一种基于非局部低秩和全变分的图像压缩感知重构算法的制作方法

本发明属于信号处理技术领域，具体为一种基于非局部低秩和全变分的图像压缩感知重构算法。

背景技术：

压缩感知(compressedsensing,cs)理论是近年来提出的一种新的采样技术，它能够以远低于nyquist采样定理的采样率进行编码测量，并通过算法精确或近似地重构原始信号，成功实现了信号的同时采样与压缩，解决了nyquist采样定理存在的问题。其理论框架主要包括三部分：稀疏表示、非自适应线性测量和图像重构。信号的精确重构是cs理论研究的核心问题，而cs理论指出信号是可压缩的或在某域中是稀疏的，这是cs的先验条件，所以信号的稀疏先验信息对于信号的重构具有重要作用。因此，对于具有显著结构化特征的图像信号而言，如何充分挖掘其先验信息并构造有效的约束条件成为图像重构的关键。目前，利用图像先验知识来重构图像的正则化方法大致分为四类：基于稀疏表示、基于非局部均值(non-localmeans,nlm)、基于近似低秩矩阵和基于图像梯度的正则化方法。

第一类算法的思想是选择一个合适的稀疏基来对图像进行稀疏表示，并求解特定的优化问题来实现对原始图像的高精度重构。常用的稀疏表示方法有正交基法和冗余字典法，正交基法主要考虑图像在某变换域中的稀疏性，如离散余弦变换域和离散小波变换域等，但图像作为复杂的二维信号，往往包含平滑、边缘和纹理等不同的形态特征，单一的基函数很难同时对图像的多种结构特征进行自适应的最优稀疏表示。为了解决这一问题，可以运用过完备字典来表示图像信号，该方法通过找到一个优化字典来最大化信号的稀疏性，但获得可有效表示图像各类结构特征的冗余字典，往往需要付出较大的计算成本。

后三类算法主要考虑图像在空间域的稀疏性。基于nlm和近似低秩矩阵的算法均利用图像的非局部自相似性(non-localself-similarity,nss)来重构图像，nss表现了全局图像中高阶结构(如纹理、结构)的重复性，这类算法充分利用了图像的本身属性，能很好地保护图像结构和纹理细节。buades等人首次提出nlm算法，该算法利用周围像素之间的相似程度来进行降噪任务的加权滤波，达到了很好的去噪效果，并有效地保护了图像的边缘和细节信息。dongw.s.等人进一步挖掘图像的非局部结构或组稀疏特性，提出了一种基于非局部低秩的cs算法(nlr-cs)，把图像重构问题转换为求解图像中各相似块矩阵的低秩问题，其优势在于能去除数据中的冗余信息，并移除图像中的伪影。虽然基于图像nss特性的算法很大程度上提高了图像重构性能，但由于图像中不可避免地存在不具有重复性的结构(如角点)和被噪声破坏的图像数据，所以这类算法也会模糊图像纹理细节，故而仍有改进的空间。基于图像梯度的重构算法中最常用的是全变分(totalvariation,tv)模型，该模型假设图像是局部光滑的，能有效恢复图像光滑区域的信息，并保护图像边缘。但标准的tv模型对所有的梯度给予相同的惩罚，这不利于保护图像边缘信息。针对该问题，candès等人提出了一种自适应加权策略，即对梯度大的像素点设置较小的惩罚，对梯度小的像素点设置较大的惩罚，显然该方法比标准的tv模型能更好地保护图像边缘。但是现在提出的加权策略都普遍存在以下问题：权重系数中同时包含了图像的低频信息和高频信息，且都是利用图像一阶梯度来构造权重系数，这种加权方式会向重构图像引入错误的纹理以及边缘状伪影，而且易受噪声影响，使算法抗噪能力弱。

技术实现要素：

针对现有技术的不足，本发明提出一种基于非局部低秩和全变分的压缩感知重构算法(nlr-wtv)，它使用nss先验来消除传统算法中全局信息丢失的影响，保护图像的纹理等结构信息；利用tv先验来抑制噪声，并减小或移除低秩矩阵恢复过程产生的虚假信息，通过调整这两项正则项的比重来恢复图像。为了提高重构图像的质量，本发明对传统的tv模型进行了改进，即在重构前先将图像分解成低频分量和高频分量，并只对高频分量的梯度设置权重，同时，利用一种差分曲率边缘检测算子来构造tv的加权系数，以提高算法的鲁棒性。

本发明的技术方案及流程顺序如下：

(1)输入原图像，选择部分傅里叶矩阵作为观测矩阵φ，经过二维cs观测后得到一个压缩感知观测值y，将其傅里叶反变换得到预重构图像u，算法迭代前将各拉格朗日乘子设为全零矩阵，并初始化各正则化参数；

(2)全变分问题：为了精确重构图像，本发明先对图像u进行预处理，将图像分解为高频分量ur和低频分量ul。再分别对ur和ul进行梯度求解，且仅对ur设置由本发明设计的权重系数。最后将全变分问题转换为最小化优化问题，并利用软阈值函数进行高频分量和低频分量的梯度求解；

(3)非局部低秩问题：先根据块匹配法找到图像u中各相似像素点的位置，再由位置矩阵提取图像中相应的像素得到各非局部相似图像块组，然后将其聚合成矩阵，该矩阵具有低秩属性，称为非局部低秩矩阵，最后将非局部低秩问题转换为最小化优化问题，并利用光滑非凸函数logdet(·)来近似求解低秩矩阵；

(4)结合非局部低秩与全变分正则项约束，得到重构能量函数，并利用交替方向乘子法来求解各子问题；

(5)利用matlab进行实验仿真，将实验结果可视化，对比分析本发明算法的有效性。

本发明所提算法与目前的图像压缩感知重构算法相比，1)全变分正则项对图像的高低频分量分开处理，且仅对高频分量的梯度进行加权处理，使得算法具有更强的鲁棒性；2)同时考虑图像的非局部相似性和局部光滑性，增强了算法的适应性和重构性能。

附图说明

图1为本发明实施例中无噪观测下barbara仿真效果对比图

图2为本发明实施例中无噪观测下parrots仿真效果对比图

图3为本发明实施例中有噪观测下仿真效果对比图

(a)monarch仿真图

(b)boats仿真图

图4为本发明的摘要附图

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施进行详细说明。

dong等人提出的nlr-cs算法结合了图像的nss及相似图像块的低秩属性，具有重构效果好，效率高等特点。但由于nlr-cs算法对图像的划分是重叠的，即同一像素可以被划分到多个相似块组中。因此该算法在重构时需要对各低秩矩阵li的解进行调整聚合，即对所有的li^(k+1)的解进行平均，这会模糊图像的边缘和结构信息，尤其是在低采样率的情况下会造成重构图像过于平滑，而且该算法只利用了图像的单一性质，适应性不强。所以，本发明引入全变分正则项约束来保护图像的边缘等细节信息，并将其与非局部低秩约束相结合来提高算法的适应性。

一、全变分模型

传统的tv采取的加权策略是对所有梯度设置权重惩罚，没有考虑图像信号的结构属性，这会向重构图像引入错误的纹理以及边缘状伪影。为了解决该问题，需要先对图像进行预处理，即将图像分为两部分：低频分量ul和高频分量ur，并只对ur赋予权重，此时新的加权tv定义为：

式(1)涉及到光滑分量ul、剩余分量ur和权重系数wi的定义问题，下面将分别对其进行讨论。

(1)光滑分量ul和剩余分量ur

为了提取图像的低频分量ul，可以先求解以下反卷积问题：

其中，zl是图像u的低频特征映射，fl是一个大小为3×3的低通滤波器，且所有元素值为1/9，gd是垂直方向和水平方向的梯度算子。式(4)可以用快速傅里叶变换来求解，得到：

f是二维离散傅里叶变换，*表示共轭算子，是逐元素相乘符号，κ是自定义参数，表示逐元素相除。得到zl后，图像的低频分量ul可表示为：

因此，剩余分量可表示为：

ur＝u-ul(5)

(2)权重系数wi

传统的权重系数是根据梯度自适应地给与图像不同程度的惩罚，当梯度较大时，权重小，这样就可以保护边缘等细节，但由于在图像处理过程中难免会引入噪声，而噪声区域的梯度也比较大，相应的权重小，即对噪声的惩罚小，故而这种加权方式的抗噪能力弱。针对该问题，提出了一种新的加权策略。

相关文献指出，二阶导数能够有效地区分边缘和渐变区域(即光滑图案、纹理图案或噪声)，并提出了一种差分曲率的边缘检测算子c，其定义为：

其中，ex和ey分别表示水平方向和垂直方向的一阶梯度，exx和exy为像素的二阶梯度。因此，利用边缘检测算子c将像素i处的权重系数定义为：

式(7)中的权重既能提高tv模型的抗噪能力，又能有效地保护图像中的边缘信息。注意，由于本文算法只对图像的高频部分设置权重，故而此处边缘检测算子ci是在ur中计算的，而不是整个图像u中。

二、非局部低秩模型

自然图像中存在很多重复的相似结构，其中的任意一个样本块，都能在图像中找到与其相似的相似块，该性质称为图像的非局部相似性。构造非局部低秩矩阵的大致过程如下：假设在像素点i位置的样本块大小为记为ui∈rⁿ，ui在局部窗口内查找与其相似的m个图像块：

gi＝{ij|d(ui,ui,j)＜t}(8)

其中，gi表示样本块i的所有相似块在图像中的位置，d(·)表示欧几里得距离，t表示相似度阈值，ui,j表示样本块i的第j个相似块。

找到ui的各个相似块后，再将各相似块按相似度从高到低的顺序依次按列展开，并聚合成一个二维矩阵pi＝[ui,0ui,1…ui,m-1]，pi∈r^n×m。由于提取的图像相似块一维向量之间有相似的结构信息，因此矩阵pi具有低秩属性。实际上，图像中含有噪声，即pi＝li+ni，li和ni分别表示低秩矩阵和高斯噪声矩阵，所以基于低秩矩阵的图像块恢复可以用如下优化问题来解决：

其中，表示加性高斯噪声的方差。将其转换为无约束形式为：

其中，pi＝riu＝[ri,0uri,1u…ri,m-1u]表示与样本块ui相似的相似图像块组成的矩阵。

三、联合模型

将提出的全变分正则项约束与非局部低秩正则项约束结合，得到以下新的能量函数：

其中，λ1和λ2为正则化参数，w＝[ω1ω2…n]，第一项为保真项，第二项和第三项分别为图像的非局部低秩先验和局部梯度稀疏先验。式(11)包含了低秩矩阵最小化以及不同分量的梯度优化问题，直接求解非常困难，因此首先对上述问题进行变量替换，得到下式：

与问题(12)对应的增广拉格朗日函数为：

其中，x、z1和z2为引入的辅助变量，α、μ1和μ2为超参数，a、b和c为拉格朗日乘子。式(13)的鞍点即为原始问题(11)的最优解，这里利用以下迭代公式来对问题(11)进行求解。

其中k为迭代次数。最后，利用admm将原问题分解成四个子问题进行求解。

a.li子问题的求解

固定u、x、z1和z2，li的优化问题转化为：

由于矩阵的低秩求解是一个np-hard问题，不能直接求解，dong等人使用光滑非凸函数l(li,ε)来近似rank(li)，并指出logdet(·)的低秩近似效果要优于核范数，l(li,ε)定义为：

l(li,ε)＝logdet((lili^t)^1/2+εi)(17)

式中ε为正常数，i表示单位矩阵。由相关文献可知，li可以通过下式迭代求得：

其中，表示式(10)中riu的奇异值分解。σj^(k)表示li^(k)的第j个奇异值。

b.x子问题的求解

固定u、li、z1和z2，x的优化问题转化为：

式(19)有闭式解，对其进行求导，并令导数等于零可得：

其中，是对角矩阵，对角线上的每个元素的值表示图像块覆盖像素点的个数，表示图像块的平均结果。

c.z1和z2子问题的求解

固定u、li、x和z2，z1的优化问题转化为：

式(21)可以用软阈值算子来求解，得到：

式(22)中shrink(x,p)＝sign(x)·max(|x|-p,0)，i为单位矩阵。

同理可得：

d.u子问题的求解

固定x、z1、z2和li，并根据式(5)可知，u的优化问题转化为：

式(24)为一个二次优化问题，有封闭解。对其进行求导，并令导数等于零可得：

φ^t(φu^(k+1)-y)+α(u^(k+1)-x^(k)-a^(k))+μ2d^t(du^(k+1)-z1^(k)-z2^(k)-c^(k))＝0(25)

进而获得u^(k+1)的解，即：

u^(k+1)＝(φ^tφ+αi+μ2d^t)^-1(φ^ty+α(x^(k)+a^(k))+μ2d^t(z1^(k)+z2^(k)+c^(k)))(26)

式(26)包含了矩阵的求逆运算，计算复杂度高，尤其是对于图像数据来说，矩阵的维度较大，

直接求解需要耗费大量的内存和时间，因此采用共轭梯度法对其进行求解。

获得以上各个子问题之后，利用式(15)进行参数更新，并继续下一次迭代，直到满足迭代终止条件为止。最后一次迭代输出的u^(k+1)就是原图像的重构图像

为了说明该发明的有效性，我们通过实验仿真进行了验证。为了评估新方案中所提算法的性能，我们输入barbara、parrots、monarch和boats图像进行仿真，分辨率均为256×256。为了评估提出算法的鲁棒性，本发明同时测试了算法在测量值有噪和无噪情况下的重建性能。所选择的用于性能比较的算法为：tval3、bm3d-cs、tvnlr和nlr-cs，它们都是当前主流的压缩感知重构算法。在所有实验中，均采用相同的采样方式，并用psnr值对重构图像的质量进行客观评估。

在进行压缩感知图像恢复性能比较的过程中，算法的参数设置如下：拉格朗日乘子a、b和c均初始化为全零矩阵；在求解li子问题时，经验性地将样本块大小设置为6×6，相似块个数为45个，为了减少计算量，将两个相邻样本块之间的间隔设置为5个像素，即水平和垂直方向均是每隔5个像素提取一个样本块，由于5<6，则样本块的提取是重叠的，这样可避免重构出现块效应；在进行相似块搜索时，根据相似块大多分布在样本块的邻近位置，将搜索窗口设置为以当前样本块为中心的20×20的图像区域。所提算法nlr-wtv和比较的nlr-cs算法采用相同的相似块数量和相同大小的搜索窗口，且总的迭代次数均设置为270次。

图1和图2分别为图像barbara和parrots的仿真结果对比图。从图中可以看出，本发明所提算法的psnr值最大，重构效果最好，验证了所提算法的有效性。为了测试提出算法对噪声的鲁棒性，我们在观测值中加入不同量级的噪声进行测试，并比较各种算法在含噪观测情况下的重构质量。以采样率20％为例，图3-a和图3-b分别给出图像monarch和boats在测量值受不同量级高斯白噪声影响下的重构性能曲线，横轴为测量值的信噪比，纵轴为重构图像的峰值信噪比psnr。从图3中可以看出，在受不同程度噪声干扰的情况下，所提算法的psnr值均比比较算法nlr-cs高，这验证了本文算法对噪声具有更好的鲁棒性。