一种基于对偶分解的三维相位解缠方法与流程

本发明涉及领域，尤其涉及一种基于对偶分解的三维相位解缠方法。

背景技术：

三维相位解缠算法假设真实的相位图像在三维空间连续变化，从而确定每个体素的缠绕数，大多数相位解缠算法依赖于itoh条件，该条件假设相邻体素的真实相位差小于π，由于欠采样、噪声等因素的存在，该条件不一定满足，在低信噪比区域，相位解缠算法往往难以区分相位跳变是否由噪声造成，相位解缠算法主要有局部连续约束和全局连续约束两大类算法，在高信噪比的相位数据上，可以采取计算复杂度较低的基于局部连续约束的解缠算法，区域增长算法(regiongrowing,rg)是一个常见的基于局部连续约束的解缠算法，该算法通过比较相邻体素的相位差值来确定相位缠绕数，区域增长算法是一类启发式搜索算法，该算法在低信噪比的相位数据上容易出错，如果某一个体素的相位缠绕数因为噪声出现估计错误，则该错误会累积并传递到其它的体素，为了提高区域增长算法的解缠准确度，引入质量图作为区域增长法的引导，质量图是对相位数据噪声水平的一个估计，区域增长算法根据质量图先对信噪比高的区域进行相位解缠，基于局部连续约束的解缠算法对噪声影响敏感，为了提高相位解缠的准确度，需要采用基于全局连续约束的方法。

随着科学技术的飞速发展，三维相位解缠方法也得到技术改进，但是现在的三维相位解缠方法存在较大的解缠误差。

技术实现要素：

针对上述问题，本发明提供了一种基于对偶分解的三维相位解缠方法，解决了现在的三维相位解缠方法存在较大的解缠误差的问题。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种基于对偶分解的三维相位解缠方法，包括问题定义和子问题并行求解。

问题定义如下：

将能量函数e(x)分解为n个子问题{eⁱ}

其中xⁱ是子问题eⁱ的辅助变量，x|i是x子向量，x|i包含的变量为子问题eⁱ对应的变量。为了求解优化问题，引入拉格朗日乘子

对上式关于x求最小化，得到以下对偶函数

其中，n(p)为包含节点p的子问题集合。原能量函数e(x)被分解为n个可以并行求解的独立子问题，其中每一个子问题为

子问题并行求解如下：

由于子问题的能量势函数满足次模性不等式，采用图切法求解子问题。能量最小化问题包含节点势函数和边势函数，为了简化符号，依然用eⁱ(xⁱ)表示引入节点势函数后的第i个子问题的能量函数

为了利用图切法求解上述能量函数，需要构造一个带有权重的有向图g(v,e)，假设子问题eⁱ对应的mrf含有n个节点，则图g包含有n+2个节点，图g的n个非终端节点与mrf一一对应，另外两个终端节点为源节点s和汇节点t，图g边的权重根据能量函数赋值，将能量函数的每一个节点势函数和边势函数通过一定的规则依次赋值到图g，然后将赋值后的边的权重累加，最终得到带权重的图g。

进一步的，子问题并行求解包括节点势函数的权重赋值和边势函数的权重赋值。

进一步的，节点势函数的权重赋值如下：

考虑节点势函数需要图g上增加一条边。当时，边(s,p)的权重设为当时，边(p,t)的权重设为

进一步的，边势函数的权重赋值如下：

考虑边势函数需要在图g增加三条边，边(p,q)的权重设为由于边的函数满足次模性条件，因此边(p,q)的权重大于0。

当时，边(s,p)的权重设为

当时，边(p,t)的权重设为

当时，边(s,q)的权重设为

当时，边(q,t)的权重设为

根据上述规则将能量函数的所有节点和边的势函数赋值到图g，原能量最小化问题转化为在图g上找一个最小权重s-t切分，s-t切分定义为将节点集合v划分为两个不连通的子集合s和t，其中源节点s在集合s，汇节点t在集合t中，最小切分问题，即找到一个切分使得所有切边权重之和最小，当一个节点u∈s，则该节点的标签为0，当该节点u∈t，则标签为1。

由上述对本发明的描述可知，和现有技术相比，本发明具有如下优点：

本发明一种基于对偶分解的三维相位解缠方法，提出了一个基于对偶分解的快速求解方法，利用对偶分解将原问题分解为若干可并行独立求解的简单子问题，通过优化对偶问题快速逼近原问题的解，实验表明，该算法在保证相同的求解准确度下，相比于直接优化原问题显著减少了运行时间。

附图说明

图1为本发明对偶分解方法示意图；

图2为本发明对偶分解方法示意图；

图3为本发明算法数据图；

图4为本发明不同算法的精准度及速度比较数据图；

图5为本发明不同算法的运行时间比较数据图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

一种基于对偶分解的三维相位解缠方法，包括问题定义1和子问题并行求解2。

问题定义1如下：

将能量函数e(x)分解为n个子问题{eⁱ}

其中xⁱ是子问题eⁱ的辅助变量，x|i是x子向量，x|i包含的变量为子问题eⁱ对应的变量。为了求解优化问题，引入拉格朗日乘子

对上式关于x求最小化，得到以下对偶函数

其中，n(p)为包含节点p的子问题集合。原能量函数e(x)被分解为n个可以并行求解的独立子问题，其中每一个子问题为

利用对偶分解进行相位解缠的示意图如图1所示，该图显示了将一个三维mrf分解为两个子问题，这两个子问题包含有重叠区域，不同于原能量函数仅仅含有边势函数，对偶子问题含有节点势函数，在第i个子问题中，节点p的势函数为

子问题并行求解2如下：

由于子问题的能量势函数满足次模性不等式，采用图切法求解子问题。能量最小化问题包含节点势函数和边势函数，为了简化符号，依然用eⁱ(xⁱ)表示引入节点势函数后的第i个子问题的能量函数

为了利用图切法求解上述能量函数，需要构造一个带有权重的有向图g(v,e)，假设子问题eⁱ对应的mrf含有n个节点，则图g包含有n+2个节点，图g的n个非终端节点与mrf一一对应，另外两个终端节点为源节点s和汇节点t，图g边的权重根据能量函数赋值，将能量函数的每一个节点势函数和边势函数通过一定的规则依次赋值到图g，然后将赋值后的边的权重累加，最终得到带权重的图g。

子问题并行求解2包括节点势函数的权重赋值21和边势函数的权重赋值22。

节点势函数的权重赋值21如下：

考虑节点势函数需要图g上增加一条边。当时，边(s,p)的权重设为当时，边(p,t)的权重设为

边势函数的权重赋值22如下：

考虑边势函数需要在图g增加三条边，边(p,q)的权重设为由于边的函数满足次模性条件，因此边(p,q)的权重大于0。

当时，边(s,p)的权重设为

当时，边(p,t)的权重设为

当时，边(s,q)的权重设为

当时，边(q,t)的权重设为

根据上述规则将能量函数的所有节点和边的势函数赋值到图g，原能量最小化问题转化为在图g上找一个最小权重s-t切分，s-t切分定义为将节点集合v划分为两个不连通的子集合s和t，其中源节点s在集合s，汇节点t在集合t中，最小切分问题，即找到一个切分使得所有切边权重之和最小，当一个节点u∈s，则该节点的标签为0，当该节点u∈t，则标签为1，图2为一个有向图g的例子。

实施例2

一种基于马尔可夫随机场的三维相位解缠问题建模，如下：

假设解缠后的相位图像在三维空间连续变化，利用mrf对相位解缠问题进行建模，mrf每个变量节点对应于每个体素的缠绕数，mrf的能量函数定义为解缠后相位梯度l2范数的平方，能量函数如下

其中是位置r处的缠绕相位，kr是位置r处的缠绕数，d是三维坐标之一，是d方向上的求梯度算子，该多标签优化问题可以采用跳变移动(jump-move)方法优化，跳变移动方法步骤为：所有体素的标签初始化为零，后续的二值优化过程中每个体素的标签值加1或保持不变，每个二值优化步骤最小化能量函数值，当能量函数值停止下降时，二值优化过程终止，算法流程如算法1所示。

二值优化过程表示为其中下标p代表空间位置，上标t代表迭代次数，对于mrf的任意一对相邻节点(p,q)，需要最小化的势函数为

考虑所有的边，则需要优化的能量函数为

不同变量取值下的边势函数分别为

上述势函数满足以下次模性不等式

epq(0,0)+epq(1,1)≤epq(0,1)+epq(1,0).

因此，能量函数可以利用标准的图切法准确求解，假设三维mr数据的矩阵维数为[m,n,l]，则每个二值优化的时间复杂度近似为o(3m³n³l³)，因此，针对高分辨率的三维mr数据，直接优化以上二值能量函数因为复杂度过高而不可行，针对高分辨率三维mr相位解缠复杂度过高的问题，提出了一个基于对偶分解(dualdecomposition,dd)的快速求解方法，对偶分解法将一个大矩阵维数的能量最小化问题分解为若干子问题，因为每个子问题的复杂度大大降低，而且子问题可以并行独立求解，从而使得整体的运行时间显著减少。

本文提出了一个基于mrf的三维相位解缠算法，该算法将相位解缠问题建模为定义在mrf上的能量最小化问题，然后采用对偶分解法对该能量最小化问题进行求解，实验结果表明，本章提出的算法在低信噪比和相位剧烈变化的相位数据上，比基于区域增长法的解缠算法准确度更高，与三维图切法相比，在保证相同求解准确度的前提下，对偶分解法显著减小了运行时间。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。