一种弧齿锥齿轮载荷传动误差数值计算方法与流程

本发明属于弧齿锥齿轮加工领域，具体涉及一种弧齿锥齿轮载荷传动误差数值计算方法。

背景技术：

弧齿锥齿轮可用来传递空间任意两轴间的运动和力，因其传递可靠、准确、使用寿命长的特点而被广泛的应用于汽车、航空、船舶、航天、工程机械等产业。在机械传动装置中，弧齿锥齿轮的质量、性能直接影响着机电产品的性能和可靠性。

传动误差是评判弧齿锥齿轮啮合性能的重要指标之一，直接反映了弧齿锥齿轮的传动啮合特性。对于许多工况下的弧齿锥齿轮来说，传动误差是一个必须考虑的重要因素。

在传统的传动误差求解过程中，主要依赖于有限元分析得到齿轮传动的传动误差，由于有限元分析中各个流程存在一定的偶然性和不确定性，就会导致传动误差计算存在一定的误差甚至出现错误的结果。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种能保证计算结果正确的弧齿锥齿轮载荷传动误差数值计算方法。

本发明提供的这种弧齿锥齿轮齿面载荷传动误差数值计算方法，分别计算单齿啮合不加载、加载和双齿啮合不加载、加载状态下的弧齿锥齿轮传动误差，从而分别得出单齿啮合载荷传动误差和双齿啮合载荷传动误差，包括以下步骤：

1、传动误差定义

传动误差表示的是在啮合转动过程中，从动轮的实际转角相对于理论转角的差值，即传动误差为：

其中，φ1为小轮的转角；φ2为大轮的转角；n1和n2分别为小轮和大轮的齿数；

2、单齿啮合不加载状态下的传动误差δφ1计算

2.1)确定机床调整卡参数、基本齿坯设计参数和刀具参数，通过齿面参数化建模，确定大、小齿轮的啮合接触状态以及坐标转换矩阵，求解大、小齿轮精确的齿面初始点；

2.2)根据点矢重合、法矢重合以及啮合条件建立啮合接触非线性方程组(tca方程组)；

2.3)计算大轮理论转角，求解大轮理论转角，计算传动误差，求得未知参数；

2.4)改变小轮转角，重复步骤2.2)和2.3)，如此循环迭代，直至求出在所需转角支架的大轮实际转角，即可计算出δφ1；

3、单齿啮合加载状态下，由于受载变形引起的传动误差δ1^*计算

3.1)求解齿面上接触点k到旋转轴线的距离rk、齿面主曲率δk和接触点k的螺旋角βk和齿面接触力f；

3.2)根据主曲率δk和齿面接触力f计算齿面接触椭圆的长半轴a、短半轴b及以及齿面变形量w；

3.3)根据上述求解得出的参数，求解在载荷作用下引起的传动误差△1^*；

4、双齿啮合不加载状态下的传动误差计算过程和原理与单齿啮合下不加载状态下的计算一样；

5、双齿啮合加载状态下的传动误差计算

5.1)先根据输入参数确定其中一个齿对0的啮合接触状态和坐标转换矩阵，求解初始点，并建立tca方程组；

5.2)再将齿对0通过坐标变换绕自身轴线旋转一个齿的角度得到齿对1，重新根据输入参数确定其啮合接触状态和坐标变换矩阵，建立tca方程组；

5.3)根据建立的方程组求解方程中所涉及的未知参数变量，包括大轮实际转角和小轮实际转角；

5.4)基于求得的大轮实际转角和小轮实际转角，利用单齿啮合不加载计算时的公式计算得出双齿啮合传动的不加载传动误差；

5.5)根据齿对0的tca方程组，求解齿面主曲率δk0、接触点螺旋角βk0、接触点到轴线距离rk0和由于受载变形引起的传动误差ste0；根据齿对1的tca方程组，求解齿面主曲率δk1、接触点螺旋角βk1、接触点到轴线距离rk1和由于受载变形引起的传动误差ste1；

5.6)利用步骤(5.5)计算出的参数，建立传动误差相等和载荷平衡方程，分别计算出两个啮合齿对上的齿面接触力f0和f1，回代可求解可得双齿啮合加载状态下两啮合齿对引起的传动误差；

单齿啮合不加载传动误差δφ1的具体计算如下：

设定与切齿机床刚性固接的机床坐标系sg，与轮坯刚性固接的轮坏坐标系s1，与摇台刚性固接的坐标系st；在机床固定坐标系下加工弧齿锥齿轮的刀盘齿面是一个圆锥面，其方程可表示为：

对应的刀盘单位法矢为：

其中，(up，θp)是曲面坐标，α是刀具的齿形角，rc是刀盘半径，具有正α和负α的矢量函数分别表示用于加工小轮凹面和凸面的两个刀盘的齿面。

首先，大、小轮在各自的坐标系下建立齿面模型，从刀盘到轮坯的转换矩阵：

其中，φ1＝mcφc1，mc为切削滚比。γm1，δem1，δxd2，δxb1，sr1，q1均为机床调整参数，均可通过机床调整卡得到；φc1是摇台转角。

为了后续的法线矢量计算，将转换矩阵去掉最后一行和最后一列得到它的子矩阵：

从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵为：

式中，旋转角度

旋转位移(△l)1＝((△lx)1,(△ly)1,(△lz)1)。

它对应的子矩阵为：

经过坐标变换之后，小轮在啮合坐标系下的齿面方程和法线矢量可表示为：

rm1(up,θp,φc1)＝(mt-f)1×m1p(φc1)·rp(up,θp)(8)

nm1(θp,φc1)＝(lt-f)1×l1p(φc1)·np(θp)(9)

根据上述两式可求解小轮齿面的第一和第二基本齐式。

第一基本齐式：

第二基本齐式：

式中，rθ1和rφ1分别为齿面的两条切线。

将求得齿面的第一和第二基本齐式代入以下方程可解得齿面的主曲率rk1和rk2。

同理，可求得大轮在啮合坐标系下的齿面方程rm2和法线矢量nm2，以及大轮齿面的主曲率；

两齿面要想啮合传动，接触曲面必须处于连续切触状态，要求两齿面的位置矢量和法矢在任一瞬时都重合，且满足啮合方程；

nm1(θp,φc1)＝nm2(θg,φc2)(15)

rm1(up,θp,φc1)＝rm2(ug,θg,φc2)(16)

从上述两个矢量方程可以导出含有六个未知数up，θp，φc1，ug，θg，φc2的五个独立的矢量方程；要想求解未知参数，必须加上啮合方程作为补充，啮合方程可表示为：

n·v＝nm1(θp,φc1)·v12＝f(up,θp,φc1)＝0(17)

式中，v12是相对运动速度。

这里

综合以上六个非线性方程组成的方程组，可以求解上述六个未知参数(up，θp，φc1，ug，θg，φc2)。

根据上述方法，给小轮一个转角，通过传动比得到大轮的理论转角，并将小轮转角分成多步施加，每次小轮转动一个微小角度之后，通过求解上述方程组得到未知参数up，θp，φc1，ug，θg，φc2，计算得到大轮对应的实际转角；经过多次反复迭代求解，得到小轮每个微小转角下，大轮跟随小轮转动的实际转角，大轮一系列实际转角减去大轮的理论转角就得到齿轮的传动误差△φ1。

单齿啮合加载状态下引起的传动误差δ1^*计算具体如下：

根据齿轮所受的弯矩可计算齿面上所受的力:

式中，m是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点k到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；α是刀具齿形角；βk是齿面接触点k的螺旋角；由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点k到z轴的距离为：

接触点k位置的螺旋角可由公式求出：

式中，r0为刀盘半径；r′为接触点k处的锥距；β为名义螺旋角；r为中点锥距。r0为外锥距；b为齿宽。

根据上述求解的齿面上所受的力和齿面的主曲率可以计算齿面接触椭圆的长半轴长以及齿面变形：

长半轴：

齿面变形量：

其中，e1、e2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比；e^*是综合弹性模量，ξ为通用加工参数刀转角；

λ是以下方程的根：

rk2j1(λ)-rk1j2(λ)＝0(33)

至此，齿面变形w，接触椭圆长轴长a，齿面任意一点螺旋角βk，齿面任意一点到旋转轴线的距离rk参数都已经求出；综合以上所求的参数，可以计算齿面在受载情况下的传动误差：

整个求解过程可以利用数值计算辅助软件实现。

至此可得出弧齿锥齿轮单齿啮合在载荷作用下的传动误差为：

整个求解过程可以利用数值计算辅助软件实现。

步骤6.2)建立的传动误差相等和载荷平衡方程为：

ste0(f0)＝ste1(f1)(36)

f0rk0cosαcosβ0+f1rk1cosαcosβ1＝m(37)。

本发明提出了一种基于tca求解过程之上的弧齿锥齿轮传动误差的数值计算方法，考虑了在不加载与加载情况下的传动误差计算，并且分别计算了单齿啮合和双齿啮合条件下的传动误差。整个计算过程可以利用数值计算软件实现，不存在人为的偶然性和不确定性，所以能保证传动误差计算结果的精确性，为高性能弧齿锥齿轮设计与反调修正提供一种思路和参考方案。

附图说明

图1为本发明一个实施例的传动误差求解流程图。

图2为本实施例在双齿啮合下的传动误差计算流程图。

图3为本实施例在单齿啮合状态下的不加载传动误差图。

图4为本实施例在单齿啮合状态下的加载大轮齿面接触点图。

图5为本实施例在单齿啮合状态下的加载小轮齿面接触印痕图。

图6为本实施例在单齿啮合状态下的加载传动误差图。

图7为本实施例在双齿啮合状态下的加载传动误差图。

具体实施方式

本发明提出了一种基于tca求解过程之上的弧齿锥齿轮传动误差的数值计算方法，考虑了在不加载与加载情况下的传动误差计算，并且分别计算了单齿啮合和双齿啮合条件下的传动误差，具体如下：

传动误差表示的是在啮合转动过程中，从动轮的实际转角相对于理论转角的差值。即传动误差为：

其中，φ1为小轮的转角；φ2为大轮的转角；n1和n2分别为小轮和大轮的齿数。

不同于传统的弧齿锥齿轮传动误差有限元分析计算方法，本文通过分别计算单齿啮合状态和双齿啮合状态下的弧齿锥齿轮的传动误差，为弧齿锥齿轮的传动误差计算提供了一种新的数值计算方法。

值得说明的是，由于小轮的建模加工相对于大轮都是较复杂的，所以本发明在分析弧齿锥齿轮的加工以及接触分析过程中主要以小轮为主。大轮可类比小轮的原理与过程。

一、关于单齿啮合下的传动误差计算

在弧齿锥齿轮的加工过程中，我们假设有以下的坐标系：与切齿机床刚性固接的机床坐标系sg，与轮坯刚性固接的轮坏坐标系s1，与摇台刚性固接的坐标系st。刀盘的齿面是一个圆锥面，可表示为：

刀盘的单位法矢可表示为：

这里，(up，θp)是曲面坐标，α是刀具的斜角，rc是刀盘顶点的半径，具有正α和负α的矢量函数分别表示用于加工小轮凹面和凸面的两个刀盘的齿面。

大轮与小轮要能啮合，两个齿面需要各自旋转一定角度达到齿面共轭点接触状态，完成齿面的接触传动。该旋转过程可用旋转矩阵表示，由此可知，关键是确定变换矩阵的模型。在本文的求解过程中，给出了变换矩阵的计算模型。

首先，大小齿轮在各自的坐标系下建立齿面模型，从刀盘到轮坯的转换矩阵可表示为：

其中，φ1＝mcφc1，mc为切削滚比。

为了后续的法矢计算，需将转换矩阵去掉最后一行和最后一列得到它的子矩阵：

从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵为：

式中，旋转角度旋转位移(△l)1＝((△lx)1,(△ly)1,(△lz)1)。

它对应的子矩阵为：

经过坐标变换之后，小轮在啮合坐标系下的齿面方程和法线矢量可表示为：

rm1(up,θp,φc1)＝(mt-f)1×m1p(φc1)·rp(up,θp)(8)

nm1(θp,φc1)＝(lt-f)1×l1p(φc1)·np(θp)(9)

根据上述两式可求解小轮齿面的第一和第二基本齐式。

第一基本齐式：

第二基本齐式：

式中，rθ1和rφ1分别为齿面的两条切线。

将求得的齿面的第一和第二基本齐式代入方程可解得齿面的主曲率rk1和rk2。

同理，可求得大轮在啮合坐标系下的齿面方程rm2和法线矢量nm2，以及大轮齿面的主曲率。

两齿面要想啮合传动，接触曲面必须处于连续切触状态，这就要求两齿面的位置矢量和法线在任一瞬时都重合，且满足啮合原理方程。

nm1(θp,φc1)＝nm2(θg,φc2)(15)

rm1(up,θp,φc1)＝rm2(ug,θg,φc2)(16)

从矢量方程(15)、(16)可以导出含有六个未知数up，θp，φc1，ug，θg，φc2的五个独立的矢量方程。要想求解未知参数，必须加上啮合方程作为补充。啮合方程可表示为：

n·v＝nm1(θp,φc1)·v12＝f(up,θp,φc1)＝0(17)

式中，v12是相对运动速度。

这里

综合以上六个非线性方程组成的方程组，可以求解上述六个未知参数。

根据上述方法，为了求解传动误差，需要给小轮一个转角，通过传动比得到大轮的理论转角，并将小轮转角分成多步施加，每次小轮转动一个微小角度之后，通过求解上述方程组得到未知参数，计算得到大轮对应的实际转角。经过多次反复迭代求解，得到小轮每个微小转角下，大轮跟随小轮转动的实际转角，大轮一系列实际转角减去大轮的理论转角就得到齿轮的传动误差。其大致的求解流程如下：

给定机床调整卡参数、齿坏设计参数、刀具参数等输入参数后，通过齿面参数化建模，就可以确定大小齿轮的啮合接触状态以及坐标转换矩阵，求解大、小齿轮精确的齿面初始点；根据点矢重合和法矢重合以及啮合原理等一系列齿面连续切触条件建立啮合接触非线性方程组，求解方程得到所需参数；然后改变小轮转角，重复建立方程并求解，如此循环迭代，直至求出所需转角之下的大轮实际转角为止，即可计算齿轮不加载的传动误差δφ1。

为了考虑载荷因素的影响，必须计算齿面由于受载变形引起的传动误差部分δ1^*。

根据齿轮所受的弯矩可计算齿面上所受的力:

式中，m是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点k到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；a是刀具齿形角；βk是齿面接触点k的螺旋角。由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点k到z轴的距离为：

接触点k位置的螺旋角可由公式求出：

式中，r0为刀盘半径；r′为接触点k处的锥距；β为名义螺旋角；r为中点锥距。r0为外锥距；b为齿宽。

根据上述求解的齿面上所受的力和齿面的主曲率可以计算齿面接触椭圆的长半轴长以及齿面变形：

长半轴：

齿面变形量：

其中，e1、e2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比；e^*是综合弹性模量。λ是方程的根。

rk2j1(λ)-rk1j2(λ)＝0(33)

至此，齿面变形w，接触椭圆长轴长a，齿面任意一点螺旋角βk，齿面任意一点到旋转轴线的距离rk等参数都已经求出。综合以上所求的参数，可以计算齿面在受载情况下的传动误差：

值得说明的是，整个求解过程可以利用数值计算辅助软件实现。综合以上所求得的不加载条件下的传动误差δφ1和受载情况下的传动误差δ1^*，我们可以得到弧齿锥齿轮在载荷作用下的传动误差：

二、关于双齿啮合下的传动误差计算

根据弧齿锥齿轮的重合度可知，齿轮啮合时存在双齿啮合区。双齿啮合时的传动误差也由不加载与加载两种情况组成，其中不加载传动误差的计算方法和原理同单齿啮合时的基本一致。其基本计算思路和流程如下：

先根据输入参数确定其中一个齿对0的啮合接触状态和坐标转换矩阵，求解初始点，并建立连续啮合接触方程组。

再将齿对0通过坐标变换绕自身轴线旋转一个齿的角度得到齿对1，重新根据输入参数确定其啮合接触状态和坐标变换矩阵，建立连续啮合接触方程组。

根据建立的方程组求解方程中所涉及的未知参数变量，如大轮实际转角，小轮实际转角等。

基于求得的大轮实际转角和小轮实际转角，利用公式(1)计算可得双齿啮合传动的不加载传动误差。

关于加载条件下的双齿啮合传动误差计算，由于两对齿共同承担总载荷，所以需要分别计算各对齿上的齿面接触力。其基本思路与单齿啮合情况下一致。先是各自求解齿对0和齿对1上的rk0，βk0，δ0^*，rk1，βk1，δ1^*等参数，然后利用上述参数建立误差相等和载荷平衡条件：

ste0(f0)＝ste1(f1)(36)

f0rk0cosαcosβ0+f1rk1cosαcosβ1＝m(37)

根据上式，求解tca方程组可以得到齿对0和齿对1上的齿面接触力f0和f1，回代公式28，33，34求解可得加载条件下双齿啮合的传动误差。

至此，单齿啮合和双齿啮合状态下的弧齿锥齿轮加载传动误差都可以计算得出，为齿轮设计与反调修正提供一种思路和参考方案。

三、下面以一对高速重载航空用弧齿锥齿轮为例，分别计算其在加载与不加载的单齿啮合与双齿啮合条件下的传动误差，得到了其传动误差曲线。

表1给出了端面铣削弧齿锥齿轮的齿面设计基本参数；表2给出了弧齿锥齿轮大轮机床调整卡加工参数；表3给出了弧齿锥齿轮小轮机床调整卡加工参数。

表1弧齿锥齿轮齿面设计基本参数

表2弧齿锥齿轮大轮调整卡参数

表3弧齿锥齿轮小轮调整卡参数

在本发明提出的弧齿锥齿轮传动误差的解析计算中，分别考虑了单齿啮合状态和双齿啮合状态时传动误差的计算。通过计算得到了弧齿锥齿轮的传动误差曲线以及齿面啮合接触印痕等。图3给出了单齿啮合状态下的弧齿锥齿轮不加载传动误差曲线；图4给出了单齿啮合状态下的大轮齿面加载啮合点示意图。图5给出了单齿啮合状态下的小轮齿面加载接触印痕。图6给出了单齿啮合状态下的加载传动误差曲线；图7给出了双齿啮合状态下的弧齿锥齿轮加载传动误差曲线。由计算结果可知，单齿啮合状态和双齿啮合状态下传动误差的整体变化趋势一样，都是呈现周期性变化。加载状态与不加载状态下的传动误差变化规律也是一样，不同的是，加载状态下的传动误差整体幅值要大于不加载状态下的幅值，且双齿啮合情况下的传动误差的大小要比单齿啮合情况下要小，原因在于双齿啮合时是由两个齿面同时接触共同分担齿轮所受的载荷，导致每个齿面所受的力小，齿面变形小，引起的传动误差比单齿啮合时要小。这也证实了，传动误差的大小可以直接反映齿面接触性能的好坏。因此，本发明关于传动误差的计算为高精度弧齿锥齿轮传动提供了有意义的参考。