旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学建模方法与流程

本发明属于机械动力学技术领域，尤其涉及一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学建模方法。

背景技术：

目前，现有的旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片的建模方法主要包括以下两种方法：

1、基于商用有限元分析软件

将cad三维模型导入商用有限元分析软件或者直接在有限元软件中建立整个组件的三维模型，选择合适的单元及合适的材料参数，对三维模型进行网格划分，建立有限元模型，设置合适的约束并选择合适的求解方法对旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学特性进行分析。但利用现有的商用有限元分析软件对旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统进行动力学特性分析时，建模过程复杂且繁重，并且不同的建模方式和单元类型得到的动力学特性也会有较大差距，同时由于有限元软件在求解的过程中不能考虑旋转圆柱壳的变形效应，所以在高转速的时候会产生较大误差。

2、基于板壳理论的建模方法

目前基于我掌握的知识，市面上大多数都为旋转圆柱壳与等截面盘的耦合系统，且鼓筒的直径与旋转圆柱壳的直径相同，板基于薄板理论，旋转圆柱壳基于love壳理论、donnell壳理论等，整个系统基于能量法进行动力学建模，无法考虑盘为变截面盘且旋转圆柱壳的半径小于盘半径时的情况，不符合旋转圆柱壳与盘耦合系统的实际应用结构。

目前基于板壳振动理论，对于旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片的动力学建模的技术处于空白状态。

技术实现要素：

(一)要解决的技术问题

针对现有存在的技术问题，本发明提供一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学建模方法，能够达到在保证整个耦合系统振动模态的前提下，考虑整个系统在旋转过程中的离心刚化、旋转软化、环向初应力和科氏力影响，再采用galerkin截断和hamilton变分的方法得到整个系统的动力学模型的运动微分方程。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤1：构建旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模所需的三维坐标系；

所述三维坐标系包括：整个耦合系统的固定坐标系oxyz、变截面盘的坐标系ox^dy^dz^d、整个系统在运动过程中的动坐标系ox^ry^rz^r、预扭叶片的局部坐标系ox^by^bz^b、轮盘与鼓筒相交圆的几何中心坐标系o1x1y1z1、鼓筒的随体坐标系o2x2y2z2和鼓筒中曲面的曲线坐标系oxθz；

步骤2：对旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的结构参数和材料参数进行测定；

测定的参数包括：预扭叶片长度l、预扭叶片宽度b、预扭叶片厚度h、预扭叶片安装角β、预扭叶片弹性模量e、泊松比μ、预扭叶片密度ρ、变截面盘内径rs、第一段半径rd、第二段半径rd、外圈半径rd、盘的第一段厚度hd1、第二段厚度hd2、第三段厚度hd3、盘的弹性模量ed、盘的密度ρd、旋转圆柱壳长度ls、旋转圆柱壳中曲面半径r、旋转圆柱壳的弹性模量es、旋转圆柱壳密度ρs和旋转圆柱壳泊松比υs；

x、y、z三个方向的平动弹簧和扭簧的刚度分别为kc,u、kc,v、kc,w和

步骤3：设定变截面盘上均匀分布着nb个相同的预扭叶片；

当第i个预扭叶片产生变形后，通过预扭叶片i上任意一点q在整体坐标系oxyz中的位移向量通过一系列坐标转换后，依据动能计算公式得到预扭叶片以及预扭叶片与变截面盘和旋转圆柱壳的动能；

步骤4：基于板壳振动理论，考虑预扭叶片在旋转过程中的离心刚化效应影响，得出旋转预扭叶片的势能；

步骤5：变截面盘能够满足弹性薄板横向振动小挠度理论，利用哈密顿原理推导出其横向弹性振动的微分方程，得到变截面盘的动能和势能；

步骤6：基于sanders壳理论，考虑旋转圆柱壳的科氏力，离心力以及环向初应力的影响，得到旋转圆柱壳的动能和势能；

步骤7：变截面盘与鼓筒之间采用弹簧和扭簧进行模拟螺栓连接，获取起连接作用的弹簧和扭簧在整个旋转鼓筒-变截面盘-预扭叶片耦合系统中的动能；

步骤8：根据hamilton变分原理

其中，u＝ub+us,ε+ud+uθ，t＝tb+ts1+td；

wnon为外力做的功，并以δus、δvs、δws、δu、δv、δw、δφ和δwd作为独立变量进行变分得到旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学方程；

步骤9：采用galerkin方法，引入正则坐标对步骤8中的旋转圆柱壳中面上任意一点沿着纵向方向的位移us、切向方向的位移vs、径向方向的位移ws、悬臂梁的径向位移u、横向位移v、摆动方向位移w、弯曲方向转角摆动方向转角φ以及变截面盘的横向位移wd进行离散化处理；

获得旋转鼓筒-变截面盘-预扭叶片耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵；

步骤10：变截面盘和预扭叶片引入无量纲项，用以保证所述变截面盘、所述预扭叶片与旋转圆柱壳耦合时确保一致；

无量纲化系数η＝x/li，对应预扭叶片时，li为预扭叶片的长度l；

对应旋转圆柱壳时，li为旋转圆柱壳的长度ls；

变截面盘的无量纲化系数为ξ＝(r-rs)/(rd-rs)；

和分别为预扭叶片进行无量纲化后的振型函数；

和分别为变截面盘无量纲化后的振型函数；

步骤11：引入瑞利阻尼，得到旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的运动微分方程：

式中，m、g和d分别为整个耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和阻尼矩阵；

k^e、kⁱ、k^ω、k^σ和kc分别为整个耦合系统的结构刚度矩阵、加速度导致的刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、旋转圆柱壳与盘耦合弹簧产生的刚度矩阵；

q和f分别为预扭叶片正则坐标向量和外激振力向量；

瑞利阻尼d是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合获得；

具体如下式：

d＝αm+βk；

其中，α和β由下式求得：

式中，fn1、fn2分别为弹簧-变截面盘-预扭叶片耦合系统的第一阶和第二阶固有频率(hz)，ξ1和ξ2为阻尼比；

q是和时间有关的广义坐标组成的列向量，表达形式如下：

优选地，步骤3中的动能表达式为：

式中，rq为预扭叶片上任意一点q在整体坐标系下的位移向量；

a为预扭叶片的截面面积；

iz为预扭叶片截面绕y轴的截面惯性矩；

iy为预扭叶片截面绕z轴的截面惯性矩；

θ为轮盘运动的角位移；

符号(·)表示对时间的1阶偏导，rd是盘的外径，us、vs、ws是旋转鼓筒中曲面在整体坐标系中三个方向的位移，x、y和z分别为预扭叶片局部坐标系沿着预扭叶片长度方向、厚度方向和摆动方向，和φ分别为预扭叶片弯曲方向和摆动方向的转角，u、v和w分别为预扭叶片在局部坐标系中径向、横向以及摆动方向的位移，wd为盘的横向位移。

优选地，步骤4中所述的旋转预扭叶片的应变势能表达式为：

式中，e、g、κ、a和l分别表示预扭叶片的杨氏模量、剪切模量、剪切系数、横截面积、预扭叶片长度和在旋转过程中预扭叶片所受到的离心力。

优选地，步骤5中所述的变截面盘的动能表达式为：

变截面盘的势能表达式为：

式中，wd1、wd2和wd3分别为变截面盘第一段、第二段和第三段的横向振型函数；

调和算子和抗弯刚度的表达式如下：

优选地，步骤6中所述的旋转圆柱壳所产生的动能表达式为：

旋转圆柱壳考虑拉伸和弯曲的应变能表达式如下：

在离心力作用下产生的初始环向应力表达式：

式中，nθ＝ρshsω²r²为环向初应力；

ρs为鼓筒的密度；

hs为鼓筒的厚度；

r为鼓筒的中面半径；

υs为鼓筒的泊松比；

ls为鼓筒的长度；

es为鼓筒的刚度。

优选地，步骤7中所述变截面盘与旋转圆柱壳耦合处弹簧所产生的势能表达式为：

优选地，步骤8中所述的旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学方程表达式如下：

优选地，步骤10中所述的具体方法如下：

对预扭叶片进行离散，引入正则坐标ui(t)、vi(t)、wi(t)、ψi(t)和φi(t)，得到预扭叶片的径向振动、横向振动、摆动、弯曲摆角和摆动转角的位移如下：

式中，和分别表示为对应预扭叶片径向、横向、摆动以及预扭叶片弯曲方向和摆动方向的转角的第i阶的振型函数，n为模态截断数。

优选地，步骤11之后，所述方法还包括：

设置外激励向量为零，确定旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统在不同转速下的固有频率；

根据获得的固有频率用以验证运动微分方程的准确性。

优选地，和的表达式如下式：

式中：

βail为预扭叶片径向方向特征根值，βfil为预扭叶片横向，βsil为摆动方向的特征根值；

βail的前6阶取值分别为：1.571，4.712，7.854，11，14.14，17.28；βfil的前6阶取值分别为：1.875，4.686，7.819，10.89，13.9，16.81；βsil的前6阶取值分别为：1.874，4.669，7.735，10.63，13.27，15.8；

采用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和预扭叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移表示为：

wi^c(r,θ)＝ri(r)cos(iθ)(23)

wi^s(r,θ)＝ri(r)cos(iθ)(24)

式中，wi^c和wi^s为盘在两个正交平面假设模态组成的列向量，和分别为弹性盘关于时间的广义坐标，ri(r)为根据变截面梁推导出的盘的振型函数。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：本发明提供的一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的动力学建模方法，节省了旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统实验所需要的成本费用；本发明只需修改圆柱壳、变截面盘和叶片的结构尺寸和材料参数后即可得到不同旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的动力学模型，操作简便；本发明考虑了真实叶片中的安装角和扭角的影响，柔性盘的变截面几何构型更接近真实航空发动机中的轮盘；本发明考虑了旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统在旋转过程中离心刚化、旋转软化、环向初应力以及科氏力的影响，其动力学特性更能反应旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的真实工作状态；与借助传统的商用有限元软件来分析旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片的动力学特性相比，本发明具有更高的计算效率和计算精度。此外，此方法相比于传统的商用有限元软件自由度更少。相比于现在存在的旋转圆柱壳-盘耦合系统，本发明建立的模型有以下优势：

(1)、本发明建立的旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统只要将变截面盘退化成等截面盘即可以模拟旋转圆柱壳-等截面盘-叶片系统，即旋转圆柱壳-变截面盘-叶片耦合系统包含现有的旋转圆柱壳-等截面盘-叶片系统；

(2)、旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统可以通过改变变截面盘与圆柱壳之间的连接弹簧的刚度，来模拟不同边界条件下的旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统；

(3)、在航空发动机中的圆柱壳-盘-叶片耦合系统中，盘多为两边厚中间薄的变截面圆盘，鼓筒的直径也通常小于圆盘的直径，符合本文推导旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统建模，因此本文的模型更加符合实际，解决了之前旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统与实际生产应用中模型相差较大的问题，为实际应用中设计旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统提供了理论的支持，并且可以通过整个耦合系统的动频对比，避开系统的共振区间，减小振动，合理选择工作转速，使系统工作更加稳定。

同时，还能进行整个系统的激励响应分析，从而提升系统性能和稳定性。

附图说明

图1为本发明一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模方法的方法流程图；

图2为本发明一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模方法实施例中的圆柱壳-变截面盘-预扭叶片的结构示意图；

图3为本发明一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模方法实施例中旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统行波频率随转速的变化曲线图；

图4为本发明一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模方法实施例中旋转圆柱壳-变截面盘耦合系统行波频率随转速的变化曲线与采用有限元法得到结果的对比图。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

如图1和2所示，本发明实施例提供一种旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤1：构建旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统动力学建模所需的三维坐标系；

所述三维坐标系包括：整个耦合系统的固定坐标系oxyz、变截面盘的坐标系ox^dy^dz^d、整个系统在运动过程中的动坐标系ox^ry^rz^r、预扭叶片的局部坐标系ox^by^bz^b、轮盘与鼓筒相交圆的几何中心坐标系o1x1y1z1、鼓筒的随体坐标系o2x2y2z2和鼓筒中曲面的曲线坐标系oxθz；

步骤2：获取旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的结构参数和材料参数，本实施例中假定耦合系统是各向同性的线弹性材料，本构关系满足hooke定律，对于变截面盘认为变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一条直线，并与中面保持垂直，无中面方向内的变形，圆柱壳均为薄壁的圆柱壳，旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的相关系数如表1所示：

表1旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统参数

考虑叶片在变截面盘上的安装角、弹簧的初始位置、变截面盘的平动以及盘的横向振动，确定叶片产生变形后任意一点q在整体坐标系下的位移向量：

式中，β(x)是扭形叶片上任意一点绕x轴转动的角度，β(x)＝β0+γ(x)，β0为叶片的安装角，θ为圆盘和鼓筒在旋转过程中的角位移,φ为鼓筒的周向转动角，γ(x)为叶片的扭角。

步骤3：设定变截面盘上均匀分布着nb个相同的预扭叶片；

当第i个预扭叶片产生变形后，通过预扭叶片i上任意一点q在整体坐标系oxyz中的位移向量通过一系列坐标转换后，依据动能计算公式得到预扭叶片以及预扭叶片与盘和圆柱壳耦合的动能表达式为：

步骤4：基于板壳振动理论，考虑预扭叶片在旋转过程中的离心刚化效应影响，得出旋转预扭叶片的势能；

式中，e、g、κ、a和l分别表示叶片的杨氏模量、剪切模量、剪切系数、横截面积和叶片长度。

步骤5：变截面盘能够满足弹性薄板横向振动小挠度理论，利用哈密顿原理推导出其横向弹性振动的微分方程，得到变截面盘的动能和势能；

对于变截面盘和圆柱壳之间的弹簧来说，动能为uc：

步骤6：基于sanders壳理论，考虑旋转圆柱壳的科氏力，离心力以及环向初应力的影响，得到旋转圆柱壳的动能和势能；

旋转变截面圆盘的动能：

旋转变截面圆盘的势能：

式中，wd1、wd2和wd3分别为变截面盘第一、二和三段的横向振型函数。

步骤7：变截面盘与鼓筒之间采用弹簧和扭簧进行模拟螺栓连接，获取起连接作用的弹簧和扭簧在整个旋转鼓筒-变截面盘-预扭叶片耦合系统中的动能；

步骤8：根据hamilton变分原理其中u＝ub+us,ε+ud+uθ，t＝tb+ts1+td，wnon为外力做的功，并以δus、δvs、δws、δu、δv、δw、δφ和δwd作为独立变量进行变分得到旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片系统的动力学方程。

步骤9：采用galerkin方法，引入正则坐标对步骤8中的旋转圆柱壳中面上任意一点沿着纵向方向的位移us、切向方向的位移vs和径向方向的位移ws、悬臂梁的径向位移u，横向位移v、摆动方向位移w、弯曲方向转角摆动方向转角φ以及变截面盘的横向位移wd进行离散化处理，获得旋转鼓筒-变截面盘-预扭叶片耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵。具体如下：

对叶片进行离散，引入正则坐标ui(t)、vi(t)、wi(t)、ψi(t)和φi(t)，得到叶片的径向振动、横向振动、摆动、弯曲摆角和摆动转角的位移如下：

式中，和分别表示为对应叶片径向、横向、摆动以及叶片弯曲方向和摆动方向的转角的第i阶的振型函数，n为模态截断数。

具体表达式为：

式中：

βail为叶片径向方向特征根值，βfil为叶片横向，βsil为摆动方向的特征根值。βail的前6阶取值分别为：1.571，4.712，7.854，11，14.14，17.28；βfil的前6阶取值分别为：1.875，4.686，7.819，10.89，13.9，16.81；βsil的前6阶取值分别为：1.874，4.669，7.735，10.63，13.27，15.8。

利用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移可以表示为：

wi^c(r,θ)＝ri(r)cos(iθ)(34)

wi^s(r,θ)＝ri(r)cos(iθ)(35)

式中，wi^c和wi^s为盘在两个正交平面假设模态组成的列向量，和分别为弹性盘关于时间的广义坐标，ri(r)是根据变截面梁推导出的盘的振型函数。

步骤10：对于变截面盘和预扭叶片引入无量纲项，保证与圆柱壳耦合时的一致性和正确性。

无量纲化系数η＝x/li，对于叶片来说，li为叶片的长度l；对于圆柱壳来说，li为ls为圆柱壳的长度；变截面盘的无量纲化系数为ξ＝(r-rs)/(rd-rs)。因此，和分别为叶片进行无量纲化后的振型函数；和分别为变截面盘无量纲化后的振型函数。

步骤11：引入瑞利阻尼，得到旋转弹簧-变截面盘-预扭叶片耦合系统的运动微分方程：

式中，m、g和d分别为整个耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和阻尼矩阵，k^e、kⁱ、k^ω、k^σ和kc分别为整个耦合系统的结构刚度矩阵、加速度导致的刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵和圆柱壳与盘耦合弹簧产生的刚度矩阵。q和f分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量。m、g、k^e、kⁱ、k^ω、k^σ和kc的具体表达式分别为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的质量矩阵的表达式：

质量矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的科氏力矩阵的表达式：

科氏力矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的结构刚度矩阵的表达式：

结构刚度矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统加速度导致的刚度矩阵的表达式：

加速度导致的刚度矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的离心刚化矩阵的表达式：

离心刚化矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的旋转软化刚度矩阵的表达式：

旋转软化刚度矩阵矩阵中的各个元素表达式为：

旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统的耦合弹簧的刚度矩阵的表达式：

耦合刚度矩阵矩阵中的各个元素表达式为：

瑞利阻尼d是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，d＝αm+βk，其中α和β可由下式求得：

式中，fn1、fn2分别为叶片的第一阶和第二阶固有频率(hz)，ξ1和ξ2为阻尼比。

计算特征方程系数行列式的特征值λ，取其虚部的绝对值除以2π，并进行从小到大排序，获得一组固有频率ωk，其中，k表示旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统模态的第k阶，k＝1,2,…。

通过有限元模型验证本发明的有效性，表2和表3分别列出静止状态下的旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统固有频率和改变结构参数后的固有频率与有限元软件得到的结果的对比，以及误差大小。

图3表示了使用本文方法所画旋转圆柱壳-变截面盘-预扭叶片耦合系统行波频率随转速的变化曲线。

图4表示了用本文方法所画旋转圆柱壳-变截面盘耦合系统行波频率随转速的变化曲线与采用有限元法得到结果的对比图。

表2旋转鼓筒-变截面盘-叶片耦合系统的固有频率对比

表3不同长径比对旋转鼓筒-变截面盘-叶片耦合系统固有频率的影响

通过本实施例的结果可以获得以下结论：

(1)旋转圆柱壳-变截面盘耦合系统中变截面盘固有频率随转速的增加而增加，说明对于旋转圆柱壳-变截面盘耦合来说也是离心刚化效应明显于旋转软化效应；

(2)随着鼓筒长径比的增加，鼓筒自身的固有频率减小，变截面盘的固有频率有着小幅度的减小，叶片的固有频率几乎没有改变，说明改变鼓筒的结构参数对耦合系统中的叶片几乎没有影响；

(3)解析模型与ansys模型的前几阶频率吻合较好，从而验证了本文所建立的动力学模型的可靠性和有效性。

以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。