一种非真离心力场作用下的数学建模方法与流程

本技术属于材料加工工程领域，涉及一种非真离心力场作用下的数学建模方法。

背景技术：

数值模拟技术应用于铸造过程的研究始于六十年代，随着计算机技术的快速发展及在铸造领域的广泛应用，铸造凝固过程数值模拟技术对研究金属凝固理论和优化熔铸工艺起着越来越重要的辅助作用。

铸造充型过程的数值计算可以分为两种类型，一种是以伯努利方程为基础，联合一系列参数变量进行计算；另一种是以三联方程，即能量方程、动量方程和连续性方程为描述模型。第一种方法相对简单，较早应用于铸造工艺设计，三联方程模型可以较为准确地模拟金属液充型任意时刻在任意位置的压力和速度，但存在控制方程较多且结构复杂，迭代计算量大且结果容易发散，自由边界难以确定，模拟结果难以试验验证等问题。1991年，首次在模拟柱状型腔充型问题时，将充型过程分为三种情况，即层流流动、紊流流动和k-ε双方程模型。与温度场相比，流场的模拟难度较大，存在自由表面和未知压力场，主要方法有simple法、mac法、smac法和sola-vof法等。当存在外力场时（磁力、离心力等），充型和凝固过程变得更加复杂，模型建立和求解难度进一步增大，有研究者模拟了旋转圆柱容器中，液体从水平自由表面过渡到离心自由表面的动态变化过程，但未考虑铸件的充型和凝固；也有研究通过对能量方程进行体积分得到三维流场的场协同理论。

非真离心力场具有非均匀性和非对称性的特点，模拟的技术关键是非真离心力场的模型化及求解，因此，建模和求解是非真离心力场条件下金属液充型和凝固过程模拟的难点。随着中小型铸件非真离心铸造工艺应用的日益广泛，围绕非真离心力场下熔体充型和凝固过程所进行的研究工作，对于了解离心力场下粒子的移动规律、以及对铸件性能的影响，都具有重要的参考价值。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种非真离心力场的数学建模方法，可实现非真离心力场作用下熔体流动和凝固过程的模型化。

一种非真离心力场作用下的数学建模方法，其特征在于步骤依次为：

（1）联立连续性方程、n-s方程和能量方程建立熔体在非真离心力场下的流动和凝固过程的描述模型；

（2）引入加速度附加项ec来描述离心力场对熔体的流动和凝固过程产生的影响；

（3）在建模假设的基础上，对所建立的偏微分描述方程组进行简化；

（4）进行变量代换，消去描述方程组中的压力项p；

（5）利用有限差分技术对描述方程组进行离散化处理；

（6）确定计算所需的求解域初始条件；

（7）确定计算所需的求解域边界条件。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（1）中，首先提出系列假设条件，具体是：1）熔体填充过程是连续的；2）熔体流动过程为定常流动；3）熔体动力粘度系数为常数；4）熔体为不可压缩流体；5）不考虑流动过程中的沿程损失。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（2）中，ec由离心加速度ecx、惯性加速度ecy和重力加速度三个分量组成，其中，ecx由转台转速和质点距转轴的距离决定，在转台转速确定的前提下，与距转轴距离成正比；ecy由转台转速和该点的沿轴速度决定，当转台转速确定时，与质点的沿轴速度成正比。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（3）中，偏微分方程组的简化通过定义熔体特征参数实现，具体是：1）熔体在型腔入口处的流动速度为v0，且呈充满状态；2）定义熔体横截面为标准弓形，其面积与明渠流系统中所定义的过流断面面积相等；3）非真离心力场作用下，熔体始终以直立方式对型腔进行填充，将非轴对称问题转化为轴对称问题；4）熔体经过一段距离le（le为起始长度）之后，入口流动才基本上完成转变，3）中所引入的误差主要集中在入口附近，而入口处的流动无法反映出流动的真实本质，因此，忽略流动的入口效应。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（4）中，引入流函数ψ(x,y)和涡函数ξ(x,y)，表达式分别为

，和

（u，v为x和y方向上的速度分量），代入到偏微分描述方程组中消去压力项p。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（5）中，具体离散过程为：1）在整个型腔沿轴水平横截面内均匀划分网格，x和y方向上的步长分别为δx和δy，将方程组需求解变量在(i,j)点进行离散化处理；2）在熔体完全充满型腔之前，将对流换热视为一个稳态过程，即温度场不随时间发生变化；型腔充满后，熔体的流动只限于极小的范围，可近似认为其填充速度为零，依据上述条件分别对能量方程进行离散化处理。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（6）中，确定求解域的流场和温度场初始条件，具体是：1）型腔充满前熔体主要以对流换热方式进行热量的传递，可视为定常流动，热流的限制环节不在铸型，而是铸件和铸型界面；2）型腔入口处，熔体进入型腔时的温度为tm，且分布是均匀，型腔初始温度为t0，可以确定求解域的边界温度分布函数tb(x,y)；3）当型腔完全充满后，熔体内部的温度变化主要集中在合金/铸型界面处，将此刻的温度分布函数tf(x,y)作为随后凝固过程的初始温度分布。

为实现发明目的，所述的非真离心力场作用下的数学建模方法，在步骤（7）中，1）确定求解域的流场边界条件，在型腔入口处，速度分布满足完全充满圆管内合金熔体的速度分布规律，其过流段面内的最大速度值为v0，且位于型腔中心线上，据此分别确定速度分量u(x,y)和v(x,y)、流函数ψ(x,y)和涡函数ξ(x,y)的初始条件表达式；2）确定求解域的温度场边界条件，具体是：1）熔体流经型腔内壁时，由于金属型的激冷作用将产生一定厚度的激冷层，对于对流换热而言，主要温度变化区域位于型腔内壁附近，这一区域与整个型腔相比是很小的，因此，将其视为铸型为无限大平板的传热问题；2）正向填充过程中，型腔入口处由于熔体的不断流入，视为绝热边界；3）熔体末端（沿型腔轴线方向运动）和自由液面未与型腔内壁接触，视为热辐射边界；4）从型腔的结构特征来看，其长度要远大于直径，且径向温度梯度比轴向大得多，忽略熔体轴向的对流换热，熔体与型腔后壁之间的传热主要为热传导和对流换热；5）随着反向填充过程的开始，正向填充熔体末端将与型腔内壁接触，此时熔体末端由原来的热辐射边界转变为热传导边界。

本发明具有以下优点：

（1）通过在熔体充型和凝固过程描述方程中引入附加项（离心加速度ecx、惯性加速度ecy和重力加速度），实现了非真离心力场的模型化；

（2）基于流函数和涡函数进行变量代换消去压力项p，使偏微分方程组满足求解条件。

附图说明

图1是型腔不同径向截面(l0，l0+10mm，l0+35mm，l0+65mm，l0+90mm)处的速度场分布；

图2a是转速为ω0＝300r/min条件下水平轴向横截面在0.005s时的温度场分布；图2b是转速为ω0＝300r/min条件下水平轴向横截面在192.455s时的温度场分布；图2c是转速为ω0＝300r/min条件下水平轴向横截面在1412.300s时的温度场分布；图2d是转速为ω0＝300r/min条件下水平轴向横截面在4178.335s时的温度场分布。

具体实施方式

实施案例：基于非真离心力场作用下水平圆管内熔体流动和凝固过程建模，其实施步骤为：

（1）针对非真离心力场下熔体的流动和凝固过程，提出如下基本假设：1）金属液填充过程是连续的；2）填充过程为定常流动；3）金属液的动力粘度系数为常数；4）金属液为不可压缩流体；5）不计填充过程中的沿程损失；

（2）非真离心力场下，熔体的充型和凝固过程可通过联立连续性方程、n-s方程和能量方程进行描述。在方程组中引入附加项，分别是离心加速度ecx、惯性加速度ecy和重力加速度g。其中，ecx由转台转速和质点距转轴的距离决定，在转台转速确定的前提下，与距转轴距离成正比；ecy由转台转速和该点的沿轴速度决定，当转台转速确定时，与质点的沿轴速度成正比；g为常数；

（3）熔体特征参数定义：1）熔体在型腔入口处的流动速度为v0，且呈充满状态；2）定义熔体横截面为标准弓形，其面积与明渠流系统中所定义的过流断面面积相等；3）非真离心力场下，熔体始终以直立方式对型腔进行填充，将非轴对称问题转化为轴对称问题；4）入口处的流动无法反映出流动的真实本质，忽略流动的入口效应；

（4）引入流函数ψ(x,y)和涡函数ξ(x,y)，代入到偏微分描述方程组中消去压力项p，描述方程组最终形式为：

（5）在整个型腔沿轴水平横截面内均匀划分网格，x和y方向上的步长分别为δx和δy，将方程组需求解变量在(i,j)点进行离散化处理；在熔体完全充满型腔之前，将对流换热视为一个稳态过程，即温度场不随时间发生变化；当型腔完全充满之后，熔体的流动只限于极小的范围，可近似认为其填充速度为零，依据上述条件分别对能量方程进行离散化处理，所建立的差分方程组为：

在型腔完全充满之前，可将对流换热视为一个稳态过程，即温度场不随时间发生变化，则能量方程的差分格式可为：

当型腔完全充满之后，熔体的流动只限于极小的范围，可近似认为其填充速度为零，于是能量方程的差分格式为：

在上面两式中：

（6）确定求解域初始条件和边界条件。在型腔入口处，速度分布满足完全充满圆管内合金熔体的速度分布规律，其过流段面内的最大速度值为v0，且位于型腔中心线上。速度分量u(x,y)和v(x,y)、流函数ψ(x,y)和涡函数ξ(x,y)的边界条件表达式分别为：

熔体流经型腔内壁时，由于金属型的激冷作用将产生一定厚度的激冷层，对于对流换热而言，主要温度变化区域位于型腔内壁附近，这一区域与整个型腔相比是很小的，因此，将其视为铸型为无限大平板的传热问题；正向填充过程中，型腔入口处由于熔体的不断流入，视为绝热边界；熔体末端（沿型腔轴线方向运动）和自由液面未与型腔内壁接触，视为热辐射边界；从型腔的结构特征来看，其长度要远大于直径，且径向温度梯度比轴向大得多，忽略熔体轴向的对流换热，熔体与型腔后壁之间的传热主要为热传导和对流换热；随着反向填充过程的开始，正向填充熔体末端将与型腔内壁接触，此时熔体末端由原来的热辐射边界转变为热传导边界，据此确定温度场边界条件；

（7）编制计算程序，得到计算结果。流场的求解是以流函数和涡函数为中间变量进行迭代，直到前后两次计算结果之间的误差小于指定的误差值。如说明书附图1所示，转台转速为300rpm条件下，型腔不同径向横截面（l0，l0＋10mm，l0＋35mm，l0＋65mm，l0＋90mm）的速度分布情况；如说明书附图2所示，转台转速为300rpm条件下，水平轴向横截面在不同时刻（0.005s，192.455s，1412.300s和4178.335s）的温度场分布情况。