非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法与流程

本发明涉及弹簧的应用技术领域，具体涉及一种非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法。

背景技术：

弹簧是利用材料的弹性和结构特点，在工作时产生变形，把机械功或动能转变为变形能，或把变形能转变为机械功或动能的一种机械零部件。它的功能包括缓和冲击或振动，如破碎机的支承弹簧或车辆的悬挂弹簧等；机械的储能，如钟表、仪器或自动控制机构上的原动弹簧；控制运动或作用力，如气门、离合器、控制阀、制动器和各种调节器上的弹簧；测力装置，如弹簧秤和动力计上的弹簧；形成振动状态，如振动筛中的支承弹簧等。

按照结构形状，弹簧可以分为圆柱螺旋弹簧、非圆柱螺旋弹簧和其它类型弹簧。其它类型弹簧中常用的有扭杆弹簧、碟形弹簧、环形弹簧、片弹簧、板弹簧、平面蜗卷弹簧、蜗卷螺旋弹簧等。按照特性曲线(作用于弹簧上的载荷与弹簧产生的位移之间的关系曲线)的不同，也可分为线性和非线性弹簧。

为了提高弹簧的承载能力，满足多种安装空间的要求，近年来工程实际中大量采用异形螺旋弹簧：非圆截面(正方形、矩形、椭圆形和卵形)螺旋弹簧、非圆柱(锥形、桶形和双曲形)螺旋弹簧或各向异性材料构成的螺旋弹簧。异形弹簧的螺旋形状、截面形状和材料属性都是可变的，其形状复杂，样式多变，种类繁多，使得弹簧在能够适应更多工作场合的同时，但也增加了设计的自由度和难度。

在机械设计中，需要考虑设备的振动物性，因此需要获知弹簧的固有振动频率，以便于降低振动对设备稳定性、结构强度的影响。

1944年，myklestad用初参数法研究了飞机机翼和梁的横向振动问题，1945年，prohl用初参数法计算了柔性转子的临界转速。随着电子计算机的发展，以及矩阵分析方法在力学中的大量应用，初参数法逐渐发展为传递矩阵法。由于myklestad和prohl最先应用这种方法解决一维结构的振动问题，所以人们习惯把它称之为myklestad-prohl传递矩阵法。1978年horner和pilkey提出riccati传递矩阵法，把myklestad-prohl传递矩阵法中各截面状态向量的传递变为同一截面状态向量中元素之间riccati变换矩阵的传递，把原来求解微分方程的两点边值问题变为一个初值问题，从而有效地改善了数值稳定性，提高了计算精度。

在本技术领域对于弹簧的振动特性的表征普遍采用timoshenko梁理论，它利用12个简化的常系数微分方程组分析测量圆柱弹簧的力学特性及物理参数。对于非圆柱形弹簧，yildirim研究发现：相对于圆柱螺旋弹簧而言，剪切变形对于非圆柱螺旋弹簧的影响更大一些。在考虑了转动惯量、轴向和剪切变形，以及不同的双对称型截面形状对固有频率的共同影响，yildirim同时利用传递矩阵法和余函数法得到了完全的传递矩阵和精确的固有频率。

但是本领域现有的自由振动模型未考虑到矩形截面中凸弹簧所特有的一些物理特性，因而并不能完全适用或套用于矩形截面中凸弹簧的表征，自然也无法利用其准确解算出矩形截面中凸弹簧的固有振动频率等相关物理参数，以用来指导非线性矩形截面中凸弹簧的设计、生产及应用。

技术实现要素：

本发明的发明目的是提供一种非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，以解决采用现有的方法测算的狭长型矩形截面的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率与实际的固有振动频率误差大的技术问题。

在发明人研究矩形截面中凸弹簧的过程中发现：此类弹簧不但存在着轴向和剪切变形现象，还存在翘曲效应现象，也即翘曲效应能够对矩形截面中凸弹簧的固有振动频率产生较大的影响，因此需要考虑翘曲效应对非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的影响。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

设计一种非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，包括以下步骤：

1)构建自由振动模型，

采用位移函数us(β)、位移函数uξ(β)、位移函数uη(β)、位移函数位移函数位移函数内力函数qs(β)、内力函数qξ(β)、内力函数qη(β)、内力函数ms(β)、内力函数mξ(β)、内力函数mη(β)、广义翘曲坐标函数α(β)和广义翘曲力矩函数t(β)作为未知函数建立如下表征自由振动模型的方程组：

其中，a为簧丝横截面的面积，ω为固有频率，ρ为簧丝材料的密度，e是簧丝材料的弹性模量，g是簧丝材料的剪切模量，gξ是簧丝横截面的形心主轴ξ方向上的剪切形状系数，gη是簧丝横截面的形心主轴η方向上的剪切形状系数，kη(β)是非线性中凸弹簧的螺旋线的曲率，ks(β)是非线性中凸弹簧的螺旋线的扭率；

i1，i2，i3，λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，λ6，λ7，λ8根据矩形截面的圣维南扭转翘曲函数和下述公式获得：

2)测量所述非线性矩形截面中凸弹簧的小径r1、大径r2、螺旋圈数n、弹簧的螺旋角α，簧丝横截面的形心主轴ξ方向上的宽度，簧丝横截面的形心主轴η方向上的高度、簧丝材料的密度ρ，簧丝材料的弹性模量e，簧丝材料的剪切模量g，簧丝的横截面形心主轴ξ方向上的剪切形状系数gξ，簧丝的横截面形心主轴η方向上的剪切形状系数gη；将以上各物理参数代入所述方程组，以解算获取对应的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率ω。

优选的，所述非线性中凸弹簧的螺旋线的曲率kη(β)和非线性中凸弹簧的螺旋线的扭率ks(β)的获取方法是，

建立非线性中凸弹簧的螺旋线的坐标函数为：

x＝r(β)cosβ,y＝r(β)sinβ,z＝h(β)β，(3)

其中：h(β)＝r(β)tanα,r1为小径，r2为大径，n为螺旋圈数，α为螺旋角，β为水平角，r(β)为螺旋线的中径函数，h(β)为螺旋线的节距函数；

所述非线性中凸弹簧的螺旋线的曲率和扭率分别是kη(β)＝r(β)/c²(β),ks(β)＝h(β)/c²(β)。

进一步的，所述簧丝横截面的形心主轴ξ方向对应于所述矩形截面的宽度方向，所述矩形截面的宽度为2a，所述矩形截面的宽度为2b，a:b≤0.6。

又进一步的，a:b≤0.4。

又进一步的，所述固有振动频率包括所述非线性矩形截面中凸弹簧的一阶振动频率、二阶振动频率、三阶振动频率、四阶振动频率和五阶振动频率中的至少一种。

进一步的，所述簧丝横截面的形心主轴ξ方向对应于所述矩形截面的宽度方向，所述矩形截面的宽度为2a，所述矩形截面的宽度为2b，a:b≥2.5，所述固有振动频率包括所述非线性矩形截面中凸弹簧的二阶振动频率和四阶振动频率中的至少一种。

本发明的积极有益的技术效果包括：

依据更精确的非线性矩形截面中凸弹簧自由振动模型，能够测算出此类弹簧更为准确的固有振动频率，与采用现有的方法测算的狭长型矩形截面的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率相比，更加接近其实际的固有振动频率；从而为此类弹簧的设计、生产及应用提供更为准确、可靠的技术手段。

附图说明

图1为一种矩形截面非线性中凸弹簧的立体结构示意图，r1为小径，r2为大径，ξ为簧丝横截面宽度方向的形心主轴，η为簧丝横截面高度方向的形心主轴。

具体实施方式

下面结合附图和实施例来说明本发明的具体实施方式，但以下实施例只是用来详细说明本发明，并不以任何方式限制本发明的范围。

实施例1：一种测量非线性矩形截面中凸弹簧的自由振动模型的建模方法，包括以下步骤：

对非线性中凸弹簧，它的螺旋线的几何关系为：

x＝r(β)cosβ,y＝r(β)sinβ,z＝h(β)β，(4)

其中：h(β)＝r(β)tanα,r1为小径，r2为大径，n为螺旋圈数，α为螺旋角，β为水平角，r(β)为螺旋线的中径函数，h(β)为螺旋线的节距函数。

由(4)式可以看出：对于非线性中凸弹簧而言，尽管螺旋角α是常数，但其中径和节距是变化的，螺旋线是一条变曲率、变扭率的空间曲线，分别用kη(β)＝r(β)/c²(β),ks(β)＝h(β)/c²(β)表示螺旋线的曲率和扭率。

基于自然弯扭梁理论，采用位移函数us(β)、位移函数uξ(β)、位移函数uη(β)、位移函数位移函数位移函数内力函数qs(β)、内力函数qξ(β)、内力函数qη(β)、内力函数ms(β)、内力函数mξ(β)、内力函数mη(β)、广义翘曲坐标函数α(β)和广义翘曲力矩函数t(β)作为未知函数构建自由振动模型的方程组：

其中，a为簧丝横截面的面积，ω为固有频率，ρ为簧丝材料的密度，e是簧丝材料的弹性模量，g是簧丝材料的剪切模量，gξ是簧丝横截面的形心主轴ξ上的剪切形状系数，gη是簧丝横截面的形心主轴η上的剪切形状系数；

i1，i2，i3，λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，λ6，λ7，λ8根据矩形截面的圣维南扭转翘曲函数和下述公式获得：

i1＝∫∫η²dξdη；i2＝∫∫ξ²dξdη；i3＝∫∫(ξ²+η²)dξdη，

实施例2：一种非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，测量所述非线性矩形截面中凸弹簧的小径r1、大径r2、螺旋圈数n、弹簧的螺旋角α、簧丝横截面的形心主轴ξ方向上的宽度、簧丝横截面的形心主轴η方向上的高度、簧丝材料的密度ρ，簧丝材料的弹性模量e，簧丝材料的剪切模量g，簧丝的横截面形心主轴ξ方向上的剪切形状系数gξ，簧丝的横截面形心主轴η方向上的剪切形状系数gη；利用中凸弹簧的小径r1、大径r2、螺旋圈数n、弹簧的螺旋角α换算得出弹簧的水平角β、弹簧的节距h；将以上各物理参数代入实施例1中的方程组，以解算获取对应的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率ω。

试验结果：

下述实验例中采用两端固定的中凸弹簧，其材料常数为ρ＝7900kg/m³,e＝206gpa,υ＝0.3，υ是泊松比，弹性模量e和剪切模量g的换算关系是g＝e/2(1+υ)，弹簧截面为矩形，矩形截面的宽(对应于横截面形心主轴ξ)记为2a，高(对应于横截面形心主轴η)记为2b。在ansys中把弹簧划分为720个solid45单元，节点总数为1440。圣维南扭转翘曲函数为：

实验组1：中凸弹簧的规格为r1＝10mm,r2＝6mm,n＝4,α＝5°,2a＝1mm,2b＝0.4mm.表1中分别显示了在忽略和考虑横截面的翘曲变形情况下，该弹簧的前五阶固有频率及其与有限元结果的误差。

表1.中凸弹簧的前五阶固有频率

表1的对比结果表明：簧丝横截面的翘曲变形对中凸弹簧的固有频率有很大的影响，翘曲效应是此类弹簧自由振动中不可忽略的重要因素。

实验组2：中凸弹簧的规格为r1＝10mm,r2＝6mm,n＝4,α＝5°.

表2.翘曲效应随矩形截面宽高比(a/b)的变化规律

发明人从表2以及长期的试验研究中发现以下现象，且1)-3)是传统的圆形截面中凸弹簧所不具备的：

1)当截面面积相同时，截面立放(a/b＜1)时的频率比截面平放(a/b＞1)时要小；且截面越狭长，由于放置方式的不同而导致的频率(特别是高阶频率)之间的差别就越大。

2)截面立放时，横截面的翘曲变形对1、3、5阶频率影响较小，对2、4阶频率影响较大。当截面平放时，翘曲变形对各阶频率影响均较大，特别是随着a/b的增大，翘曲变形对1阶频率的影响越不能忽略。

3)当矩形截面的宽高比为a:b≤0.6:1或者a:b≥1:0.6时，建议在其动力学分析中考虑翘曲效应；当宽高比为a:b≤0.4:1或者a:b≥1:0.4时，必须计入翘曲效应。

实验组3：中凸弹簧的规格为n＝4,α＝5°,2a＝1mm,2b＝0.4mm.

表3.翘曲效应随弹簧螺旋最大、最小半径的变化规律

从表3中看出：不论最大最小半径如何变化，只要矩形截面相对较狭长，翘曲变形对1、5阶频率的影响都非常明显。

实验组4：中凸弹簧的规格为r1＝10mm,r2＝6mm,α＝5°,2a＝1mm,2b＝0.4mm.

表4.翘曲效应随弹簧工作圈数n的变化规律

从表4可以发现：随着n的增大，只要矩形截面相对比较狭长，翘曲变形对1、5阶频率的影响程度明显下降，但是翘曲效应仍然不容忽略。

实验组5：中凸弹簧的规格为r1＝10mm,r2＝6mm,n＝4,2a＝1mm,2b＝0.4mm.

表5.翘曲效应随弹簧螺旋角的变化规律

从表5可以发现：不论螺旋角如何变化，只要矩形截面相对比较狭长，翘曲变形对1、5阶频率的影响都非常明显。

综上所述，发明人发现，非线性矩形截面中凸弹簧的簧丝横截面的高宽比对翘曲效应的影响最为显著，当矩形截面的宽高比为a:b≤0.6:1或者a:b≥1:0.6时，建议在其动力学分析中考虑翘曲效应；当宽高比为a:b≤0.4:1或者a:b≥1:0.4时，必须计入翘曲效应的影响。而其他设计参数对翘曲效应的影响较小。当横截面比较狭长时，不论其他设计参数如何变化，翘曲效应都不能忽略，在这种情况下，忽略翘曲变形，将导致固有频率有40％以上的误差。

实施例3：一种实施例1中的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，所述簧丝横截面的形心主轴ξ方向对应于所述矩形截面的宽度方向，所述非线性矩形截面中凸弹簧的矩形截面的宽为2a，高为2b，a:b≤0.6。所述固有振动频率包括所述非线性矩形截面中凸弹簧的一阶振动频率、二阶振动频率、三阶振动频率、四阶振动频率和五阶振动频率中的至少一种。它对非线性矩形截面中凸弹簧的一阶振动频率的效果更优。

实施例4：一种实施例1中的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，所述簧丝横截面的形心主轴ξ方向对应于所述矩形截面的宽度方向，所述非线性矩形截面中凸弹簧的矩形截面的宽为2a，高为2b，a:b≤0.4。所述固有振动频率包括所述非线性矩形截面中凸弹簧的一阶振动频率、二阶振动频率、三阶振动频率、四阶振动频率和五阶振动频率中的至少一种。它对非线性矩形截面中凸弹簧的一阶振动频率的效果更优。

实施例5：一种实施例1中的非线性矩形截面中凸弹簧的固有振动频率的测算方法，所述簧丝横截面的形心主轴ξ方向对应于所述矩形截面的宽度方向，所述非线性矩形截面中凸弹簧的矩形截面的宽为2a，高为2b，a:b≥2.5，所述固有振动频率包括所述非线性矩形截面中凸弹簧的二阶振动频率和四阶振动频率中的至少一种。

上面结合附图和实施例对本发明作了详细的说明，但是，所属技术领域的技术人员能够理解，在不脱离本发明宗旨的前提下，还可以对上述实施例中的各个具体参数进行变更，形成多个具体的实施例，均为本发明的常见变化范围，在此不再一一详述。