考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法与流程

本发明涉及生产系统建模及性能评估技术领域，具体地为采用休眠控制策略，提供一种对考虑休眠策略的两机器流水线进行精确分析的解析方法，用来评估该流水线的有效效率及缓冲区水平。

背景技术：

生产系统工程(productionsystemsengineering,pse)是最近发展起来的一个工程分支，旨在利用数学模型研究生产系统的基本性质和运行规律，并利用这些性质和规律对生产系统进行性能分析、持续改进和精益设计。

生产系统工程问题的研究难点主要来自于机器的不可靠性和缓冲区的容量有限性。机器故障可能使上游机器发生阻塞，同时使下游机器因无零件加工而产生饥饿，从而影响生产系统正常运行。机器间的缓冲不可能无限大，只能一定程度上能降低系统饥饿、阻塞的频率，减少生产线的效率损失。机器故障使得系统具有随机性，机器间的缓冲使系统中各机器之间具有相依性。随机性和相依性两者相耦合使得系统内部各个组成部分之间的影响演化为非线性关系，在数学上可以归类为非线性随机系统。

生产线建模解析法包括精确建模分析方法和近似建模分析方法：1)精确建模分析方法适合简单的两工作站流水线性能评估，通过构建马尔科夫过程，求解得到系统状态稳态概率分布的精确解，并进一步得到性能评估指标；2)近似建模分析方法适合更复杂系统的性能分析，它是在简单系统的基础上进行递推迭代，主要有分解(decomposition)和集结(aggregation)两种方法。

生产线建模解析法研究仅局限于为考虑任何控制策略的流水线上，缓冲控制策略方面的研究相对较少。为了降低机器发生“饥饿”的频率，我们在缓冲区下游机器上采用休眠策略，具体地，休眠策略是指当缓冲区下游机器发生“饥饿”而停机时，使该机器处于休眠状态，只有在缓冲区数量达到给定值时才开始加工工件。申请人立足生产实际，针对在扰动情形下频繁出现“饥饿”的流水线，为了减少“饥饿”对生产系统产能的影响，研究有效的缓冲控制策略，并建立相应的解析模型，利用所建立的模型对生产系统进行性能分析，降低因为“饥饿”对系统性能带来的性能损失，这对揭示生产线高效产出的运作机理、丰富生产与运作管控手段、提升生产效能等具有重要的支撑作用和研究应用价值。

技术实现要素：

为了能够对考虑休眠策略的两机器流水线性能进行评估，本发明提出了一种考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法。在进行性能评估之前，申请人对考虑休眠策略的两机器流水线进行建模分析，完成以下工作：

(1)建立考虑休眠策略的两机器流水线解析模型

提出流水线休眠策略，以最大限度地降低系统的性能损失。针对考虑休眠策略的两机器流水线，采用解析方法进行建模。休眠策略将原始状态空间裂变为两个独立互补的子状态空间：基本状态空间和休眠状态空间，通过提取基本状态空间和休眠状态空间相互转化的关系方程，建立考虑休眠策略的两机器流水线的解析模型。申请人在研究过程中分析了如何建立考虑休眠策略的两机器流水线解析模型。

(2)考虑休眠策略的两机器流水线解析模型求解

需要对所建立的考虑休眠策略的两机器流水线解析模型进行求解，并通过对比试验对解析模型的有效性进行分析。

在完成上述对考虑休眠策略的两机器流水线的建模分析和模型求解工作后，下面给出考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法的具体步骤：

所述一种考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：参数初始化：

考虑休眠策略的两机器流水线中进行初始化的相关参数包括：

mi(i＝1,2)，表示两机器流水线中机器编号；其中m1为输出端，m2为产出端；

αi(i＝1,2)，表示机器mi(i＝1,2)所处状态，其中αi＝0表示机器mi处于故障状态，αi＝1表示机器mi处于非故障状态；

n，表示缓冲区缓冲容量；n，表示当前缓冲区缓冲水平；缓冲控制水平为n-1；

pi(i＝1,2)，表示机器mi(i＝1,2)下一时刻由非故障状态转变为故障状态的概率；

ri(i＝1,2)，表示机器mi(i＝1,2)下一时刻由故障状态转变为非故障状态的概率；

步骤2：计算考虑休眠策略的两机器流水线稳态概率密度：

所述考虑休眠策略的两机器流水线稳态概率密度分为基本状态空间系统状态稳态概率密度和休眠状态空间系统状态稳态概率密度；

基本状态空间系统状态稳态概率密度采用p(n,α1,α2)表示，p(n,α1,α2)为两机器流水线处于(n,α1,α2)状态时的概率值，具体取值如下：

p(0,0,0)＝0

p(0,0,1)＝ω″(c1x1y21+c2x2y22)

p(0,1,0)＝0

p(1,0,0)＝ω′(c1x1y21+c2x2y22)

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22

p(1,1,0)＝0

p(1,1,1)＝ω(c1x1y21+c2x2y22)

p(n-1,0,1)＝0

p(n,0,0)＝0

p(n,0,1)＝0

p(n,1,1)＝0

其中：

c1＝γc2

x1＝1

休眠状态空间系统状态稳态概率密度采用p(α1)表示，p(α1)为休眠状态下两机器流水线处于状态(n,α1,1)时的概率值，具体取值如下：

其中

c^*＝ρc1

ρ＝ρ1+ρ2

c1，c2和c^*为归一化参数，根据基本状态空间系统状态稳态概率密度以及休眠状态空间系统状态稳态概率密度之和

反求得到c1，再将c1代入基本状态空间系统状态稳态概率密度和休眠状态空间系统状态稳态概率密度公式，得到基本状态空间系统状态稳态概率密度和休眠状态空间系统状态稳态概率密度；

步骤3：计算考虑休眠策略的两机器流水线性能指标，所述性能指标包括效率、停机率、有效效率：

效率：

停机率：fstop＝f^s+p2e，其中

f^s为机器m2饥饿发生率

f^s＝(1-r1)(1-p2)p(1,0,1)+(1-r1)r2p(1,0,0)+p1(1-p2)p(1,1,1)；

有效效率：ew＝e-wfstop，其中

w为机器m2由停机状态转换到正常加工状态开始加工的不合格产品个数。

有益效果

本发明提出一种考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法，通过实施例的多个算例可以看出，采用本发明的方法能够有效分析考虑休眠策略的两机器流水线的性能。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1：休眠策略示意图；

图2：两机器单缓冲流水线；

图3：考虑休眠策略的两机器流水线状态转移图；

图4：独立状态空间转移图；

图5：两机器流水线示意图；

图6：机器m1为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.08；

图7：机器m1为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.07；

图8：机器m1为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.06；

图9：机器m2为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.03；

图10：机器m2为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.02；

图11：机器m2为瓶颈机器时，休眠策略对生产线效率及停机率影响曲线；机器m1故障率为p1＝0.01；

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

本实施例给出申请人具体的研究过程：首先，给出休眠策略，针对考虑休眠策略的两机器流水线，采用解析方法进行建模，并对解析模型流守恒进行了证明；其次，对所建立的考虑休眠策略的两机器流水线解析模型进行了求解，并求得生产线效率、有效效率和停机率等性能指标；最后，通过对比试验对解析模型的有效性进行了分析，验证了本专利方法的合理性。

(1)休眠策略定义

休眠策略：当缓冲区上游机器故障，下游机器正常工作时，缓冲区中产品加工完后，下游机器发生饥饿而停机时。当上游机器被修复，下游机器可以加工时，强制下游机器保持停机状态，使其不加工零件，只有在缓冲区数量达到给定值时才开始加工零件，这种控制下游机器开机的方式称为休眠策略。其目的是为了降低生产系统发生饥饿的频率，进而降低停机成本。休眠策略示意图如图1所示。

(2)模型定义及假设

●流水线基本定义及假设

流水线由两台机器和一个缓冲组成，如图2所示。机器m1加工完成的工件运送到缓冲中，工件再从缓冲中送到机器m2进行加工。每台机器都有其故障率和修复率，机器mi的故障率为pi，修复率为ri，(i＝1,2)。

[定义1]饥饿状态(starvation)

饥饿状态：对于生产线中的机器mi，上游缓冲区bi-1中的零件数量为n＝0，则机器mi处于饥饿状态。

[定义2]阻塞状态(blocking)

阻塞状态：对于生产线中的机器mi，下游缓冲区bi中的零件数量达到缓冲区容量n＝n，则机器mi处于阻塞状态。

[定义3]服务前阻塞(blockingbeforeservice,bbs)

服务前阻塞：生产线中的机器mi在加工一个零件之前，先判断下游缓冲区bi中的零件数量是否为n＝n，若n＝n，则机器mi不加工零件，称为服务前阻塞。

[定义4]操作相关故障(operationdependentfailures,odfs)

基于操作故障：机器在没有加工操作的情形下(机器故障、饥饿或者阻塞)，不会发生故障，且当一台机器只有一种故障模式时，有如下公式

prob[α1(t+1)＝0|n(t)＝n,α1(t)＝1]＝0

prob[α1(t+1)＝1|n(t)＝n,α1(t)＝1]＝1

prob[α2(t+1)＝0|n(t)＝0,α2(t)＝1]＝0

prob[α2(t+1)＝1|n(t)＝0,α2(t)＝1]＝1

且缓冲水平n的变化为

n(t+1)＝n(t)+α1(t+1)-α2(t+1)

一般地

n(t+1)＝n(t)+τ1(t+1)-τ2(t+1)

其中τ1(t+1)是判断机器m1上加工的零件是否能进入到缓冲区b的判定函数

τ2(t+1)是判断机器m2是否可以加工零件b的判定函数

●考虑休眠策略的两机器流水线假设

考虑休眠策略的两机器流水线解析模型假设如下：

1)物料流呈离散状态，生产线中的零件数量为正整数。系统满足物料守恒条件，在加工和储运过程中零件不会增加或减少。

2)缓冲区b缓冲容量有限，n＝n。当缓冲区b中的在制品数量达到缓冲区容量时，机器m1处于阻塞状态。当缓冲区b中的在制品数量为0时，机器m2处于饥饿状态。

3)αi表示机器mi所处状态。其中αi＝0表示机器mi处于故障状态，αi＝1表示机器mi处于非故障状态。机器mi的状态αi的变化发生在每一时间单位的起始时刻，缓冲区缓冲水平n的变化发生在每一时间单位的末尾时刻。

4)机器阻塞机制采用服务前阻塞(blockingbeforeservice,bbs)的方式。

5)机器m1的原材料供应充足，即机器m1不会发生饥饿。机器m2后的库存容量无限，即机器m2不会发生阻塞。

6)机器m1和m2具有相同的固定加工时间，以加工周期为单位时间可将时间轴分段。在制品的运输时间忽略不计，所有机器同时开始加工同时结束。

7)机器的故障是与操作相关的故障(operationdependentfailures,odfs)。

8)机器故障时间和修复时间均服从几何分布。机器平均故障时间(meantimetofailure,mttf)为1/pi，平均修复时间(meantimetorepair,mttr)为1/ri。如果某一时刻机器mi处于非故障状态，机器mi下一时刻由非故障状态转变为故障状态的概率为pi；如果某一时刻机器mi处于故障状态，机器mi在下一时刻由故障状态转变为非故障状态的概率为ri，因此有以下公式：

prob[α1(t+1)＝0|n(t)＜n,α1(t)＝1]＝p1

prob[α1(t+1)＝1|n(t)＜n,α1(t)＝1]＝1-p1

prob[α2(t+1)＝1|n(t)＞0,α2(t)＝0]＝r1

prob[α2(t+1)＝0|n(t)＞0,α2(t)＝0]＝1-r1

●系统性能指标构建

考虑休眠策略的两机器流水线解析模型所需主要性能指标包括生产线的效率、有效效率及停机率。

[定义5]效率(efficiency)

效率：生产线处于稳态运行状态时，生产线单位时间内机器处于加工状态的概率。

这里用ei表示机器mi的效率。其中，e1为机器m1的效率

e2为机器m2的效率，机器m2的效率等于生产线效率

[定义6]停机率(stopfrequency)

停机率：生产线处于稳态运行状态时，机器由于自身故障停机和由于饥饿造成停机的概率之和。

机器m2由正常状态转移到饥饿状态造成停机的概率，当系统上一时刻处于状态(1,0,1)且下一时刻机器m2不发生故障(不发生故障的概率为1-p2)、机器m1仍处于故障状态(不被修复的概率为1-r1)，下一时刻机器m2将会处于饥饿状态(0,0,1)，系统处于(1,0,0)和(1,1,1)与之类似，则机器m2饥饿发生率为

f^s＝(1-r1)(1-p2)p(1,0,1)+(1-r1)r2p(1,0,0)+p1(1-p2)p(1,1,1)(3)

因此，机器m2的停机率fstop的表达式为

fstop＝f^s+p2e(4)

其中，p2为机器m2的故障率，e为生产线的效率。

[定义7]有效效率(effectiveefficiency)

有效效率：考虑停机成本的生产线中，生产线稳态运行状态时的效率与机器停机所产生效率损失之差。

这里考虑生产线的停机成本，若缓冲区下游机器每次由停机状态转换到正常加工状态(包括故障停机和非故障停机)开始加工的w个产品为不合格产品，由于生产线物料守恒，不合格产品会随着产品流的流动继续进行后续工序，直至从末尾机器流出产线。

因此，对于考虑停机成本的两机器流水线，生产线的有效效率的表达式为

ew＝e-wfstop(5)

其中，w＜e/fstop。

(3)考虑休眠策略的两机器流水线解析模型

●解析模型的建立

考虑休眠策略的两机器流水线的状态空间包括两个独立互补的马尔科夫过程，基本操作状态部分和受控休眠状态部分。它们之间的相互转化取决于缓冲区的零件数量。

1)基本操作状态部分：系统正常运行，缓冲区零件数量随两机器状态的变化而变化。在缓冲区零件数量达到n＝0之前，系统都属于基本操作状态部分；一旦缓冲区零件数量达到n＝0，系统将转向受控休眠状态部分。

2)受控休眠状态部分：由于上游机器发生故障，缓冲区零件数量达到n＝0。此时，若缓冲区上游机器被修复后，则系统进入受控休眠状态部分，缓冲区下游机器处于非故障状态但不能加工零件，缓冲区零件数量随之增加。当缓冲区的零件数量达到缓冲控制水平时，缓冲区下游机器开始正常加工零件，此时，系统再次进入到基本操作状态部分。

本专利中系统状态空间用p表示；系统状态空间中某一具体状态用三维向量(n,α1,α2)表示，其中n为缓冲区缓冲水平，αi表示机器mi所处状态；某一具体状态的概率值用p(n,α1,α2)表示。pi表示系统所处状态，p1＝(n,α1,α2)表示系统处于基本操作状态，p0＝(n,α1,1^*)表示系统处于受控休眠状态，其中1^*表示机器m2处于被迫停机状态。

根据机器m1和m2状态及相互转化关系，考虑休眠策略的两机器流水线状态转移图如图3所示。

根据考虑休眠策略的两机器流水线状态转移图，可得对应的状态转移矩阵

其中，t¹为基本操作状态部分内部转移矩阵，t^*为受控休眠状态部分转移矩阵，t^1-*为由基本操作状态部分转移到受控休眠状态部分的转移矩阵，t^*-1为由受控休眠状态部分到基本操作状态部分的转移矩阵。

根据休眠策略的定义，系统在基本操作状态部分和受控休眠状态部分两状态划分相互之间的转移是以缓冲区缓冲水平为信号实现的。具体地，当缓冲区零件数量n＝0且机器m1由故障状态转入加工状态时，系统由基本操作状态部分转移到受控休眠状态部分

p(0,0,1)＝r1p(0,1,1^*)(7)

同样，当缓冲区零件数量达到缓冲控制水平时，取n＝n-2，系统由受控休眠状态部分转移到基本操作状态部分。因此，根据图3，状态(n-1,1,1)能同时由基本操作状态部分中的(n-1,0,0)、(n-1,1,0)、(n-1,1,1)、(n,1,0)和受控休眠状态部分中的(n-2,0,1^*)、(n-2,1,1^*)转移得到

因此，t^1-*和t^*-1可根据公式(9)和公式(10)得

其中，矩阵中元素表示系统的某状态转移到其它状态的概率值。例如，t^1-*仅有一个元素r1，表示系统从状态(0,0,1)转移到状态(1,1,1^*)的概率值为r1。

基本操作状态部分内部转移矩阵t¹形式如下

由图3可得

受控休眠状态部分内部转移矩阵t^*为

本专利研究稳定状态下系统的马尔科夫过程，因此，系统由基本操作状态部分转移到受控休眠状态部分的概率值和系统由受控休眠状态部分转移到基本操作状态部分的概率值是相等的。

系统状态转移图中相互关联的两个状态划分裂变成两个相互独立的状态空间：基本状态空间和休眠状态空间。具体地，在基本状态空间中，缓冲区零件数量随两机器状态的变化而变化，当缓冲区零件数量减少到n＝0时，若机器m1由故障状态转入加工状态，系统状态由(0,0,1)转到(n-1,1,1)；在休眠状态空间中，机器m2处于受控状态，缓冲区零件数量呈现非减的状态，当缓冲区零件数量增至n＝n-2时，系统下一时刻转到状态(1,1,1^*)。相应的状态空间转移图如图4所示。

因此，可以对系统原状态转移矩阵t进行变换

其中

基本状态空间和休眠状态空间作为原状态空间的两个子空间独立互补。因此，在稳定状态下，两状态空间中状态概率和须满足归一化条件

根据划分后的状态空间所对应状态转移矩阵可写出基本状态空间和休眠状态空间的状态转移方程。具体地，基本状态空间状态转移方程包括：上边界状态转移方程、下边界状态转移方程和内部状态转移方程；休眠状态空间状态转移方程包括：下边界状态方程和内部状态转移方程。

基本状态空间状态转移方程

内部状态转移方程：2≤n≤n-2

下边界状态转移方程：n≤1

p(1,0,0)＝(1-r1)(1-r2)p(1,0,0)+(1-r1)p2p(1,0,1)+p1p2p(1,1,1)(26)

p(1,1,1)＝r1r2p(1,0,0)+r1(1-p2)p(1,0,1)+(1-p1)(1-p2)p(1,1,1)(28)

p(2,1,0)＝r1(1-r2)p(1,0,0)+r1p2p(1,0,1)+(1-p1)p2p(1,1,1)(29)

上边界状态转移方程：n＞n-1

休眠状态空间状态转移方程

内部状态方程：2≤n≤n-2

p(n,1,1^*)＝r1p(n-1,0,1^*)+(1-p1)p(n-1,1,1^*)(35)

p(n,0,1^*)＝(1-r1)p(n,0,1^*)+p1p(n,1,1^*)(36)

下边界状态方程：n＝1

p(1,0,1^*)＝(1-r1)p(1,0,1^*)+p1p(1,1,1^*)(37)

p(1,1,1^*)＝r1p(n-2,0,1^*)+(1-p1)p(n-2,1,1^*)(38)

将n+1代入公式(35)得

p(n+1,1,1^*)＝r1p(n,0,1^*)+(1-p1)p(n,1,1^*)(39)

通过公式(39)将公式(36)中r1p(n,0,1^*)替换，可得

p(n+1,1,1^*)＝p(n,1,1^*)(40)

可以写成

p^*(1)＝p(n,1,1^*)(41)

由上式可知，α1＝1时，休眠状态下的概率值与n无关。

将公式(41)代入公式(36)可得

此外，变换公式(38)可得

方程(37)可变为

通过以上分析可知，休眠状态空间中的状态概率值仅与机器m1所处的工作/故障状态有关，与缓冲区水平n无关。因此

p(1,0,1^*)＝p(2,0,1^*)＝…＝p(n-3,0,1^*)＝p(n-2,0,1^*)(45)

p(1,1,1^*)＝p(2,1,1^*)＝…＝p(n-3,1,1^*)＝p(n-2,1,1^*)(46)

基本状态空间和休眠状态空间转化的转移方程

这里研究稳定状态下系统的马尔科夫过程，根据休眠策略的定义，系统在基本状态空间和休眠状态空间两子状态空间之间的转化是以缓冲区零件数量为信号来实现。当缓冲区零件数量降至n＝0且机器m1由故障状态转入加工状态时，系统由基本状态空间转移到休眠状态空间；当缓冲区零件数量达到n＝n-2时，系统状态由休眠状态空间转移到基本状态空间。因此，两状态空间之间相互转化的转移方程如下

p(0,0,1)＝r1p(0,1,1^*)(47)

●解析模型流守恒证明

流守恒是指生产系统中从第一个零件进入生产线到最后一个零件离开，流经生产线中各机器的零件数量相等，即机器的产出率相等。满足流守恒性质是对所建立模型是否符合实际生产情况的有效证明，也是对更复杂流水线性质研究的重要理论基础。针对本论文所提出的考虑休眠策略的两机器解析模型，欲证明其流守恒条件成立，只需证明机器m1和机器m2的效率相等。这是由于机器m1和m2具有相同的固定加工时间，从而机器效率e与产出率th相等。

[定理1]考虑休眠策略的两机器流水线解析模型满足物料守恒：e1＝e2。

证明：e1、e2分别为机器m1和m2的效率。是机器mi处于基本状态空间的机器效率，是机器mi处于休眠状态空间的机器效率，则机器m1和m2的效率表达式如下

在休眠状态空间中，机器m2处于受控状态，所以因此，流守恒可以通过证明以下公式来证明

整理得

基本状态空间中系统状态关系满足

通过状态转移图可知p(0,1,1)＝0、p(n,1,1)＝0，因此

又因p(1,1,0)＝0、p(n-1,0,1)＝0，所以

在公式(56)中，令中n＝n+1，则有

将公式(30)、(31)、(33)、(34)相加可得

p(n-2,0,1)-p(n-1,1,0)＝r1p(0,0,1)(58)

令公式(22)中n＝n-1，公式(23)中n＝n+1，然后将公式(21)、(22)、(23)、(24)相加，可得

p(n,0,1)-p(n+1,1,0)＝p(n-1,0,1)-p(n,1,0),n＝2,...,n-2(59)

令δ(n)＝p(n,0,1)-p(n+1,1,0)，则则有δ(n+1)＝δ(n)，n＝2,...,n-2，因此

休眠状态空间中系统状态关系满足

又因p(1,1,1^*)＝p(1)，根据状态空间转化方程(47)，从标准状态空间转移到缓冲休眠状态空间，可得

综上所述，则e1＝e2成立，故流守恒性质得证。

(4)考虑休眠策略的两机器流水线解析模型求解

●内部状态转移方程求解

根据系统状态图，基本状态空间内部状态转移方程

其中，参数c1和c2是归一化常数，并且

x1＝1

●上边界状态转移方程求解

通过观察，将下边界状态转移方程(26)、(27)、(28)、(29)相加，可得

p(n-2,0,1)-p(n-1,1,0)＝r1p(0,0,1)(63)

令公式(21)中n＝n-1，公式(22)中n＝n+1，然后将方程(20)、(21)、(22)、(23)相加，可得

p(n,0,1)-p(n+1,1,0)＝p(n-1,0,1)-p(n,1,0),n＝2,...,n-2(64)

则有

p(1,0,1)-p(2,1,0)＝r1p(0,0,1)(65)

由上边界方程(33)和下边界方程(28)可知，状态(n-1,1,0)和状态(1,0,1)均由内部状态转移得到

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22(66)

因此，上边界状态(n-1,0,0)、(n-1,1,1)和(n,1,0)的表达式可以通过联立方程(32)、(34)和(35)，求解三元一次方程组得到。

●下边界状态转移方程求解

同理，下边界状态(0,0,1)、(1,0,0)和(1,1,1)的表达式可以通过联立方程(26)、(27)和(28)，求解三元一次方程组得到。

通过以上分析，基本状态空间系统状态解析解为

p(0,0,0)＝0

p(0,0,1)＝ω″(c1x1y21+c2x2y22)

p(0,1,0)＝0

p(1,0,0)＝ω′(c1x1y21+c2x2y22)

p(1,0,1)＝c1x1y21+c2x2y22

p(1,1,0)＝0

p(1,1,1)＝ω(c1x1y21+c2x2y22)

p(n-1,0,1)＝0

p(n,0,0)＝0

p(n,0,1)＝0

p(n,1,1)＝0

其中

首先，状态(0,0,1)可以表示如下形式

然后，上文可得

最后，通过公式(70)，可得到归一化参数c1和c2的关系

c1＝γc2(70)

其中：

又根据公式(70)可得未知量c2和c1的关系，所以基本状态空间中状态的概率值表达式中仅存在一个自由变量c1。

●休眠状态空间求解

休眠状态空间中的状态概率值仅与机器m1所处的工作/故障状态有关，与缓冲区水平n的大小无关。此外，通过公式(43)，可以假设休眠状态空间系统状态(n,α1,1^*)表达式形式为

在基本状态空间中，通过推导得到了归一化参数c1和c2的关系。为了保证本文中归一化公式(20)可解，还需得到参数c^*和c1的关系。为此，可以从状态空间转化方程入手，通过公式(47)和(48)，可得

c^*＝ρc1(72)

其中ρ＝ρ1+ρ2，

(5)合理性分析

针对考虑休眠策略的两机器流水线，分别采用本专利所提出的解析模型及仿真模型求解性能指标，通过对比实验结果验证考虑休眠策略的两机器流水线解析模型的有效性。具体地，以仿真结果为基准，计算流水线解析模型的系统性能指标偏差百分比，其计算公式为

为了保证有效性分析的客观和全面，在机器m1或m2为瓶颈机器的两种不同情况下，共设计18组实验。具体地，针对每种情况，当缓冲容量为n＝10、n＝30、n＝50时，分别选取三组不同的机器故障率和修复率，所需实验参数如表1所示。机器m1和机器m2分别作为瓶颈机器示意图如图5所示。机器m1和机器m2分别作为瓶颈的机器解析模型结果与仿真模型对比结果如表2～表7所示。

通过将机器m1和机器m2分别作为瓶颈机器的解析模型结果与仿真模型在不同缓冲水平下进行对比，得出结论如下：

1)本文所建立的考虑休眠策略的两机器流水线解析模型为精确解析模型，与仿真模型的结果偏差较小，吻合度好。

2)对于生产线效率和有效效率，解析模型所得结果与仿真模型所得结果偏差最大不超过0.3％，最大误差为0.2175％，其中，有6组实验误差为0％(精确到小数点后四位小数)。

3)对于生产线停机率，最大误差为33.3333％，最小误差为0％(精确到小数点后四位小数)。观察数据可知，在18组数据中，有6组数据误差小于1％，7组数据误差为0％(精确到小数点后四位小数)。误差超过10％的两组数据，解析模型所得结果与仿真模型实际偏差值很小。

利用所建立解析模型对考虑休眠策略流水线进行性能分析，选取未考虑任何控制策略的两机器解析模型为基准，研究休眠策略对考虑停机成本流水线效率、有效效率及停机率等主要性能指标的影响规律。

[定义8]瓶颈机器

瓶颈机器指生产线中独立效率最低的机器。独立效率是指机器不受生产线中其他机器的影响自身固有的效率，表达式如下

机器m1为瓶颈机器时，分析生产线效率、有效效率及停机率等三个性能指标在不同修复率、故障率条件下随缓冲容量改变的变化情况，并根据所得数据绘制变化曲线；机器m2为瓶颈机器时，做相似处理。缓冲区容量从10增加到30，每次增加10。假设机器m2每次停机所产生的不合格产品数量w＝2，同时将所需实验参数如表8所示。

休眠策略对生产线效率、有效效率及停机率影响曲线，如图6～图11所示，其中，三角实线表示未考虑任何控制策略的两机器解析模型中缓冲区容量变化对生产线效率及停机率的影响，菱形实线表示休眠策略下两机器解析模型缓冲区容量变化对生产线效率及停机率的影响。

根据休眠策略对生产线效率、有效效率及停机率影响曲线，对于考虑休眠策略的两机器流水线，结论如下：

1)当机器m1为瓶颈机器时，考虑休眠策略的生产线效率和停机率均明显低于未考虑控制策略的情况。对于生产线效率，休眠策略减少了机器m2的工作时长，不考虑停机成本时，必然会导致生产线效率的下降；对于停机率，根据实验结果可知休眠策略能够明显降低机器的停机率。

2)当机器m2为瓶颈机器时，考虑休眠策略的生产线效率和停机率均明显低于未考虑控制策略的情况。对于生产线效率，考虑休眠策略的生产线效率随着缓冲容量的增加呈现先增加后减少的趋势，当机器m2为瓶颈机器时，生产线更易发生阻塞停机，而生产线发生阻塞的可能性会随缓冲容量的增加而降低，此时，休眠策略降低生产线效率的作用显的更加明显。

3)针对两机器流水线有效效率，考虑休眠策略的生产线均高于未考虑控制策略的情况，因此休眠策略能够提高生产线有效效率。对于机器m1为瓶颈机器，考虑休眠策略的生产线有效效率明显高于未考虑控制策略情况；对于机器m2为瓶颈机器，考虑休眠策略的生产线有效效率高于未考虑控制策略的情况，但效果不明显。分析原因，当机器m1为瓶颈机器时，生产线更易发生停机，所以休眠策略对有效效率的改善效果更加明显。此外，考虑休眠策略的生产线效率随着缓冲容量的增加而增加，但增加趋势不断变缓。分析原因，生产线发生阻塞的可能性会随缓冲容量的增加而不断降低，因此，生产线有效效率会不断增加。

表1考虑休眠策略两机器流水线有效性分析机器实验参数

表2机器m1为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝10)

表3机器m1为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝30)

表4机器m1为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝50)

表5机器m2为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝10)

表6机器m2为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝30)

表7机器m2为瓶颈机器时，流水线解析模型与仿真模型对比结果(n＝50)

表8考虑休眠策略的两机器流水线性能分析机器实验参数

以表2实验1的算例对考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法进行说明：

1)考虑休眠策略的两机器流水线模型求解

将机器m1故障率p1＝0.07、修复率r1＝0.2和机器m2故障率p2＝0.05、修复率r2＝0.2及缓冲区容量n＝10分别代入基本状态空间系统状态解析解公式和休眠状态解析解公式，对系统的稳态概率进行求解。

2)考虑休眠策略的两机器流水线性能指标求解

将所得的状态概率带入到性能指标计算公式中，求得相应的性能指标值：生产线效率e2＝0.6674、有效效率ew＝0.6065、停机率fstop＝0.0106。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。