将区间B样条小波与有限元法相结合，建立一维声子晶体梁带隙特性计算模型。

将区间B样条小波与有限元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统有限元的多项式插值，进而建立一维声子晶体梁带隙特性计算模型；

在不考虑端部转角、挠度、弯矩和剪力的情形下，一维声子晶体梁弯曲问题的基本方程如下：

几何关系

应力应变关系

平衡方程

以上各式中，κ是梁中面变形后的曲率；M和Q分别是截面上的弯矩和横向剪力；I是截面弯曲惯性矩。

不考虑集中载荷和集中弯矩，则其等效的梁单元势能泛函为

式(5)中，单元长度为l；w(x)、EI分别表示梁中面的挠度函数与抗弯刚度。

二、采用一中所构造的计算模型，并在频域内，结合单胞技术和周期边界条件PBCs(Periodic Boundary Conditions)就能计算周期结构的带隙特性。

考虑到声子晶体的平移周期性，就可以用一个单胞来计算声子晶体梁结构带隙特性。图1为一维声子晶体梁的一个周期单胞结构图，假定一个单胞包含2n个BSWI4_j(4表示BSWI尺度函数的阶数；j为小波尺度)梁单元，其中n＝2^j。此时将A部分离散成n个单元，相应的材料B部分也被离散成n个单元。所以一个声子晶体梁单胞就被间隔成2^j+1段BSWI4_j单元，具有2n+1个节点数，单胞总自由度数为2n+3。

如图1，为了便于描述，将单胞节点分成三类，即左边界节点q_L、右边界节点q_R和内部节点q_I，对应的节点编号分别为1、2n+1和2,3…,2n。相应的自由度矢量排列为v_L、v_R和v_I,具体排列方式如下：

v_L＝{w₁,θ₁}^T (6)

因此，总体自由度矢量排列为：

总体广义力矩阵为：

其中F_L为左边界所受外力，F_R为右边界所受外力，F_I为内部节点所受的力。当弹性波在有限的声子晶体传播时，F_I＝0，外部节点的广义力不为零。此时，我们通过施加外部的周期边界条件。根据Bloch理论得到左边界节点与右边界节点间的传播常数为e^ika(k为Bloch波矢,i是虚数单位)。

由于v_L与v_R被一个晶格常数a隔离开，在施加周期边界条件后，有左右边界节点自由度矢量的关系为：

v_R＝e^ikav_L (11)

得左右边界节点受力关系为：

F_R＝-e^ikaF_L (12)

因此，可以得到如下运动方程：

式中，ω为角频率，K^j和M^j分别为单胞的总体刚度矩阵与总统质量矩阵。

现在做一个表达式说明：K^A,j和M^A,j表示材料A部分的总体刚度矩阵和质量矩阵，K^B,j和M^B,j表示材料B部分的总体刚度矩阵和质量矩阵。和表示材料A部分的单元刚度矩阵与质量矩阵；和为材料B部分的单元刚度矩阵与质量矩阵。由于一个单胞由2n个BSWI4_j梁单元构成，那么总体刚度矩阵K^j就由K^A,j与K^B,j叠加而成，总体质量矩阵M^j由M^A,j与M^B,j叠加而成。具体的表达式为：

这里，E₁、E₂、ρ₁和ρ₂分别表示为A与B部分材料的弹性模量与质量密度。I为转动惯量，S为横截面面积。和分别为4阶j尺度的BSWI尺度函数的列向量与转换矩阵。

为了简化计算，对应于上文所述的三类节点，即左、中、右节点。将总体刚度矩阵与总体质量矩阵分成9个子矩阵。那么有：

这里L＝2，I＝n2^j+1+2n-2，R＝2。

由于只计算带隙特性，因此力矩阵为零，那么运动方程式(13)变为：

将式(11)代入式(23)，得：

让K＝K^r+iKⁱ，M＝M^r+iMⁱ。分离实部与虚部得：

相应的特征值方程为：

为了计算方便，做如下改变：

从而式(26)变为：

由于矩阵与为Hermitian矩阵，所以方程呈现了一个关于一维声子晶体梁离散结构的实对称特征值问题，可以用一个实矩阵表达式来替换复杂的矩阵方程。通过求解特征值方程，每一个波矢k可以得到与之对应的一组特征频率，每个特征频率有其对应的特征向量，特征向量表示在该频率下声子晶体结构的运动形式。将波矢k作为横坐标x、特征频率为纵坐标y，当波矢k在第一Brillouin边界取值时，就可得到声子晶体梁结构带隙特性。

实施例1：本实施例主要验证一维声子晶体梁结构带隙计算的小波有限元模型计算的高性能(快速、稳定性、收敛)。对于图1所示的一维声子晶体梁结构。A部分材料为铜，B部分材料为环氧树脂，铜与环氧树脂周期交替排列在一个晶格内，其填充率a₁/a₂＝1/1，晶格常数a＝150mm。铜与环氧树脂的材料的弹性常数如图5所示。

为了验证小波有限元方法在计算声子晶体梁结构带隙方面的有效性，分别采用了2个BSWI4₃梁单元(20个自由度)、16和120个传统梁单元(34和242个自由度)计算了一维声子晶体梁的带隙特性。结果如图2所示，其中方框、虚线和实线分别表示2个BSWI4₃梁单元、16和120个传统梁单元的带隙计算结果。图中显示，2个BSWI4₃梁单元的求解结果与120个传统梁单元吻合的很好，而总自由度数远小于120个传统梁单元，这就证明了BSWI小波有限元在声子晶体梁结构带隙计算方面的可行性与有效性。BSWI小波有限元法能利用较少的自由度达到较高的计算精度，这体现了其在数值计算方面优于传统有限元。

为验证模型收敛性和结果稳定性，图3所示为分别用4个，8个，16个BSWI4₃梁单元进行计算，结果与2个BSWI4₃梁单元计算结果一致，这表明：随着单元增加，计算结果收敛性好，结果稳定。

实施例2：本实施例主要给出利用基于小波有限元模型计算得到的具有较宽带隙的一维声子晶体梁结构尺度范围。A部分材料为铜，B部分材料为环氧树脂，材料参数见图5。不失一般性，固定结构参数为：a＝100mm。

采用，2个BSWI4₃梁单元计算声子晶体带隙。为获得满足特定频带要求的带隙特性，通过不断计算调整一维声子晶体梁结构尺寸，在固定晶格常数的前提下，通过获得最佳填充率，确定散射体几何尺寸关系，最终完成一维声子晶体梁结构带隙设计，获得一维声子晶体梁结构尺寸。当填充率为a₁/a₂＝48％时能获得最低的第一完全带隙起始频率。满足a₁＝0.48a2要求的散射体(B部分)尺寸的带隙求解结果见图4，第一完全带隙如灰色区域所示，其起始频率(灰色区域的下边界)低至10KHz，而截止频率(灰色区域的上边界)高至22KHz。禁带(该频率范围内声波不能通过)宽度为12KHz，而工程应用中高频噪声范围是：10000Hz～20000Hz。因此，该一维声子晶体梁结构具有良好的抑制工程中高频噪声的能力。

实施例不应视为对本发明的限制，任何基于本发明的精神所作的改进，都应在本发明的保护范围之内。