一种逼近给定曲面模型的圆锥样条曲面生成方法与流程

本发明涉及一种计算机辅助曲面造型方法，尤其是一种圆锥样条曲面的生成方法。

背景技术：

圆锥样条曲面是由圆锥曲面片光滑拼接构成的曲面，其几何特殊性使得它在机械加工制造领域有广泛的应用。例如在金属板材的成型技术中经常采用的辊压成型技术适合直纹面等特殊形状的成型，非圆锥面的辊压成型工艺较为复杂，而圆锥面和圆柱面的辊压成型工艺相对简单，因此如何生成符合实际应用需求的圆锥样条曲面对降低制造成本、提高制造效率有重要意义。

有些工作研究了圆锥曲面的数据点逼近问题，卢卡斯(lukács)等研究了基于最小二乘法的特殊曲面的逼近，包括圆锥、圆柱、圆环面等；锡坤(séquin)等研究了一般的二次代数曲面的数据点逼近问题。有些工作研究了运动曲面的逼近问题，圆锥曲面和圆柱面作为特殊的旋转曲面，也是运动曲面的一种。还有一些工作研究了将可展曲面转化为圆锥样条曲面的技术。利奥波德塞德(leopoldseder)和波特曼(pottmann)提出了用圆锥样条曲面逼近一个可展曲面的算法。该算法首先在可展曲面上选定一些母线,得到给定可展曲面的一个区域分割,然后在相邻两个选定母线之间采用hermite插值思想计算两个光滑拼接的圆锥面，然而该方法不能自动得到最好的曲面分割，同时要求目标曲面为可展曲面。杨勋年等提出了基于胖圆锥样条曲线(fatconicspline)拟合思想的圆锥样条曲面逼近直纹面的方法,但是该方法限制目标曲面的边界曲线位于两个平行的平面上。

综上所述,已有方法主要研究了单个圆锥的数据点逼近问题和基于可展曲面上的几何信息进行插值得到圆锥样条曲面,都具有一定的局限性。生成逼近给定曲面模型的圆锥样条曲面的关键问题是如何在距离误差的驱动下自动确定圆锥面的分布和圆锥的参数，已有方法无法直接解决这个问题。

技术实现要素：

本发明为了解决上述问题,提出了一种逼近给定曲面模型的圆锥样条曲面构造方法。本发明以减少圆锥样条曲面的逼近误差为目标，自动优化圆锥区域分割和每一个圆锥区域的圆锥形状参数，实现逼近误差驱动的圆锥区域的自动识别和重建。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种逼近给定模型的圆锥样条曲面生成方法，以b样条直纹面表示作为中间形式，在圆锥几何约束下极小化直纹面到给定曲面模型的距离误差，得到满足数值误差要求的圆锥面拼接，然后对圆锥面进行刚体变换，得到精确的圆锥样条曲面。

算法具体步骤如下:

(1)输入给定目标曲面m和一个逼近目标曲面m的可展曲面s

(2)对曲面s进行圆锥区域分割

(3)极小化曲面s到给定目标曲面m的距离误差，同时约束曲面s由圆锥曲面片光滑拼接构成

(4)通过对圆锥面进行刚体变换生成精确圆锥样条曲面

进一步的，所述步骤(1)中，逼近给定目标曲面m的可展曲面采用b样条直纹面的表示形式，可由已知方法计算。

所述步骤(2)中，对可展曲面s进行圆锥区域分割基于曲面s上采样母线的聚类，其具体过程包括：局部逼近圆锥轴线的计算，基于曲面s上母线聚类的圆锥区域分割。

(2-1)局部逼近圆锥轴线的计算：对于非平面可展曲面，其中一条采样母线端点为p1、p2，首先计算出p1、p2处主曲率的大小ρ1、ρ2，之后计算出p1、p2处的法向n1、n2，且取n1、n2方向为指向曲面凹的一面，根据主曲率大小和法向方向可以计算得到p1、p2处的密切圆圆心c1、c2，线段c1c2即为母线p1p2的局部逼近圆锥轴线，对于曲面上的每一条采样母线，计算出其对应的局部逼近圆锥轴线。

(2-2)基于曲面s上母线聚类的圆锥区域分割：定义聚类算法中采用的母线距离，考虑两个因素：属于同一个圆锥面的母线处曲面局部逼近圆锥的轴线近似相等；曲面上局部逼近圆锥的轴线近似相等的母线，在曲面s上的距离也可能比较远，因此在进行聚类时要同时考虑局部逼近圆锥轴线的位置和母线的位置。

所述步骤(3)中，对曲面s的约束如下：

(3-1)s与目标曲面之间的距离约束。此约束用于约束曲面s与目标曲面之间的误差，包括目标曲面上的数据点到曲面s的距离以及目标曲面的边界数据点到曲面s的边界曲线的距离。

(3-2)圆锥的几何约束。此约束用于约束曲面s与圆锥样条曲面之间的误差，包括角度约束、距离约束、拼接约束。其中角度约束和距离约束用于约束曲面s的每一个分割区域拟合一个精确的圆锥，具体的，角度约束要求曲面s的每一个分割区域中所有采样母线与该区域对应的拟合圆锥轴线的夹角一致，距离约束要求曲面s的每一个分割区域中所有采样母线与该区域对应的拟合圆锥轴线上某点的距离一致；拼接约束用于约束曲面s的每一个分割区域在逼近圆锥的同时能够光滑的拼接起来，即要求相邻两个圆锥区域的公共母线处需要具有平行的法矢量。

所述步骤(3)中，采用l-bfgs数值优化算法求解极小化问题。

所述步骤(4)中，通过将步骤(3)优化得到的一组圆锥曲面映射到精确圆锥样条曲面空间来构造精确的圆锥样条曲面。

所述步骤(4)中，构造精确圆锥样条曲面的方法如下：假设优化结果给出圆锥面序列xi:(λi,li,1,li,2),i＝1,…,k。其中,li,1,li,2是圆锥λi上的两个母线，之间的区域定义了一个圆锥面片。采用将圆锥面xi+1拼接到xi上的方法得到精确的圆锥样条曲面，即计算一个刚体变换mi，使得圆锥面xi+1做变换后，母线mili+1,1与li,2重合。

所述步骤(4)中，刚体变换mi如下计算：假设母线li,2的两个顶点是(ai,bi)，li+1,1的两个顶点是(ai+1,bi+1)。计算如下刚体变换：平移变换m1将ai+1移动到ai；旋转变换m2使两个母线重合；旋转变换m3使得两个母线上的法向重合，因此得到mi＝m3m2m1。

所述步骤(4)中，拼接过程从x0出发进行到最后的圆锥面xk，得到精确的圆锥样条曲面。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：本发明通过极小化圆锥样条曲面到给定曲面模型的距离误差，自动确定曲面上圆锥曲面的分布和圆锥曲面的形状参数；而且本发明能够通过增加圆锥区域的个数对圆锥样条曲面的逼近误差进行控制。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1为曲面s采样母线局部逼近圆锥的示意图；

图2(a)、图2(b)分别为轴线分类结果示意图和一个分割区域的逼近圆锥示意图；

图3为由参数确定的圆锥(圆柱)示意图；

图4为圆锥(圆柱)的表示方法示意图；

图5为圆锥母线上法向计算方法示意图；

图6为区域逼近圆锥示意图；

图7(a)、(b)、(c)、(d)为精确圆锥区域拼接示意图；

图8(a)、(b)为圆锥样条曲面边界裁剪前、裁剪后示意图；

图9为c状模型示意图，其中图9(a)为目标模型，图9(b)为目标模型的平均曲率，图9(c)为逼近的圆锥样条曲面，图9(d)为圆锥的母线，图9(e)为逼近误差，最大距离误差：0.003，最小距离误差：0.0001，平均距离误差：0.001；

图10为s状模型示意图，其中图10(a)为目标模型，图10(b)为目标模型的平均曲率，图10(c)为逼近的圆锥样条曲面，图10(d)为圆锥的母线，图10(e)为逼近误差，最大距离误差：0.007，最小距离误差：0.0001，平均距离误差：0.002；

图11为同一目标模型不同分片数目实验结果的示意图，其中图11(a)为目标模型，图11(b)-(e)为不同分片数的逼近圆锥样条曲面和距离误差，图11(f)为目标曲面的逼近可展曲面及其距离误差；

图12为距离误差与圆锥面片数关系示意图，其中横轴为圆锥面片数，纵轴为距离误差值，位于上方的折线段为最大误差值变化曲面，位于下方的折线段为平均误差值变化曲面；

图13为噪音模型结果示意图，其中图13(a)为目标模型，图13(b)为逼近的圆锥样条曲面，含11片圆锥面，图13(c)为逼近误差，最大距离误差：0.02，平均距离误差：0.006。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本发明使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

在本发明中，术语如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”、“竖直”、“水平”、“侧”、“底”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，只是为了便于叙述本发明各部件或元件结构关系而确定的关系词，并非特指本发明中任一部件或元件，不能理解为对本发明的限制。

本发明中，术语如“固接”、“相连”、“连接”等应做广义理解，表示可以是固定连接，也可以是一体地连接或可拆卸连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连。对于本领域的相关科研或技术人员，可以根据具体情况确定上述术语在本发明中的具体含义，不能理解为对本发明的限制。

本发明以直纹面表示作为中间形式，在圆锥几何约束下优化曲面的逼近精度，自动识别和优化圆锥样条曲面中圆锥的分布以及圆锥的形状。

首先给出要解决的问题的数学描述：给定一个目标曲面m，目的是构造一个圆锥样条曲面来逼近曲面m。由于直接求解圆锥样条曲面逼近问题比较困难，本发明方法以直纹面s作为中间形式，通过在直纹面s上施加圆锥几何约束来自动识别和优化圆锥样条曲面中圆锥的分布以及圆锥的形状。

算法的主要步骤包括：

step1：输入目标曲面m和一个逼近m的可展曲面s。

step2：识别曲面s上不同的圆锥区域。

step3：极小化曲面s到给定曲面模型的距离误差，同时施加圆锥几何约束，使曲面s成为一些圆锥面的拼接。

step4：在曲面s的基础上得到精确的圆锥样条曲面。

1、输入目标模型m和可展曲面s

本发明的输入是一个目标曲面模型m和一个用已有方法计算得到的逼近m的可展曲面s，曲面s采用b样条直纹面表示形式

s(u,v)＝a(u)·(1-v)+b(u)·vu,v∈[0,1](1)

其中a(u)和b(u)是该曲面的两条边界曲线，采用3次b样条曲线。

2、识别s上不同的圆锥区域

识别可展曲面s上不同的圆锥区域的目的是得到曲面s的一个分割，要求每一个分割区域尽量接近一个圆锥面。考虑曲面上母线处的局部逼近圆锥曲面s的一个分割区域接近一个圆锥面意味着该区域所有局部逼近圆锥的轴线比较接近。基于该思想，我们提出基于圆锥轴线聚类的曲面分割方法。

(1)局部逼近圆锥轴线的计算。若s(u,v)是非平面可展曲面，则容易计算母线s(uj,v)处与s具有2阶切触的圆锥的轴线。设点p1＝s(uj,0)处非零主曲率是ρ1，n(u,v)是曲面s的法矢量。向量在p1点垂直于曲面s且指向密切圆圆心，其中sign(v)取v的正负号。在曲面上p1点处沿法矢量n1方向取一点该点到曲面s的距离等于曲面s在点p1处的最大主曲率对应的曲率半径，且c1位于曲面凹的一面。类似地可以在曲面的另一条边界曲线点p2＝s(uj,1)处沿曲面法向取点c1，则线段c1c2是在母线p1p2处与曲面s具有二阶切触的圆锥的轴线，如图1所示。

若s(uj,v)非精确可展，ρ1可取最大的主曲率大小，即其中是点p1处的主曲率。计算出曲面s(u,v)上所有采样母线处的逼近圆锥的轴线(见图2(a))，接下来基于这些轴线进行圆锥区域分割。

(2)圆锥区域分割。记母线li对应的圆锥轴线为ai，对曲面s上所有采样母线对应的圆锥轴线ai进行分类，实现对曲面s的区域分割。为了定义轴线之间的距离，这里采用直线的plücker坐标表示。

假设直线上不同的两点a,b令m＝a×b，plücker表示用一个6维向量r＝(d[0],d[1],d[2],m[0],m[1],m[2])来表示一条直线，因为这里d是单位向量,所以这种直线的表示是唯一的。

为了处理曲面上距离较远的区域对应的圆锥轴线比较接近的情况，也要考虑曲面母线的欧式距离。用母线的端点pj＝s(uj,0)代表母线lj的位置，用一个9维向量表示一条母线对应的圆锥轴线

其中rr表示所有轴线的plücker表示的最大值rr＝max{‖rj‖}，rp表示所有对应母线端点的最大值rp＝max{‖pj‖}。系数k的作用是权衡两个部分的权重。基于这个直线的表示，假设两条轴线ai,aj的表示为gi,gj，定义ai,aj的距离为

依据该距离定义对轴线进行分类，这里采用k-means聚类方法进行分类。记一个分割区域为qi，其中心轴线(分类中心)是直线πi，轴线的分类结果给出了曲面s的一个区域分割，每一个分割区域近似一个圆锥面，图2(a)是一个轴线分类和曲面区域分割结果，不同的颜色区分了4个分类。每一个分割区域对应的轴线的分类中心代表该区域的逼近圆锥的轴线。利用该区域内的采样母线计算和中心轴线的平均夹角，得到该区域的一个逼近圆锥，图2(b)显示了曲面上其中一个分类区域(从左数第二个区域)的逼近圆锥。这个粗略的区域分割和逼近圆锥的质量还需要进一步优化改善。

3、圆锥样条曲面逼近

为了得到一个较高质量的圆锥样条曲面，还需要对步骤2中得到的曲面进行进一步的优化，使曲面每一个分割区域高精度的逼近一个圆锥，且分割区域之间能够光滑拼接。为了实现此目的，本发明采用如下的优化方案。

3.1节点插入。进行节点插入的目的是要保证每一个圆锥分割区域内具有足够的b样条控制点。首先在相邻两个圆锥分割区域公共母线对应的参数位置插入一个新的节点，使得每一个分割区域对应一段节点区间。在控制点个数较少的分割区域内通过节点插入适当增加控制点数目。已有工作表明3次多项式曲线能够高精度表达不超过180度的圆弧，但3×1次的b样条曲面表达圆锥的能力证明更为困难。在实现中，我们要求每一段分割区域内的控制点数目不少于4个。我们也试验了采用更多的控制点数目，结果显示更多的控制点对逼近误差的改善作用并不明显。

3.2曲面逼近。曲面逼近的目标函数定义为：

其中第1项定义目标曲面上的数据点到曲面s的距离：d(p,s)＝(p-π(p))·n，其中π(p)表示点p在s上的最近点，n表示s在π(p)处的法向量。第2项定义目标曲面的边界数据点到曲面s的边界曲线的切线距离的平方：其中τ＝(p-x(p))-(p-x(p)·t)t，x(p)表示p点在s的边界曲线上的最近点，t是边界曲线在x(p)点相切的单位矢量。第3项是曲面s的光顺函数，定义为曲面边界曲线a(t),b(t)二阶导矢大小的平方的积分。

3.3圆锥约束。步骤2轴线分类结果为每一个分割区域计算出了一个中心轴线πi，但是这个分割是粗略的，一个曲面分割区域并不是一个准确的圆锥面。计算曲面s逼近目标模型的同时需要：1)改善曲面s上圆锥曲面分割结果；2)使每一个分割区域高精度近似一个圆锥面。

首先给出采用的圆锥表示方法。考虑非平面的圆锥的轴线πi＝(mi,vi)，其中mi是轴线上一参考点，vi是与轴线平行的单位矢量，指向圆锥的顶点。对于圆柱面，不存在圆锥顶点，则vi的指向任意。

假设圆锥的母线和轴线的夹角是θi，点mi到圆锥母线的距离是di。注意参数(mi,vi,θi,di)能确定2个圆锥，如图3所示。若是圆柱，θi＝0，则表示唯一。下面基于这个表达定义圆锥的几个约束。

假设曲面上的区域qi内的采样母线为li,j,j＝0,…,k，其两个端点是s(uj,0)和s(uj,1)。要求母线拟合圆锥意味着母线要满足下述约束条件(图4)。

(1)角度约束。母线与圆锥轴线的夹角恒定，即

(2)距离约束。圆锥轴线上的参考点mi到母线的距离恒定，即

d(mi,li,j)＝di

其中d(m,l)表示点m到直线l的距离。若母线li,j由其上一点p＝s(uj,0)和母线li,j的单位向量

表示，则平方距离为

d²(mi,li,j)＝‖m-p‖²-((m-p)·l)²(3)

上述两个条件不足以保证圆锥的唯一性(图3)。取轴线上的另一点其中c是常数。容易得到到圆锥面的距离是(图4)。要求点到母线的距离恒定，即

约束(2)，(3)，(4)可唯一确定一个圆锥(圆柱)。

(3)拼接约束。为了保证相邻的圆锥光滑拼接，相邻两个圆锥区域的公共母线处需要具有平行的法矢量。假设两个圆锥区域在公共母线上的法向分别是ni和nj，则拼接约束是

‖ni×nj‖＝0

其中圆锥的母线处的法向可以如下求解。图5显示了一个圆锥的轴线(m,v)和一个母线p1p2这两根线在一个平面上。圆锥曲面在母线p1p2上的法向n也在同一个平面内，且与p1p2垂直。易知轴线上的参考点m到p1p2的最近点为

则向量q-m与圆锥垂直，即n＝q-m。

基于上述约束定义极小化的目标函数，令ωi＝cos(θi)作为优化变量。变量包括拟合圆锥的形状参数(mi,vi,ωi,di)以及b样条曲面的控制点。建立以下的目标函数：

其中qi表示一个分割区域，ni,j表示区域qi上和qj邻近的母线上的法向量。

圆锥样条曲面逼近问题的求解通过极小化下面的目标函数实现：

其中π表示所有的变量。用l-bfgs数值优化算法极小化目标函数(5)，函数对变量的导数可以解析求出。为了使圆锥约束满足，在迭代过程中逐渐增大λ3，λ4的值，直到圆锥约束项的值小于1·10^-5时迭代停止。

如果优化曲面结果s(u,v)的逼近误差不满足要求，可以通过增加圆锥曲面的片数来增加造型自由度对曲面做进一步优化。过程是基于当前优化结果曲面s(u,v)采用更多的曲面分类数目，重复算法的步骤2和步骤3，降低距离误差，该过程可以迭代多次执行。图11给出了一个模型不同圆锥曲面片数的实验结果。

4、精确圆锥样条曲面生成

三次b样条曲面无法精确表示一个圆锥曲面，因此得到的形状只是圆锥曲面的近似表示。优化得到的逼近曲面上每一个区域qi对应的参数(mi,vi,ωi,di)确定了一个精确圆锥λ。图6显示了一个优化曲面上每一个区域的圆锥。为了清楚显示圆锥，图中的母线被延长了。由于优化数值误差的存在，这些圆锥面不是严格光滑拼接的。我们将优化得到的圆锥面映射到精确圆锥样条曲面空间，构造精确圆锥样条曲面，方法如下。

假设优化结果给出圆锥面序列xi:(λi,li,1,li,2),i＝1,…,k。其中,li,1,li,2是圆锥λi上的两个母线,之间的区域定义了一个圆锥面片。采用将圆锥面xi+1拼接到xi上的方法得到精确的圆锥样条曲面，即计算一个刚体变换mi，使得圆锥面xi+1做变换后，母线mili+1,1与li,2重合。刚体变换mi如下计算。

参考图7的示意图。假设母线li,2的两个顶点是(ai,bi)，li+1,1的两个顶点是(ai+1,bi+1)。计算如下刚体变换：平移变换m1将ai+1移动到ai(图7(b))；旋转变换m2使两个母线重合(图7(c))；旋转变换m3使得两个母线上的法向重合(图7(d))，因此得到mi＝m3m2m1。

拼接过程从x0出发进行到最后的圆锥面xk，得到精确的圆锥样条曲面。因为步骤3优化得到的圆锥面已经以较高的质量满足约束，因此这一步的映射引起的圆锥面的变化微小。

需要注意的是，虽然在目标函数中包含边界距离误差函数，但是结果圆锥的边界一般不严格对齐目标模型的边界，不过很容易对优化结果圆锥的母线进行裁剪，得到高质量的圆锥曲面边界，这里不具体描述边界裁剪的方法，图8给出边界裁剪前(图8(a))和裁剪后(图8(b))的结果图。

为了验证本发明方法的有效性，选取了一些模型进行实验，通过实验结果来说明本发明方法的效果。实验平台为intelcorei52.5gcpu，4g内存，1t硬盘的笔记本电脑。

图9、图10给出了两个模型和实验结果。图9的模型上存在一个比较平坦的区域，当圆锥比较接近于一个平面时,意味着圆锥的半径比较大,圆锥轴线距离圆锥母线的距离较远。如果目标模型上存在精确的平面区域，本发明的方法会生成一个半径较大的圆锥面，而无法生成精确的平面。图10中存在曲面凹凸区域的变化，因此存在reflectionline。本发明的方法能够自动生成合理的圆锥曲面分布和圆锥参数，得到满意的圆锥样条曲面。图9结果的最大和平均距离误差是0.003和0.001。图10结果的最大和平均距离误差是0.007和0.002。

采用更多的圆锥面能够提供更多的造型自由度，从而得到更小的逼近误差。图11给出一个增加圆锥面片数的实验。通过迭代本发明算法的步骤2和步骤3，逐渐增加片数，增加曲面优化的自由度，降低逼近曲面的距离误差。为了探究圆锥样条曲面的逼近误差随着圆锥面片数变化的趋势，我们逐渐增加圆锥面片数，数目为4、8、12、16、20。实验结果表明，随着片数的增加，距离误差逐步减少。最大的距离误差和平均距离误差(emax,emean)分别是：片数4(0.038，0.012)；片数8(0.025，0.011)；片数12(0.021，0.007)；片数16(0.019，0.007)；片数20(0.013，0.006)。图12给出了最大距离误差和平均距离误差随片数增加的减少趋势。

理论上圆锥面的片数越多，圆锥样条曲面的造型能力就越接近一个一般的可展曲面，因此圆锥样条曲面的逼近误差不会优于一般可展曲面。文献interactivedesignofdevelopablesurfaces提供了一种计算逼近目标模型的b样条可展曲面方法，我们利用该方法得到逼近目标模型的3×1次的b样条可展曲面，与本文方法得到的圆锥样曲面的距离误差进行对比。图11(f)显示了一个逼近可展曲面和它的距离误差，其最大距离误差：0.017，平均距离误差：0.003。平均距离误差比含有20个面片的圆锥样条曲面更小，理论上这个距离误差是圆锥样条曲面逼近误差的极限值。

本发明方法距离误差函数的定义是目标模型的数据点到逼近曲面的距离，本文圆锥样条曲面逼近算法也适用于带有噪声的目标模型。图13给出了一个噪声模型的圆锥样条曲面逼近结果，其中的圆锥样条曲面含有11个曲面片，其最大距离误差为0.02，平均距离误差为0.006。

以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。